TP_LAB_2_FINAL

Índice
Objetivos __________________________________________________________________ 2
Alcance ___________________________________________________________________ 2
Elementos utilizados _________________________________________________________ 2
Procedimiento ______________________________________________________________ 4
Parte 1: Teorema de Superposición _____________________________________________ 4
Parte 2: Teorema de Thevenin-Norton ___________________________________________ 4
Parte 3: Teorema de Máxima Transferencia ______________________________________ 5
Parte 4: Teorema de Reciprocidad ______________________________________________ 6
Resultados _________________________________________________________________ 6
Parte 1: Teorema de Superposición _____________________________________________ 6
Parte 2: Teorema de Thevenin-Norton ___________________________________________ 8
Parte 3: Teorema de Máxima Transferencia ______________________________________ 9
Parte 4: Teorema de Reciprocidad _____________________________________________ 11
Conclusión ________________________________________________________________ 13
Referencias _______________________________________________________________ 13
-1-
Objetivos
Comprobar experimentalmente los siguientes teoremas:

Superposición.

Thevenin-Norton.

Máxima Transferencia.

Reciprocidad.
Alcance
Resolver analíticamente los circuitos propuestos.
Armar los diferentes circuitos para cada uno de los teoremas y realizar sobre ellos las
mediciones para, de esta manera, verificar los teoremas en cuestión.
Confeccionar tablas y gráficos para ordenar los datos experimentales y teóricos en
cada uno de los casos, para una mejor comprensión de los mismos.
Comparar los resultados obtenidos experimentalmente con los que se obtienen en
forma teórica.
Discutir los resultados obtenidos y elaborar una conclusión con respecto a los mismos.
Elementos utilizados
1. Fuente
Fuente de corriente continua de baja tensión con voltímetro y amperímetro
incorporado: DC POWER SUPPLY HY 3006D (V= 300 V, CAT)
2. Cables para interconexiones
-2-
3. Resistencias
Se utilizan cuatro resistencias de valores nominales:

RA  3300. tolerancia 10%.

RB  10000. tolerancia 5%.

RC  1000. tolerancia 5%.

RD  2500. tolerancia 10%.
Se utiliza como resistencia variable una caja de décadas de 0,1. a 11111. y
tolerancia 0,1%.
4. Multímetro

TES 2700 MULTIMETER. Error: despreciable. Utilizado para medir la diferencia de
potencial en cada una de las ramas de los diferentes circuitos.
 LINI- T UT 50 C. Error: despreciable. Utilizado para medir la corriente que circula
por cada una de las ramas de los diferentes circuitos y los valores reales de las
resistencias utilizadas.
-3-
Procedimiento
Parte 1: Teorema de Superposición.
Figura 1. Circuito utilizado para comprobar el teorema de superposición.
En esta parte del trabajo, se resuelve un circuito ficticio de tres mallas, cada una de
ellas compuesta por una fuente de tensión    en serie con una resistencia  R  , aplicándose
el teorema de superposición (Figura 1).
Para verificar el teorema de superposición en forma experimental, se arman tres
circuitos diferentes a partir del original. Para el primer circuito, se pasivan las fuentes de
tensión 2 y 3, para el segundo las fuentes 1 y 3 y para el tercero las fuentes 1 y 2. Finalmente,
para cada uno de estos circuitos, se mide la diferencia de potencial  V  y la corriente  I 
que circula por cada una de las ramas utilizando un voltímetro y un amperímetro
respectivamente.
Parte 2: Teorema de Thevenin-Norton.
Figura 2. Circuito utilizado para comprobar el teorema de Thevenin-Norton.
-4-
En esta parte de la experiencia, se arma un circuito con cuatro resistencias  Ri  de
valores nominales conocidos y una fuente de tensión 1  como se muestra en la (Figura 2).
Luego, se obtienen de manera analítica, la resistencia de Thevenin  RTh  , la tensión de
Thevenin  Th  y la corriente de Norton  I N  entre los terminales A y B.
Una vez hecho esto, para verificar el teorema de Thevenin-Norton experimentalmente,
se mide la diferencia de potencial entre los terminales A y B para obtener la tensión de
Thevenin  Th  . Para obtener la corriente de Norton  I N  se coloca un amperímetro entre los
terminales A y B y se mide la corriente que circula entre los nodos. Finalmente, para obtener
la resistencia de Thevenin  RTh  se pasiva la fuente de tensión y se mide con un óhmetro la
resistencia equivalente entre los terminales A y B.
Parte 3: Teorema de Máxima Transferencia.
Figura 3. Circuito utilizado para comprobar el teorema de máxima transferencia.
En esta sección del trabajo, se utiliza un circuito similar al de la parte 2, solo que entre
los terminales A y B se conectan en serie un amperímetro
 Rab 
 A
y una resistencia variable
y, en paralelo a ellos, un voltímetro V  (Figura 3).
Luego, para comprobar experimentalmente el teorema de máxima transferencia, se
varía Rab gradualmente tomando 10 valores diferentes para 0,5  RTh  Rab  1,5  RTh . Para
cada valor de Rab se mide la corriente
I 
y la diferencia de potencial
 V 
entre los
terminales A y B. Finalmente, se confecciona un gráfico de la potencia entregada  P  en
función de la resistencia variable  Rab  .
-5-
Parte 4: Teorema de Reciprocidad.
En esta parte del trabajo, se utiliza el mismo circuito que en la parte 2 (Figura 2).
Figura 4. Elementos conectados entre los nodos A B y C D para el circuito de la (Figura 2).
Para comprobar experimentalmente el teorema de reciprocidad, en primer lugar se
conecta una fuente de tensión 1  entre los bornes C y D del circuito y un amperímetro entre
los terminales A y B. Una vez hecho esto, se obtiene analíticamente y experimentalmente la
corriente  I  que circula entre los nodos A y B. En segundo lugar, se invierten de lugar la
fuente de tensión y el amperímetro, y se vuelve a obtener analíticamente y experimentalmente
la corriente  I  que circula ahora entre los nodos C y D (Figura 4).
Finalmente, se confecciona una tabla con los valores obtenidos y se comparan los
resultados.
Resultados
Parte 1: Teorema de Superposición.
En la (Tabla 1) se muestran los valores nominales y medidos para las distintas
resistencias  Ri  que se utilizan a lo largo de la experiencia:
Resistencia
R1
Nominal
Ω
3300
Medido
Ω
3390
Tolerancia
%
10
R2
1000
990
5
R3
R4
10000
2500
10070
2530
5
10
Tabla 1. Resistencias utilizadas en toda la experiencia.
-6-
Para verificar el teorema de superposición, se utiliza un circuito como el que se
muestra en la (Figura 1), donde R1  3390. , R2  10070. y R3  990. .
En la (Tabla 2) se muestran los valores de todos los elementos del circuito calculados
analíticamente por superposición:
Valores arbitrarios
Ԑ1
Ԑ2
Ԑ3
∑
V
20,00
0,00
0,00
20,00
V
0,00
10,00
0,00
10,00
V
0,00
0,00
5,00
5,00
I1
I2
mA
4,66
0,22
1,06
5,94
mA
0,42
0,92
0,36
1,70
Valores calculados
I3
VAE
mA
4,24
0,70
1,42
6,36
V
20,00
0,00
0,00
20,00
VBE
VCE
V
4,20
0,74
3,59
8,53
V
0,00
0,00
5,00
5,00
Tabla 2. Valores del circuito de la (Figura 1) calculados analíticamente.
Verificación:
1) Pasivo  2 y  3 :
i11 
i21 
1
R R
R1  2 3
R2  R3
 4, 66.mA
VBE
 0, 42.mA
R2
i31  i11  i21  4, 24.mA
2) Pasivo  1 y  3 :
i12 
i22 
VBA
 0, 22.mA
R1
2
R R
R2  1 3
R1  R3
 I1  i11  i12  i13   4, 66  0, 22  1, 06  .mA  5,94.mA
 0,92.mA  I 2  i21  i22  i23   0, 42  0,92  0,36  .mA  1, 70.mA
 I 3  i31  i32  i33   4, 24  0, 70  1, 42  .mA  6,36.mA
i32  i22  i12  0, 70.mA
3) Pasivo  1 y  2 :
i13  i33  i23  1, 06.mA
i23 
i33 
VBE
 0,36.mA
R2
1
R R
R3  1 2
R1  R2
 1, 42.mA
-7-
En la (Tabla 3) se muestran los valores de todos los elementos del circuito medidos
por superposición:
Valores arbitrarios
Ԑ1
Ԑ2
Ԑ3
∑
V
20,00
0,00
0,00
20,00
V
0,00
10,00
0,00
10,00
V
0,00
0,00
5,00
5,00
Valores medidos
I3
VAE
I1
I2
mA
4,91
0,20
1,08
6,19
mA
0,42
1,00
0,38
1,80
mA
4,59
0,79
1,45
6,83
V
20,00
0,00
0,00
20,00
VBE
VCE
V
4,20
0,80
3,60
8,60
V
0,00
0,00
5,00
5,00
Tabla 3. Valores del circuito de la (Figura 1) obtenidos experimentalmente.
Parte 2: Teorema de Thevenin-Norton.
Para comprobar el teorema de Thevenin-Norton, se utiliza un circuito como el que se
muestra en la (Figura 2), donde 1  20V
. , R1  3390. , R2  990. , R3  10070. y
R4  2530. .
En la (Tabla 4) se muestran los valores de  Th , I N y RTh calculados y medidos:
ԐTh
Valores calculados
IN
RTh
ԐTh
Valores medidos
IN
V
0,55
mA
0,20
Ω
2718,22
V
0,50
mA
0,19
RTh
Ω
2700,00
Tabla 4. Valores calculados y medidos para la verificación del teorema de Thevenin-Norton.
Verificación:
La resistencia de Thevenin vista desde los nodos A y B puede calcularse como:
RTh 
R R
R1  R2

 3 4  2718, 22. _  _ i  1  0, 615.mA
R1  R2 R3  R4
RTh
Luego, aplicando la segunda ley de Kirchhoff en el circuito de la (Figura 2):
1   R1  R2   i1  0
1   R3  R4   i2  0 _  _
i  0, 615.mA  i1  i2
i1  4,56.mA
i2  1,59.mA
Pueden calcularse VA  1  R1  i1  4,54.V y VB  1  R3  i2  3,99.V . Entonces, se
obtiene que la tensión de Thevenin es: Th  VA  VB  0,55.V .
Finalmente, la corriente de Norton es igual a: Th  RTh  I N _  _ I N  0, 20.mA .
-8-
Parte 3: Teorema de Máxima Transferencia.
Si se aplica el teorema de Thevenin al circuito de la (Figura 3), se obtiene que la
corriente  I  que circula es:
I
 Th
(1)
RTh  Rab
Entonces, la potencia entregada  P  a la resistencia variable  Rab  se obtiene de:
P  I 2  Rab
(2)
Luego, la diferencia de potencial  V  se obtiene a partir de:
V 
(3)
P
I
En la (Tabla 5) se muestran la corriente  I  , la potencia entregada a la resistencia
 P 
y la diferencia de potencial  V  , calculadas a partir de las ecuaciones (1), (2) y (3)
respectivamente, para distintos valores de la resistencia variable
 Rab 
que se encuentran
entre 0,5  RTh  Rab  1,5  RTh :
Rab
I
PԐ
∆V
Ω
1700
1900
2100
2300
2500
2700
mA
mW
26,56
27,16
27,57
27,83
27,97
28,01
mV
212,5
228,0
241,5
253,0
265,0
275,4
27,97
27,88
27,73
27,54
27,33
284,2
294,5
303,6
311,5
318,2
2900
3100
3300
3500
3700
0,125
0,120
0,115
0,110
0,106
0,102
0,098
0,095
0,092
0,089
0,086
Tabla 5. Corriente, potencia entregada a la resistencia y diferencia de potencial calculadas para la
verificación del teorema de máxima transferencia.
-9-
En la (Tabla 6) se muestran la corriente  I  , la potencia entregada a la resistencia
 P 
y la diferencia de potencial
 V 
obtenidas experimentalmente, para los distintos
valores de la resistencia variable  Rab  :
Rab
I
PԐ
∆V
Ω
1700
1900
2100
2300
2500
2700
2900
3100
3300
3500
3700
mA
mW
25,76
26,50
27,14
27,54
27,77
27,87
27,79
27,63
27,44
27,19
26,90
mV
209,3
224,4
238,7
251,7
263,5
274,3
283,9
292,6
300,9
308,5
315,5
0,123
0,118
0,114
0,109
0,105
0,102
0,098
0,094
0,091
0,088
0,085
Tabla 6. Corriente, potencia entregada a la resistencia y diferencia de potencial medidas para la
verificación del teorema de máxima transferencia.
En el (Gráfico 1) se presenta la potencia entregada a la resistencia  P  en función de
la resistencia variable  Rab  para los valores calculados y medidos respectivamente:
28,50
Potencia disipada (mW)
28,00
27,50
Medido
27,00
Calculado
26,50
26,00
25,50
0
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Resistencia Variable (Ω)
Gráfico 1. Potencia entregada a la resistencia en función de la resistencia variable.
- 10 -
Parte 4: Teorema de Reciprocidad.
Al realizar los cálculos analíticos, se considera que la fuente y el amperímetro son
ideales, con lo cual la resistencia interna del voltímetro es infinita y la del amperímetro es
igual a cero.
Al conectar la fuente de tensión 1  entre los nodos C y D y el amperímetro  I 
entre los nodos A y B, el circuito queda de la siguiente forma:
Luego, la corriente  I AB  que circula entre los nodos A y B es I AB  I 2  I3 :





1
0
0
  R3  R4
 
    R3
  R
4
 
 R3
R1  R3
0
 R4  
 
0 
R2  R4  
I1
I2
I3





Entonces:


 R4 
 R3  R4 1


0
0 
  R3
 R
0 R2  R4 

4
I2  2  
 1, 629.mA
 R3
 R4 
  R3  R4


R1  R3
0 
  R3
 R
0
R2  R4 
4

 R3
1 
 R3  R4


R1  R3 0 
  R3
 R
0
0 

4
I3  3  
 1, 440.mA
 R3
 R4 
  R3  R4


R1  R3
0 
  R3
 R
0
R2  R4 
4

Finalmente, la corriente que circula entre los nodos A y B es I AB  0,189.mA .
- 11 -
Si en cambio, se conecta la fuente de tensión 1  entre los nodos A y B y el
amperímetro  I  entre los nodos C y D, el circuito queda de la siguiente forma:
Luego, la corriente  I CD  que circula entre los nodos C y D es ICD  I1 :





0
1
1
  R3  R4
 
    R3
  R
4
 
 R3
R1  R3
0
 R4  
 
0 
R2  R4  
I1
I2
I3





Entonces:

 R3
 R4 
 0


0 
 1 R1  R3

0
R2  R4 

I1  1   1
 0,189.mA
 R3
 R4 
  R3  R4


R1  R3
0 
  R3
 R
0
R2  R4 
4

Finalmente, la corriente que circula entre los nodos C y D es I CD  0,189.mA .
En la (Tabla 7) se muestran las corrientes que circulan entre los nodos A B y C D
calculadas y medidas respectivamente:
Calculados
mA
Medidos
mA
IAB
0,189
0,190
ICD
0,189
0,190
Observaciones
Mili Amperímetro conectado
entre A y B.
Mili Amperímetro conectado
entre C y D.
Tabla 7. Corrientes calculadas y medidas entre los nodos A B y C D.
- 12 -
Conclusión
En términos generales, se puede apreciar que los valores obtenidos de forma
experimental son similares a los que se obtienen en forma analítica. Las diferencias obtenidas
en forma práctica pueden ser atribuidas al error introducido por los instrumentos de medición,
ya que no fueron tenidos en cuenta a la hora de realizar los cálculos teóricos. Solamente se ha
tenido en cuenta, a la hora de realizar los cálculos analíticos, utilizar los valores de las
resistencias medidos con el óhmetro y no el valor nominal que proporciona el fabricante de
resistencias.
En las partes 1 y 2 del trabajo, se observa que los valores calculados y medidos de las
diferencias de potenciales
 V 
y las corrientes
I 
son similares en ambos casos,
verificando los teoremas de superposición y Thevenin-Norton respectivamente.
En la parte 3 del trabajo, se puede apreciar que efectivamente cuando Rab  RTh se
obtiene la máxima transferencia de energía tanto analíticamente como en forma experimental
verificando, de esta manera, el teorema de máxima transferencia.
Por último, en la parte 4 se observa que al cambiar de lugar la fuente de tensión 1 
con el amperímetro  I  se llegan a los mismos valores de corriente tanto en forma teórica
como en forma práctica, verificando el teorema de reciprocidad.
Referencias

www.lirweb.com.ar => Electrotecnia.

Apuntes del libro del Ingeniero Raúl Villar.
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