UNIVERSIDAD EXPERIMENTAL POLITÈCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL UNEFA NUCLEO CARACAS Profesora Minerva Bueno Materia: Matemática 1 Unidad II – Octubre 2007 TEOREMAS DE LÍMITES Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Epsilón-Delta se establecen los siguientes teoremas. Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia. Teorema de límite 1: Límite de una función constante Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces Ejemplos: Teorema de límite 2: Límite de f(x) = x Para cualquier número dado a, Ejemplos: Teorema de límite 3: Límite de una función multiplicada por una constante Si y k es un numero real entonces se cumple que: Ejemplos: Teorema de límite 4: Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces Teorema de límite 5: Límite de una suma y una diferencia de funciones. Si f y g son dos funciones para las que y Entonces se cumple que: Ejemplos: También se aplica esta propiedad para la resta de funciones, por lo que podemos decir que: lim[ f(x) - g(x) ] = lim f(x) - lim g(x) = L - M xa xa xa Teorema de límite 6: Límite de una multiplicación de funciones. Si f y g son dos funciones para las que y Entonces se cumple: que: Ejemplos: Corolario Teorema de límite 6: Límite de una potencia. Si entonces Dado que = Ejemplos: Particularidad del Corolario: Si y n es un entero positivo, entonces: = Ln Ejemplos Teorema de límite 7: Límite de un cociente de funciones Si f y g son dos funciones para las que Entonces se cumple: que: y Siempre que M 0 Ejemplo: Teorema de límite 8: Límite de una función radical Si si: a. a es cualquier numero positivo b. a < 0 y n es impar. Ejemplos: Teorema de límite 9: Si , entonces si se cumple alguna de las condiciones siguientes: a. es cualquier entero positivo b. es un entero impar positivo ( ) Ejemplos: Teorema de límite 10: Límite de un polinomio Si f es un polinomio y a es un número real, entonces PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LÍMITES EN PUNTOS FÍNITOS: Si queremos calcular el límite de una función f(x) cuando x se acerca a cierto valor a simplemente hemos de sustituir el valor de a en f(x) , aplicando los teoremas antes mencionados. El problema que nos podemos encontrar son formas indeterminadas del tipo k/0 ó 0/0 al sustituir a por x en la función. Sin embargo, usando manipulaciones algebraicas (tales como la factorización y la conjugada) podemos transformar la función de tal modo que se pueda evitar la división entre cero. - Tipos de Indeterminación y su Forma de Romperlas. (1) Indeterminación k/0 (k0) : se presenta cuando en el numerador aparece un número cualquiera no nulo y el denominador es “0”. (2) Indeterminación 0/0 : en este caso tanto el numerador como el denominador se hacen “0”. Si tanto en el numerador como en el denominador tenemos polinomios, la forma de romper la indeterminación es descomponer los polinomios en factores (mediante, por ejemplo, la regla de Ruffini) y simplificar para posteriormente volver a sustituir. En caso de que también aparezcan raíces cuadradas, el proceso es multiplicar y dividir por la expresión conjugada con el fin de simplificar y luego sustituir. Otro Ejemplo: Calcular Solución: Observe que en este caso aparecen dos variables: x y h. Para efectos del cálculo del límite es h la que hacemos variar hacia 0 (pues dice h tiende a 0), la x se trata como si fuera constante. Tenemos entonces: Ejercicio con doble racionalización. Calcular Solución: En este caso procedemos por "doble racionalización", del siguiente modo: Ejercicios resueltos Evalué los siguientes límites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada paso: Soluciones 1. Solución 2. Solución: 4 3. Solución: 10 4. Solución: 5. Solución: 7 y 9 6. Solución: No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión, se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL1: 4 7. Solución: No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL7 o el TL4(III): 8. Solución: Si pretendiéramos aplicar el límite directamente a partir del TL7, nos daría la forma indeterminada 0/0; por lo que, se debe factorizar y luego simplificar la expresión antes de poder hacer uso del TL6:10 9. Solución: No se puede aplicar el límite directamente, daría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la expresión en el numerador y luego reduciendo y simplificando, se puede aplicar el TL para hallar el límite: 10. Solución: Luego de la transformación de la expresión se aplican los TL7 y TL8:9 11. Solución: El límite no se puede aplicar directamente, resultaría la forma indeterminada 0/0; no obstante, una vez factorizando y simplificando, la expresión queda expedita para hallar el límite mediante los TL7 y TL6:10 12. Solución: