Ecuaciones de segundo grado incompletas

Matemática
Para grado 8º y 9º
Programa de Bachillerato Semipresencial y a Distancia
Fundación Atenea y Centro Educativo Bolivariano
Tabla de contenido
Resoluciones de Ecuaciones de Primer grado
Resolución de Ecuaciones de Segundo grado
Resolución de Sistemas de Ecuaciones
Método de Sustitución
Método de Reducción
Método de Igualación
Resolución de Ecuaciones Bicuadráticas
................
................
................
...............
...............
...............
………………
Enlace para ver los Videos de Apoyo en Matemática:
http://www.bachilleratohumanista.com/multi/multi.html
http://www.southamericanuniversity.org/videos/matematica/factorizacion.html
Más Videos sobre Polinomios, Sistemas de Ecuaciones, Trigonometría y más en:
http://www.southamericanuniversity.org/videos/matematica/matematica1.html
2
17
21
29
29
31
33
37
Matemática para grado 8° y 9°
Núcleo 1
Ecuaciones
Ecuación
1 INTRODUCCIÓN
Ecuación, igualdad en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnitas. Es
decir, es una igualdad entre expresiones algebraicas.
Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la
ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha.
Se llama solución de una ecuación a un valor de la incógnita, o a un conjunto de valores
de las incógnitas, para los cuales se verifica la igualdad. Una ecuación puede tener una,
ninguna o varias soluciones. Por ejemplo:
3x – 7 = x + 1 es una ecuación con una incógnita. Tiene una única solución: x = 4.
x2 + y2 + 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues la suma de dos
cuadrados es un número positivo a partir del cual no se puede obtener 0 sumándole 5.
2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones, algunas
de las cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = -15.
Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas
carecen de solución. Así, la ecuación 3x – 7 = x + 1 es equivalente a 2x – 8 = 0 porque
ambas tienen como solución única x = 4.
3
Introducción:
Una expresión algebráica es una combinación de números y símbolos (que representan
números). Por ejemplo: 5x2 + 3x3y3z.
Un término es una combinación de números y símbolos (que representan números)
unidos por operaciones de multiplicación o división. Por ejemplo: 5x2, 3x3y3z son los
términos de la expresión algebraica 5x2 + 3x3y3z.
Un factor es cada uno de los componentes de un término. Por ejemplo: 5 y x 2, son los
factores del término 5x2 de la expresión algebraica 5x2 + 3x3y3z .
Elegido un factor, un coeficiente, es lo queda del término. Por ejemplo: 3 es el
coeficiente de x3y3z, x3 es el coeficiente de 3y3z, z es el coeficiente de 3x3y3 y así
sucesivamente. Si el coeficiente es un número se le llama coeficiente numérico.
Dos términos se dice que son similares cuando sólo se diferencian en el coeficiente
numérico.
El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables. Por ejemplo: el
grado del término 3x3y3z es 7. El grado de una constante es cero.
Las ecuaciones son igualdades. Nunca debemos olvidar esto.
Debemos distinguir entre identidades y ecuaciones. Cuando dos expresiones son
iguales para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en la
expresión es una identidad. Cuando la igualdad sólo se cumple para determinados
valores de la expresión es una ecuación.
Por ejemplo: 2x2 + 5x2 + x2 = 8x2 es una identidad y 2x2 + 3x = 5 es una ecuación.
Clasificación
Las ecuaciones se pueden clasificar de varias formas:
a) Por el número de incógnitas.
Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas. Por ejemplo la
ecuación 3x + 4 = 10, sólo tiene una incógnita, la ecuación 3x - y = 5, tiene
dos y 5xy - 3x2 + z = 8 tiene tres incógnitas.
4
Las ecuaciones con una incógnita se pueden imaginar como puntos sobre
el eje x. Las de dos incógnitas como curvas en un plano. Las de tres
incógnitas como curvas en un espacio de tres dimensiones.
b) Por el grado de la incógnita.
Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar por el grado de la
incógnita (el grado es el exponente más alto de la incógnita).
Hay fórmulas generales para resolver las ecuaciones de grado 1 a 4 (pero
las fórmulas son complicadas y difíciles de recordar para grado mayor que
2). Si no se puede descomponer la ecuación en factores, cualquier
ecuación, sea del grado que sea, se puede resolver de esta forma:
Sea la ecuación: xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0
Si x1, x2, ..., xn son las soluciones de la ecuación, se cumplen las
siguientes ecuaciones:
x1 + x2 + ... + xn = -a1
x1x2 + x1x3+...+x1xn + x2x3+...+ x2xn + ...+ xn-1xn = a2
x1x2x3 + x1x2x4 + ...+ x1x2xn + x2x3x4 +...+ x2x3xn + ...+ xn-2xn-1xn = -a3
..................................
x1x2...xn = (-1)nan
Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que
nos permitiría obtener las soluciones.
c) Por el número de términos
c1) Ecuaciones binómicas:
Las ecuaciones con dos términos se llaman ecuaciones
binómicas.
5
c2) Ecuaciones polinómicas:
Las ecuaciones que tienen tres términos, se llaman
trinómicas, y aunque podríamos seguir llamándolas en
función del número de términos, se suelen llamar
polinómicas.
¿Cómo se resuelven las ecuaciones?
Lo primero que hay que saber es que toda ecuación algebraica de grado n con
coeficientes reales o complejos tiene al menos una raíz real o compleja. Este enunciado
es el teorema fundamental del álgebra.
D'Alembert fue el primer matemático que dio una demostración, pero no era completa.
Se considera a Gauss como el primer matemático que dio una demostración rigurosa.
a) Ecuaciones de primer grado y una incógnita
Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas de resolver, basta con
despejar la x. Despejar la x significa dejar la x sola a un lado del signo igual. Para pasar
un número, o una variable, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas:
-Si está sumando pasa restando y si esta restando pasa sumando. En nuestro caso
quedaría ax = -b
-Si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando. En
nuestro caso x = -b/a.
b) Ecuaciones de segundo grado y una incógnita
Las ecuaciones de la forma ax2 + bx - c = 0, también son muy sencillas de resolver.
Basta aplicar la siguiente fórmula:
Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a -b la raiz y lo dividimos por 2a, y
otra solución cuando restamos a -b la raiz y lo dividimos por 2a.
6
c) Ecuaciones de tercer grado y una incógnita
Aunque hay fórmula para resolver las ecuaciones de tercer grado, no merece la pena
aprenderse la fórmula, pues hay otros métodos de resolver la ecuación de una forma
más cómoda.
Sin embargo, vamos a ver cómo se resuelve un tipo concreto de ecuaciones de tercer
grado, las del tipo x3 + mx = n (por supuesto si la ecuación aparece 'disfrazada' de esta
forma ax3 + bx + c = 0, se puede convertir en la forma anterior, dividiendo todos los
términos por a, m = b/a y n = -c/a)
El método para resolver estas ecuaciones se llama método de Cardano, pues se
atribuye a Girolamo Cardano (1501-1576) su descubrimiento.
El método es el siguiente:
Las ecuaciones de este tipo son famosas y los profesores suelen ponerlas en los
exámenes. Quedareis muy bien si además citais el libro en que apareció por primera
vez y el autor (Libro: Ars Magna. Autor: Girolamo Cardano).
c) Ecuaciones de cualquier grado y una incógnita
El método mas frecuente de resolver ecuaciones de grado superior a 2 es descomponer
la ecuación en factores (dividiendo la ecuación por los posibles divisores), con lo que, si
tenemos suerte, la ecuación se reduce a un producto de otras ecuaciones de grado
menor que ya podemos resolver por las fórmulas anteriores.
A veces nos ponen una ecuación de segundo grado 'disfrazada' . Lo vereis con un
ejemplo: 3x4 + 2x2 - 5 = 0. En esta ecuación si hacemos el cambio de variable x2 = t,
nos queda 3t2 + 2t - 5 = 0. En este caso, haceis el cambio de variable, resolveis la
ecuación de segundo grado y despues despejais la x (calculando la raiz cuadrada del
valor que hemos obtenido para t).
Si ninguno de los métodos anteriores os da resultado, sorprendereis a vuestro profesor
resolviendo la ecuación por este método:
7
Sea la ecuación: xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0
Si x1, x2, ..., xn son las soluciones de la ecuación, se cumplen las
siguientes ecuaciones:
x1 + x2 + ... + xn = -a1
x1x2 + x1x3+...+x1xn + x2x3+...+ x2xn + ...+ xn-1xn = a2
x1x2x3 + x1x2x4 + ...+ x1x2xn + x2x3x4 +...+ x2x3xn + ...+ xn-2xn-1xn = -a3
..................................
x1x2...xn = (-1)nan
Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que
nos permitiría obtener las soluciones.
Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones. Las
ecuaciones con varias incógnitas, sin embargo, suelen tener infinitas soluciones; por
ello, estas ecuaciones interesa estudiarlas cuando forman sistemas de ecuaciones. Las
ecuaciones con una incógnita pueden ser de distintos tipos: polinómicas, racionales,
exponenciales, trigonométricas…
Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio en x.
O bien, son de tal forma que al trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.
3x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 es una ecuación polinómica.
Las ecuaciones polinómicas de primer grado, ax + b = 0, se llaman ecuaciones lineales.
5x + 7 = 3 es lineal y también lo es (x - 5)2 + 3 = x2 - 1 porque al desarrollar y simplificar
se obtiene -10x + 29 = 0.
Las ecuaciones polinómicas de segundo grado, ax2 + bx + c = 0, se llaman cuadráticas.
Son ecuaciones de este tipo: x2 - 5x + 3 = 0, (x – 2)2 + 7x =5 + x.
Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incógnita está bajo un signo
radical, como
8
Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen cocientes de
polinomios; por ejemplo:
En las ecuaciones exponenciales la incógnita está en un exponente: 2 x + 4x + 1 - 18 = 0
En las ecuaciones trigonométricas la incógnita está afectada por alguna función
trigonométrica; por ejemplo: sen (p/4 + x) – cos x = 1
9
Núcleo 2
Resolución de Ecuaciones
Resolver una ecuación es hallar su solución o soluciones, o bien concluir que no tiene
solución. Para resolver una ecuación, se pasa a otra equivalente cuya fisonomía sea
más sencilla. Así, mediante una serie de pasos sucesivos se llega a una última
ecuación del tipo x = s en la que la incógnita está despejada (es decir, aislada en el
primer miembro), con lo que la solución es evidente.
Por ejemplo, para resolver la ecuación 5x – 6 = 3x + 12 se procede como se explica a
continuación.
Para pasar los términos en x al primer miembro y los números al segundo miembro, se
resta en ambos miembros 3x y se suma 6, con lo que queda: 5x – 3x = 12 + 6
Y simplificando, 2x = 18.
Para despejar la x se divide por 2 en ambos miembros: x = 18/2 = 9
La solución es, evidentemente, x = 9.
Sin embargo, hay tipos de ecuaciones para cuya resolución se requieren técnicas
especiales. Es el caso, por ejemplo, de las ecuaciones cuadráticas y bicuadradas.
3.1 Resolución de ecuaciones cuadráticas
La expresión general de una ecuación cuadrática (polinomio de segundo grado) es: ax2
+ bx + c = 0
con a ≠ 0. Para resolverla se aplica la fórmula:
Por ejemplo, la ecuación 2x2 + 5x – 3 = 0 de coeficientes a = 2, b = 5, c = -3, se
resuelve así:
10
Hay dos soluciones: x1 = 1/2; x2 = -3.
Esta misma ecuación se podría haber resuelto despejando la x. Para ello, se multiplica
la ecuación por 2: 4x2 + 10x – 6 = 0
Se pasa el 6 al segundo miembro: 4x2 + 10x = 6
Se suman 25/4 para completar un cuadrado perfecto (el cuadrado de una suma) en el
primer miembro: 4x2 + 10x + 25/4 = 6 + 25/4
Simplificando: (2x + 5/2)2 = 49/4
Extrayendo la raíz cuadrada y recordando que si A2 = B2 entonces A = ±B: 2x + 5/2 =
±7/2
Como consecuencia del signo ±, la igualdad da lugar a dos ecuaciones: 2x + 5/2 = 7/2
2x + 5/2 = -7/2
Resolviéndolas se obtiene:
4x + 5 = 7 → 4x = 2 → x1 = 1/2
4x + 5 = -7 → 4x = -12 → x2 = -3
Siguiendo este largo proceso se obtienen las mismas soluciones que mediante la
fórmula inicial. Es claro que la aplicación de ésta es un procedimiento mucho más
cómodo. De hecho, la fórmula se obtiene algebraicamente a partir de la ecuación
general mediante un proceso similar al que se ha seguido para resolver esta ecuación
concreta.
Las ecuaciones de segundo grado de los tipos siguientes se llaman incompletas porque
les falta uno de los términos:
ax2 + bx = 0
ax2 + c = 0
Se pueden resolver aplicando la fórmula general, pero es más cómodo resolverlas
despejando directamente la x.
En el primer caso,
11
ax2 + bx = 0 → (ax + b)x = 0
Una solución es x = 0 y la otra se obtiene resolviendo la ecuación lineal ax + b = 0. Por
ejemplo:
3x2 + 5x = 0 → (3x + 5)x = 0
Las soluciones son: x = 0; x = -5/3.
En el segundo caso,
ax2 + c = 0 → ax2 = -c → x2 = -c/a
Por ejemplo:
3x2 - 17 = 0 → 3x2 = 17
Las soluciones son:
Método general de resolución
Los pasos que hay que seguir en la resolución de ecuaciones son:
1.
2.
3.
4.
5.
o
Eliminar paréntesis.
Reducir términos semejantes (si los hubiera).
o Transponer términos. Pasos que se pueden repetir.
o Reducir términos semejantes. Pasos que se pueden repetir.
o Despejar la incógnita y hallar su valor numérico.
o
12
Para comprender bien la temática:
Igualdad
Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el sign o
igual.
2x + 3 = 5x − 2
Una igualdad puede ser:
Falsa:
2x + 1 = 2 · (x + 1)
2x + 1 = 2x + 2
1≠2.
2x + 2 = 2x + 2
2 =2
Cierta
2x + 2 = 2 · (x + 1)
Identidad
Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier
valor de las letras.
2x + 2 = 2 · (x + 1)
2x + 2 = 2x + 2
2 =2
Ecuación
Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos
valores de las letras.
x+1 =2
x=1
Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones
13
que aparecen a ambos lados del signo igual.
Los términos son los sumandos que forman los miembros.
Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación.
Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para
que la igualdad sea cierta.
2x − 3 = 3x + 2
x = −5
2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2
− 10 −3 = −15 + 2
−13 = −13
El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los
monomios que forman sus miembros.
Tipos de ecuaciones según su grado
5x + 3 = 2x +1
Ecuación de primer grado.
5x + 3 = 2x 2 + x
Ecuación de segundo grado.
5x 3 + 3 = 2x +x 2
Ecuación de tercer grado.
5x 3 + 3 = 2x 4 +1
Ecuación de cuarto grado.
14
Ecuaciones polinómica enteras
Las ecuaciones polinómica son de la forma P(x) = 0 , donde P(x)
es un polinomio.
Grado de una ecuación
El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los
monomios que forman sus miembros.
Tipos de ecuaciones polinómica
1.1 Ecuaciones de primer grado o lineales
Son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la
que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.
(x + 1) 2 = x 2 - 2
x 2 + 2x + 1 = x 2 - 2
2x + 1 = -2
2x + 3 = 0
1.2 Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas
Son ecuaciones del tipo ax 2 + bx + c = 0, con a ≠ 0.
Ecuaciones de segundo grado incompletas
ax 2 = 0
ax 2 + b = 0
15
ax 2 + bx = 0
1.3 Ecuaciones de tercer grado
Son ecuaciones del tipo ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, con a ≠ 0.
1.4 Ecuaciones de cuarto grado
Son ecuaciones del tipo ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0, con a ≠ 0.
Ecuaciones bicuadradas
Son ecuaciones de cuarto grado que no tiene términos de grado
impar.
ax 4 + bx 2 + c = 0, con a ≠ 0.
1.5 Ecuaciones de grado n
En general, las ecuaciones de grado n son de la forma:
a 1 x n + a 2 x n-1 + a 3 x n-2 + ...+ a 0 = 0
2. Ecuaciones polinómicas racionales
Las ecuaciones polinómica son de la forma
, donde P(x) y
Q(x) son polinomios.
3. Ecuaciones polinómica irracionales
Las ecuaciones irracionales son aquellas que tienen al menos un
16
polinomio bajo el signo radical.
4. Ecuaciones no polinómica
4.1 Ecuaciones exponenciales
Son ecuaciones en la que la incógnita aparece en el exponente.
4.2 Ecuaciones logarítmicas
Son ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un
logaritmo.
17
4.3 Ecuaciones trigonométricas
Son las ecuaciones en las que la incógnita está afectada por una
función trigonométrica. Como éstas son periódicas, habrá por lo general
infinitas soluciones.
Resolución de Ecuaciones de Primer grado
En general para resolver una ecuación de primer grado debemos
seguir los siguientes pasos:
1º Quitar paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos
independientes en el otro.
4º Reducir los términos semejantes.
5º Despejar la incógnita.
18
Despejamos la incógnita:
Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y
sumamos:
Quitamos paréntesis:
Agrupamos términos y sumamos:
Despejamos la incógnita:
Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hal lamos el
19
mínimo común múltiplo.
Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos
semejantes:
Despejamos la incógnita:
Quitamos paréntesis y simplificamos:
Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos
semejantes:
Quitamos corchete:
20
Quitamos paréntesis:
Quitamos denominadores:
Quitamos paréntesis:
Agrupamos términos:
Sumamos:
Dividimos los dos miembros por: −9
21
Ejercicio resuelto:
Un grifo tarda en llenar un depósito tres horas y otro grifo tarda en
llenarlo cuatro horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar los dos grifos
juntos el depósito?
En una hora el primer grifo llena 1/3 del depósito.
En una hora el segundo grifo llena 1/4 del depósito.
En una hora los dos grifos juntos habrán llenado:
7x = 12
x = 12/7 horas
Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado
Resolución de ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:
ax 2 + bx +c = 0 con a ≠ 0.
Se resuelve mediante la siguiente fórmula:
22
Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1).
23
Ecuaciones de segundo grado incompletas
Se dice que una ecuación de segundo grado es incompleta
cuando alguno de los coeficientes, b o c, o ambos, son iguales a
cero.
Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas
ax 2 = 0
La solución es x = 0.
ax 2 + bx = 0
Extraemos factor común x:
24
ax 2 + c = 0
Despejamos:
25
Estudio de las soluciones de la ecuación de 2º grado
ax 2 +bx +c = 0
b 2 − 4ac se llama
DISCRIMINANTE
de la ecuación y permite averiguar
en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres
casos:
b 2 − 4ac > 0
La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales
distintos.
b 2 − 4ac = 0
La ecuación tiene una solución doble.
b 2 − 4ac < 0
La ecuación no tiene soluciones reales.
26
Propiedades de las soluciones de la ecuación de 2º grado
La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es
igual a:
El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado
es igual a:
Ecuación de 2º grado a partir de sus soluciones
Si conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir
ésta como:
Siendo S = x 1 + x 2 y P = x 1 · x 2
Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y
−2.
S= 3 − 2 = 1
P =3 ·2 =6
x2 − x + 6 = 0
27
Factorización de un trinomio de segundo grado
a x 2 + bx +c = 0
a · (x -x 1 ) · (x -x 2 ) = 0
28
Núcleo 3
Resolución de Sistemas de Ecuaciones
Método de Sustitución
Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas
Un sistema de ecuaciones contiene varias ecuaciones para ser resueltas al mismo
tiempo y puede tener varias incógnitas en cada ecuación.
¿Cómo podemos resolver de forma sencilla un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas?
Definiciones
Sistema de ecuaciones con dos incógnitas
Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas tiene esta estructura:
donde x e y son incógnitas.
a, b, c, d, e y f son valores conocidos que cumplen la siguiente condición: a o b ≠ 0 y
d o e ≠ 0.
Ejemplo:
incógnitas.
es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos
Resolver un sistema de ecuaciones
Decimos que un par de valores (u, v) es solución de un sistema de ecuaciones si las
igualdades de ambas se cumplen cuando sustituimos x por u e y por v en cada
ecuación.
Ejemplo: queremos comprobar si el par (2, –1) es una solución de este sistema:
Sustituyendo x por 2 e y por –1, obtenemos:
, es decir,
Las igualdades de ambas ecuaciones son ciertas, por lo que podemos afirmar que el
par (2, –1) es la solución de este sistema.
29
Nota: el orden de los números en el par ordenado es importante. Por ejemplo, si
expresamos la solución como (–1, 2) estaríamos equivocados, ya que la solución
correcta es (2,-1). Esto es así porque la primera componente de un par ordenado
siempre hace referencia a la x, mientras que la segunda componente se refiere siempre
a la y.
Métodos de resolución
Método de sustitución
Podemos explicar este método mediante un ejemplo.
Resuelve este sistema de ecuaciones:
—Tomamos una de las dos ecuaciones para expresar una de las incógnitas en
función de la otra. Por ejemplo, vamos a expresar la x en función de y usando la
primera ecuación.
Despejando la x en la primera ecuación, el sistema quedaría así:
—A continuación, sustituimos la x de la segunda ecuación por el valor que hemos
obtenido en la primera (2y + 3). Por eso llamamos a este método de “sustitución”.
De manera que ahora tenemos el sistema de la siguiente forma:
—Observa que la segunda ecuación ha quedado como una ecuación de primer grado
con una incógnita, la y, la cual podemos resolver (reservaremos su valor para utilizarlo
más tarde en la primera ecuación). El proceso de simplificación y resolución de la
segunda ecuación quedaría así:
;
;
;
—Ahora que hemos encontrado el valor de la y, lo sustituimos en la primera ecuación
para obtener el valor de x:
, es decir:
La solución de este sistema de ecuaciones es (1, –1).
Más sobre el método de sustitución
Método para resolver ecuaciones algebraicas sustituyendo una variable con una
cantidad equivalente en términos de otra(s) variable(s) de manera que el número
total de incógnitas se reduzca a 1. Por ejemplo, para resolver las siguientes
ecuaciones simultáneas:
x + y = 3 (1)
y
30
x - y = 1 (2)
primero podemos obtener x en términos de y utilizando la ecuación (1):
x = 3 - y (3)
Después, sustituimos x con (3 - y) en la ecuación (2):
(3 - y) - y = 1 (4)
3 - 2y = 1
3 - 1 = 2y
2 = 2y
y=1
Como se muestra, reducimos el número de variables en la ecuación (2) de 2 a 1
utilizando el método de sustitución. El resultado es que obtenemos una nueva
ecuación con sólo una variable. Por lo tanto, podemos resolver para y. Después,
sustituimos y = 1 de nuevo en la ecuación (1) para resolver para x:
x+1=3
x=2
31
Núcleo 4
Método de Reducción
y Método de Igualación
Método de reducción
Explicaremos este método mediante un ejemplo.
Resuelve este sistema de ecuaciones:
—Multiplicamos por 2 los dos miembros de la primera ecuación, de manera que
tengamos el mismo coeficiente para la y en ambas ecuaciones.
El sistema quedaría así:
.
—Ahora, si restamos las dos ecuaciones, observaremos cómo la incógnita desaparece
en ambas:
Observa:
y si despejamos:
.
—Ya solo nos queda sustituir este valor en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales
para obtener el resultado de la y.
Tomamos el sistema desde el principio
ellas :
;
;
La solución del sistema es (3,5, 1,5).
y sustituimos la x en cualquiera de
;
;
;
.
Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de reducción
1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los
32
números que convenga.
2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
3 Se resuelve la ecuación resultante.
4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuacion es iniciales
y se resuelve.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que
preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que
veamos mejor el proceso.
Restamos y resolvemos la ecuación:
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.
Solución:
33
Método de igualación
Explicaremos este método mediante un ejemplo.
Resuelve este sistema de ecuaciones:
—Despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones. La que queramos, por
ejemplo la y:
—Como las dos ecuaciones son iguales a y, igualamos el segundo miembro de ambas
y construimos así una ecuación de primer grado con una incógnita:
Simplificamos y resolvemos para hallar x:
;
;
;
;
.
—Solo nos queda sustituir este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema
y obtendremos el valor para y:
La solución del sistema es (–1, 3).
;
;
;
.
Nota 1: los tres métodos, sustitución, reducción e igualación, pueden ser usados para
resolver cualquier sistema de ecuaciones. Sin embargo, dependiendo de las
ecuaciones, nos interesará elegir un método u otro, según cuál nos resulte más sencillo
de utilizar.
Nota 2: cuando nos encontremos con que algunos de los coeficientes de las
ecuaciones sean fraccionarios, es conveniente reducir las fracciones a común
denominador y eliminar denominadores antes de empezar a aplicar cualquiera de los
tres métodos.
Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de igualación
34
1 Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación
con una incógnita.
3 Se resuelve la ecuación.
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos
expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita .
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda
ecuación:
2 Igualamos ambas expresiones:
3 Resolvemos la ecuación:
35
4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las
que tenemos despejada la x:
5 Solución:
36
Núcleo 5
Resolución de Ecuaciones Bicuadradas
Resolución de Ecuaciones Bicuadráticas
Se llama bicuadrada la ecuación de la forma: ax4 + bx2 + c = 0 (1)
es decir, una ecuación polinómica de cuarto grado que no tiene términos de grado
impar. Si se realiza el cambio de variable x2 = y, con lo cual x4 = y2, entonces se
transforma en una ecuación de segundo grado: ay2 + by + c = 0 (2)
Cada una de sus soluciones puede dar lugar a dos, una o ninguna solución de la
ecuación inicial. Así, si y es solución de la ecuación (2), se verifica que:
si y1 > 0 , entonces x1 = √y1, x2 = -√y1 son raíces de (1);
si y1 = 0 , también x1 = 0 es raíz de (1);
si y1 < 0 , x2 = y1 no da lugar a ninguna solución real de x.
Por ejemplo, la ecuación bicuadrada: x4 - x2 – 12 = 0
se transforma, mediante el cambio de variable x2 = y, en la ecuación de segundo grado:
y2 - y - 12 = 0
Cuyas soluciones son
y1 = 4, y2 = -3
Para y1 = 4: x2 = 4
Luego, x1 =2, x2 = -2 son soluciones de la ecuación bicuadrada.
Para y2 = -3: x2 = -3
37
Por tanto, las únicas raíces de la ecuación x4 - x2 - 12 = 0 son x1 = 2, x2 = -2.
38