x 6

EJERCICIOS --- GEOMETRIA
1. Calcula los cuatro puntos que dividen al segmento MN en cinco parte iguales, siendo M =(-4,9,-7)
y N =(1,-1,8)
2.Dados los vectores v1=(1,3,0) y v2=(2,1,1), encontrar un vector de módulo 1; perpendicular a v1 y v2
3.(J-00) Resolver la siguiente ecuación vectorial x  (2, 1, -1) = (1, 3, 5) sabiendo que  x =
donde el símbolo  significa “ producto vectorial”.
6,
4. Halla el punto simètrico de (2 , 0 , 3) respecto a la recta r: x - 1 = y - 2 = ( z -1 ) / 2
5. Sean las rectas r:
x4
 y  4  z , s: x = -2 +3 , y =3, z =1+  . Comprobar que se cruzan y
2
determina un punto A de la recta r y un punto B de la recta s, de manera que el vector AB sea
perpendicular a las rectas.
x  y  z  0
6. Calcula el valor de a para que sean coplanarias las rectas : r: 
 x  ay  2z  2
x  1  2t

s:  y  2  3t
z  t

7. Demostrar que para todo número real a, los tetraedros con vértices A = ( a, 1 + a, 1 - 2a),
x  y  0
= (1+a, a, 1-2a), C=(1+a, 1+a, -2a) y un punto P de la recta 
2 y  z  0
B
tienen el mismo volumen.
8.(J-01) Dado el plano ::x +y +z =1, la recta r (x , y , z) = (1, 0, 0) +  (0, 1, 1), y el punto P(1, 1, 0),
se pide: a) Halla la ecuación de una recta s que sea perpendicular a r y pase por P.
b) Halla el punto P’, simétrico de P respecto de r.
c) Halla el punto P’’, simétrico de P respecto de .
9. (J-00) Sean los puntos P(8, 13, 8) y Q(-4, -11, -8). Se considera el plano , perpendicular al
segmento PQ por su punto medio.
a) Obtener la ecuación del plano . b) Calcula la proyección ortogonal del punto O(0,0,0) sobre .
c) Halla el volumen del tetraedro determinado por los puntos en los que el plano  corta a los ejes de
coordenadas y el origen de coordenadas.
10. Determina la ecuación de la recta que pasa por A(1,0,2) y es perpendicular al plano determinado
por el origen de coordenadas y la recta r: x = 2z - 1 , y = z - 2
y  0
11. Determina en función de  la posición de las siguientes rectas: r:
z  
y 1 z 1

12.(J-01) Sean las rectas r  x  2 
k
2
2
 y   cos   x  0
s: 
 z  
x  1  

s  y  2  
 z  2

a) Halla k para que r y s sean coplanarias.
b) Para el valor anterior de k, halla la ecuación del plano que contiene a ambas rectas.
c) Para el valor anterior de k, halla la ecuación de la recta perpendicular común a las rectas.
13.(J-01) Sean A, B y C los puntos de la recta x  12 
y6 z6

2
3
que están en los planos
coordenados x =0, y =0 y z =0, respectivamente.
a) Determina razonadamente cuál de los tres puntos se encuentra entre los otros dos.
b) Siendo D un punto exterior a la recta, indica, razonadamente, cuál de los triángulos DAB,
DAC o DBC tiene mayor área.
14.(J-99) Dados los puntos A(1, -3, 1), B(2, 3, 1) y C(1, 3, -1), se pide:
a) Obtener la ecuación del plano  que los contiene.
b) Calcula la distancia del origen de coordenadas al plano .
c) Determina el volumen del tetraedro cuyos vértices son A, B, C y el origen de coordenadas.
15. Encontrar una recta r que pase por el punto P(1,0,1) y es paralela a los planos : x + y + z =1;
: 2x – z = 0
16. Calcula las ecuaciones de la recta que pasa por el punto de intersecciòn de las rectas r y s y es
perpendicular a ambas. r: (3 +  , -  , -2+  )
s: (  , 2  , -5 +  )
 x  y  2z  1  0
 2x  y  3z  4  0
Halla la ecuación del plano que contiene a r,
y s:
 3x  y  z  1  0
x  y  z  0
17. Sea r:
paralelo a s.
18. Dados los vectores v = (3, 1, 2), w =(2,1,1), u =(0,1,1), encontrar un vector (x, y, 1) que verifique
las condiciones siguientes: a) que esté contenido en el plano determinado por v y w
b) que sea perpendicular a u.
19. Sean P=(1,1,0), Q=(0,1,1), y R un punto arbitrario de la recta r: x-2= y-1 = z-2.
De todos los triángulos PQR así obtenidos: a) ¿Hay alguno rectángulo?
b) ¿Cuál es el que tiene
área mínima?
20. Encontrar un plano  que pasa por el punto P=(1,1,2) y que es perpendicular a la recta r
intersección de los dos planos : x+ y+ z= 1 , : 2x + 3y =0
21. Determina el plano que contiene a las rectas r: x = y = z; s: x/2 = y = z/5
22. Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto (1,0,-1), es paralelo a la recta r: x - 2y = 0 ,
z = 0 y es perpendicular al plano 2x - y + z + 1 = 0
Encontrar una recta r, paralela a la recta s y que corta a las rectas t y v, siendo:
x  z  1
x  y  2
s: 
; t:
t,2t,1  t , t   ;
v:
x  2 y 1

z
3
2
23. Determina el valor del parámetro a para que las dos recta r y s estén contenidas en un mismo
x  y  z  1
Halla la ecuación cartesiana del plano .

x  2 y  2z  a
 2x  y  0
 x  by  3
s:
24. Calcula los valores de a y b para que las rectas r:
se corten
 ax  z  0
y  z  3
plano .
x  2 z  1
; s:
y  z  2
r: 
ortogonalmente.
25. Consideremos las rectas s: x  1 
y3 z

n
2
x  y  z  3  0
r:
2x  z  1  0
a) Halla n para que r y s sean paralelas
b) Para el valor de n obtenido en el apartado anterior, determina la ecuación del plano que
contiene a s y r.
 1    x  2 y  2z  4
26. Determina la posición relativa entre el plano ::x+ 3y+ (2+)z =7 y recta r 
 x   2    y  z  3
 mx  2 y  6  m  0
x y z
27. Calcula m y n de forma que sean paralelas las rectas r : 
y s:  
n 3 1
2x  z  3  0
28. Calcula la ecuación del plano que pasa por A( 0 , 2 , 0 ) y B( 0 , 0 , 2 ) y corta al eje OX en un
punto C tal que el área del triángulo ABC es 4
29.( J-00) a) Determina el centro y el radio de la esfera x2 + y2 + z2 –2x + 4y + 8z –4 =0
b) Determina el centro y el radio de la circunferencia intersección de la esfera del apartado
anterior con el plano z =0.
30.(J-99) a) Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos de ecuaciones
3x – 4y + 5 = 0 y 2x – 2y + z + 9 =0
b) ¿ Qué puntos del eje 0Y equidistan de ambos planos?
31. Determina para que valores de  y  los planos  : 2x -y +3z =1,  : x + 2y- z= - ,
 : x+  y - 6z +10=0
a) tienen un único punto en común.
b) pasan por una misma recta.
32. Halla las ecuaciones de los planos que pasan por los puntos A( 9, 1, -1) y B( 9, -1, 1) y que están
a distancia 3 del origen de coordenadas.
33. Dado los puntos A(3,7,-2) y B(-1,-9,1), calcula la longitud del segmento A´B´ , proyección
ortogonal del segmento AB sobre el plano  : x + 3y - z - 4 = 0
34. Halla el lugar geométrico de los puntos P que determinan con A=(1,0,0), B=(0,1,0) y C=(0,0,1) un
tetraedro de volumen 1/ 6
 3x  2 y  z  2
a) Determina un valor del parámetro 
s: 
 x  y  1
4 x  3y  z  4
x  z  0
35. Dadas las rectas r: 
para que sean paralelas. b) Para dicho valor de  determina la ecuación del plano que las contiene.
36. Halla las ecuaciones cartesianas de la recta que, pasando por el origen de coordenadas, se
2 x  y  35
10x  5 z  42
; s: 
 x  y  z  2
7 x   y  5 z  34
x 1 y  3 z
x3
z 1
37. Estudia la posición relativa de las rectas r:
s:


y
2
4
5
2
3
y  z  3
38. Se consideran el plano   y + 2 = 0 y la recta r: 
Se pide.
x  y  z  3
apoya en las dos rectas r y s: r: 
a) Calcula el punto P de intersección de la recta r y el plano .
b) Determina la ecuación de la recta simétrica a r respecto de .
39. Determina el valor del parámetro  para el que existe una recta s que pasa por el punto
x  y  2
P(1+ , 1-  ,  ) corta a la recta r´ : 
z  1
x  z  0
y es paralela a la recta r : 
y  0
40.Halla la intersección de la recta r, determinada por puntos (1,6,3) y (2,6,0) con el plano x- y + 3z=2
41. Dadas las rectas r: x = 0, z =1 y s: x =1, y =1, determina las ecuaciones de la recta t que corta
a r y a s y es paralela a la recta x = y = z
42. Estudia la posición de los planos siguientes , dependiendo de sus parámetros:
a) :´:2x+3y+z=1, :´´:x- y+z+2=0, :´´´:2x-2y+2z+3=0 b) ´:ax+y+z=1, ´´:x+ay+z=1, ´´´: x+y+az=1
 x  2
2 x  z  2  x  z  0
s: 
r: 
Halla las coordenadas de un punto
y  z  0
x  y  0
 z  y  1
43. Dadas las rectas r: 
P que está en la recta r´ y que determina con la recta s un plano que contiene a r.
44. Halla la recta que se apoya en r y s y es paralela a la recta t siendo r: x = y = z , s: x =2, y =1 y
t: x + y =0, x – z =0
2 x  z  4
x  2 y  1
s: 
encontrar un plano que pase por
 3x  y  2z  8
 x  3y  z  1
45. Dadas las rectas r: 
P = (1,1,1) y no corte a r ni a s.
z
x y 1 z  4
s: 

4
2
3
1
x  2
47. Calcula la distancia del punto P = (1,2,-4) a la recta r: 
y  z  4
48.Encontrar los puntos de la recta r: 1  t ,2t ,3t , t  , que están a distancia 1 del plano 2x-y+2z=5
46. Halla la distancia entre las rectas r y s siendo r: x  y 
49. Calcula la distancia del punto A = (1,1,-1) al plano 2x + y - z =0. Determina el punto del plano que
está a distancia mínima del punto A.
x  y  1  0
y el plano :: x + m y –z = 6
x  z  1  0
50. Se consideran la recta 
a) Determina el valor de m para que r sea perpendicular a . Para dicho valor de m, calcula el
punto de intersección de r y .
b) Determina el valor de m para que r sea paralela a . Calcula la distancia entre r y , para
dicho valor de m.
51. Calcula la proyección de P(2,-1,3) sobre la recta r y la distancia de P a r : x=3t, y=5t-7, z= 2t+2
52. a) Determina el conjunto  de los puntos del espacio que equidistan de los puntos P(2,2,2),
Q(2,0,2) y R(2,2,0).
b) Determina el punto de  que se encuentra a distancia mínima de estos tres puntos.
2 x  y  z  3
53. Determina el punto de r: 
y  z  0
 x  y  1
que se encuentre a distancia mínima de s : 
2 y  z  2
54. Encontrar en la recta que pasa por A(-1,0,1) y B(1,2,3) un punto tal que su distancia a C(2,-1,1)
sea de 3u
55. Halla el punto de la recta x = - 2y = - 2z cuya distancia al origen es el doble que su distancia a
x+y=0,z=3
56. Determina un punto P de la recta r:
x 1
z
 y  1  que equidiste de los planos  : x + y + z = -3
2
3
 : x = -3 + , y = -  +  , z = -6 - 
57. Halla las ecuaciones del lugar geométrico de los puntos del plano : x = y que distan 1 del plano
:: 2x - y + 2z = 2
58. Calcula la distancia del punto A = (1,1,-1) al plano 2x + y - z =0. Determina el punto del plano que
está a distancia mínima del punto A.
59. Halla el lugar geométrico de los puntos que están a igual distancia de los tres planos siguientes:
:´: x - y + 4 = 0,
:´´: x - y - 2 = 0 ,
:´´´: x - 4y + z = 0
x 1 y  2 z 1
x2 y3 z2


y s:


3
2
4
1
2
3
2 x  2 y  6  0
61. Se considera el plano : x + 2=0 y la recta r: 
x  y  z  3
60. Estudia la posición y halla la distancia entre r:
a) Determina el ángulo que forma el plano y la recta
b) Determina el punto simétrico del origen respecto al plano 
x  y  z  1
62. Determina los puntos de la recta r: 
 2x  y  2z  0
que equidistan de los planos

:x=1 y  :y=3
63. Determina la ecuación del plano  que pasa por los puntos P= (1,1,1), y Q= (0,0,1) y es paralelo a
la recta r determinada por los puntos R=(1,2,1) y S=(1,1,0) ¿Cuál es la distancia entre  y la recta r?
64.
a) Demostrar que los puntos del plano z=0, equidistan de las rectas r: x = y = z y s: x = y = -z.
b) ¿Hay algún punto (x,y,z) con z 0 que equidiste de r y s ?
x  y  0
65. Halla los puntos cuya distancia al origen es el triple que su distancia a la recta r: 
66. Dadas las rectas r:
x 1 y 1
x
y  2 z 1
. Se pide:

 z ; s: 

2
3
3
3
2
z  2
a) Halla la ecuación del plano  que contiene a r y es paralelo a s.
b) Determina la distancia de s al plano anterior
67. Halla las ecuaciones de la recta r´, proyección ortogonal de la recta r: x =1+ , y =-2+3 , z =3
sobre el plano  : y + 2z + 4 =0
¿Qué ángulo forman r´ y r?
68. Dado el plano  : 2x - 2y + z -3 = 0, halla un punto P de la recta r: x = 3+ , y = -2 -3 , z = -1 +
de manera que la distancia de P al plano  sea de una unidad.
69. Calcula la distancia del punto P( 1,-3,1) a la recta r: x + y - 2z + 3 = 0; 3x + 2y + z - 1 = 0
70. Calcula un punto de la recta r:
y  : 4x -3z -1=0
x  2 y 1 z  2
que equidiste de los planos  : 3x + 4y - 1= 0


2
3
2
71. Determina la ecuación de la recta que pasa por A(1,0,1), perpendicular a la recta r: x-1 = y-1 =
(z-2)/2 y que no corte al plano x + y + z = -5
72. Calcula la ecuación de la recta que pase por P( 2, -1, 1) y corte perpendicularmente a la recta
r:
x  2 y 1

z
2
2
73. Calcula la ecuación de una recta que pase por el origen de coordenadas y corte a las recta
r  x = 2y = z - 1 y
s  x/2 = (y-1)/3 = z .
74. Calcula el simétrico del punto P(2,1,-1) respecto a la recta r: (x-1) /2 = y = (z-3) /-1 y también
respecto al plano 2x - 3y + z + 2 = 0
75. Calcula la ecuación de los planos:
a) Que corta a los ejes de coordenadas en los puntos situados a distancia a del origen . Halla el
valor de a para que el plano sea paralelo a x +y +z -7 = 0.
b) Paralelo a r:
x 1
 y  z perpendicular al plano  : x + y - z = 3 y que pase por el punto
2
medio de AB, siendo A ( 3 , 1 ,-4) y B (1 , 1 , -2)
c) Pasa por el origen y es paralelo a las rectas r:
x  3 y  7 z 8
y s: x = y = z


2
3
4
d) Que pasa por A( 3, 2, -1) y B( 4, 0, 2) sabiendo que es perpendicular al plano  :x -5y+2z-6=0