INTEGRACIÓN DEFINIDA INTERGRACIÓN DEFINIDA

INTEGRACIÓN DEFINIDA
INTERGRACIÓN DEFINIDA
Uno de los problemas geométricos que condujo al desarrollo del cálculo integral fue a evaluar
áreas relacionadas con figuras de diversas formas. En la geometría elemental se demuestra y
que el área de un rectángulo es igual al producto de su ancho por su altura, y conforme a esto,
por métodos geométricos elementales se obtienen las áreas de otras figuras limitadas (total o
parcialmente) por líneas curvas. En general, para obtener las áreas de figuras curvilíneas debe
usarse el método de los límites. Por ejemplo, en geometría se obtiene el área de un círculo
considerándolo como el límite común del área de conjunto de polígonos regulares inscritos y
circunscritos en aquella figura, cuando el número de lados crece indefinidamente. Esto uso del
método de los límites conduce a la interpretación de la integral definida como el “área bajo una
línea”.
Consideremos el problema de determinar el área limitada por la curva positiva continua
y  f(x) , por el eje de las abscisas, y por las rectas x  a y x  b . Dívidase la base  a,b  en
n sub-intervalos, y designase los puntos de división a  x1, x 2 , x 3 , x 4 ,....,x n, x n1  b y la
; i  1,2,3,...,n . Trace ordenaddas en
longitud de los n sub-intervalos por: x  x i1  x i
los puntos de división e inscriba rectángulos (ver figura anterior).
Las áreas de estos rectángulos inscritos son: f(x1 )x1, f(x 2 )x 2 , f(x 3 )x 3 , ...., f(x n )x n y su
suma es:
n
 f(xi )x i
i1
Al aumentar indefinidamente el número de rectángulos inscritos, esto es, cuando el máximo de
 x i también tiende a cero, el área bajo las curva entre a y b que no pueda comprendida en
los rectángulos, se reducen y tiende a cero.
Definición.
El área limitada por la función positiva continua y  f(x) , el eje de las x , y por las dos rectas
x  a y x  b , es:
n
A  lim  f(x i )x i
n i1
x i  0
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL
Sea la función f continua en el intervalo cerrado  a,b  y es cualquier antiderivada de f en el
intervalo, entonces:
b
a f(x)dx  F(b)  F(a) .
La representación:
b
a f(x)dx
Se lee: “Integral desde a hasta b de f(x) ”
Cálculo de áreas:
1. Área de una región plana limitada por una curva
Sea la función f continua en  a,b  y f(x)  0 para toda x   a,b  , sea R una región
acotada por la curva y  f(x) , el eje X y las rectas x  a y x  b , entonces la medida del área
de la región R está dada por:
A
b
a f(x)dx
b es el límite superior
a es el límite inferior
Ejemplo 01
Calcular el valor exacto de la integral definida
3
1 x
2
dx , interpreta geométricamente el resultado.
Solución:
A
3
1
x dx 
2
x3
3
3

1
(3)3 (1)3 27 1 26


 
3
3
3 3
3
(Considerando que el área es la medida de una superficie, entonces la respuesta siempre se
dará en unidades cuadráticas de medidas).
Ejemplo 02
Calcular el área limitada por la recta y  2x  3 , el eje x y las rectas x 
1
y x  4.
2
Solución:
A
4
1/2
(2x  3) dx  x 2  3x
  1 2
 1 
 7  105 2
u
  4 2  3(4)       3      28     


1/2
4
2
2




4


4
NOTA:
b
a f(x) dx , desaparece la constante de integración, la integral tiene por
En la evaluación de
tanto un valor definido.
Propiedades de la Integral definida.
b
a
1.
a f(x) dx   b f(x) dx
2.
a f(x) dx  0
3.
a f(x) dx  c f(x) dx  b f(x) dx ,
a
b
a
c
en donde a  c  b
Ejemplo 03
5
3 (2x  4) dx
a) Calcular
b) Calcular 
3
5 (2x  4) dx
Ejemplo 04
Calcular
2
0 (4  x
Es decir:
Ejemplo 05
2
2
) dx partiendo en dos integrales.
0 (4  x
2
) dx 
2
1 (4  x
2
1
) dx   (4  x 2 ) dx
0
Evaluar
0  2x
2
2

x 3  1 dx
Ejemplo 06
Calcular el área de la región en el primer cuadrante limitada por la curva cuya ecuación es
y  10  x 2 , el eje X , el eje Y y la recta x  3 , Trazar la gráfica correspondiente.
Solución:
Ejemplo 07
Encontrar el área que, en el primer cuadrante, está delimitada por el eje X y por la curva
y  6x  x 2  x 3 .
Solución:
Ejemplo 08
Evaluar el área limitada por la curva
y  6  x  x 2 y el eje X .
Solución:
Ejemplo 09
Evaluar el área limitada por la curva
y  x 2  2x  2 , el eje X y las líneas x  2 y x  1
Solución:
Ejercicio:
Resuelva la siguiente integral:
3  4x
5
3
 3x 2  2x  1 dx
CALCULO DEL ÁREA TOTAL
CÁLCULO DEL ÁREA TOTAL
En la definición del área dada anteriormente
A
b
a f(x)dx
Se ha supuesto que f(x) es una función continua y positiva entre a y b . Si f(x) es negativa
entre a y b , es decir, si la gráfica de f(x) queda por debajo del eje X , el valor de la integral
A
b
a f(x)dx
Es entonces negativo. Las áreas situados bajo el eje X se llaman áreas negativas; el área total
absoluta entre una curva, el eje X y dos está dada por:
Área total   (área positivas)   (área negativas)
NOTA:
Lo anterior equivale a decir que el área es igual al valor absoluto de la integral y así el
resultado siempre es positivo.
Ejemplo 01
Determinar el área limitada por la curva y  2x  x 2  x 3 , el eje X y las rectas x  1 y x  1.
Solución:
Área entre dos curvas
Supóngase que el área que se va a calcular entre las curvas: y1  f(x) y y 2  g(x) , y entre las
rectas x  a y x  b , y que (para mejor precisión) f(x)  g(x) para a  x  b . Entonces:
y 2  g(x)
Y
y1  f(x)
xa
xb
a
A
a  g(x)  f(x)  dx
b
b
Observamos que es la integral de la función superior menos la
inferior.
NOTA:
Los límites de integración siempre son los valores del eje de las abscisas X
Ejemplo 01
Determinar el área limitada por las curvas y  x 2 ; y  x
Solución:
X
Ejemplo 02
Evaluará el área limitada por las curvas y  x 3  4x con el eje X .
Solución:
Ejemplo 03
Encontrar el área de la región limitada por las curvas
Ejemplo 04
Obtener el área comprendida entre las rectas:
x  y  2

y  x  1
 2x  y  7
Determinando por los puntos de intersección de las rectas.
Solución:
Ejercicio:
Calcule el área de la región encerrada por las curvas: y  x 2  1 ; y  x  1
APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN DEFINIDA
APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN DEFINIDA EN ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
La integral definida tiene diversas aplicaciones en administración y en economía. En esta
sección se estudiará aplicaciones en el contexto del excedente del consumidor y el excedente
del productor, así como en el análisis del ingreso al costo.
Excedente (o superávit) del consumidor
Una función de demanda representa las cantidades de un artículo que podrían comprarse a
diversos precios. Si el precio en el mercado es y 0 y la correspondiente cantidad demandada
es x 0 , entonces aquellos consumidores que estuvieran dispuestos a pagar un precio mayor
que el del mercado, se benefician por el hecho de que el precio es solamente y 0 .
Y precio
(0,m0 )
y  f(x)
y0
(x 0 , y 0 )
Curva de demanda
X cantidad
x0
Según ciertas hipótesis económicas, las ganancia total del consumidor está representada por el
área bajo la curva de demanda y sobre la recta y  y 0 , esta área se conoce como excedente
(o superávit) del consumidor (o de los consumidores) y se obtiene como sigue:
Excedente del consumidor 
x0
0
f(x)dx  (x 0 y 0 )
OBSERVACIONES
1. Los cálculos utilizando las curvas de demanda, oferta, ingreso, etc. Se hacen teniendo
en cuenta sólo el primer cuadrante, por ejemplo decimos, que tenemos que comprar
7 kg. de arroz (x  7) , ilógico sería comprar 3 kg. de arroz, también decimos mi
camisa cuesta 15 dólares (y  15) , no podríamos decir que he pagado  15 dólares .
2. Generalmente el excedente del consumidor se expresa en las mismas unidades que y
por ejemplo, si y se expresa en soles o dólares, etc., lo mismo sucederá con el
excedente del productor.
Ejemplo 01
Si la función de demanda es y  32  4x  x 2 , determinar el excedente del consumidor
a) Si x 0  3
b) Si y 0  27
Solución:
a) Si x 0  3
Hallando y 0
Como: y 0  32  4x 0  x 0 2



y 0  32  4(3)  (3)2
y 0  32  12  9
y 0  11
Veamos los puntos de corte con el eje X .
Hacemos y  0 ,
tenemos:
0  32  4x  x 2
 x  4x  32  0
Factorizando: (x  8)(x  4)  0
Luego, los puntos donde la curva se intersecta con el eje X , son: (8,0) y (4,0)
2
La gráfica es:
y 0  11
(8,0)
Calculando el excedente del Consumidor
x0  3
(4,0)
EC 
x0
0
f(x)dx  (x 0 y 0 )
EC 
4
0 (32  4x  x
Resolviendo:
2
)dx  (3)(11)
EC  36
b) Si y 0  27
Hallando x 0
Como: y 0  32  4x 0  x 0 2

27  32  4x  x 2
2
 x  4x  5  0

(x  5)(x  1)  0
 x0  1

x 0  5
EC 
Calculando el excedente del Consumidor
EC 
1
0 (32  4x  x
Resolviendo:
2
x0
0
f(x)dx  (x 0 y 0 )
)dx  (1)(27)
EC 
8
3
Ejemplo 02
Si la función de demanda es y 
9  x y x 0  5 , evaluar el excedente del consumidor
Solución:
Hallando y 0
Como: x 0  5
Además: y 0 
9  x0 
y0 
95
Calculando el excedente del Consumidor
EC 
1
0
9  x dx  (2)(5)
Resolviendo:
EC 
8
3
 y0 

4
EC 
x0
0
y0  2
f(x)dx  (x 0 y 0 )
Ejemplo 03
La cantidad vendida y el correspondiente precio en un mercado monopólico se determina por
medio de la función de demanda y  16  x 2 , y por la función de costo marginal y '  6  x , de
manera que se maximice la ganancia. Determinar el correspondiente excedente del
consumidor.
Solución:
Sea:
P : Pr ecio
Q : Cantidad
Ingreso Total
Como la fórmula de la demanda, está dada por: y  16  x 2
Luego, podemos escribir: P  16  Q2
(I)
Se sabe que:
(Ingreso total) = (precio) (cantidad)
Luego;
(Ingreso total)= P  Q
Reemplazando de (I) , tenemos:
(Ingreso total)= (16  Q2 )  Q
(Ingreso total)= 16Q  Q3
y  16x  x 3
Luego, la fórmula de Ingreso Total está dado por:
Calculo del ingreso marginal:
Se deriva la fórmula del Ingreso Total: y '  16  2x 2
Sabemos que en un mercado monopólico:
(Ingreso marginal)=(Costo marginal)
Además, la utilidad o ganancia se maximiza cuando el ingreso marginal es igual al costo
marginal.
De los datos del problema:
(Ingreso marginal)=(Costo marginal)
16  3x 2  6  x
Tomamos;
3x 2  x  10  0
(3x  5)(x  2)  0
3x  5  0
5

x
x  2
3
5
x0 
3
Calculando y 0
y  16  x 2
En la fórmula de la demanda:
Tenemos: y 0  16  x 0 2

5
y 0  16   
3
2

y0 
119
9
Calculando el excedente del Consumidor
EC 

5
3 (16 
0
Resolviendo:
 5   119 
2
x ) dx    

 3  9 
EC 
250
81
EC 
x0
0
f(x)dx  (x 0 y 0 )
EXCEDENTE DEL PRODUCTOR
Una función de oferta representa las respectivas cantidades de un artículo que se ofrece en un
mercado a diversos precios. Si el precio en el mercado es y 0 y la correspondiente cantidad
ofrecida en dicho mercado es x 0 , entonces aquellos productores que estuvieron dispuestos a
vender el artículo a un precio inferior al del mercado. Se benefician por el hecho de que el
precio es y 0 . Según ciertas hipótesis económicas, la ganancia total del producto está
representada por el área sobre la curva de oferta y bajo la recta y  y 0 , denominándose esta
área excedente (o superávit) del producto (o de los productores), el cálculo de tal área se
obtiene por:
Y precio
y  f(x)
y0
(x 0 , y 0 )
Curva de la oferta
(0,m0 )
X cantidad
x0
Excedente del producto  (x 0 y 0 )  
x0
0
f(x)dx
En donde la función de oferta es y  f(x) , como en el caso del excedente del consumidor, el
excedente del productor se expresa generalmente en las mismas unidades de y .
Ejemplo 01
Si la función de oferta es y  (x  2)2 y el precio se fija en y 0  25 , obtener el excedente del
productor.
Solución:
Ejemplo 02
La cantidad demandada y el precio de equilibrio en un mercado de competencia libre están
determinados por las funciones de demanda y  16  x 2 y de oferta y  4  x . Obtener el
correspondiente excedente del productor.
Solución:
Ejemplo 03
La cantidad demandada y el precio de equilibrio en un mercado de competencia libre están
determinados por las funciones de demanda y  36  x 2 y de oferta y  6 
correspondientes excedentes del consumidor y del productor.
Solución:
2
x
. Determinar los
4
INGRESOS FRENTE A COSTOS
La integración se utiliza también para determinar la utilidad total o las ganancias netas totales
en varios contextos. En general, se maximiza la utilidad (suponiendo libre competencia) cuando
el ingreso marginal es igual al costo marginal. La utilidad total se determina integrando la
diferencia entre el ingreso marginal y el costo marginal, desde cero hasta la cantidad para la
cual se maximiza la utilidad, esto es:
UT 
x0
0
(IM  CM) dx
Ejemplo 01
Evaluar la cantidad producida que maximice la utilidad y determinar la utilidad total en dicho
punto, si las funciones de ingreso marginal ( IM ) y el costo marginal ( CM ) están dadas por:
IM  25  5x  2x 2
CM  15  2x  x 2
Solución:
Ejemplo 02
Si la función de ingreso marginal es IM  25  3x , y la función de costo marginal es
CM  25  7x  x 2 .
a) Determinar la cantidad que se debe producir para maximizar la utilidad.
b) Calcular la utilidad total en un mercado de competencia pura.
Solución:
Ejercicio:
Si la función de ingreso marginal IM  1 4x , y la función de costo marginal es
CM  2  2x  x 2 , determinar:
a) Determinar la cantidad que se debe producir para maximizar la utilidad.
b) Calcular la utilidad total en un mercado de competencia pura.