TALLER 1. GEOMETRÍA VECTORIAL Y ANALÍTICA FACULTAD DE INGENIERÍA

TALLER 1. GEOMETRÍA VECTORIAL Y ANALÍTICA FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA. PREPARACIÓN PARA EL PRIMER PARCIAL. 2011 - 2
Profesor: Jaime Andres Jaramillo González
Los ejercicios marcados con ** son de especial interés para la preparación del parcial.
Estudiar los ejercicios de las páginas 96 a 104 del texto guía. Prestar especial atención a los
ejercicios 18-20.
1. **Para cada enunciado coloque V o F según considere la proposición verdadera o falsa. Para
aquellos en que su respuesta sea F dé una breve justificación o utilice un contraejemplo.
(Las letras mayúsculas representan matrices)
i. ( ) El rango de la matriz de coeficientes de un SEL no puede ser mayor que el rango de su
matriz aumentada.
ii. ( ) Siempre un sistema de ecuaciones lineales (SEL) con mayor número de ecuaciones que
de incógnitas es inconsistente.
iii. ( ) Si un SEL tiene más incógnitas que ecuaciones, tiene infinitas soluciones
iv. ( ) En general el producto de matrices no es conmutativo, pero si A y B  Rnxn, entonces los
productos AB y BA son posibles de realizar, de modo que AB=BA
v. ( ) Si AB = AC, entonces B = C
vi. ( ) ( A  B) 2  A2  2 AB  B 2
vii. ( ) Para toda matriz Amxn , A t A es simétrica.
viii. ( ) En una matriz antisimétrica todos los elementos de la diagonal son ceros
ix. ( ) Si A y ( A b ) son la matriz de coeficientes y la matriz aumentada de un SEL, y si
rango(A)=n, entonces: rango( A b )=n ó rango( A b )=n+1. (n es un natural)
x. ( )  AB  A2 B 2
xi. ( ) ( AB) 2  A( AB) B
xii. ( ) Si el número de filas de la matriz A es igual al número de columnas de la matriz B
entonces la matriz BA existe y tiene tantas columnas como B y tantos filas como A.
2
xiii. ( ) Ninguna matriz simétrica puede ser antisimétrica
xiv. ( ) El producto de dos matrices simétricas (compatibles bajo la multiplicación) es otra matriz
simétrica
xv. ( ) (A+B)(A-B) = A 2  B 2
xvi. ( ) La propiedad conmutativa, que en general no se aplica para el producto de matrices, es
válida para el producto de dos matrices siempre y cuando una sea simétrica y la otra sea
antisimétrica
xvii. ( ) La transpuesta de una matriz escalonada reducida también es escalonada reducida
xviii. ( ) Toda matriz en forma escalonada reducida es simétrica
1 de 8
xix. ( ) Al sumar dos matrices escalonadas, cuadradas y por supuesto del mismo orden, la matriz
que se obtiene es triangular superior
xx. ( ) No es posible que un SEL con mayor número de ecuaciones que de incógnitas tenga
solución única.
Respuestas punto A:
i. V. ii. F. iii. F. iv.F. v. F. vi. F. vii. V. viii. V. ix. V. x. F.
xiv. F. xv.F. xvi. F. xvii. F. xviii. F.
xix. V. xx. V.
xi. F. xii. F. xiii. F.
2. **Resuelva los siguientes SEL y muestre su representación gráfica:
i.
iv.
 8 x  4 y  36
14x  21y  42
 6 x  9 y  18
9
7
 x  y  31
8
4
v.
9
7
x  y  62
4
2
ii.
5 x  2 y  20
 9 x  12 y  36
12x  16 y  21
iii.
vi.
 13x  11y  19
 2 x  7 y  21
2x  3y  4z  1
3x  4 y  5 z  3
3. Resuelva los siguientes SEL
i.
2x  3 y  9
4x  3 y  9
 x  3y  z  4
iv. x  4 y  5
ii.
x1  x 2  x3  0
 6 x  4 y  16
4x  3y  1
v. 2 x  y  7
2x  6 y  2z  3
2 x1  x 2  x3  0
vii. x1  2 x 2  2 x3  0
3x  2 y  8
viii.
 x  y  1
x y z  w0
x  y  2 z  2w  0
2 x  2 y  3z  4w  1
2 x  3 y  4 z  5w  2
3
1
x  y 1
2
3
iii.
1
1
2x  y  
2
2
x  3 y  3z  5
vi. 2 x  y  z  3
ix.
 6 x  3 y  3z  4
 x  2 y  z  3w  3
3x  4 y  z  w  9
 x y z w0
2 x  y  4 z  2w  3
2 x1  x 2  2 x3  x 4  5
x.  x1  x 2  4 x3  x 4  3
3x1  2 x 2  x3  0
4. Dada la matriz aumentada del SEL reducido, determine si es consistente o inconsistente, en el
primer caso, escriba su solución:
2 de 8
1

0
i. 
0

0

0 0 

0 1  2 4  2
0 0 0 1 0 

0 0 0 0 1 
3 0
1

0
ii. 
0

0

1
0 1 0  4

1 0 0 3 
0 0 1 0 

0 0 0 0 
5. Encuentre, si es posible, los valores de k para los cuales el sistema:
a. Tenga solución única
b. Infinitas soluciones
c. Sea inconsistente
5 x1  x 2  2 x 3  4
2 x1  2 x3  4
i. x1  3x 2  2 x 3  2

ii. 4 x1  x 2  4 x3  8


2 x1  3x 2  k 2  3 x 3  k  2
1. (25%)
2. (25%) Determine valores de k para los
cuales el sistema de ecuaciones lineales:
a. Tenga
solución
única
b. Tenga
infinitas
soluciones
c. Sea
inconsistente

2 x1  3x 2  k 2  2 x3  k  2
x  4 y  3z  3
iv.  3x  11y  9 z  7


4 x  18y  k 2  37  k  21
iii.
6. **Compruebe que la propiedad: ( AB) t  B t At se cumple para las siguientes matrices:
  1 2 0

i. A  
 5  6 5
 3  2


ii. A   5 0 
 0  3


6
 3


B   5 2 
 4  1


1 0 3 

B  
 0 2  4
3 de 8
  2  1  1 0


0
1 0
iii. A   0
 3
2
4 6 

 0  2


1  1
B
2 1 


0 2 


7. **Demostraciones
i.
ii.
iii.
iv.
Sean A y B dos matrices antisimétricas  Rnxn, demuestre que A+B es antisimérica
Sea A  Rnxn, demuestre que la matriz A  A t es simétrica
Si A y B  Rnxn son matrices antismétricas, demuestre que AB-BA es antisimétrica
Si A y B  Rnxn son matrices antismétricas, demuestre que ABA es antisimétrica
8. Problemas
i. Al preguntar en mi familia cuántos hijos son, yo respondo que tengo tantas hermanas como
hermanos y mi hermana mayor responde que tiene doble número de hermanos que de
hermanas. ¿Cuántos hijos e hijas somos?
ii. En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas son 50, si las patas son
134. ¿Cuántos animales hay de cada clase?
iii. En una librería han vendido 20 libros a dos precios distintos: unos a $8 000= y otros a
$1 200= con los que han obtenido $192 000=. ¿Cuántos libros han vendido de cada precio?
(razone a cerca de la respuesta obtenida)
iv. En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de
mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres.
a. Con estos datos, ¿se puede saber el número de hombres que hay?
b. Si, además, se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, ¿cuántos
hombres, mujeres y niños hay?
v. Por 5 kilos de papa, 6 de yuca y 8 de frijol se pagan $35 400=. Por 4 de papa, 5 de yuca y 8
de frijol $32 100=. Y por 7 de papa, 7 de yuca y 1 de frijol $ 25 200=. Encuentre el precio de
cada producto.
vi. Una compañía produce tres marcas de alicates: groso, transverso y ergos los costos de
producción de una unidad son $28 000=, $39 000=, y $47 000= y sus precios de venta
$36 000=, $49 000= y $61 000= respectivamente. Si la producción diaria de 350 alicates
representa un costo total de $13 616 000= y por su venta se facturan $17 484 000=, determine
cuantos alicates de cada marca son elaborados diariamente.
4 de 8
vii. En un puesto de comidas rápidas venden gaseosas en vasos desechables: 200ml a $ 700;
300ml a $ 900 y 600ml a $ 1200. En cierta ocasión se recibieron $ 11 600 por la venta de 4 litros.
a. ¿Cuáles son las posibilidades para la cantidad de gaseosas de cada precio
vendidas?
b. De acuerdo con el resultado del literal anterior, determine cuál fue la cantidad de
gaseosas vendidas de cada precio si se sabe que las de menor valor son la
mayor cantidad posible.
viii. En una fábrica de barro se elaboran semanalmente 11 900 tejas y 86 400 ladrillos. Tres
constructoras requieren por cada casa los siguientes materiales:
Construct
ora
Material
Tejas
Ladrillos
Construplus
350
3600
Incora
700
6000
Ingegamma
350
1200
a. ¿Cuántas casas puede construir cada constructora de modo que se consuma exactamente
la producción de una semana de la fábrica?
b. Suponga que las casas construidas por Construplus, Incora e Ingegama, cuestan $43, $47
y $ 38 millones de pesos respectivamente. Indique con cual opción de las encontradas en el
literal anterior se presenta mayor valor para el total de casas construidas.
ix. Una flota cuenta con tres tipos de vehículos: automóviles que pueden transportar 4
pasajeros, busetas que pueden transportar 24 y buses que pueden trasportar 36. Usando sus
45 vehículos pueden transportar 860 pasajeros.
a. Encuentre las posibilidades existentes para la cantidad de vehículos de cada tipo de acuerdo
con el anterior enunciado.
b. Si se sabe que existen por lo menos 10 vehículos de cada tipo, y que el número de
automóviles es mayor que el de los otros dos tipos de vehículo, determine cuántos vehículos
de cada tipo posee la flota.
x. Una distribuidora se ha surtido de lápices y lapiceros. Cada fábrica hace el siguiente
suministro por cada pedido:
Fábrica
artículo
Lápices
Lapiceros
Milimétrico
450
900
Peter
1800
4200
Feligro
450
1500
a)
¿Cuántos pedidos deben hacerse a cada fábrica para disponer de 24 300 lápices y
56 400 lapiceros?
5 de 8
b)
Según las posibilidades obtenidas en el literal anterior, qué alternativa representa un
menor costo para la distribuidora si un pedido a Peter cuesta 4 veces el de uno a Milimétrico, y
un pedido a Feligro cuesta un 50% más que un pedido a Milimétrico?
xi. **Biradol Ltda. Ha entregado los siguientes insumos a una empresa de confección :
144 cortes de tela, 270 marquillas, 396 botones
La cantidad de estos insumos que requiere cada prenda se especifica en el siguiente cuadro:
Insumo
Prenda
Chaqueta
Overol
Camisa
Cortes de tela
Marquillas
3
12
1
Botones
3
15
2
3
18
3
El acuerdo hecho entre Biradol Ltda. y la empresa de confección es que se confeccionaran
prendas en una cantidad tal que se usen exactamente los insumos disponibles.
Halle la cantidad de cada una de las prendas que serán confeccionadas de acuerdo con los
siguientes criterios:
a.
Si las ganancias que obtiene la empresa de confección son:
$2800 por cada chaqueta, $9500 por cada overol y $2100 por cada camisa. ¿Cuál es la mejor
alternativa para la empresa de confección?
b.
Si Biradol Ltda. prefiere tener la mayor cantidad de overoles posibles, debido a su uso
y consumo, ¿Cuál será la alternativa a seguir?
xii. **La facultad de ingeniería, programará 3 cursos intensivos para los estudiantes nuevos
admitidos, para que ellos adelanten su plan de estudio mientras comienza el semestre regular.
En el horario de los lunes de 6-8 am se dictarán los cursos que muestra el cuadro, todos los
grupos tendrán la cantidad de estudiantes por programa que se indica:
Programa
curso
Matemáticas
operativas
Geometría
euclidiana
Español
Ing. Industrial
Ing. Química
Ing. Sanitaria
15
5
10
10
20
10
20
15
15
Se sabe que para estos cursos se matricularán 270, 190 y 200 estudiantes de los programas
de ingeniería industrial, química y sanitaria.
Cuántos grupos de cada curso deben programarse si 3 profesores de español ya han sido
contratados para trabajar con la facultad en ese horario y se prefiere que el número de grupos
de geometría sea el mayor posible?
6 de 8
xiii. **Una fábrica de muebles de calidad tiene 2 divisiones:
 Taller de máquinas herramienta, donde se fabrican partes de los muebles
 División de ensamble y terminado, donde las partes son ensambladas.
Suponga que se tienen 12 empleados en el taller y 20 en la división, y que cada empleado
trabaja 8 horas diarias.
384
Si en cierto día se fabricarán sillas y mesas, teniendo en cuenta que cada silla demanda
17
480
240
horas-hombre de maquinado y
horas-hombre de ensamble; y cada mesa requiere
17
17
640
horas-hombre de maquinado y
horas-hombre de ensamble. ¿Cuántas mesas y cuántas
17
sillas se fabricaron?
xiv. Una fábrica de muebles de calidad tiene 2 divisiones:
xv. Taller de máquinas herramienta, donde se fabrican partes de los muebles
xvi. División de ensamble y terminado, donde las partes son ensambladas.
xvii.
xviii. Suponga que se tienen 15 empleados en el taller y 10 en la división, y que cada empleado
trabaja 8 horas diarias.
540
xix. Si en cierto día se fabricarán sillas y mesas, teniendo en cuenta que cada silla demanda 23
300
220
horas-hombre de maquinado y 23 horas-hombre de ensamble; y cada mesa requiere 23
480
horas-hombre de maquinado y 23 horas-hombre de ensamble. ¿Cuántas mesas y cuántas
sillas se fabricaron?
xx. **Luís, un trabajador de la librería “La Cultura”, le ha dicho a su jefe que ha notado que
Gustavo, el mensajero, ha estado robando, cobrando por los pedidos un valor mayor al real, y
quedándose con el excedente, aprovechándose de que por la prisa con que se han hecho las
compras de las tres publicaciones de mayor venta durante la semana, el editor no elaboró las
facturas.
El jefe, entendiendo que esta denuncia es muy grave se dispone a revisar los datos de estas
compras, decidido a tomar medidas disciplinarias con sus trabajadores. Encuentra que en tres
ocasiones Gustavo ha traído pedidos de las tres obras: “Las Margaritas”, “Rogelio El Castigador”
y “3 Años Sin Llover”, cobrando en la primera $975 000= en la que adquirió 10,4 y 7 ejemplares
respectivamente de cada obra. En la segunda ocasión trajo 4, 6 y 5 ejemplares por los cuales
reportó un valor de $643 000=. Y en la tercera se adquirieron 9, 7 y 8 ejemplares, por los cuales
se le entregaron $1 073 000= a Gustavo.
El jefe queriendo disponer de la mayor cantidad de información posible, y sabiendo que no
puede contactar al vendedor de la editorial porque justamente esa misma mañana se ha ido para
un congreso en Malasia, busca entre sus viejos documentos una factura de dos semanas atrás,
7 de 8
cuando los libros no eran tan populares y estaban en oferta, costando un 20% menos de su valor
actual. Al encontrarla encuentra que le cobraron por 5 ejemplares de “Las Margaritas” y 10 de
“Rogelio El Castigador” $488 000=.
Analice estos datos y concluya si el jefe debe sancionar a Gustavo por hurto a la empresa, o
si la sanción la merece Luís por dar un falso testimonio, o si la información de que se dispone no
es suficiente para determinar si Luís dice la verdad.
8 de 8