Geometría en el Plano 1- Conceptos Preliminares F 

1° año B.D.
Prof. Ignacio Deneo -Prof. Daniella Gervasoni
Geometría en el Plano
1- Conceptos Preliminares
1. Figura- Es todo conjunto de puntos. Anotamos F
2. Figuras Congruentes- Son aquellas que se corresponden en un movimiento. F1
c F2 .
3. Angulo llano- Es aquel cuyos lados son dos semirrectas opuestas.
4. Angulo Convexo- Es el ángulo llano, y todos los contenidos en él.
5. Ángulos Suplementarios- Son aquellos que la suma de sus medidas es 180.
6. Ángulos Adyacentes- Son aquellos que tienen un lado común y los otros dos son semirrectas
opuestas.
7. Ángulo recto. Es todo ángulo congruente a su adyacente.
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8. Ángulos complementarios- Son aquellos que la suma de sus medidas es 90.
9. Distancia entre dos puntos (A y B) - Es la medida de AB .
10. Distancia de un punto P a una recta r – Es la medida del segmento de perpendicular desde el punto
P a la recta r. Anotamos d ( P, r ).
11. Bisectriz de un ángulo convexo- Es la semi-recta que lo divide en dos ángulos congruentes.
12. Mediatriz de un Segmento- Es la recta perpendicular al mismo en su punto medio.
13. Criterio de congruencia de triángulos- Dos triángulos son congruentes, si tienen respectivamente
congruentes:
a) Dos lados y el ángulo comprendido. (L.A.L.)
b) Un lado y los ángulos adyacentes al mismo. (A.L.A.)
c) Sus tres lados. (L.L.L.)
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14. Medianas de un triángulo- Son los segmentos determinados por un vértice y el punto medio del lado
opuesto.
15. Alturas de un triángulo- Son los segmentos de perpendicular desde cada vértice a la recta que
contiene el lado opuesto.
16. Ángulo exterior de un triángulo- Son los ángulos adyacentes a los ángulos interiores.
17. Circunferencia de centro O y radio r – Es el conjunto de los puntos del plano cuya distancia del
punto O es igual a r. Anotamos Co , r .
18. Ángulo al centro en una circunferencia- Es aquel cuyo vértice coincide con el centro de la
circunferencia.
19. Ángulo inscripto en una circunferencia- Es aquel cuyo vértice pertenece a la circunferencia y sus
lados son secantes a la misma.
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2-LUGARES GEOMÉTRICOS
Definición - F es un lugar geométrico si y solo si F es un conjunto de puntos determinado por
comprensión.
1- Circunferencia- Es el lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia r de
un punto fijo O, llamado centro. Co , r = X   / XO  r


2- Círculo- _________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________.
Co,r =  X  /

3- Mediatriz de un segmento AB- Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los
puntos A y B.
4- Bisectriz de un ángulo convexo- Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los
lados del ángulo.
5- La unión de paralelas- Es el lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a la distancia
d de una recta p del plano.
6- Paralela media- Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas fijas
paralelas.
7- ARCO CAPAZ de un segmento AB y ángulo de medida - Es el lugar geométrico de los puntos
del plano que son vértices de ángulos de medida , cuyos lados contienen respectivamente, los puntos
A y B. Anotamos Arc( AB,  ) .
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Repartido 1 – Construcciones Geométricas
1- Construir utilizando regla y compás ángulos cuya medida sea:
a) 90o
b) 45o
c)60o
d)30o
e)15o
f)120o
g)75o
h)105o
2- Construir utilizando regla y compás un triángulo ABC sabiendo que:
a) sus lados miden 4,7 y 9 u. Discutir si es posible la construcción para cualquier terna de valores.
b) AB  7cm, AC  5cm, med BAC  300 .
c) AB  7cm, med BAC  450 , med ABC  600 .
d) AB  7cm, AC  5cm y la altura del vértice C es de 3 cm.
e) AB  7cm, BC  6cm y la mediana del vértice A mide 5 cm.
f) Rectángulo en A, AB  5,5cm, med ABC  600 .
g) Isósceles en A, AB  5,5cm, med ABC  600 .
h) Isósceles y rectángulo en A, y la hipotenusa mide 8 cm.
3- Construir utilizando regla y compás un cuadrilátero MNPQ sabiendo que:
a)
b)
c)
d)
e)
Es paralelogramo MN  8cm, NQ  6cm, med MQP  1050 .
Es cuadrado y las diagonales miden 8 cm.
Rectángulo y uno de sus lados mide 7cm.
Es rombo y sus diagonales miden 5 cm y 8 cm.
Es rombo, MN  5cm y med QMN  750 .
f) Es paralelogramo PQ  5cm , MQ  8cm y MP  11cm .
g) Es trapecio birrectángulo de altura 3 cm, MN  8cm y med MNP  600 .
4- Se consideran dos ángulos adyacentes. Demostrar que las bisectrices determinadas por ellos son
perpendiculares.
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Practico 3- Lugar Geométrico
1- Mostrar que en un triángulo cualquiera:
I)
a) Las mediatrices de los lados concurren en un punto O (verificar que dicho punto llamado
CIRCUNCENTRO es el centro de la circunferencia circunscripta al triángulo).
b) Las bisectrices de los ángulos interiores concurren en un punto I (verificar que dicho punto
llamado INCENTRO es el centro de la circunferencia inscripta al triángulo).
c) Las medianas concurren en un punto G (verificar que dicho punto llamado BARICENTRO
divide en dos segmentos que cumplen que la medida de uno de ellos es el doble de la del otro).
d) Las alturas concurren en un punto llamado ORTOCENTRO H ( verificar que si el triángulo es
obtusángulo, el ortocentro es exterior al mismo).
e) Comprobar que el CIRCUNCENTRO, el BARICENTRO y el ORTOCENTRO están
alineados, la recta que los contiene es llamada recta de EULER. Y que verifican que
GH  2OG .
II) Hacer lo mismo con un triángulo equilátero y con uno rectángulo.
2- A) Sean Ay B tales que d (A, B)=7cm, hallar los puntos del plano que distan 6cm de A y 4cm de B.
B) Demostrar que la recta que une dichos puntos es perpendicular a la recta AB.(Usar criterios de
igualdad de triángulos y propiedad de los ángulos opuestos por el vértice)
3- Se consideran dos ángulos adyacentes. Demostrar que las bisectrices determinadas por ellos son
perpendiculares.
4- Construir un triángulo ABC tal que AB  7cm y las medianas con extremos en A y B miden 6cm y
8cm respectivamente. (Recordar una propiedad de las medianas)
5- Dado un segmento AB de 5cm, construir un arco capaz del mismo, de:
a) 60 0
b) 1200
c) 30 0
d) 450 e) 90 0
6- Construir un triángulo ABC tal que AB  6cm, med ACB  300 y la altura del vértice C es de 4cm.
7- Probar que si el segmento fijo BC es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, la mediana con extremo
en A tiene longitud fija, sin importar la posición de A.
8- Construir un triángulo ABC tal que AB  7cm, med ACB  600 y la altura del vértice B es de 5cm.
9- Sean r y s dos rectas concurrentes en O formando un ángulo de 30 0 , y P un punto de r a 3cm de O.
Hallar todos los puntos del plano que equidistan de r y s, y además se hallan a 5cm de P.
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10- Sean r una recta, A / A  r y B / B  r . Determinar todos los puntos que equidistan de A y B, y
además distan 2cm de r.
11- Sean r y s dos rectas paralelas. A y B son dos puntos de r y s respectivamente tales que la recta AB no
es perpendicular a las anteriores. Hallar todos los puntos que equidisten de r y s y desde los cuales “se
ve el segmento AB bajo un ángulo recto”.
12- Sean A , B y C puntos no alineados. Determinar todos los puntos desde los cuales se ve el segmento
AB bajo un ángulo de 30 0 y el segmento BC bajo un ángulo de 60 0 .
13- A, B y C representan en un mapa tres centros comerciales. Se quiere construir un edificio de modo que
esté a lo sumo a 5 km de C y equidiste de A y B. Ubicar en el mapa los posibles puntos para
construirlo. ( 1km --- 1cm)
A.
.C
.B
14- Construir un triangulo ABC conociendo el circuncentro O, el vértice A , AB  3cm y AC  5cm .
¿ Cuántas soluciones hay?
15- De un triángulo isósceles MNP se sabe que el radio de la circunferencia circunscripta es 3 cm.
Ubicar P. ¿ Cuántas soluciones hay?
M.
.N
16- Se considera una recta r y un punto P a 5cm de r. Ubicar los puntos del plano que estén a 3cm de r y
además :
a) disten 4 cm de P; b) disten 2 cm de P; c) disten 8cm de P; d) disten 1cm de P; e) disten 10cm de P.
Discutir el números de soluciones al variar la distancia al punto P.
17- Dado AOB y un punto C interior a él:
a) ubicar todos los puntos del plano que estén a 3cm de C y que equidisten de los lados del
ángulo.
b) discutir el número de soluciones al variar C en el plano.
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18- El croquis representa el extremo de una plaza, ubicar un punto P donde se asentará un monumento
equidistante de las calles a, b y c.
c
a
b
19- MNP es un triángulo cuyo baricentro es B. Ubicar el vértice P.
.N
M.
.B
20- En la figura se cumple AF  4 , FM  2 , BM  MC , BF
B
A
F
AC  I  . Justificar que AI  IC
M
C
21- A, B y C son tres puntos no alineados. Por B se traza la recta r, r  AC y por A se traza s,
s  BC , r s  I . Demostrar que IC  AB.