ecuacio152 KBOctubre 3, 2014 22:13:16

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Identidad.- Es una igualdad que se cumple siempre.
Ecuación.- Una ecuación es una igualdad que solo se cumple para uno o determinados
valores de las incógnitas.
Una ecuación es una igualdad entre cantidades conocidas, o números, y cantidades
desconocidas, o incógnitas.
Ecuaciones equivalentes.- Se obtienen al transformar la ecuación de partida:
Se transforma una ecuación en otra si:
a) A los dos miembros de una ecuación se les suma o resta un número distinto
de cero.
b) Multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuación por el mismo
número, distinto de cero.
c) Se puede pasar un término cualquiera de un miembro a otro, cambiándolo
de signo.
d) Una ecuación no varía si se suprime un factor común a todos sus términos.
e) Se pueden elevar al cuadrado los dos términos de una ecuación, resultando
otra que tiene las mismas soluciones que la propuesta.
Dos ecuaciones equivalentes tienen las mismas soluciones.
Preparación de una ecuación para resolverla.a) Reducir términos semejantes
b) Quitar denominadores
c) Eliminar paréntesis
d) Simplificar términos, si es posible
e) Transponer términos
f) Despejar la incógnita
g) Hallar el valor de la incógnita.
Ejemplo:
 3x 2 
 x 1
 2    3  
 4 3
 6 2
 6 x 4 3x 3
 

4
3
6 2
– el m.c.m. de 4, 3, 6 y 2 es 12
– multiplicamos los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. (mínimo
común múltiplo)
– quitamos paréntesis
 3x 3 
  6x 4 
12
   12  
3
 4
 6 2
–
dividimos el m.c.m. entre el denominador y lo multiplicamos por el
numerador de cada término.
–18x + 16 = 6x + 18
–
Transponemos términos:
–
Reducimos términos semejantes:
–
Multiplicamos ambos miembros por (–1) para que la incógnita no tenga
signo negativo
(–24x) (–1) = 2 (–1)
–
Despejamos la incógnita
–18x – 6x = 18 – 16

x
– 24x = 2
24x = –2
2
24
 x=–
1
12
Ecuaciones de primer grado.- Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es una
ecuación lineal.
Ejemplo:
2x – 3y = 25
Ecuaciones de segundo grado.- Es aquella en la que el exponente mayor de la incógnita
es dos.
Tipos de ecuaciones de segundo grado:
a) Del tipo: ax2 + bx + c = 0; es completa
b) Del tipo: x2 = k
c) Del tipo: ax2 + bx = 0; es incompleta
d) Del tipo: ax2 + c = 0; es incompleta
Resolución de ecuaciones de segundo grado:
a) Del tipo: ax2 + bx + c = 0; es completa
 b  b2  4ac
x
2a
a es el coeficiente de x2 .
b.- es el coeficiente de x.
c.- es el término independiente.
Ejemplo: 5x2 – 3x + 6 = 0
x
 (3)  (3)2  4(5)(6)
3  9  120 3  129
=
=
=
10
10
25
x1 =
=
3  11'35
=
10
x2 =
3  11'35 14'35
 1'435
=
10
10
3  11'35
 8'35
 0'835
=
10
10
b) Del tipo: ax2 = k; es incompleta
x2 =
k
a
2x2 = 50
x=

k
a
x2 =
Dos soluciones:
50
2
x1 = + 5

;
 x=
x2 = 25
25
x2 = – 5
c) Del tipo: ax2 + bx = 0; es incompleta
– Sacamos factor común: x ( ax + b ) = 0; para que esta igualdad sea
cierta: ó x = 0 ó (ax + b ) = 0
– Si x = 0 , ya tenemos una solución: x1= 0.
– Si ax + b = 0
 ax = – b 
x2 =
b
a
– Si 2x – 6 = 0
 2x = 6 
x2 =
6
=3
2
d) Del tipo: ax2 + c = 0; es incompleta
c
;x=
a
ax2 = – c ; x2 =
2x2 – 32 = 0

Dos soluciones:
c
; no tendría solución por ser la raíz negativa.
a
32
2
x1 = + 4 ;
x2 =

x2 = 16
 x=
16
x2 = – 4
Sistemas de ecuaciones.- Dos o más ecuaciones lineales forman un sistema.
a) Resolución gráfica:
– Se despeja la y en ambas ecuaciones.
– Se dan valores a la x (variable independiente).
– Se calculan los valores de la y, construyéndose así la tabla de valores
– Se dibujan las coordenadas.
– Se trasladan los valores a las gráfica
– Se trazan las dos rectas
– La solución es el par del punto en el que se cortan ambas rectas.
Ejemplo:
2x + 3y = 13
x+y = 6
y=
13  2 x
3
y=
13  2  3
3
y=
13  2( 3)
3
y=
y=
13  2  2
3
y=6–x
13  2( 2)
3
y=6–3
y=6–2
y = 6 – (–3)
y = 6 – (–2)
+y
x
3
2
1
0
–1
–2
–3
Y
2’3
3
3’6
4’3
5
5’6
6’3
x
3
2
1
0
–1
–2
–3
–x
y
3
4
5
6
7
8
9
+x
–y
b) Resolución numérica: MÉTODO DE IGUALACIÓN
– Se despeja la y ( o la x ) en ambas ecuaciones.
– Se igualan los dos segundos miembros.
– Se halla el valor de la x ( o de la y )
– Conociendo el valor de una incógnita, se halla el valor de la otra incógnita en
cualquiera de las ecuaciones
Ejemplo:
13  2 x
3
y=6–x
y=
2x + 3y = 13
x+y = 6

13  2 x
= 6 – x  13 – 2x = 3(6 – x)  13 – 2x = 18 – 3x
3

– 2x + 3x = 18 – 13 
x=5
 y=6–5
y=1
y=6–x

c) Resolución numérica: MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
– Se despeja la y ( o la x ) en UNA de las ecuaciones.
– Se sustituye el valor despejado en su lugar en la otra ecuación.
– Se resuelve la ecuación resultante para hallar el valor
– Conociendo el valor de una incógnita, se halla el valor de la otra incógnita en
cualquiera de las ecuaciones
Ejemplo:
2x + 3y = 13
x+y = 6
 y=6–x
 2x + 3(y) = 13
 2x + 3(6 – x) = 13
 2x + 18 – 3x = 13  2x – 3x = 13 – 18
 –x= –5
 x=5
 y=6–5
y=6–x

y=1
d) Resolución numérica: MÉTODO DE REDUCCIÓN
– Se prepara el sistema para que se elimine una de las incógnitas.
Ejemplo:
2x + 3y = 13
x+y = 6
 Quiero que se elimine la x
–
Multiplico los dos miembros de la segunda ecuación por el coeficiente de la
x de la primera ecuación con el signo cambiado.
2x + 3y = 13
2x + 3y = 13
–2) x + y = 6
–2x – 2y = 6

–
Restamos las dos ecuaciones y se me elimina la x
2x + 3y = 13
–2x – 2y = – 12
y = 1
–
Se sustituye el valor de la incógnita hallada (y) en cualquiera de las
ecuaciones y se halla el valor de la otra incógnita.
x+y = 6  x+1=6
Ejemplo:
 x=6–1

x=5
2x – y = 9
x+y =6
 Se restan directamente y se elimina la y
3x
 x=
= 15
15
3
x+y = 6  x+1=6
 x=5
 x=6–1

x=5
Resolver los siguientes sistemas:
Por el método de igualación, despejando la y
Representa la gráfica del sistema
Por el método de sustitución, despejando la x de la segunda ecuación.
Por el método de reducción, que se elimine la x.
a) 2x + y = 3
x + 3y = 2
b) 3x – y = 8
2x + y = 7
c) x – 3 = 3y
x + y = 95
d)
3x 3 y

8
5
2x 4 y

 40
3
5
e)
x y
 4
2 3
2x + 3y = 1
f)
2x 3y

1
3
4
x y
 5
2 4
Problemas
1. En un garaje hay motos de dos cilindros y autos de 6 cilindros. Entre todos
suman 80 cilindros y 58 ruedas. ¿Cuántos motos y cuántos autos hay?
2. Halla dos números cuya diferencia sea –7 y cuya suma sea 43.
3. El producto de dos números es 100 y su cociente es 4. Halla los dos números.
4. La suma de dos números más 22 es igual al doble del mayor, y su diferencia
menos 1 da el mayor. Halla los dos números.
5. Tengo 1’90 € entre monedas de 0’50 y 0’20 €. Si el total de monedas es 5.
¿Cuántas son de cada clase?
6. La diferencia de dos números es 65, y si el doble del primero, aumentado en 5
unidades, lo dividimos por el segundo, el cociente es 11. ¿Cuáles son esos
números?
2
7. El área de un rectángulo es 120 m y su perímetro es 46 metros. Hallar sus lados.
8. El perímetro de un triángulo isósceles es 51 cm. Sabiendo el lado desigual es 6
cm. más largo que cada uno de los lados iguales. Hallar la longitud de los tres
lados.
Ecuaciones de segundo grado
a) –5x2 + 3x +8 = 0
b)
5x2 + 3x – 8 =0
d) –9x2 + 8x +3 = 0
e) 9x2 + 12x – 14 =0
c) 5x2 – 3x –8 = 0
f) – x2 – 3x +4 = 0
Nota.- Los ejercicios son únicamente a modo de ejemplo. Tú debes hacer más