Documento 413457

PARTE 1 – ECUACIONES CON MÁS DE UNA INCÓGNITA
Podemos definir a las ecuaciones como una igualdad entre expresiones algebraicas, en la que intervienen una o más
letras llamadas incógnitas (cuyo valor hay que averiguar).
Una solución de una ecuación es un valor o un conjunto de valores de la(s) incógnita(s) para los cuales se verifica la
igualdad.
Por ejemplo, la ecuación
3+x=5
tiene una única solución
x=2
Es decir, en el lugar de la “x” solamente puede ir el número 2 para que la expresión sea efectivamente una igualdad:
3+2=5
En realidad, las ecuaciones que se han estudiado hasta ahora eran de una sola incógnita, es decir, solo había que
averiguar el valor de la “x”.
Pero esto no tiene por qué ser así. Podemos tener ecuaciones con más de una incógnita (que se suelen denotar con las
letras x, y, z, t, etc.); por ejemplo:
x+y=3
es una ecuación donde tenemos dos incógnitas, la “x” y la “y”. La gran diferencia con las ecuaciones estudiadas hasta
ahora es que NO TIENEN UNA ÚNICA SOLUCIÓN, sino varias soluciones (en realidad, infinitas soluciones, como
veremos enseguida).
Por ejemplo para la ecuación x + y = 3
“y” que verifiquen esta ecuación, así:
x
1
0
-1
2
5
1
y
2
3
4
1
-2
5
2
2
x+y
1+2=3
0+3=3
-1 + 4 = 3
2+1=3
5 + (-2) = 3
1 5 6
  3
2 2 2
podríamos conseguir sin mucho esfuerzo varias parejas de valores de “x” e
Cada una de estas parejas de valores es una solución de la ecuación.
Las escribimos en orden entre paréntesis y separadas por una coma, y
decimos entonces que
(1,2) es una solución de x+y=3,
(0,3) es una solución de x+y=3,
(-1,4) es una solución de x+y=3,
(5,-2) es una solución de x+y=3
Ahora bien, ¿cuántas soluciones tendrá esa ecuación? Es fácil ver que son en realidad infinitas soluciones.
Si en lugar de “y” escribimos un número cualquiera, digamos el 8, ¿encontraremos algún valor de “x” tal que x + 8 = 3?
Claramente x = -5 “completa” la solución de la ecuación (pues -5+8=3), por lo que (-5,8) también es solución de la
ecuación.
Si tomamos cualquier otro valor para la “y”, por ejemplo y = -7, ¿encontraremos algún valor de “x” tal que x + (-7) = 3?
Ahora el valor de “x” que “completa” la solución es x=10 (pues 10-7=3), por lo que (10,-7) también es solución de la
ecuación.
¿Qué es lo que sucede en realidad? Al cambiar la “x” (o la “y”) por un número determinado, la ecuación se transforma en
una ecuación con una sola incógnita, cuya solución sabemos obtener.
Esto significa que para cada valor de “x” obtenemos un valor de “y”, y como la “x” la podemos cambiar por infinitos
valores concluimos que la ecuación tiene infinitas soluciones.
Si tenemos una ecuación con tres incógnitas, por ejemplo
pero ahora en lugar de ser pares ordenados serán ternas.
Por ejemplo, (1,1,1) es solución de x + y + z = 3
(0,1,2) es solución de x + y + z = 3
(-1,0,4) es solución de x + y + z = 3
x+y+z=3
también tendremos infinitas soluciones;
Pues si sustituimos “x”, “y” y “z” por los valores indicados en cada terna la igualdad se verifica:
(1,1,1) es solución de x + y + z = 3
(0,1,2) es solución de x + y + z = 3
(-1,0,4) es solución de x + y + z = 3
pues
pues
pues
1+1+1= 3
0+1+2= 3
-1+0+4= 3
En el curso de 3º año trabajaremos únicamente con ecuaciones con dos incógnitas, las que generalmente denotaremos
con “x” e “y” (aunque no hay una razón que obligue a trabajar con estas dos letras más que la costumbre).
PARTE 2 – SISTEMAS DE ECUACIONES
Cuando tenemos dos o más ecuaciones con más de una incógnita que están relacionadas, decimos que tenemos un
SISTEMA DE ECUACIONES. El saber resolver correctamente un sistema de ecuaciones será una “herramienta” muy útil
para resolver una serie de problemas (ver ejercicios al final).
Generalmente un sistema de ecuaciones se presenta con una llave abarcando a las ecuaciones. En el curso de tercer
año solamente trabajaremos con sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas (lo que solemos llamar,
abreviadamente, “sistemas de dos por dos”); tomaremos uno como ejemplo y veremos tres diferentes métodos para su
resolución (dejaremos un cuarto método –el método gráfico– para luego de estudiar el tema función lineal).
Ahora bien, por separado cada ecuación tiene infinitas soluciones, pero en un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas se da una y solo una de estas tres situaciones:

Hay una ÚNICA solución del sistema (es decir, una sola pareja (x,y) es solución simultáneamente de las dos
ecuaciones);

Hay INFINITAS soluciones;

NO TIENE solución (no existe ninguna pareja (x,y) que sea solución simultáneamente de las dos ecuaciones).
De estos tres casos, el más común es el primero de todos, es decir, existe una única solución del sistema. Esto lo
probaremos más adelante. Por ahora, trabajemos…
PARTE 3 – MÉTODOS ALGEBRAICOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Este método de resolución de un sistema de dos por dos consiste en despejar una incógnita de una ecuación y sustituirla
en la otra. Veámoslo con con un ejemplo:
 3x + 2y = 7

 - x + 3y = 5
(I)
(II)
De la ecuación (II) fácilmente podemos despejar “x”, así:
-x + 3y = 5

3y – 5 = x
x = 3y – 5.

(III)
Esta expresión la sustituimos en la ecuación (I) en lugar de la “x”, así:
3.(3y – 5) + 2y = 7
obtenemos entonces una ecuación con una sola incógnita (la “y”), que ya sabemos resolver:
3.(3y – 5) + 2y = 7

9y – 15 + 2y = 7

11y = 7 + 15

11y = 22

y= 2.
Sustituyendo ahora el valor obtenido para “y” en la ecuación a la que le llamamos (III), tenemos:
x = 3y – 5

x = 3.2 – 5

x=6–5

x=1
Es decir, que la solución buscada es x=1, y=2, lo que podemos expresar diciendo que (1,2) es la solución que
buscábamos, o directamente decir x=1, y=2. ¡¡Mejor si lo recuadramos!! Así: x=1 y=2
verificar que efectivamente es la solución común de ambas ecuaciones,
sustituyendo los valores obtenidos para “x” e “y” en las ecuaciones originales:
Finalmente no podemos olvidarnos de
 3.1+ 2.2 = 3 + 4 = 7

 - 1+ 3.2 = - 1+ 6 = 5

MÉTODO DE REDUCCIÓN
La clave para la comprensión de este método es el manejo adecuado de las igualdades. Sabemos por ejemplo que si
multiplicamos o dividimos ambos miembros de una igualdad por un mismo número obtenemos otra igualdad (recordar
que se puede asociar la idea de una igualdad con la balanza de dos platos en equilibrio):
2+3=5

10 + 8 = 18

4(2 + 3) = 4.5
10
2
+
8
2
=
18
2

8 + 12 = 20

5+4=9
También es cierto que si sumamos “miembro a miembro” dos igualdades, obtenemos una nueva igualdad:
6 + 7 = 13
5 + 9 = 14
11 + 16 = 27
Utilizando conjuntamente estas dos ideas podemos resolver un “sistema de dos por dos”. Trabajemos con el mismo
sistema:
 3x + 2y = 7

 - x + 3y = 5
(I)
(II)
Multipliquemos la ecuación (II) por 3 y sumémosla luego con la ecuación (I):
(II)x3: 3(-x + 3y) = 3.5

-3x + 9y = 15
Sumemos miembro a miembro con la ecuación (I):
3x + 2y = 7
0x + 11y = 22
Ahora bien, 0x=0, de donde nos queda simplemente que
11y = 22
es decir,
y=2
Para obtener el valor de “x” con el mismo método, debemos multiplicar la ecuación (I) por 3 y la ecuación (II) por -2, así:
(I)x3:
(II)x(-2):
3.(3x + 2y) = 3.7
-2.(-x + 3y) = -2.5


Y luego sumar miembro a miembro:
9x + 6y = 21
2x – 6y = -10
11x / = 11
es decir,
x=1
Nota: En lugar de “0y” pusimos una rayita “/” para trabajar más cómodamente, ya que 0y=0 y 11x+0y=11x
Por supuesto obtuvimos las mismas soluciones pues estábamos resolviendo el mismo sistema… No verificamos pues ya
lo habíamos hecho.

MÉTODO DE IGUALACIÓN
Este método suele no ser muy utilizado, pero como toda herramienta matemática en ocasiones puede ser muy útil.
Pongamos un ejemplo diferente para su aplicación.
Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
x 2 + 3y = 31 ( I)
 2
x - 2y = 21 ( II)
El método consiste en obtener una misma expresión en alguno de los miembros de las ecuaciones, e igualar los
restantes miembros. Si “despejamos” x2 de ambas ecuaciones, nos queda:
x 2 = 31 - 3y ( I)
 2
x = 21 + 2y ( II)
Por lo tanto, se cumplirá que
31 – 3y = 21 + 2y
ya que ambas expresiones son iguales a x2.
Resolvemos entonces esta última ecuación,
31 – 3y = 21 + 2y

31 – 21 = 3y + 2y

10 = 5y

y=2
Para hallar “x” sustituimos ahora en alguna de las ecuaciones el valor de “y” obtenido:
x2 = 31 – 3y x2 = 31 – 3.2 x2 = 31 – 6 x2 = 25
Un pequeño detalle que debemos tener en cuenta es que hay DOS valores de “x” para los que x2 = 25, que son
x= 5
y
x= -5
ya que tanto 52 como (-5)2 da 25.
Verifiquemos ambas parejas de soluciones:
1º) (5, 2)
x 2 + 3y = 31 ( I)
 2
x - 2y = 21 ( II)
(I):
(II):


25 + 6 = 31
25 – 4 = 21


31 = 31
21 = 21
(-5)2 + 3.2 = 31 
(-5)2 – 2.2 = 21 
25 + 6 = 31
25 – 4 = 21


31 = 31
21 = 21
52 + 3.2 = 31
52 – 2.2 = 21
2º) (-5, 2)
(I):
(II):
Definición: (a,b) se llama PAR ORDENADO; “a” se dice que es la primer componente del par y “b” se dice que es la
segunda componente.
Notación: El símbolo “” significa pertenece.
Notación: Para indicar que una pareja de números es solución de la ecuación (I) podemos escribir por ejemplo
(4,9) SI. Si se tratara de una solución de la ecuación (II) escribiríamos (6,7)  SII.
Si se trata de una pareja de números que es solución de un sistema, escribimos (5,2) S.
“S” le llamamos al conjunto de las soluciones de alguna ecuación (S I, SII, etc.) o de un sistema de ecuaciones.
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
1) Resolver y verificar:
i)
 x

 2 x
 2y  8
 6 y  10
iii)
3( x  3)  2(y  x)  6

 5x  25 - 6y  14
ii)
 yx5

2y  4(x  1) 
iv)
6
0,3y  2x

0,5y  5x
1
 2
CONSIDERACIONES SOBRE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS…
No hay tal cosa como un “método” para resolver problemas (cada problema es diferente y exige diferentes habilidades y
conocimientos para resolverlo). Lo único que podemos hacer es considerar algunas pautas, entre ellas:
 Leer todo el problema
 Encontrar la pregunta que debe ser contestada
 Aclarar cuáles son los datos y cuáles las incógnitas;
 “Bautizar” las incógnitas (en el ejercicio 2: x=”cantidad de billetes de $ 10”; y=”cantidad de billetes de $ 5”);
 Preguntarse qué operaciones (sumas, restas, etc.) debo hacer y relacionarlas con los datos mediante ecuaciones
(10x+5y=430 ; x+y=58);
 Resolver las ecuaciones o los sistemas de ecuaciones descritos en el paso anterior;
 Antes de dar la respuesta, preguntarse si la misma es coherente con la letra del problema;
 Si lo es, dar esa respuesta.
Igualmente, una vez resuelto el problema, suele ser de mucha utilidad preguntarse si “no había un camino más fácil”, y, de
ser así, explorarlo… Por una mayor información sobre esto puedes buscar en internet (con google, por ejemplo). Te
recomendamos dirigirte a la siguiente dirección web:
http://ficus.pntic.mec.es/fheb0005/Hojas_varias/Material_de_apoyo/Estrategias%20de%20Polya.pdf
2) Diego tiene ahorrados 58 billetes que en total suman $430. El ahorro lo hizo en billetes de 5 y 10 pesos. Calcular
cuantos billetes son de 5 pesos y cuantos de 10 pesos.
3) Una prueba de matemática consta de 30 preguntas. A las respuestas correctas se le otorgan 4 puntos y a las
incorrectas se le restan 3 puntos. Si un estudiante que contestó todas las preguntas sacó 43 puntos, ¿cuántas
preguntas respondió bien y cuántas mal?
4) Resolver y verificar:
i)



0,5x  0,5y  2
2x  3y  7
ii)




4x  3y

6
2x  y  1
5
2

1
3
iii)



2(2y  x  11)   3x  2y
5(5  x  y )  4(1  y )  1
5) ¿Cuál es el área de un rectángulo si sabemos que su perímetro mide 16 cm y que su base es el triple que su
altura?
Los siguientes son algunos problemitas “clásicos” que se resuelven mediante sistemas de ecuaciones. Podríamos decir
que son “ old hits “ de la matemática…
6) En un corral hay conejos y gallinas, que hacen un total de 61 cabezas y 196 patas. Halla el número de conejos y
de gallinas.
7) Dos hermanos fueron a pescar. Al final del día uno dijo: “Si tú me das uno de tus peces, entonces yo tendré el
doble que tú”. El otro le respondió: “Si tú me das uno de tus peces, yo tendré el mismo número de peces que tú”.
¿Cuántos peces tenía cada uno?
8) El triple de un número más el cuádruple de otro es 10 y el segundo más el cuádruple del primero es 9. ¿Cuáles
son estos números?
9) Halla dos números cuya suma es 1 y su diferencia es 6.
10) Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. Dispone en total de 50 habitaciones y 87 camas. ¿Cuántas
habitaciones tiene de cada tipo?
11) La suma de las 2 cifras de un número es 8. Si al número se le añade 18, el número resultante está formado por
las mismas cifras en orden inverso. Hallar el número.
12) Hace 5 años la edad del Capitán era el triple de la de su sobrino, y dentro de 5 años será el doble. ¿Cuál es la
edad del Capitán?
Algunos sistemas más para resolver y verificar.
i)
14)
15)
i)






x  2y  8
ii)
 2x  6y   10
3x  2y  1
7x  2y  11




ii)



x
7

9y  2
3
3
iii)
2x  3y  6
2(x  y )  x  10
x  2y  6
iii)







3(x  3)  2(y  x)  6
5x  25  6y  4  10
7x
yx 1
3
 5x  2y  25
.