Geometría Analítica Historia de la geometría analítica.

Geometría Analítica
Historia de la geometría analítica.
Existe una cierta controversia (aun hoy) sobre la verdadera paternidad de este
método. Lo único cierto es que se publica por primera vez como "Geometría
Analítica", apéndice al "Discurso del método", de Descartes, si bien se sabe
que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por
Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método muy
parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que
alguno de los citados matemáticos franceses tuviera acceso a su obra.
El nombre de Geometría Analítica corrió parejo al de Geometría Cartesiana,
siendo ambos indistinguibles. Hoy en día, paradójicamente, se prefiere
denominar Geometría Cartesiana al apéndice del Discurso del método,
mientras que se entiende que Geometría Analítica comprende no sólo a la
Geometría Cartesiana (en el sentido que acabamos de citar, es decir, al texto
apéndice del Discurso del método), sino también todo el desarrollo posterior de
la Geometría que se base en la construcción de ejes coordenados y la
descripción de las figuras mediante funciones —algebraicas o no—, hasta la
aparición de la Geometría Diferencial de Gauss (decimos paradójicamente
porque se usa precisamente el término Geometría Cartesiana para aquello que
el propio Descartes bautizó como Geometría Analítica). El problema es que
durante ese periodo no existe una diferencia clara entre Geometría Analítica y
Análisis Matemático —esta falta de diferencia se debe precisamente a la
identificación hecha en la época entre los conceptos de función y curva—, por
lo que resulta a veces muy difícil intentar determinar si el estudio que se está
realizando corresponde a una u otra rama.
La Geometría Diferencial de curvas sí que permite un estudio mediante un
sistema de coordenadas, ya sea en el plano o en el espacio tridimensional.
Pero en el estudio de las superficies, en general, aparecen serios obstáculos.
Gauss salva dichos obstáculos creando la Geometría Diferencial, y marcando
con ello el fin de la Geometría Analítica como disciplina. Es con el desarrollo de
la geometría algebraica cuando se puede certificar totalmente la superación de
la Geometría Analítica.
Es de puntualizar que la denominación de analítica dada a esta forma de
estudiar la geometría provocó que la anterior manera de estudiarla (es decir, la
manera axiomático-deductiva sin la intervención de coordenadas) se terminara
denominando, por oposición, geometría sintética, debido a la dualidad análisissíntesis.
Actualmente el término sólo es usado en enseñanzas medias o en carreras
técnicas en las que no se realiza un estudio profundo de la Geometría.
Construcciones fundamentales.
En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda
determinado por dos números, que son la abscisa y la ordenada del punto, de
forma que, a todo punto del plano corresponden siempre dos números reales
ordenados (abscisa y ordenada), y recíprocamente, a un par ordenado de
números corresponde un único punto del plano.
Consecuentemente el sistema cartesiano establece una correspondencia
biunívoca entre un concepto geométrico como es el de los puntos del plano y
un concepto algebraico como son los pares ordenados de números. Esta
correspondencia constituye el fundamento de la Geometría Analítica.
Con la Geometría Analítica se puede determinar figuras geométricas planas por
medio de ecuaciones e inecuaciones con dos incógnitas. Este es un método
alternativo de resolución de problemas, o cuando menos nos proporciona un
nuevo punto de vista con el cual poder atacar el problema.
Localización de un punto en el plano cartesiano.
Ejes coordenados.
En un plano traza dos rectas perpendiculares (ejes) —que por convenio se
trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical—, y cada
punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho
punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para
determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay
que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de
números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado (x,y),
siendo x la distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje
vertical) e y la distancia al otro eje (al horizontal).
En la coordenada x, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la
distancia se toma hacia la derecha del eje vertical (eje de ordenadas), y el
signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la
izquierda. Para la coordenada y, el signo positivo (también se suele omitir)
indica que la distancia se toma hacia arriba del eje horizontal (eje de
abscisas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite
nunca en este caso). A la coordenada x se la suele denominar abscisa del
punto, mientras que a la y se la denomina ordenada del punto.
Los puntos del eje de abscisas tiene por lo tanto ordenada igual a 0, así que
serán de la forma (x,0), mientras que los del eje de ordenadas tendrán abscisa
igual a 0, por lo que serán de la forma (0,y).
El punto donde ambos ejes se cruzan tendrá por lo tanto distancia 0 a cada uno
de los ejes, luego su abscisa será 0 y su ordenada también será 0. A este
punto —el (0,0)— se le denomina origen de coordenadas.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Para hallar la distancia de un punto P(r, s) a una recta dada tenemos dos
alternativas, calcularla mediante:
P(r, s) Recta L: Ax + By + C = 0
d(P, L) = + Ar + Bs + C / (A² + B²)½ (1)
y otra alternativa es calcularla de forma vectorial la cual está dada por:
d(P, L) = | ^L × ^K | / | ^L |, donde K y L son vectores determinados, aquí el
procedimiento que se sigue es obtener los vectores K y L, realizar el producto
vectorial por medio de determinantes y llegar a la fórmula (1).
Pendiente
de
una
recta.
Uno de los elementos más importantes de la línea recta es la pendiente, la cual
se define como la tangente del ángulo de inclinación. El ángulo de inclinación
es aquel que forma la recta con el eje positivo de las X. Dados dos puntos por
los
cuales
pasa
la
recta,
su
pendiente
se
calcula
así:
q
q
q
m
Tg()
=
(y2
m
=
–
y1)
/
=
y2
/
x2
=
(x2
Tg
y1
–
/
x1)
().
x1
Ecuaciones de la recta en el plano
Una recta en el plano se representa con la función lineal de la forma:
como expresión general, si bien podemos distinguir dos casos particulares. Si
una recta no corta a uno de los ejes, será porque es paralela a él. Como los
dos ejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de
cortar al otro. Tenemos pues dos casos:
Rectas que no cortan al eje de las ordenadas
Estas rectas son, entonces, paralelas a dicho eje. Se denominan rectas
verticales. El punto de corte de una de dichas rectas con el eje de las abscisas
será entonces el punto (x0,0). La ecuación de dicha recta es, por lo tanto es:
Rectas que no cortan al eje de las abscisas.
Estas rectas son entonces paralelas a dicho eje. Se denominan rectas
horizontales. El punto de corte de una de dichas rectas con el eje de las
ordenadas será entonces el punto (0,y0). La ecuación de dicha recta es, por lo
tanto:
Rectas oblicuas
Cualquier otro tipo de recta recibe el nombre de recta oblicua. En ellas hay un
punto de corte con el eje de abscisas (a,0) y otro punto de corte con el eje de
ordenadas (0,b). El valor a recibe el nombre de abscisa en el origen, mientras
que el b se denomina ordenada en el origen.
Cónicas [editar]
Así, por ejemplo, la geometría analítica plana describe una elipse, centrada en
el origen de un sistema de coordenadas cartesianas con la siguiente expresión:
Donde a y b son constantes que se identifican como los semiejes mayores y
menor de la elipse.
Construcciones en el espacio tridimensional.
Los razonamientos sobre la construcción de los ejes coordenados son
igualmente válidos para un punto en el espacio y una terna ordenada de
números, sin más que introducir una tercera recta perpendicular a los ejes X e
Y: el eje Z. Sin embargo no hay análogo al importantísimo concepto de
pendiente de una recta.
Clasificación de la Geometría Analítica dentro de
la Geometría.
Desde el punto de vista de la clasificación de Klein de las geometrías (el
Programa de Erlangen), la geometría analítica no es una geometría
propiamente dicha.
Desde el punto de vista didáctico, la Geometría Analítica resulta un puente
indispensable entre la geometría euclidiana y otras ramas de la matemática y
de la propia geometría, como son el propio análisis matemático, el álgebra
lineal, la geometría afín, la geometría elucídela, la geometría diferencial o la
geometría algebraica.