MATEMATICA - Udabol Virtual

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD
CARRERA DE BIOQUÍMICA Y FARMACIA
RED NACIONAL UNIVERSITARIA
UNIDAD ACADÉMICA DE SANTA CRUZ
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD
BIOQUÍMICA Y FARMACIA
PRIMER SEMESTRE
SYLLABUS DE LA ASIGNATURA
MATEMÁTICA APLICADA
Elaborado por: MSc. Vilma Torrico Zambrana
Gestión Académica I/2013
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UDABOL
UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA
Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01
VISION DE LA UNIVERSIDAD
Ser la universidad líder en calidad educativa.
MISION DE LA UNIVERSIDAD
Desarrollar la educación superior universitaria con calidad y
competitividad al servicio de la sociedad.
Estimado(a) estudiante:
El Syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes, quienes
han puesto sus mejores empeños en la planificación de los procesos de enseñanza para brindarte
una educación de la más alta calidad. Este documento te servirá de guía para que organices mejor
tus procesos de aprendizaje y los hagas mucho más productivos. Esperamos que sepas apreciarlo
y cuidarlo.
Aprobado por:
Fecha: marzo, 2013
SELLO Y FIRMA
JEFATURA DE CARRERA
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SYLLABUS
ASIGNATURA
CÓDIGO
TOTAL HORAS
SEMESTRALES
HORAS TEÓRICAS
HORAS PRÁCTICAS
CRÉDITOS
REQUISITOS
MATEMÁTICA
APLICADA
BQF – 114
120
80
40
12
NINGUNO
I.
OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.

Explicar los conceptos e instrumentos matemáticos indispensables para la actividad del
profesional bioquímico farmacéutico y aplicar en el trabajo practico que la misma requiere.

Determinar los conceptos básicos de cálculo, integrales, derivadas y continuidad.

Reconocer la diferenciación entre derivadas e integrales.
II. PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA.
UNIDAD I
ASPECTOS BÁSICOS DEL ÁLGEBRA
TEMA 1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA Y DOS INCÓGNITAS
1.1
1.2
1.3
1.4
Algebra
1.1.1
1.1.2
Algebra lineal
Ecuaciones lineales
1.1.2.1 Ecuaciones de primer grado con una Incógnita
1.1.2.2 Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
1.1.2.2.1 Método de igualación
1.1.2.2.2 Método de sustitución
1.1.2.2.3 Método de reducción
Factorización
1.2.1
Exponenciales
1.2.2
Potencia en exponentes radicales.
1.2.2.1 Logaritmos.
1.2.2.2 Radicales
1.2.3
Ecuaciones de primer y segundo grado
Desigualdad e inecuaciones
Álgebra matricial.
TEMA 2. MEDICIONES Y UNIDADES
2.1
2.2
Introducción
Sistemas de unidades
2.2.1
Sistema internacional
2.2.2
Sistema Ingles
2.3 Factores de conversión
Aplicaciones
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TEMA 3. FUNCIONES
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
Relaciones
Funciones reales
Funciones con más de una variable.
Clasificación de funciones. Funciones y sus gráficas
3.4.1. Funciones trigonométricas
3.4.2. Funciones logarítmica y exponencial
Geometría analítica. Concepto, importancia
3.5.1. Ecuaciones de recta
3.5.2. Circunferencia, punto medio. Ecuación de la circunferencia.
3.5.3. Fórmulas de distancias
Aplicaciones
UNIDAD II
LÍMITES Y DERIVACIÓN
TEMA 4. LÍMITES
4.1.
Limite de una función
4.2.
Teoremas sobre limites
4.3.
Indeterminaciones
4.3.1. Calculo de limites indeterminados
4.4.
Diferencia y continuidad
4.5.
Asíntotas de una gráfica y aplicaciones de la gráfica de una función.
4.6.
Problemas de aplicación.
TEMA 5. DERIVACIÓN
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
Definición de derivada
5.1.1 Calculo de derivadas por definición
5.1.2 Calculo de derivadas por tablas
5.1.3 Regla de la cadena
5.1.4 Diferenciación de funciones en la Trigonometría.
Derivadas de orden superior
Valores extremos
5.3.1 Valores máximos y mínimos de una función. Teorema de Rolle. Teorema del valor
medio
5.3.2 Concavidad y punto de inflexión
Prueba de la segunda derivada para extremos relativos
Derivación implícita
Derivadas parciales
Aplicaciones de la Derivada
UNIDAD III INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA
TEMA 6. INTEGRACIÓN
6.1
6.2
Integral indefinida
6.1.1 Integración
6.1.2 Antidiferenciación
Uso de tablas de integración
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6.3
6.4
6.5
6.6
Técnicas de integración. Técnicas para el uso de la antidiferenciación.
6.3.1 Integración por descomposición
6.3.2 Integración por cambio de variable
6.3.3 Integración por partes
6.3.4 Integración de funciones racionales por fracciones parciales.
6.3.5 Integración múltiple
La integral doble
Integral definida
6.5.1 Propiedad de una integral definida
6.5.2 Áreas. Área de una superficie
6.5.3 Área de una región en el plano
Ecuaciones diferenciales
UNIDAD IV BIOESTADÍSTICA
TEMA 7. BIOESTADÍSTICA
7.1
7.2
7.3
Introducción a la estadística
Distribución de frecuencias
Medidas descriptivas
7.3.1 Medidas de tendencia central
7.3.1.1
Moda
7.3.1.2
Mediana
7.3.1.3
Media Aritmética
7.3.2 Medidas de dispersión
7.3.2.1
Desviación Media
7.3.2.2
Varianza
7.3.2.3
Coeficiente De Variación De Pearsson
III. ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA LAS BRIGADAS UDABOL
III. ACTIVIDADES A REALIZAR DIRECTAMENTE EN LA COMUNIDAD.
i.
Tipo de asignatura.
Asignatura de apoyo tipo B.
ii
Resumen de los resultados del diagnóstico realizado para la detección de los problemas
a resolver en la comunidad.
De acuerdo a las características de la asignatura y en coordinación con la asignatura de salud
pública y otras asignaturas la actividad a realizar, está en la recolección de datos y un posterior
trabajo estadístico, se utilizarán como materiales de trabajo las encuestas y los formularios de
dichas asignaturas para su posterior presentación de resultados y formulación de conclusiones
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Trabajo a realizar por los
estudiantes
Organización de actividades del
proyecto
Localidad, aula o
laboratorio
Aula
Incidencia social
Capacitación de los
actores involucrados
Elaboración
de
material Aula
didáctico audiovisual para los
talleres.
Capacitación y socialización
Lugares asignados
sobre temas de higiene.
previamente.
Fecha.
Abril
Capacitación de los Mayo
actores involucrados.
Actores involucrados
en el proceso
concienciados y
capacitados.
Mayo y Junio
IV. EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA.
Las actividades evaluativas, que comprenden la evaluación procesual y de resultados se
realizara como sigue:
ACTIVIDAD
EVALUATIVA
Laboratorios o
prácticas
Repasos de temas
Resolución de GIP
PARÁMETROS
Conocimiento
tema.
Resolución
problemas
TOTAL
Conocimiento
tema.
Resolución
problemas
TOTAL
Presentación
Exactitud
de
conocimientos
Destreza
en
práctica
TOTAL
PONDERACIÓN
del 25 puntos
FECHA
En todas las clases
prácticas
de 25 puntos
50 puntos
del 25 puntos
En todas las clases
teóricas y prácticas.
de 25 puntos
50 puntos
10.Puntos
los 20 Puntos
En todas las clases
prácticas.
la 20 Puntos
50 Puntos
El trabajo, la participación y el seguimiento realizado a estos dos tipos de actividades se
tomarán como evaluación procesual calificando cada una entre 0 y 50 puntos y promediando
el total.
La nota procesual o formativa equivale al 50% de la nota de la asignatura.
● DE RESULTADOS DE LOS PROCESOS DE APRENDIZAJE O SUMATIVA (examen
parcial o final)
Se realizarán 2 evaluaciones parciales con contenido teórico y práctico. El examen final
consistirá en un examen escrito con un valor del 50% de la nota y la presentación de los
informes y documentos del proyecto con el 25, y repasos cada clase 25 puntos.
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V. BIBLIOGRAFÍA
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
 GUTIÉRREZ F PEDRO. “La practica de cálculo diferencial e integral” Volumen I y II. Editorial.
La Hoguera. 1992 (Signatura Topográfica 515.33 G 97)
 BALDOR AURELIO. “Álgebra”. Edición Códice SA Madrid, España. 1988 (Signatura
Topográfica 512.B 19)
 DANIEL WAYNE. “Bioestadística “. 1992 (Signatura Topográfica 574.015195 D 22)
 AZCARATE, Carmen y Jordi DEULOFEU. Funciones y gráfica. Edit. Síntesis. Madrid. 1996
 BASCHELET. Cálculo. Edit. Dossat. 2001.
 BASCHELET. Matemática básica para biólogos. Edit. Dossat. 2001.
 MILTON. Estadística para la biología y ciencias de la salud. Edit. Interamericana. México.
2001.
BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
 AUTORES VARIOS. Contenidos básicos comunes de matemáticas para polimodal. Ministerio de
Cultura y Educación de la Nación. 1997.
 AUTORES VARIOS. Prioridades pedagógicas en el nivel polimodal. Ministerio de Cultura y
Educación de la Nación. 1998.
 Goñi Juan “ Álgebra” 1993 (Signatura Topográfica 511 G 58)
 Norman Geoffrey “Bioestadística” 1996 (Signatura Topográfica 574.015195 V 78)
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VI. PLAN CALENDARIO.
SEMANA
ACTIVIDADES ACADÉMICAS
ACTIVIDADES
EVALUATIVAS
1ra.
Avance de materia UNIDAD I, TEMA 1
GIP, repaso
2da.
Avance de materia UNIDAD I, TEMA 1
GIP, repaso
3ra.
Avance de materia UNIDAD I, TEMA 1
GIP, repaso
4ta.
Avance de materia UNIDAD I, TEMA 1
GIP, repaso
5ta.
Avance de materia UNIDAD I, TEMA 2
GIP, Primera Evaluación
6ta.
Avance de materia UNIDAD I, TEMA 2
GIP, Primera Evaluación
7ma.
Avance de materia UNIDAD I, TEMA 3
GIP, repaso
8va.
Avance de materia UNIDAD I, TEMA 3
GIP, repaso
9na.
Avance de materia UNIDAD II, TEMA 4
GIP, repaso
10ma.
Avance de materia UNIDAD II, TEMA 4
GIP, repaso
11ra.
Avance de materia UNIDAD II, TEMA 5
GIP, repaso
12da.
Avance de materia UNIDAD II, TEMA 5
GIP, Segunda Evaluación
13ra.
Avance de materia UNIDAD III, TEMA 6
GIP, Segunda Evaluación
14ta.
Avance de materia UNIDAD III, TEMA 6
GIP
15ta.
Avance de materia UNIDAD IV, TEMA 7
GIP
16ma.
Avance de materia UNIDAD IV, TEMA 7
GIP
17 va.
Avance de materia UNIDAD IV, TEMA 7
GIP
18na.
Avance de materia UNIDAD IV, TEMA 7
GIP
19na.
Evaluación final
Presentación de Notas
20va
Evaluación final
Informe final
Presentación de notas a Dirección
Académica
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WORK PAPER # 1
UNIDAD I: Tema 1
TÍTULO: Aspectos básicos del álgebra
FECHA DE ENTREGA: 2da semana de clases
PERIODO DE EVALUACIÓN: 2da semana de clases
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
DESCRIPCIÓN Y EJEMPLOS
Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas)
relacionados mediante operaciones matemáticas.
Por ejemplo: 3x - 2y = x2 + 1
Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sola letra (incógnita, normalmente la
x).
Por ejemplo: x2 + 1 = x + 4
Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia (por
tanto a 1).
Ejemplos:
3x + 1 = x - 2
1 - 3x = 2x - 9.
x - 3 = 2 + x.
x/2 = 1 - x + 3x/2
Son estas últimas las ecuaciones que vamos a resolver en esta lección.
SOLUCIÓN NUMÉRICA
Ejercicio 1.- Supongamos que queremos resolver la ecuación: 3x + 1 = x - 2.
Resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuación y
realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es cierta.
En el ejemplo podemos probar con valores:
x = 1, llegaríamos a 5 = -2, luego no es cierto,
x = -1 llegaríamos a -2 = -3, tampoco. Resolvámosla entonces para hallar el valor de x
buscado:
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Numéricamente, como seguramente sabrás, se resuelve "despejando" la x, o sea ir pasando
términos de un miembro a otro hasta conseguir: x =...Número... Así:
3x - x = -1 - 2; 2x = - 3; x = -3/2 ó x = -1,5.
Efectivamente: 3(-1,5) + 1 = -1,5 -2; -4,5 + 1 = -3,5. ¡cierto!.
Decimos en este caso que la ecuación tiene solución. Pero:
¿Qué significa gráficamente esta solución?
Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales para
conseguir dejar la "x" sola en el primer miembro. Veámoslas para el ejercicio anterior:
3x + 1 = x - 2.
- Sumar o restar a los dos miembros un mismo número. En este caso restar 1 a los dos
miembros y restar x a los dos miembros:
3x +1 -1 - x = x - x - 2 -1, que una vez operado queda: 2x = -3. Produce el mismo efecto lo que
llamamos "pasar de un miembro a otro sumando lo que resta o restando lo que suma"
- Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número. En este caso por 2:
2x/2 = -3/2, que una vez simplificado queda x = -3/2 como ya habíamos obtenido antes.
Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro lo que está
multiplicando dividiendo o lo que está dividiendo multiplicando".
Ejercicio 2.- Resuelve numéricamente en tu cuaderno de trabajo la ecuación:
1 - 3x = 2x - 9.
(Habrás obtenido que la solución es x = 2)
ECUACIONES QUE NO TIENEN SOLUCIÓN
Ejercicio 3.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:
x - 3 = 2 + x.
Rápidamente obtendrás la expresión 0 = 5 ¿qué significa? Desde luego esta igualdad no es
cierta independientemente del valor que tome x.
Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución.
Ejercicio 4.- Resuelve numéricamente, comprobando que no tiene solución la ecuación:
3x - 2 + x = 5x + 1 - x
ECUACIONES CON INFINITAS SOLUCIONES
Ejercicio 5.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:
2x-1 = 3x + 3 - x - 4
Ahora habrás llegado a la expresión 0 = 0 ¿qué significa ahora? La igualdad que has obtenido
es cierta pero se te han eliminado la x. ¿Cuál es la solución?
Si la igualdad es cierto seguro, ¡lo será para cualquier valor de x! Compruébalo sustituyendo x
por 0, 1, -3 u otro valor que desees.
En este caso se dice que la ecuación tiene infinitas soluciones (cualquier valor de x es
solución).
Este tipo de ecuaciones se denominan IDENTIDADES
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Ejercicio 6.- Comprueba en tu cuaderno de trabajo que las siguiente ecuación es una identidad.
3x -2 + x = 1 + 4x - 3
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver problemas de la
vida cotidiana. Por ejemplo:
Ejercicio 7.- El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el
segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años
¿qué edad tiene cada hermano?
Para resolver estos problemas debemos elegir algún valor desconocido para llamarle "x". En
este caso llamemos:
x = edad del hermano menor.
A partir de ello expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuación) con ellos:
Será:
x + 3: edad del hermano mediano
x+3 + 4 = x + 7 edad del hermano mayor
Ecuación: suma de las edades de los hermanos = 40; x + x+3 + x+7 = 40,
Resolviendo la ecuación se obtiene x = 10, luego la solución del problema es:
Edades de los tres hermanos: 10, 13 y 17 años.
Ejercicio 8.- En una caja hay el doble de caramelos de menta que de fresa y el triple de
caramelos de naranja que de menta y fresa juntos. Si en total hay 144 caramelos, ¿cuántos
hay de cada sabor? (Sol: 12, 24, 108).
EJERCICIOS FINALES
Resuelve numéricamente en el cuaderno de trabajo y gráficamente en la escena que se te
presenta a continuación los ejercicios y problemas siguientes:
Ejercicio 9.- Resolver las siguientes ecuaciones:
a) -5x = 12 - x
b) 2(x - 7) - 3(x + 2) + 4(x + 1) - 2 = 0 (Ojo con los signos delante de los paréntesis)
c) 3x - 5 = x/2 (Observa que para eliminar el 2 basta multiplicar toda la ecuación por 2)
d) 3x + 4 - x = 7 + 2x
e) 2x - 1 = 3(x + 2) - x
Ejercicio 10.- Plantea y resuelve los siguientes problemas:
a) El perímetro de un jardín rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el
lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín? (Sol: 9 y 20 m)
b) Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido.
(Sol: 4).
SISTEMAS DE 2 ECUACIONES DE 1ER GRADO CON 2 INCÓGNITAS
- Métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones.
1) Método de reducción por suma o resta (o de eliminación).
2) Método de igualación.
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3) Método de sustitución.
- Método de reducción por suma o resta (o de eliminación).
Ejemplo:
6. x - 7.y = 5
8. x - 9.y = 7
1er Paso: Multiplicamos las 2 ecuaciones por un "número" (resultado del m.c.m. entre ellos), para
igualar el valor numérico de los coeficientes de la incógnita "x" en las 2 ecuaciones.
2do Paso: Restamos las 2 ecuaciones para eliminar las incógnitas "x" luego resolvemos la
ecuación.
3er Paso: Reemplazamos la incógnita "y", en cualquiera de las 2 ecuaciones para obtener el valor
de la incógnita "x" o bien se calcula está incógnita repitiendo los pasos anteriores.
6x-7y=5
6 x - 7. (1) = 5
6x-7=5
6x=5+7
6 x = 12
Por último; el conjunto solución es:
x=2
(2; 1)
- Método de igualación.
Ejemplo:
x + 3.y = 10
2. x + 5.y/4 = 1
1er Paso: Se despeja la incógnita "x" de cada una de las ecuaciones dadas.
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2do Paso: Igualamos las incógnitas "x" luego resolvemos la ecuación.
3er Paso: Reemplazamos la incógnita "y", en cualquiera de las 2 ecuaciones despejadas para
obtener el valor de la incógnita "x".
Por último; el conjunto solución es: (- 2; 4).
- Método de sustitución
Ejemplo:
x + 2.y = 9
3. x - y = 13
1er Paso: Se despeja la incógnita "x" de una de las ecuaciones dadas.
x+2y=9
x=9-2y
2do Paso: Reemplazamos la incógnita "x", en la otra ecuación dada; para obtener el valor de la
incógnita "y".
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3er Paso: Reemplazamos la incógnita "y", en la 1ra expresión obtenida; para obtener el valor de la
incógnita "x".
x=9-2y
x = 9 - 2. (2)
x=9-4
x=5
Por último; el conjunto solución es: (5; 2).
DESIGUALDADES E INECUACIONES
Inecuaciones lineales:
Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita.
Si el grado de la inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal. Resolver una inecuación
es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad.
La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de
números reales.
El método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero
teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una
inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica
representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no incluye el
extremo, lo representamos mediante un círculo blanco (transparente).
Ejemplo ilusrativo1:
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Inecuaciones lineales que comprenden valores absolutos:
Inecuaciones cuadráticas:
Las inecuaciones cuadráticas presentan, o se pueden reducir a, las formas:
El modo de solucionar estas inecuaciones es similar al utilizado para resolver ecuaciones
cuadráticas
.
Ejemplo ilustrativo 1:
Ejercicios
Solu ciones
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WORK PAPER # 2
UNIDAD I: Tema 2
TÍTULO: Mediciones y unidades
FECHA DE ENTREGA: 3ra semana de clases
PERIODO DE EVALUACIÓN: 4ta semana de clases
MAGNITUDES Y MEDIDA
Magnitud, cantidad y unidad
Se denominan magnitudes a ciertas propiedades o aspectos observables de un sistema físico
que pueden ser expresados en forma numérica. En otros términos, las magnitudes son
propiedades o atributos medibles.
La longitud, la masa, el volumen, la fuerza, la velocidad, la cantidad de sustancia son ejemplos
de magnitudes físicas. La belleza, sin embargo, no es una magnitud, entre otras razones
porque no es posible elaborar una escala y mucho menos un aparato que permita determinar
cuántas veces una persona o un objeto es más bello que otro. La sinceridad o la amabilidad
tampoco lo son. Se trata de aspectos cualitativos porque indican cualidad y no cantidad.
La medida como comparación
La medida de una magnitud física supone, en último extremo, la comparación del objeto que
encarna dicha propiedad con otro de la misma naturaleza que se toma como referencia y que
constituye el patrón.
SISTEMAS DE UNIDADES
El sistema internacional
El SI es el sistema práctico de unidades de medidas adoptado por la XI Conferencia General
de Pesas y Medidas celebrada en octubre de 1960 en París.
Se lo conoce también como el sistema MKS (metro kilogramo, segundo), como segundo
sistema métrico tenemos al cgs (centímetro gramo segundo)
El sistema ingles
Tiene como patrones, pie para la longitud, la libra para la masa y el segundo para el tiempo se
lo conoce también como FPS
FACTORES DE CONVERSION
Son fracciones que sirven para convertir unidades de un sistema a otro o de un múltiplo o un
submúltiplo
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Ejemplo: convertir 135 Km/h a m/s
135 Km 1000 m
1h
*
*
 37.5m / s
h
1Km 3600 s
Ejemplo
Se coloca una perfusión intravenosa de suero fisiológico a un paciente a razón de 40 gotas por
minuto, si el suero fisiológico es un solución que contiene 9 gramos de cloruro de sodio (NaCI)
por litro, se quiere saber cuantos mg de NaCl van ha ser transfundidos al paciente durante 40
minutos de perfusión.
Nota: Na= 23g/mol; CI 35.5 g/mol; 20 gotas = 1ml
40min*
40gotas
1m l
9 gNaCl 1000m gNaCl
*
*
*
 720m gNaCl
1min
20gotas 1000m l
1gNaCl
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CARRERA DE BIOQUÍMICA Y FARMACIA
WORK PAPER # 3
UNIDAD I:
TÍTULO:
Tema 3
Funciones
FECHA DE ENTREGA: 5ta semana de clases
PERIODO DE EVALUACIÓN: 6ta semana de clases
FUNCIONES
Producto cartesiano
El producto cartesiano de dos conjuntos A X B es el conjunto de todos los pares ordenados, cuya
primera componente pertenece al conjunto A y la segunda componente pertenece al conjunto B.
AxB  x, y  / x  A  y  B
Ejemplo 1
:
Ejemplo 2
Si A = {1,2} y B = {-1, o, 1} entonces A x B = {(1,-1), (1,0), (1,1), (2,-1), (2,0), (2,1)}. A tiene 2
elementos, B tiene 3, y A x B tiene 2 x 3 = 6
Plano coordenado.- es el conjunto de todos los puntos del producto cartesiano de los números
reales por los números reales. También se llama plano cartesiano o plano de coordenadas
rectangulares
RELACION.,- se da el nombre de relación a todo subconjunto del producto cartesiano AxB, o
sea
Ejemplos de relación
A = {1, 4, 6}
B = {2, 3, 7}
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CARRERA DE BIOQUÍMICA Y FARMACIA
La relación que existe entre A y B es mayor que, por lo que:
AxB = {(6,2) (4,2) (6,3) (4,3)}
FUNCION
Es una transformación que recibe un conjunto de valores para convertirse en otros, con el único
cumplimiento de que las primeras componentes correspondientes al primer conjunto no deben
repetirse.
Función es una relación de A a B que a cada elemento de A le hace corresponder un solo un
elemento de B.
a
e
i
Ejemplo:
A = {a, e, i}
1
3
5
7
B = {1, 3, 5, 7}
F={(a,3),(e,7),(i,7)}
Además su dominio es:
Dom f = A
Su codominio es:
Codom f = B
Su recorrido (o rango) es:
Rec. f = {3, 7}
Este último es el conjunto de las imágenes de a bajo f.
Dominio de una función
Son los valores que pueden se transformados por la función, dicho de otro modo son el conjunto
de las variables independientes que son posibles ser transformados por la función
Para calcular el dominio se despeja la variable y de la función y se hace el anales de acuerdo a las
restricciones que estudiaremos mas adelante
Imagen de una función
Es el conjunto formado por la transformación de los valores de x en y
Para calcular la imagen se despeja la variable x, y se determina la tabla de valores haciendo el
mismo análisis de restricciones que se estudia en x
Función explicita.- es toda función donde la variable y esta siempre despejada
y  5x2  4
y  logx  9
Función implícita.- donde y no esta despejada, si no es posible despejar y la función se llama
implícita pura
xy  yx
x 5  3 xy  4  2 y
x 2  y 3  40
Clasificación de funciones
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Funciones
Trascendente
s
Algebraica
Polinómicas
Racionales
Irracionales
Exponenciales
Logarítmicas
Especiales
Trigonométric
as
seccionadas
Valor absoluto
Funciones algebraicas polinómicas
Es una función de la forma
f ( x)  an xn  an 1xn 1  .........a0
Dependiendo del valor de n se tiene funcione de orden n
F(x)=5
F(x)=3x+2
F(x)=x2+x-5
El dominio de toda función polinomial viene dado por todos los números reales
Función racional.- este tipo de funciones se caracteriza por tener la variable independiente en el
denominador, la restricción indispensable es que el denominador tiene que ser diferente de cero.
Estas funciones tienen asíntotas horizontales y verticales


Asíntota vertical.- Es una recta a la cual se acerca la función indefinidamente.
Asíntota horizontal.- es el valor que hace cero al denominador cuando se despeja x
Para calcular el dominio se utiliza la restricción x  a  0 luego el dominio es R- 2
Función irracional.- es toda función afectada por una raíz. Si la raíz tiene índice par el dominio
esta dado por los números reales. Si la raíz tiene índice par, necesariamente la cantidad subradical
tiene que ser mayor o igual a 0
f ( x)  x  2
x2 0
De donde el dominio viene dado por los números mayores o
iguales a 2
Funciones trascendentes
Función exponencial es toda función de la forma
y  f ( x)  a x
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Donde a es un número real positivo distinto de 1. El dominio viene dado por todos los números
reales
Función logarítmica esta función viene definida por la expresión
y  loga x Si se cumple que x  a y
Donde a es un numero positivo real distinto de 1
Para calcular el dominio de una función logarítmica se utiliza la restricción de que solo existe
logaritmo de números positivos
Función compuesta es una variedad de situaciones en la que se combinan dos o más funciones
con la finalidad de obtener otra nueva función.
Se denota por
 fogx  f g x
El proceso de componer funciones se realiza reemplazando la función más interna g(x) en el
argumento de la función externa o sea f(x) y se lee f de g de x
Dadas las funciones
x  f gfog
xxy  g f x
F(x)=ln(x) y g(x)= x3fog
hallar
3
 fogx  f g x =lnx
 fog
x  g f x = (lnx)3
PENDIENTE DE UNA RECTA
Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación.
La pendiente de una recta se designa comúnmente por la letra m. Por lo tanto, podemos escribir:
Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (-3, 2) y (7, -3).
Por medio de pendientes demostrar que los puntos A (-3, 4), B (3,2) y C (6, 1) son colineales.
RECTAS
Ecuaciones de la recta (diferentes modelos)

Punto-pendiente
La ecuación de la recta que pasa por el punto P1 ( x1 , y1 ) y cuya pendiente es m es: y - y1 = m(x x1 )

Pendiente-ordenada en el origen
La ecuación de la recta de pendiente m y que corta al eje Y en el punto (0, b) y = mx + b

Cartesiana
La recta que pasa por dos puntos dados P1(x1,y1) y P2( x2 , y2 ) tiene por
ecuación: y  y1 
y 2  y1
x  x1 
x2  x1

Reducida o abscisa y ordenada en el origen
La ecuación de la recta que corta a los ejes X e Y en los puntos (a, 0) (siendo a la abscisa en el
origen) y (0, b) (siendo b la ordenada en el origen) respectivamente, es:
x y
 1
a b

General
Una ecuación de primer grado en las variables x e y se puede escribir de la forma: Ax + By +C = 0
En donde A, B y C son constantes arbitrarias. Si despejamos la variable y entonces tenemos
y
A
C
x  Si comparamos con la ecuación y=mx+b
B
B
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La pendiente de la recta escrita de esta forma es m  
A
C
y la ordenada en el origen es b  
B
B
Gráfica de una recta
Una forma para graficar la ecuación de una recta es mediante su intersección con los ejes
coordenados, para la intersección con el eje y hacemos x = 0 (ordenada al origen) y para la
intersección con el eje x hacemos y = 0. El único caso en el que el método anterior no proporciona
mucha información acerca de la gráfica de la recta es cuando esta pasa por el origen.
Rectas paralelas y perpendiculares
Si dos rectas L1 y L2 tienen pendientes m1 y m2 respectivamente, entonces:
Son paralelas, si sus pendientes son iguales, es decir: m1 = m2


Son perpendiculares, si la pendiente de una de ellas es igual al recíproco de la pendiente de
la otra con signo contrario, es decir: m 2  
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WORK PAPER # 4
UNIDAD II:
Tema 4
TÍTULO:
Límites y continuidad
FECHA DE ENTREGA: 8va semana de clases
PERIODO DE EVALUACIÓN: 8va semana de clases
A) LIMITE EN UN PUNTO.
A1) Límite finito:
Se dice que la función y = f(x) tiene por límite L cuando x tiende hacia a, y se representa por
A2) Límite infinito: (A partir de ahora usaremos la notación matemática para hacer más corta la
definición).
B) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.
B1)
B2)
con
B3)
.
.
B4)
.
B5)
B6)
C) LIMITES LATERALES.
C1) Límite por la izquierda:
C2) Límite por la derecha:
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TEOREMA: Existe el límite si y solo si existen los limites laterales (por la derecha y por la
izquierda) y
B) ASÍNTOTAS DE UNA CURVA.
B1) Asíntotas verticales.
Se dice que y = f(x) tiene una asíntota vertical en x=a si
o alguno (o ambos) de los
límites laterales vale
. Es decir, puede haber asíntota vertical por la derecha, por la izquierda o
por ambos lados. La posición de la curva respecto a la asíntota dependerá del signo de los límites
laterales. Como ejemplo, determinar la asíntota vertical y su posición con respecto a la gráfica de
la función
B2) Asíntotas horizontales.
Se dice que y = f(x) tiene una asíntota horizontal en y=b si
. La asíntota puede
aparecer cuando
La posición de la gráfica de la función
respecto a la asíntota vertical se determina estudiando si el signo de f(x) - b es positivo o negativo
cuando
. Como ejemplo, determinar la asíntota horizontal y su posición con respecto a la
gráfica de la función
B3) Asíntotas oblicuas.
Dada la función y = f(x), si se verifica que
a)
b)
c)
Entonces se dice que y = mx + h es una asíntota oblicua de dicha función para
. La
asíntota puede aparecer cuando
Para estudiar la posición de
la gráfica de la función con respecto a la asíntota basta estudiar el signo de f(x)-(mx + h). Como
ejemplo, determinar la asíntota oblicua y su posición con respecto a la gráfica de la función
3. Cálculo de límites.
A) INDETERMINACIÓN
En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.
Ejemplo.-
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En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir
por la expresión radical conjugada.
Ejemplo.-
B) INDETERMINACIÓN
En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.
Ejemplo.C) INDETERMINACIÓN
Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer factorialmente el numerador
y el denominador.
Ejemplo.-
En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y
dividir por la expresión radical conjugada.
Ejemplo.-
D) INDETERMINACIÓN
En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de
x del denominador.
Ejemplos.-
E) INDETERMINACIONES
-
-
Para determinar estos límites tendremos en cuenta que:
De donde resulta que:
Pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los métodos anteriores o por
métodos que aprenderemos en temas posteriores.
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En el caso de la indeterminación
podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente igualdad:
Aplicar la igualdad anterior a la resolución del siguiente límite:
4. Función continua en un punto y en un intervalo.
Diremos que la función y = f(x) es continua en x = a si:
a. Existe f(a), es decir, f(x) está definida en x=a.
b. Existe el
.
c. Ambos valores coinciden, es decir
.
6. Discontinuidades.
Se dice que una función y = f(x) es discontinua en x = a si no es continua en dicho valor de x, es
decir, no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad.
TIPOS DE DISCONTINUIDADES
A) Evitable: Cuando existe el
pero no coincide con el valor de f(a) por una de estas dos
razones, son distintos los valores o no existe f(a).
B) De salto: Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero
no coinciden.
C) Asintótica: Cuando alguno de los límites laterales (o ambos) no es finito. Puede ser asintótica
por la derecha, por la izquierda o por ambos lados
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WORK PAPER # 5
UNIDAD II:
Tema 5
TITULO:
Derivadas
FECHA DE ENTREGA: 9na semana de clases
PERIODO DE EVALUACION: 10ma semana de clases
DERIVADAS
Recordando el concepto de pendiente de una recta, podemos indicar que la derivada no es otra
cosa que "la pendiente de la recta tangente que corta a una función en un punto determinado
Cada punto de una función tiene su recta tangente siempre y cuando ese punto se verifique
los postulados de continuidad.
¿Cómo calcular la pendiente en ese punto? Primeramente aclaremos que si bien una función
puede ser continua en el punto que se analiza no implica que el punto sea derivable. Un punto
debe tener solamente una sola pendiente para considerarlo derivable.
Tomemos dos puntos cualesquiera de una función; ambos poseen coordenadas, que en este
caso llamaremos (x1 , f(x1)) y (x2 , f(x2)). A medida que x2 va tomando valores cada vez más
cercanos a x1, lo mismo ocurre con f(x2) que se va acercando a f(x1). El proceso acerca a la recta,
que pasa por ambos puntos, a la posición de la recta tangente (corta en un solo punto).
El proceso de acercamiento se estudia en base a límites y permite encontrar la pendiente de la
recta tangente en un punto determinado.
La "separación" que hay entre las coordenadas de x podemos calcularlas "restándolas", o sea,
sacando su diferencia. Es así que x2 – x1 = Dx El D (delta) representa la diferencia entre las
coordenadas, así que se lo denomina "diferencial", en este caso es el diferencial x. Del mismo
modo, la diferencia entre las segundas coordenadas será llamadas D f(x), diferencial f(x) (o
directamente Dy).
Como x2 – x1 = Dx, podemos despejar x2 = x1 + Dx.
Así que f(x2) puede escribirse como: f(x + Dx).
Escribimos la definición de derivada como un límite donde Dx es cada vez más pequeña,
tiende a cero.
Definición de derivada:
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TABLA DE DERIVADAS
Función
Derivada
Ejemplos
y'=0
y=8
y'=0
y'=1
y=x
y'=1
Constante
y=k
Identidad
y=x
Funciones potenciales
Funciones exponenciales
Funciones logarítmicas
Funciones trigonométricas
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Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones
MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS
La pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en los puntos críticos máximos y
mínimos relativos es cero, ya que se trata de una recta horizontal.
En los puntos críticos máximos, las funciones tienen un valor mayor que en su entorno,
mientras que en los mínimos, el valor de la función es menor que en su entorno.
En un punto critico máximo relativo, al pasar la función de creciente a decreciente, su derivada
pasa de positiva a negativa.
En un punto crítico mínimo relativo, la función deja de decrecer y empieza a ser creciente, por
tanto, su derivada pasa de negativa a positiva.
METODOS PARA CALCULAR MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION
Para conocer las coordenadas de los puntos críticos máximos y mínimos relativos en una
función, analizaremos dos mecanismos:
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CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA, UTILIZADO PARA UNA FUNCION CONTINUA Y
SU PRIMERA DERIVADA TAMBIEN CONTINUA.
 obtener la primera derivada.
 igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.
El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o mínimos en
la función.
 se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable
independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan
de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de negativo a positivo el punto
crítico es mínimo.
 Cuando existen dos o más resultados para la variable independiente, debe tener la
precaución de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los demás, a fin de
evitar errores al interpretar los resultados.
 sustituir en la función original (Y) el o los valores de la variable independiente (X) para los
cuales hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datos así obtenidas, corresponde a
las coordenadas de un punto crítico.
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. Se basa
en que en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia,
su derivada será negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia
arriba y la segunda derivada es positiva.
Este procedimiento consiste en:

Calcular la primera y segunda derivadas

Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

Sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda
derivada.
Si el resultado es positivo, hay mínimo. Si la segunda derivada resulta negativa, hay un
máximo.
Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un máximo o mínimo.

sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original, para
conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo.
APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Para resolver los problemas a partir de los datos existentes, es importante en primer lugar,
encontrar la expresión matemática de la función que represente el problema y cuyos valores
máximos o mínimos se desean obtener.
Una vez que se tenga la función en la forma Y=f(X), se aplican las normas ya estudiadas.
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PROBLEMAS

De una lamina de 120 cm. X 75 cm. Se desea construir una caja sin tapa, del mayor
volumen posible recortando cuadrados iguales de las esquinas de la lámina y doblando hacia
arriba las salientes para tomar las caras laterales.
o ¿Cuáles deben de ser las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo?
o ¿Cuál es el volumen máximo que puede contener?
Las figuras muestran los cortes que se hacen a la lámina y la figura de la caja resultante.
Al asignar X a la altura de la caja y V a su volumen, se expresa algebraicamente:
V = (120 - 2X) (75 - 2X) (X)
V = 4X3 - 390 X2 + 9000X
No se le pude recortar a la lámina más de 37.5 cm., por lo que la altura debe estar en el
intervalo: 0<X<37.5 Calculando el máximo en la función V = 4X3 - 390 X2 + 9000X
V = 12X2 - 780X + 9000
12X2 - 780X + 9000 = 0
X1 = 50 y X2 = 15 desde ahora puede descartarse el valor X = 50 por estar
Fuera del intervalo: 0< X<37.5
V” = 24X - 780 sustituyendo los valores X1 = 50 y X2 = 15 en la segunda
Derivada:
V” = 24 (50) - 780 = 420 por ser positivo, hay un mínimo para X = 50
V” = 24(15) - 780 = - 420 por lo tanto se encuentra el máximo que buscamos en
X = 15
Al sustituir en la función V = 4X3 - 390X2 + 9000X el valor X = 15, encontramos el volumen
máximo de la caja:
V = 4(15) 3 - 390 (15)2 + 9000 (15)
V = 60 750 cm3
La altura debe ser X = 15cm
La longitud es (120 - 2X) = 120 - 2(15) = 90 cm.
La anchura es (75 - 2X) = 75 - 2(15) = 45 cm.

Encontrar dos números positivos cuya suma sea 144 y su producto sea máximo
Si representamos por P y Q los números buscados, tendremos la función Y = p Q como
esta función depende de dos variables, ponemos una de ellas en función de la otra:
Como P +Q = 144, entonces P = 144 - Q y la función queda de una sola variable:
Y = Q (144 - Q) = 144 Q - Q2
Obtenemos el máximo de la función:
Y “= 144 - 2Q
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144 - 2Q = 0
Q = 72
Y” = - 2 por ser negativa la segunda derivada, hay un máximo en Q = 72
Sustituyendo Q = 72 en la función Y = 144 Q - Q2
Y = 144 (72) - (72) 2 = 5184
P = 144 - Q = 144 - 72 = 72
Los números buscados son P = 72 y Q = 2 y su producto P Q = Y = 5184

Con una malla de 380 m. se desea cercar un terreno rectangular.
o ¿Cuáles deben ser las medidas del terreno para que su área sea máxima?
o Se pueden cercar infinidad de terrenos rectangulares con una malla de 380 m. aquí
algunos casos.
Terreno num.
largo
ancho
Perímetro
Área
1
110 m.
80 m
380 m
8800 m2
2
140 m.
50 m
380 m
7000 m2
3
112 m.
78 m
380 m
8736 m2
4
100 m.
90 m
380 m
9000 m2
5
120 m.
70 m
380 m
8400 m2
Suponiendo A = área del terreno, b = longitud y h = anchura, podemos plantear la función.
A=bh
Siendo una función de dos variables, ponemos una en función de la otra:
Perímetro de rectángulo = 2b +2h = 380
2b = 380 - 2h
b = 190 - h
La función con una variable es: A = (190 - h) h = 190 h - h2
Calculando el máximo de la función: A = 190 h - h2
A = 190 - 2 h
190 - 2 h = 0
h = 95
A = - 2 al ser negativa la segunda derivada, hay un máximo en h = 95
A = 190 h - h 2 = 190 (95) - (952) = 9025
B = 190 - h = 190 - 95 = 95
Por lo tanto, el terreno es un cuadrado que mide 95 m por lado y su área es de 9025 m2
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WORK PAPER # 6
UNIDAD III:
Tema 6
TÍTULO: Integrales
FECHA DE ENTREGA: 11ra semana de clases
PERIODO DE EVALUACIÓN: 13ra semana de clases
INTEGRAL INDEFINIDA
FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN
Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado [a,b], se llama función primitiva
de f(x) a otra función F(x) cuya derivada sea f(x) en dicho intervalo. Es decir, F'(x) = f(x) para todo x
de [a,b].
Así:
INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNC.
Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función
f(x), y se simboliza
Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis».
Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),
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Donde C representa una constante llamada constante de integración.
Tabla de Integración (integral indefinida)
n
 x dx 
x n 1
k
n 1
n
 u '·u dx 
dx
 x  a  Ln( x  a)  c
x
 a dx 
u'
 u dx  Ln(u )  c
ax
c
Ln(a )
au
 u '·a dx  Ln(a)  c
u
 e dx  e  c
 sen(x)dx   cos(x)  c
 cos(x)dx  sen(x)  c
x
u n 1
c
n 1
z
 u '·e dx  e  c
 u '·sen(u )dx   cos(u )  c
 u '·cos(u )dx  sen(u )  c
u
dx
 cos ( x)  t g(x)  c
u
u'
 cos (u ) dx  t g(u )  c
2
2
dx
  cot t g(x)  c
2
( x)
dx
 1  x 2  arct g(x)  c
dx
 1  x 2  arcsen(x)  c
 dx
 1  x 2  arccos(x)  c
 sen
u'
dx   cot t g(u )  c
2
(u )
u'
 1  u 2 dx  arct g(u )  c
u'
 1  u 2 dx  arcsen(u )  c
 u'
 1  u 2 dx  arccos(u )  c
 sen
Propiedades fundamentales
  f ( x)  g ( x)  h( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx   h( x)dx
 k · f ( x)dx  k · f ( x)dx
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(k  R )
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Ejercicio: cálculo de primitivas
Resolución:
Por consiguiente,
Resolución
Ejercicio: cálculo de integrales inmediatas
Resolución:
ð Es una integral inmediata perteneciente al segundo caso, en el que m = 4.
Resolución:
Resolución:
ð Es una integral inmediata perteneciente al cuarto caso en el que a = 3.
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN (I)
Ejercicio: cálculo de integrales aplicando el método por descomposición
Resolución:
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Por consiguiente,
Resolución:
Resolución:
ð Desarrollando por la fórmula del cuadrado de un binomio:
ð Así,
Resolución:
ð Descomponiendo la fracción en suma de fracciones:
ð Por tanto,
Integración por cambio de variable (o sustitución)
Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de
la variable independiente.
Aunque algunos casos tienen un método preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la
elección del cambio de variable más conveniente.
Se comenzará por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas.
Ejercicio: cálculo de integrales inmediatas por cambio de variable
Resolución:
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Resolución:
ð
Sin
embargo,
en
la
integral
no
se
tiene
2x
sino
x.
Este
contratiempo
Por la constante (en este caso 2) que falta.
Resolución:
ð Se multiplica y se divide por 3:
Si en lugar de x se tuviese una función de x, u(x), la derivada de ln | u(x) |, por la regla de
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Ejercicio: cálculo de integrales por cambio de variable
Resolución:
ð Se multiplica y se divide por 6:
La derivada de ex es la propia función ex . Si en lugar de x se tuviese una función
u( x ), la derivada de u( x ) por la regla de la cadena es u( x ) · u' ( x ).
Por consiguiente,
Resolución:
ð En primer lugar se saca de la integral la constante 5.
ð Se multiplica y se divide por 3:
Resolución:
ð Se multiplica y se divide por 2:
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Haciendo un estudio análogo a los anteriores, se deduce que
MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES.
Si u y v son dos funciones cualesquiera, se puede demostrar la siguiente fórmula de integración
llamada por partes
Con esta fórmula transformamos una integral en otra que, si es de más fácil cálculo, nos permitirá
resolver la integral inicial.
Como norma general elegiremos como u la parte del integrando fácil de derivar y como dv la parte
fácil de integrar.
Ejemplo:
 ln xdx
Hacemos:
u  ln x  du 
dx
x
dv  dx  v  x
 ln xdx  x ln x   x
dx
x
 x ln x  1
INTEGRAL DEFINIDA
Funciones primitivas
Sean dos funciones f(x) y F(x), tales que: F'(x)=f(x) , es decir la derivada de F(x), es f(x). A
cualquier función F(x)+k, donde k es una constante, se la llama función primitiva de f(x). Por
ejemplo si f(x)=x, la función primitiva será cualquier función de la forma:
Vamos a intentar mostrar la relación, sorprendente, que existe entre una función f(x) y su
función primitiva F(x). Diferencial de una función en un punto
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Relación entre una función y su primitiva
En la parte izquierda de la gráfica (función derivada) representa un área y en la parte derecha
(función primitiva) representa una longitud, numéricamente ambos valores son iguales.
Cuando dx tiende a cero, el límite de la suma, si existe, se llama integral definida de f(x) entre
los puntos x=a y x=b.
Este límite, cuando existe, coincide con el área de la zona comprendida entre la gráfica de la
función f(x), el eje XX y las rectas x=a y x=b, como se puede apreciar en la parte izquierda de la
figura o con la longitud del segmento dada por F(b)-F(a) como se aprecia en la parte derecha. Es
decir:
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Siendo F(x) una función primitiva de f(x).
Relación entre una función y su primitiva. Explicación dinámica
Esta relación reduce el cálculo de multitud de magnitudes: áreas, volúmenes, superficies,
trabajo, energía, probabilidades y un largo etc., al cálculo de primitivas, cálculo muy elaborado y
esquematizado en procedimientos y tablas.
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WORK PAPER # 7
UNIDAD IV:
Tema 7
TÍTULO: Bioestadística
FECHA DE ENTREGA: 15ta semana de clases
PERIODO DE EVALUACIÓN: 17ma semana de clases
BASES TEÓRICAS
Estadística:
Se define como el conjunto de métodos para manejar la obtención, presentación y análisis de
observaciones numéricas. Es la recopilación, presentación y caracterización de la información en
fin de que se auxilie tanto en el análisis de datos como en el proceso de la toma de decisiones.
Población:
Es el conjunto de los elementos sobre el cual realizamos nuestro estudio. Es un conjunto de
elementos con características comunes, que pueden ser finitos o infinitos.
Muestra:
Es un conjunto de medidas, observaciones tomadas a partir de una población dada.
Frecuencia:
Es el número de veces que se repite un valor, dato o término dentro de una serie en estudio.
Tipos de frecuencias estadísticas:

Frecuencia simple absoluta: es el número de veces que se observa en un mismo ítem o la
cantidad de datos que caen en un mismo intervalo.

Frecuencia simple relativa: es la razón geométrica entre la frecuencia absoluta y el total de
datos, es decir el cociente de dividir el número de veces que aparece un dato de un
intervalo entre la totalidad de datos que conforma la muestra de que se trate. Su máximo
será la unidad y su mínimo será el cero.

Frecuencia acumulada: es la suma de la frecuencia de un intervalo de clases con todas las
frecuencias de los intervalos que la preceden.
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Variable:
Es la característica de interés sobre cada elemento de una población o muestra y puede tomar
diferentes valores.
Variables estadísticas:

Variable aleatoria: cuando los valores que asume la variable han sido antecedidos por una
selección aleatoria de los objetos medidos o son resultados de algún proceso al azar.

Variable continua: es aquella que teóricamente puede tomar cualquier valor dentro de un
intervalo.

Variable discreta: es aquella que toma valores separados entre sí por alguna cantidad.

Variable cuantitativa: es aquella que asume valores acompañados de una unidad de
medida.

Variable cualitativa: es la que se refiere a la clasificación, como estado civil, preferencia por
una marca, etc.
Datos:
Son números o medidas que han sido recopilados como resultado de observaciones. Los datos
pueden provenir de recuentos tales como el número de personas que laboran en una empresa o
de mediciones como el peso de una persona.
Tipos de datos estadísticos:

Datos simples: cuando a los datos no se les han aplicado algún tratamiento de agrupación,
pudiendo ser dichas series:
a. Sin frecuencias: cuando no se repiten los valores.
b. Con frecuencias: cuando se repiten los valores.

Datos agrupados en clase: los datos se agrupan en clases con el fin de sintetizar,
condensar, resumir o hacer más fácilmente manejable la información.
Las clases constan de un límite inferior (
) y de un limite superior (
).
Tablas estadísticas:
Son aquellas que están formadas por la columna matriz y el cuerpo esta compuesto por más de
una columna y se dividen en simples y complejas.
Gráficos estadísticos:
Son datos cuantitativos que vienen representados por dibujos geométricos donde la longitud o el
área de una parte de la figura es proporcional a la cantidad o magnitud representada.
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scala:
Es la asociación de cosas distintas pero de la misma especie. Es el tamaño o proporción con el
que se desarrolla un plan de ideas.
Tipos de escala:

Escala nominal: es aquella en que los números solo se emplean para diferenciar los
objetos o distintas categorías o cuando se emplean nombres.

Escala ordinal: es aquella en la que los números se utilizan para diferenciar de acuerdo con
ciertos criterios jerárquicos, como son los números que empleamos para clasificar los
distintos extractos socioeconómicos o para designar preferencias.

Escala de intervalos: es una escala más especializada que la ordinal y la nominal en la cual
es posible ordenar las mediciones y decir también cuanto difiere una situación de otra.
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS.
Es el conjunto de valores que puede presentar una variable junto con sus frecuencias, estas se
pueden clasificar de acuerdo a sus tipos.
Según la naturaleza de la variable estudiada las distribuciones de frecuencia pueden ser:

No agrupadas: se presentan cuando el número de valores que puede presentar una
variable no es muy elevado y en ese caso podemos observar todos los valores de esa
variable. Este caso se presenta cuando la variable es discreta y no presenta excesivos
valores.

Agrupados en intervalos: se presenta cuando la variable es continua o discreta pero con
elevado número de valores. Es esta situación se agrupan dichos valores en intervalos o
clases. Se llama amplitud del intervalo a la distancia que existe entre los extremos de los
intervalos de clases.
Fila de datos:
Sirve para ordenar en forma creciente los datos de acuerdo a su frecuencia. Se agrupan a partir
del número más pequeño de la muestra hasta el número mayor.
n = número total de datos
Rango: Resulta de la diferencia entre el límite superior y el límite inferior, existe en los datos no
agrupados, se expresa con la siguiente ecuación:
Número de clases:
Se expresa por la siguiente ecuación:
Nº de clases =
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Intervalo de clases:
Es el cociente que resulta de dividir el rango entre el número de clases.
Marca de clase (
):
Es el valor promedio de cada intervalo de clase.
Límites reales:
Es el resultado de restar 0,5 al límite inferior de clases y luego sumar esa misma cantidad al límite
superior de clases.
Histograma de frecuencia:
Son segmentos de geometría rectangular graficado con el intervalo de clases o los límites reales
de clase.
En el caso que se utilice la frecuencia simple se graficaran histogramas simples y en el caso de
que se utilicen frecuencias acumuladas se graficaran histogramas acumulados.
Polígonos de frecuencia:
Se obtienen de la unión de puntos obtenidos con los puntos medios de cada clase y su frecuencia
simple o acumulada dependiendo del tipo que se quiere graficar.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.
Es un valor, que es típico o representativo de un conjunto de datos. Como tales valores tienden a
situarse en el centro del conjunto de datos ordenados según su magnitud.
Se pueden definir varios tipos de medidas de tendencia central, las más comunes son la media
aritmética o brevemente media, la mediana y la moda.
Media aritmética (
):
La media aritmética o media de un conjunto de N números se representa por
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y se define como:
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Para datos no agrupados
Donde:
xi = cada uno de los datos.
n = número total de datos.
Para datos agrupados
Donde:
xi = punto medio.
fi = frecuencia simple relativa.
n = número total de datos.
Mediana (
):
La mediana de una colección de datos ordenados en orden de magnitud es el valor medio o la
media aritmética de los dos valores medios.
Para datos no agrupados
Para datos agrupados
Donde:
LI = frontera inferior de clase.
Linf fi = límite inferior de la franja modal
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fa = frecuencia acumulada anterior a la clase total.
fi = frecuencia modal.
n = número total de datos.
Moda o modo (
):
La moda de una serie de números es aquel valor que se presenta con la mayor frecuencia, es
decir, es el valor más común.
Para datos no agrupados
Es el valor que mas se repite dentro de la muestra de datos.
Para datos agrupados
Donde:
LI = frontera inferior de clases.
A1 = fi – fi ant
fi ant = frecuencia modal anterior
fi post = frecuencia modal posterior.
Ic = intervalo de clases.
A2 = fi – fi post
MEDIDAS DE DISPERSIÓN.
Una medida del grado de variación de un conjunto de valores de una variable estadística la
proporciona el propio rango o recorrido de la variable. Lo mas frecuente, sin embargo, es describir
esa variación mediante las diferencias entre esos valores y alguna medida de tendencia central.
Para las variables cuantitativas, las medidas de dispersión mas utilizadas son la desviación media
y la desviación típica.
Desviación media (DM):
Se conoce también como promedio de desviación. Es igual a la media aritmética de las
desviaciones de una serie de valores respecto de su media aritmética. Para una serie de N
valores: X1, X2, X3,… Xn, se define a través de la siguiente expresión:
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Desviación típica (S):
Se define como la raíz cuadrada positiva del promedio aritmético de los cuadrados de los desvíos
con respecto a la medida aritmética y se considera como el indicador de variación o dispersión
más importante.
Varianza (S2):
La varianza se define como el cuadrado de la desviación típica. Su mayor utilidad se presenta en
la estadística inductiva. Se puede determinar como una medida de variación promedio y se obtiene
dividiendo la variación total por el número de medidas.
Coeficiente de variación (CV):
Se define como el cociente que resulta de dividir la desviación típica entre la medida aritmética
de la serie de datos, multiplicado luego por cien para que su resultado venga expresado en
porcentaje.
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GUÍA DE INVESTIGACIÓN PRÁCTICA - GIP # 1
UNIDAD I: Tema 1
TÍTULO: Aspectos básicos del álgebra
FECHA DE ENTREGA: 2ra semana de clases
PERIODO DE EVALUACIÓN: 3da semana de clases
Despejar de las siguientes fórmulas:
1.-
P1V1 P2V2

; T1 ;V2
T1
T2
2.- m 
1
2a 2  ab 2  c 2 ; c; b
2
3. Pv=nRT: R, v
Buscar 5 fórmulas y despejar de ellas las diferentes variables
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GUÍA DE INVESTIGACIÓN PRÁCTICA - GIP # 2
UNIDAD I: Tema 1
TÍTULO: Aspectos básicos del álgebra
FECHA DE ENTREGA: 2ra semana de clases
PERIODO DE EVALUACIÓN: 3da semana de clases
Obtener el valor de x en las siguientes ecuaciones.
1.- x 2  3x  4
2.- 8 x  9  12 x  4 x  13  5 x
3.- 8 x  15 x  30 x  51x  53 x  31x  172
4.- x  2 x  1  8  3x  3
5.- x  5  3x  5x  6  x   3
6.- x  3x  1  6  42 x  3
7.-
1 1
1


x 2x x  1
8.-
1  2x x  2

3  x 3x  1
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GUÍA DE INVESTIGACIÓN PRÁCTICA - GIP # 3
UNIDAD I: Tema 1
TÍTULO: Aspectos básicos del álgebra
FECHA DE ENTREGA: 3ra semana de clases
PERIODO DE EVALUACIÓN: 4ta semana de clases
Realizar y obtener los valores de “x” y “y” utilizando cualquiera de los métodos de eliminación de
los siguientes sistemas de ecuaciones.
2.x - 4.y = -7
x + 8.y = -1
R: [-3; 1/4]
3.x - 5.y = 19
2.x + y = 4
R: [3; -2]
5.x + 4.y = 2
3.x - 2.y = -12
R: [-2; 3]
-9.x - 12.y = 14
30.x + 6.y = -58
R: [-2; 1/3]
2.x - 5.y/3 = 5
3.x - 4.y = 3
R: [5; 3]
2.x - 2.y = -5
4.x - 3.y = -9
R: [-3/2; 1]
X+y=7
x - y = -1
R: [3; 4]
x - y/5 = 9/5
2.x + y/2 = 9/2
R: [2; 1]
-2.x - 4.y = 18
x + 5.y = -36
R: [9; -9]
2.x/3 - 5.y = 55/3
3.x - y/2 = -33/2
R: [-5; 3]
3.x - 3.y = -14
9.x + 4.y = 23
R: [1/3; 5]
2.x - 5.y = -9
x + 4.y = 8,5
R: [1/2; 2]
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2.x - 3.y
3.x - 2.y = 5
=
5
2.x + y
1,5.x - 2.y = 5
=
3
2.x - 5.y/3
3.x - 4.y = 3
=
5
5.x + 6.y
3.x - 2.y = -20
=
32
6.x + 3.y
5.x - 2.y = 2/3
=
3,5
5.x - 6.y
3.x + 4.y = -13
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=
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-9
R: [1; -1]
x/5 - 2.y =
3.x - 3.y/2 = 36
R: [2; -1]
x + 8.y
3.x - y = -28,5
=
3
R: [5; 3]
2.x - 4.y
3.x + y = 5,75
=
5
R: [-2; 7]
x + 2.y
3.x - y = -1
R: [1/3; ½]
3.x/2 + y =
2,5.x - 3.y/2 = 7
R: [-3; -1]
4.x - 3.y =
6.x + 11.y = 47
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=
10
-12
8
-41
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R: [10; -4]
R: [-9; 3/2]
R: [2; -1/4]
R: [-2; -5]
R: [4; 2]
R: [-5; 7]
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CARRERA DE BIOQUÍMICA Y FARMACIA
GUÍA DE INVESTIGACIÓN PRÁCTICA - GIP # 4
UNIDAD I: Tema 1
TÍTULO: Aspectos básicos del álgebra
FECHA DE ENTREGA: 4ta semana de clases
PERIODO DE EVALUACIÓN: 5ta semana de clases
Realizar mediante el uso de ecuaciones los siguientes problemas.
1) La suma de las edades de A y B es 84, y B tiene 8 años menos que A. Hallar ambas edades.
2) Pague Sus. 87 por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero costo Sus 5 más que el libro y
Sus 20 menos que el traje. ¿Cuánto pague por cada cosa?
3) La suma de tres números consecutivos es 156, Hallar dichos números.
4) La suma de dos números es 540 y su diferencia es 32. Hallar dichos números.
5) Entre Juan y José tienen Bs. 1154 y B tiene Bs. 506 menos que A. ¿Cuánto tiene cada uno?
6) Dividir el número 102 de en dos partes de manera que la mayor exceda a la menor en 24.
7) Pepe tiene 14 años menos que Ana y ambas edades suman 56 años. ¿Qué edad tiene cada
uno?
8) Repartir 1080 volantes entre dos agencias (A y B) de modo que A reciba 1014 más que B.
9) Hallar 2 números consecutivos enteros cuya suma sea 103.
10) Encontrar 3 números consecutivos enteros que sumen 135.
11) Hallar 4 números enteros consecutivos que sumen 194.
12) Pagué Sus. 325 por un caballo, un coche y sus arreos. El caballo me costo Sus. 80 más que
el coche y los arreos Sus. 25 menos que el coche. ¿Cuánto pague por cada uno?
13) La suma de tres números es 200, el mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65.
Hallar dichos números.
14) 3 cajas contienen 575 blusas. La primera caja tiene 10 blusas más que la segunda y 15 más
que la tercera. ¿Cuántas blusas contiene cada caja?
Hallar el conjunto solución de las siguientes expresiones.
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GUÍA DE INVESTIGACIÓN PRÁCTICA - GIP # 5
UNIDAD I: Tema 1
TÍTULO: Aspectos básicos del álgebra
FECHA DE ENTREGA: 4ta semana de clases
PERIODO DE EVALUACIÓN: 5ta semana de clases
1.- 5 x  2  x  6
2.- x 2  x  20  0
3.- x 2  3x  5
4.- 7  4 x  x 2
5.- 3x 2  4 x  5
6.- 12x  5 x 2  9
7.- x 2  9 x  0
8.-
2 x 2  5x 3 7 x  x 2
 
3
2
3
9.-
4
3

1
x 1 x  2
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CARRERA DE BIOQUÍMICA Y FARMACIA
GUÍA DE INVESTIGACIÓN PRÁCTICA - GIP # 6
UNIDAD I: Tema 1
TÍTULO: Aspectos básicos del álgebra
FECHA DE ENTREGA: 5ta semana de clases
PERIODO DE EVALUACIÓN: 6ta semana de clases
REALIZAR LAS SIGUIENTES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR LA FÓRMULA
CUADRÁTICA
1.
2x2 + 7x - 15
2.
x2 – 8x = - 15
3. 3x2 – 5x + 2 = 0
4. 4x2 + 3x – 22 = 0
5. x2 + 11x = -24
6. 12x – 4 – 9x2 = 0
7. 5x2 – 7x - 90 = 0
8. 6x2 = x + 222
9. x + 11 = 10x2
10. 49x2 - 70x + 25 = 0
11. 12x – 7x2 + 64 = 0
12. x2 = -15x - 56
13. 32x2 + 18x – 17 = 0
14. (x + 4)2 = 2x (5x - 1) – 7 (x - 2)
15. x (x + 3) = 5x + 3
16. 3 (3x - 2) = (x + 4) (4 - x)
17. 9x + 1 = 3 (x2 - 5) – (x - 3) (x + 2)
18. (2x - 3)2 – (x + 5)2 = - 23
19. 25 (x + 2)2 = (x - 7)2 – 81
20. 7 (x - 3) – 5 (x2 - 1) = x2 – 5 (x + 2)
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CARRERA DE BIOQUÍMICA Y FARMACIA
GUÍA DE INVESTIGACIÓN PRÁCTICA - GIP # 7
UNIDAD I: Tema 1
TÍTULO: Aspectos básicos del álgebra
FECHA DE ENTREGA: 7ma semana de clases
PERIODO DE EVALUACIÓN: 8va semana de clases
RESOLVER POR RADICALES Y EXPONENCIALES
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES SIMPLES Y COMPUESTOS
1.
1 x
2
.6
2
3 y
y
2.
2 2 3 1
a x.
x
2 a3
3.
4.
5.
6.
6

x 1  3 x
1

bc  2a  x

2

6
2
2 3 5

2 5


1

x2  x2 
x
2

DIVISIÓN DE RADICALES
75 x 2 y 3
7.
8.
5 3 xy
4x a3 x2
2 a3 x3
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FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD
CARRERA DE BIOQUÍMICA Y FARMACIA
9.
2a 3 2
x
3
a 3 3
x
3x 2
10.
8 6
4 3
11.
2 3a
5 a
2
3
1 3
x 2
3x
12.
POTENCIACIÓN DE RADICALES
13.
14.
15.
16.
 4x 
2
4
3
4
4
6
2a
3

3
x 1

2
9a 3 b 4

3
POTENCIACIÓN DE RADICALES POR EL CASO III DE FACTORIZACIÓN
17.
18.
19.
2 2 x  1  2 x  1
 x 1  4 x 
4 2  3 
2
2
2
RADICACIÓN DE RADICALES
20.
3 3
4a 2
21.
3
53
22.
3
8
23.
4
81
24.
3a
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CARRERA DE BIOQUÍMICA Y FARMACIA
25.
3
25a 2
26.
3 4
27a 3
27.
5
729
28.
4
a 4b 6
29.
3 5
x10
30.
3
( a  b) 2
POTENCIA FRACCIONARIA DE UN RADICAL. VOLVER A ESCRIBIR LA EXPRESIÓN
EMPLEANDO RADICALES
1.
a3/5
2.
3.
4.
5.
3 + a2/3
(5x)-3/2
3/a2/3
(5 + u)2/3
6.
2a1/3
7.
491/2
8.
 1
 
 64 
9.
(-27)1/3
10.
 81 
 
 36 
11.
49-1/3
12.
 1 
 
 64 
13.
(-27)-1/3
14.
 81 
 
 36 
15.
3/ 4
2 / 3
3 / 4
 27a b  
3
a
a
1 / 3
16.
2/3
2
6 1 / 3
b 2 / 9 c1 / 6
1/ 6
b 2 / 3


9
6
3
17.
16
6
4
RACIONALIZACIÓN DE RADICALES
1.
1
4
5a 25x3
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CARRERA DE BIOQUÍMICA Y FARMACIA
2.
3.
4.
3.
4.
x
4
27x 2
5
3
4a 2
4 2
25 2
2 5
2  5 6
52 7
4 5 3 7
RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES CON RADICALES Y OBTENER EL
VALOR DE X
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
3
2X  3  3
4x2  15  2x  1
x  4  x 1  5
x  7  x 1  2 x  2  0
x 8  2
5  3x  1  0
7  3 5x  2  9
8.
9x2  5  3x  1
9.
x2  2 x  1  9  x
10.
x  10  x  19  1
11.
4x  11  7 2x  29
12.
3x  5  3x  14  9
13.
x  x7  7
14.
5x  1  3  5x  26
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CARRERA DE BIOQUÍMICA Y FARMACIA
GUÍA DE INVESTIGACIÓN PRÁCTICA - GIP # 8
UNIDAD I: Tema 1
TÍTULO: Aspectos básicos del álgebra
FECHA DE ENTREGA: 7ma semana de clases
PERIODO DE EVALUACIÓN: 8va semana de clases
REALIZAR LOS SIGUIENTES EJERCICIOS DE LOGARITMO Y OBTENER EL O LOS VALORES
DE X
1. log3 log8 log2 x = 0
2. log8 log4 log2 x = 0
3. log4 log2 log8 x = 0
4. log3 + log3 (x +2) = 1
5. log2 (2x - 3)2 – log2 (3x - 1)2 = los2 2
6. log7 x = 2log7 (2x - 5)
7. 2 log3 x = 2
8. 3 log2 2 = x
9. log ½ (x + 1) – log ½ (x - 3) = 1
10. log ½ (x - 1) + log ½ (x + 1) - log ½ (7 - x) = 0
11. log3 27 = x
12. log ¼ x = - ½
13. log10 1/2x+3 = -2
14. log10 (x - 2) + log10 x = log10 8
15. log10 (x +4) + log10 (x - 5) = 1
16. log3 (x +2) – log3 (3x) = log3 6
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CARRERA DE BIOQUÍMICA Y FARMACIA
GUÍA DE INVESTIGACIÓN PRÁCTICA - GIP # 9
UNIDAD I: Tema 2
TÍTULO: Factores de conversión
FECHA DE ENTREGA: 8va semana de clases
PERIODO DE EVALUACIÓN: 9na semana de clases
Convertir:
UNIDADES DE TIEMPO
1. 5 horas a minutos
2. 16 horas a minutos
3. 4,5 horas a minutos
4. 0,68 horas a minutos
5. 360 minutos a horas
6. 0,87 minutos a horas
7. 269 minutos a horas
8. 625 minutos a segundos
9. 1,78 minutos a segundos
10. 58023 segundos a minutos
11. 20 segundos a minutos
12. 2 días a horas
13. 0,19 días a horas
14. 360 horas a días
15. 0,94 horas a días
16. 0,91 días a minutos
17. 5 días a minutos
18. 25 minutos a días
19. 48900 minutos a días
20. 0,6 años a meses
21. 100,61 meses a años
22. 7 años a meses
23. 1,5 meses a semanas
24. 34,74 semanas a meses
25. 0,47 semanas a días
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
UNIDADES DE LONGITUD
1. 2,45 Km a m
2. 0,16 Km a m
3. 300,41 m a Km
4. 0,054 m a cm
5. 10,75 cm a m
6. 145 cm a m
7. 0,68 cm a mm
8. 58 mm a cm
9. 0,69 mm a cm
10. 1,5 m a mm
11. 685 mm a m
12. 54,93 mm a m
13. 0,0045 m a micras
14. 1459, 9 micras a mm
15. 0,6 Millas a m
16. 0,6 Millas a pies
17. 489 pulgadas a m
UNIDADES DE PESO
1. 3 kg a g
2. 102,5 kg a g
3. 279,76 g a Kg
4. 9,06 Kg a Lb
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5,3 Kg a Lb
74,3 Lb a Kg
0,69 Lb a Kg
3,7 Ton a Kg
0,87 Ton a Kg
6345,7 Kg a Ton
23 g a mg
0,65 g a mg
1 g a mg
456 mg a g
23 mg a g
2 onzas a g
46 g a onzas
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CARRERA DE BIOQUÍMICA Y FARMACIA
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
3 Yd a pies
456 micras a mm
0,245 cm a micras
245611 micras a mm
245611 micras a cm
245611 micras a m
0,012 m a micras
0,78 Km a m
M IL
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CARRERA DE BIOQUÍMICA Y FARMACIA
GUÍA DE INVESTIGACIÓN PRÁCTICA - GIP # 10
UNIDAD I: Tema 3
TÍTULO:
Funciones
FECHA DE ENTREGA: 9na semana de clases
PERIODO DE EVALUACIÓN: 10ma semana de clases
GRAFICAR LAS SIGUIENTES FUNCIONES
1. y = 2x2
2. y = x2
2
3. x2 + y2 = 25
4. y = x2 + 1
5. y – x2 = 2
6. y = x2 + 2x
7. y = x – 2
8. y = 3x + 2
9. y = 2x – 1
10. y = x2 – 5
OBTENER EL DOMINIO Y DOMINIO DE IMAGEN DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES
1. y = x2 + 1
2. y = x + 6
3. y = 3x2 – 4
4. y = 2x2 – 1
5. y = 2x + 5
3
6. y = x
7. y = x2
8. y = 6x
9. y = x3
10. x2 = y + 4
11. x = 2y
12. x = y – 3
13. 2x = 2y
14. x2 = 4y
15. y = x2 – 5
OBTENER EL DOMINIO Y DOMINIO DE IMAGEN DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES
APLICANDO LAS PROPIEDADES
1. y = 2/x
2. y = 2x/3x + 1
3. y = (x/x2) + 2
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CARRERA DE BIOQUÍMICA Y FARMACIA
4. y = x / x – 1
5. y = log2 x
6. y = log10 2x
7. y = log3 (x2 + 1)
8. y = 3/2x
9. y = x/x + 4
10. y = log2 x - 3
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CARRERA DE BIOQUÍMICA Y FARMACIA
GUÍA DE INVESTIGACIÓN PRÁCTICA - GIP # 10
UNIDAD II: Tema 4
TÍTULO:
Límites
FECHA DE ENTREGA: 10ma semana de clases
PERIODO DE EVALUACIÓN: 11ra semana de clases
En los sig limites utilizar calculadora para completar la tabla y estimar el límite
x3  8
lim
x2 x  2
lim
x 1
x5  1
x4 1
Hallar los sig límites
lim
x 2
x2  x  6
x 2  5 x  14
lim
x 9
x 3
x 9
6x 1
lim x
x 0 2  1
lim x 2  1  x
x 
n

2  x   2n
lim
8x 2  6 x  1
x 
2x2 1
lim
lim
lim 2 x  1  x
lim
x 
x
x 4
2x  6
x 3 3 x  9
4 x
lim
x 4 2 
x
x 1
lim e x 1  e x
lim
x 1
x 
lim
1
x3
x
x  x 2  1
lim
lim 3
x 5
 5 x x
lim

x 0 5  x


1 1 x 
lim ln

x 1 x 
x  4 1
x  4 1
1
1

x2 2  x
8  x3
lim
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x2  2x 1
x3  x
5x 1
x 0
x
x2  x
x 1
x 
lim x  1  x  1
1  2x  3
x4
lim
xn  an
lim
x a x  a
4 x 4  3x 2  1
lim 2
x  5 x  7 x  10
x2  4x  5
lim 2
x 1 x  x  2
x 0
3x 2  1
x  x 3  5
lim
x 0
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CARRERA DE BIOQUÍMICA Y FARMACIA
GUÍA DE INVESTIGACIÓN PRÁCTICA - GIP # 11
UNIDAD II: Tema 5
TÍTULO:
Derivadas
FECHA DE ENTREGA: 12ra semana de clases
PERIODO DE EVALUACIÓN: 13ra semana de clases
Hallar por definición las derivadas de las siguientes funciones
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12..
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
F(x) = 7
F(x)=2x 3+1
F(x) = 3x + x3 + 3x + 3
F(x) = x6lnx
F(x) = x + 1
x–1
F(x) = 21
F(x) = 6x + 3
F(x) = (x + 1)2
F(x) = 8x – 6
F(X) = 5x2 + 6x – 2
F(X) = 6x4 + X2 + 1
F(X) = 3x3 – X2 + 3
F(X) = 2x-6 – X-4 + X + 1
F(X) = x-5 + X-2 + 3
F(X) = x½ - 2x-3/2 + 3x2/3 + 1
F(X) = (x + 1)2
F(X) = (2x + 3)2
F(X) = (5x + 2)2
F(X) = (7x + 1)2
20.
F(X) =
21.
F(X) =
x 2 1
x3
22.
F(X) =
x 2  x 1
23.
F(X) =
24.
25.
26.
27.
28.
29.
F(X) = 4 x3  2
F(X) = (x2 + 3x + 6)3 + 1
F(X) = ln(x3 - 2)
F(X) = ln(x2)
F(X) = (3x2 + 1)(5x2 - 1)
F(X) = ln{(2x2)(3x+6) }
3
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x2
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

f x   x 3  1

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CARRERA DE BIOQUÍMICA Y FARMACIA
7
f x   ln 1  x 4

f x   3 1  x 6
Hallar el valor de la derivada en los puntos indicados
f x   x 2  6 x  3; x  5
f x   x 5 ln x; x  1
f x   x 3 ln x  x3 ; x  1
3
Hallar la segunda derivada en la SIG. funciones
y  x3  1
y  x 5 ln x
Derivar implícitamente las siguientes funciones
y 4  x3  y 2  x  1
y 5 x3  y 2  x 4
3x 5  y 5  x 2  2 y 4
Hallar las rectas tangentes y normales de las curvas en los puntos indicados
y  x 2  4 x  5; P3,2
y  4 x  x 2 ; P1,3
y  x 3  3x 2  3x  1; P3,10; P1,2
y
ln x
x
; P1,0
Hallar puntos críticos de las siguientes funciones y determinar si se tratan de máximos o mínimos
f  x   x 4  8 x 2  18
f  x   x 2  6 x  10

f  x   ln 1  6 x  x 2
f x   x 3  1

Derivadas parciales
U  x 2 y 3  5 y  8; Ux ; Uy

U  ln x 2  x 3  y 3
P

U
x
; Uy
RT
a
2
 2 ; VP ; ( VP) 2
V b V
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CARRERA DE BIOQUÍMICA Y FARMACIA
GUÍA DE INVESTIGACIÓN PRÁCTICA - GIP # 12
UNIDA III: Tema 6
TÍTULO: Integrales
FECHA DE ENTREGA: 14ta semana de clases
PERIODO DE EVALUACIÓN: 15ta semana de clases
.
INTEGRALES SIMPLES
 axdx
 12x  5
 e 3 dx
 x dx
 3x dx
 x dx
4
5
5

x
x
5
x3  x  x
dx
x2

 5 x  5 dx
x
 60
x
1 5 x
  dx
x5 x 5 
METODO DE SUSTITUCIÓN Y FORMULAS
 4 x  1 dx
 x  1dx
ex 1
 e x dx
x4 1
 x 5  5 x  3 dx
3
3
2  5 ln x
dx
3x
dx
 2 x

x  3dx
e
 x 1  x  dx
x 2  6 x 1
4
5 8
APLICANDO METODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES INTEGRAR
 2 x ln xdx
 3xe dx
2
 x ln xdx
 x e dx
 ln xdx
 x ln xdx
x
ln x
 x  1
2
 xe
5x
5 x
dx
n
dx
INTEGRALES DEFINIDAS
1
x
e
 t ln 2tdt
1  x 2 dx
3

0
e
1
2
 6 x dx
e 1

1
0
2
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 (6 x  3)dx
t dt
0
2
 x ln xdx
5
5
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 6 x
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
3
xdx
x 1
2
 2 x  1 dx
1
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FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD
CARRERA DE BIOQUÍMICA Y FARMACIA
GUÍA DE INVESTIGACIÓN PRÁCTICA - GIP # 13
UNIDAD III: Tema 6
TÍTULO: Aplicación de las integrales
FECHA DE ENTREGA: 15ta semana de clases
PERIODO DE EVALUACIÓN: 16ta semana de clases
1. Un gas se comprime en forma reversible. La presión viene dado por la siguientes expresión
p
30
atm
V
Donde V es el volumen, cuando se comprime de 10 a 2 litros, calcular el trabajo
realizado si W 
V2
 PdV
V1
2. La variación de entalpía viene dado por la siguientes expresión
T2
H   nCpdT Cal
T1
Calcular la variación de entalpía si se calientan 2 moles de un compuesto metálico desde
20oC hasta su punto de fusión de 955oC. Para este metal
Cp  24.23  0.00532T (nota: la temperatura debe estar en grados Kelvin)
3. La variación de energía interna viene dada por la siguientes expresión
T2
U   nCvdT ca
T1
Calcular la energía de variación interna si un mol de helio a volumen constante de 25 a
40oC, si:
Cv 
3
R donde R es la constante universal de los gases ideales
2
4. Un estudio indica que dentro de x meses la población de la ciudad de montero
aumentará a razón de 5  33 x 2 personas por mes, cuanto crecerá la población en los
próximos 8 meses
5. Una partícula radioactiva se mueve de manera que su velocidad después de t minutos
es de 5  2t  3t 2 metros por minuto. Que distancia recorrerá la partícula durante el
segundo minuto
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CARRERA DE BIOQUÍMICA Y FARMACIA
GUÍA DE INVESTIGACIÓN PRÁCTICA - GIP # 14
UNIDAD IV: Tema 7
TÍTULO:
Estadística
FECHA DE ENTREGA: 16ta semana de clases
PERIODO DE EVALUACIÓN: 17ma semana de clases
DESARROLLO DE LA PRÁCTICA
1- Dada la siguiente distribución de frecuencias:
Nº hijos
0 1 2 3 4 5 6
Nº Familias 2 5 10 10 5 0 3
a) Representa los datos mediante un diagrama de barras.
b) Calcula la media, la mediana y la moda.
c) ¿Qué se puede decir de la representatividad de la media?
2- Se ha determinado el peso de 20 niños normales al nacer obteniéndose los siguientes
resultados:
2.3 3.0 3.1 3.2 3.3 2.6 2.7 3.5 3.5 3.7
4.1 4.4 3.0 3.2 3.3 3.3 3.1 2.8 3.6 3.4
a) Ordena los datos en una tabla de frecuencias agrupándolos en 6 clases de igual
amplitud.
b) Histograma y polígono de frecuencias relativas acumuladas.
c) Calcula la media, la mediana y la moda.
3.- Se ha medido la edad de las personas que se presentaron en urgencias durante un año por un
dolor torácico (N=1184):
Edad
fi
0-10
8
10-20
94
20-30
220
30-40 236
40-50
260
50-60
154
60-70
198
70-80
14
Completa la tabla con las columnas que veas que te resultarán necesarias para contestar a
las siguientes cuestiones.
a) Dibuja el histograma y el polígono de frecuencias.
b) Calcula la media, la mediana y la moda.
c) Calcula la varianza, la desviación estándar
d) ¿Qué porcentaje de personas tenían una edad inferior a 50 años? ¿E inferior a 30
años? ¿Y entre 45 y 55?
e) Calcula el coeficiente de variación.
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4- El número de machos observados en
siguiente:
3 4 2 5 1 3 4 5 2 0 1 4
3 2 1 2 3 1 5 4 2 3 4 4
5 2 2 3 3 4 5 1 2 2 3 4
un total de 84 camadas de 6 crías cada una es el
5 3 3 4 2 3 5 4 2 3 4 1 5 2 4 3
5 3 3 3 2 1 1 1 0 4 1 2 3 5 2 3
5 5 1 1 3 2 2 1 2 4 3 4 3 4 1 2
a) Hacer esta información más manejable elaborando una tabla de frecuencias.
b) Representa gráficamente los datos.
5.-Los valores del pH sanguíneo en 40 individuos son los siguientes:
7.33 7.32 7.34 7.40 7.28 7.29 7.35 7.33 7.34 7.28 7.31 7.35 7.32 7.33
7.33 7.36 7.32 7.31 7.35 7.36 7.26 7.39 7.29 7.32 7.34 7.30 7.34 7.32
7.39 7.30 7.33 7.33 7.35 7.34 7.33 7.36 7.33 7.35 7.31 7.26
a) Formar una tabla de frecuencias agrupando en intervalos (K=1+3.322logN) de igual
amplitud.
b) Construye todos los gráficos estudiados para este caso.
c) Estudia el rango, la media y la desviación estándar.
d) ¿Qué valor de pH tiene exactamente un 33% de observaciones menores que dicho
valor?
6- En una caja de reclutas se ha medido la altura de varios jóvenes obteniéndose la siguiente
tabla:
Altura
fi
1.55-1.60
18
1.60-1.70
31
1.70-1.80
24
1.80-1.90
20
1.90-2.0
17
Completa la tabla con las columnas que veas que te resultarán necesarias para contestar a
las siguientes cuestiones.
f)
g)
h)
i)
j)
Dibuja el histograma y el polígono de frecuencias.
Calcula la media, la mediana y la moda.
Calcula la varianza, la desviación estándar
¿Qué porcentaje de personas tenían una estatura inferior a 1.80? ¿y superior a 1.70s?
entre 1.80 y 2.00?
Calcula el coeficiente de variación.
7.- Los datos relativos a la variable que mide el sulfuro de hidrógeno producido en la fermentación
anaeróbica de aguas negras al cabo de 42 horas a 37°C (ppm) se expresan en la siguiente tabla:
Xi
ni
210
5
215
7
221
6
228
10
229
2
230
5
a) Calcula la media y la mediana
b) ¿Coincide la mediana con el valor más frecuente de la variable?
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8.- De los siguientes datos obtener la media aritmética, mediana, moda, desviación estándar,
varianza y coeficiente de variación.
a) pesos de niños nacidos en el hospital de Niños Percy Boland expresados en kilos
3,024
3,450
2,500
2,980
4,005
2,850
3,500
2.460
4,500
3,024
3,024
3,400
3,450
2,980
b) conteo de ratones encontrados en casas de Santa Cruz de la Sierra en el año 2004
4
5
0
0
3
10
2
5
4
3
0
0
2
12
8
4
2
1
1
1
1
c) número de glóbulos blancos encontrados en pacientes con SIDA en CENETROP por cada ml de
sangre
1200
3000
2400
4000
1850
3400
3000
1800
2500
3000
2900
2700
1700
3200
2000
1200
2800
5000
4600
1800
3000
9.De los siguientes datos realizar: la tabla de frecuencias, graficar el histograma, polígono de
frecuencias, diagrama de pastel y diagrama de barras verticales.
Interpretar las gráficas y llegar a una conclusión respecto a ellas.
a) hematocritos encontrados en personas con anemia ferropénica en el Hospital Universitario
Japonés
32
28
12
33
29
40
30
30
29
18
30
28
27
20
33
39
22
19
26
12
20
34
31
28
28
20
21
19
30
27
24
20
21
19
17
b) Número de niños con asma por año en el Hospital San Juan de Dios
120
89
79
78
101
111
78
98
99
100
121
100
98
79
134
129
90
98
104
79
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90
123
92
100
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103
88
102
99
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