PARTE-I.MADE

0
Universidad Centroamericana
“José Simeón Cañas”
MATEMATICA
CURSO PROPEDEUTICO
MAESTRIA EN ADMINISTRACION
DE EMPRESAS
MAURO H. HENRIQUEZ
1
PROGRAMA
MATEMÁTICA
CURSO PROPEDÉUTICO PARA LA MADE.
0. GENERALIDADES.
 CATEDRÁTICO: Lic. Mauro H. Henríquez
 TEXTO: Matemática (Curso propedéutico para la MADE).
AUTOR Mauro Hernán Henríquez
 PERÍODO: Del 8 de enero al 2 de febrero de 2007.
 HORARIO: Lunes, miércoles y viernes de 6:15 a 9:00 p.m.
1. ESTRATEGIA METODOLÓGICA.
Se utilizarán los siguientes métodos de enseñanza-aprendizaje:
 Clases expositivas
 Presentación de modelos de aplicación
 Discusión y resolución de ejercicios
2. CONTENIDO
PARTE I . NOCIONES MATEMÁTICAS RELEVANTES
1. Conjuntos
1.1 Concepto intuitivo de conjunto y notación de conjuntos
1.2 Subconjuntos
1.3 Operaciones con conjuntos
1.4 Diagramas de Venn
1.5 Ejercicios
2. Ecuaciones lineales
2.1 Axiomas de igualdad
2.2 Ecuaciones y conceptos relacionados con las ecuaciones
2.3 Resolución de ecuaciones lineales con una variable
2.4 Resolución de problemas usando ecuaciones
2.5 Sistemas de ecuaciones lineales con 2 variables
2.6 Métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones
3. Funciones
3.1 Definición de función y términos relacionados con la definición
3.2 Gráfica de una función
3.3 Funciones especiales y sus gráficas
3.3.1 Funciones polinomiales
3.3.2 Función raíz cuadrada y su gráfica
3.3.3 Funciones exponenciales y sus gráficas
PARTE II. ELEMENTOS DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
1. Estadística descriptiva
1.1 Introducción
1.2 Medidas de tendencia central
1.2.1 La media aritmética (Media Ponderada)
1.2.2 La moda
1.2.3 La mediana
1.2.4 Ejercicios
2
1.3 Medidas de dispersión
1.3.1 Amplitud (recorrido o rango)
1.3.2 Desviación típica (o estándar).Varianza
1.3.3 Ejercicios
2. Teoría elemental de probabilidades
2.1 Panorama General
2.2 Técnicas de conteo
2.2.1Espacio Muestral. Eventos
2.2.2 Diagrama de árbol y principio de la multiplicación
2.2.3 Permutaciones
2.2.4 Combinaciones
2.3 Probabilidad frecuencial o empírica y probabilidad clásica
2.3.1 Experimentos y sucesos aleatorios
2.3.2 Definición de probabilidad frecuencial (o empírica)
2.3.3 Definición clásica de probabilidad. Axiomas de probabilidad
2.3.4 Probabilidad condicional. Sucesos independientes y sucesos
dependientes.
2.3.5 Probabilidad Total. Teorema de Bayes
2.3.6 Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad Discretas.
Distribución Normal
3. EVALUACIÓN
 Tres exámenes parciales individuales
Primer Parcial: 13 de enero de 2007 (30% de la nota final)
Segundo Parcial: 24 de enero de 2007 (35% de la nota final)
Tercer Parcial: 2 de febrero de 2007 (35% de la nota final)
4. BIBLIOGRAFÍA.
 Matemática Aplicada a la Administración y a la Economía. Arya y Lardner.
3a Edición. Prentice Hall
 Elementos básicos de Estadística Económica y Empresarial. A. M. Montiel,
F. Rius, F. J. Barón, Prentice Hall.
 Estadística Elemental. Lo esencial. Jonson y Kuby. 2a. Edición. Thomson.
 Estadística para Administradores. Levin/Rubin. 6a. Edición. Prentice Hall.
 Elementos de Probabilidad y Estadística. José Hernández Salguero. UCA
Editores.
 Razonamiento matemático. Fundamentos y Aplicaciones. José Guillermo
Ahumada, Ángel Ruiz Caraballo Ríos, Teresa Cruz Malavé y Omar
Hernández Rodríguez, Segunda edición, Thomson Learning.
3
CURSO PROPEDEUTICO PARA LA MAESTRIA EN
ADMINISTRACION DE EMPRESAS
PARTE I. NOCIONES MATEMATICAS RELEVANTES
1. CONJUNTOS
1.1 CONCEPTO INTUITIVO DE CONJUNTO Y NOTACIÓN DE CONJUNTOS
DEFINICION: Podemos considerar un conjunto como una colección
(o grupo bien definido de objetos, llamados elementos del conjunto.
Bien definida: No debe haber duda de si un cierto objeto pertenece o
no al conjunto.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
El conjunto de los números naturales (bien definido)
El conjunto de las mujeres bonitas (mal definido)
VERIFICANDO SU COMPRENSION
Podemos considerar como conjunto bien definido o mal definido:
a) Es conjunto bien definido:
Es conjunto mal definido
b) Es conjunto bien definido:
Es conjunto mal definido
NOTACION: Las letras mayúsculas se utilizan generalmente para
denotar conjuntos y las minúsculas, para denotar elementos.
Escribimos:
 a  A como abreviatura de a es un elemento de A o a
pertenece al conjunto A
 a  A como abreviatura de a no es un elemento de A o a no
pertenece al conjunto A
Existen dos maneras para especificar a un conjunto: por extensión y
por comprensión.
a) Por extensión: se hace una lista de los elementos que
pertenecen al conjunto y se encierra dicha lista entre llaves  .
b) Por comprensión: se encierra entre llaves una frase descriptiva
conviniendo que son elementos del conjunto aquellos objetos,
y sólo aquellos que poseen la propiedad descrita.
4
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
1. A  1,2,3
A  x  N / 1  x  3
Advierta
1  A, 0  A, 5  A
2. B  a, e, i, o, u
A  x / x es una vocal
Advierta
a  B, c  B, 3  B
OBSERVACIONES
a) Cuando el conjunto se especifica por extensión, cada
elemento debe escribirse una sola vez
b) El orden de los elementos es irrelevante.
VERIFICANDO SU COMPRENSION
DEFINICION: Se llama conjunto vacío, y se denota con la letra griega
 , el conjunto que no tiene elementos
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
x  N / x  1  
x  Z / 5  x  6  
VERIFICANDO SU COMPRENSION
1.2 SUBCONJUNTOS
DEFINICION: El conjunto A es un subconjunto del conjunto B, si todo
elemento de A es elemento de B.
NOTACION: Se usa el símbolo
 A  B para indicar que A es un subconjunto de B y se lee: A es
un subconjunto de B o bien A esta incluido en B
 A  B para indicar que A no es un subconjunto de B y se lee: A
no es un subconjunto de B o bien A no esta incluido en B
ADVIERTA:
A  B si y sólo si x  A implica x  B
A  B si y sólo si x  A no implica x  B o bien x  A pero x  B
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Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
NOTAS:
a) A  A : todo conjunto es subconjunto de si mismo
b)   A : el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto A.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
1. Si A  1,2,3 y B  1,2, entonces B  A . En efecto, cada
elemento de B, 1 y 2 son elementos de A.
2. Si A  1,2,3 y B  1,2, entonces A  B , porque 1 es un de A
pero no es un elemento de B.
3. Si A  1,2,
entonces A tiene los siguientes subconjuntos
 , 
1 , 2, A .
NOTA: Para un conjunto de n elementos, es posible formar
subconjuntos.
2n
EJEMPLO ILUSTRATIVO
A  1,2, tiene 2 elementos; por lo tanto tendrá 4, (22) subconjuntos.
VERIFICANDO SU COMPRENSION
DEFINICION: Dos conjuntos A y B son iguales (A=B) si todo elemento
de A es elemento de B y todo elemento de B es elemento de A.
En Símbolos: A=B si y sólo si A  B y B  A
EJEMPLO ILUSTRATIVO
Si A  1,2 y B  x  Z / 0  x  3, entonces A=B
VERIFICANDO SU COMPRENSION
1.3 OPERACIONES CON CONJUNTOS
DEFINICION: La unión de dos conjuntos, A y B, denotada por A  B , es
el conjunto de elementos que pertenecen por lo menos a uno de los
dos conjuntos A o B.
A  B se lee “A unión B”
En Símbolos: A  B  x / x  A o
x  B
DEFINICION: La intersección de dos conjuntos, A y B, denotada por
A  B , es el conjunto de elementos que pertenecen tanto a A como
a B.
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Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
A  B se lee “A intersección B”
En Símbolos: A  B  x / x  A y x  B
DEFINICION: Dos conjuntos A y B son disjuntos si A  B  
ADVIERTA: Dos conjuntos disjuntos no tiene elementos comunes
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
1. Dados los conjuntos A  x  N / 0  x  4
hallar A  B y A  B
y
B  3x / x  3 y x  N ,
SOLUCION
A  1,2,3 y B  3,6; por lo tanto
A  B  x / x  A o x  B  1,2,3,6 y
2. Dados los conjuntos
A B
A  B  x / x  A y x  B 
A  a, b, c, d  y B  e,
encontrar
3
A B
y
SOLUCION
A  B  x / x  A o x  B  a, b, c, d , e
A  B  x / x  A y x  B   (A y B son disjuntos)
VERIFICANDO SU COMPRENSION
DEFINICION: La diferencia de dos conjuntos A y B, denotada por A–B,
es el conjunto de todos los elementos de A que no están en B
A – B se lee “ A menos B”
En símbolos A  B  x / x  A y x  B
EJEMPLO ILUSTRATIVO
Dados los conjuntos A  1,2,3,4
Encontrar A-B, B-A, y C-A
B  1,2,5 y C  3
SOLUCION
A  B  x / x  A y x  B  3,4
B  A  x / x  B y x  A  5
C  A  x / x  C y x  A  3 = C (advierta, la diferencia entre dos
conjuntos disjuntos es el igual al minuendo)
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Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
VERIFICANDO SU COMPRENSION
DEFINICION: Se llama “conjunto universal”, y se denota por U, al
conjunto que contiene a todos los elementos disponibles para formar
cualquier conjunto, en una situación determinada
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
1. Para formar conjuntos formados por letras, U se define así:
U  x / x es una letra del alfabeto
2. Para el conjunto A  x  N / x  4, el universo es U = N
VERIFICANDO SU COMPRENSION
DEFINICION: Si U es el conjunto universal y A  U , entonces “el
complemento de A”, denotado por  , es el conjunto de todos los
elementos de U que no están en A.
 se lee “A complemento”, y está formado por los elementos que le
faltan al conjunto A para ser igual al universal.
En símbolos:   x U / x  A  x / x U y x  A  U  A
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
Sea U  1,2,3,4,5,6 A  1,3,5 y B  2,4
Encontrar:
a) 
b) B
c)   B d)   B
e) ( A  B)
f) ( A  B)
SOLUCION
Para a)   x U / x  A  2,4,6
Para b) B  x U / x  B  1,3,5,6
Para c)   B  x   y x  B  6
Para d)   B  x   o x  B  1,2,3,4,5,6
Para e) A  B  x / x  A o x  B  1,2,3,4,5
( A  B)  x / x U y x  A  B  6
Para f) A  B  x / x  A o x  B  
    B  x / x U y x  A  B  1,2,3,4,5,6  U
ADVIERTA:
( A  B) =   B
8
( A  B) =   B
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
COMENTARIOS


El complemento del conjunto vacío es el conjunto universal
(  U )
El complemento del universal es el conjunto vacío (U   )
LEYES DE MORGAN
( A  B) =   B
( A  B) =   B
VERIFICANDO SU COMPRENSION
1.4 DIAGRAMA DE VENN
Los diagramas de Venn son gráficos que se utilizan para representar
conjuntos. Generalmente se emplea a un rectángulo para
representar al conjunto Universal U, y cualquier figura cerrada dentro
del rectángulo representará un subconjunto de U
U
A
B
A
AU
AU
y
B U
Los diagramas de Venn son de gran utilidad en la ilustración de las
operaciones entre conjuntos y en problemas que se resuelven
aplicando combinaciones de estas operaciones.
CASO 1. Para ilustrar las operaciones entre conjuntos, se sombrea la
parte que nos interesa
A
B
U
A
B
U
A
B
U
U
A
A B
A B
A B

CASO 2. Problemas que se resuelven aplicando combinaciones de
operaciones con conjuntos.
9
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
Para facilitar el uso de diagramas de Venn identificamos las regiones
que determinan el diagrama. Así:
A
U
A=R1
B
R1
R2
R1 = A; R2 = A
R2
U
R3
R4
R1 = A-B = A  B
R2 = A  B
R3 = B-A =   B
R4 = A  B  A  B
1.5 EJERCICIOS
1. Dibuje el diagrama de Venn que representa cada uno de los
conjuntos siguientes:
a) A  B
b) A  B
c)   B
d) ( A  B)
e) B - A
f) B  
2. Mediante el uso de las regiones enumeradas en la figura siguiente,
identifique cada uno de los conjuntos dados
a) A  ( B  C )
b) C  ( A  B)
c) ( A  B  C )  ( A  B)
d) ( A  B)  C
R1
R2
R3
R5
R7
R6
R4
3. En una encuesta aplica a 260 estudiantes se obtuvieron los
siguientes datos:
64 toman un curso de matemáticas
94 toman un curso de computación
58 toman un curso de administración
28 toman un curso de matemáticas y administración
26 toman un cursi de matemática y computación
22 toman un curso de administración y computación
14 toman los tres cursos
a) ¿Cuántos estudiantes de la encuesta no toman curso alguno?
10
b) ¿Cuántos estudiantes de la encuesta toman solo el curso de
computación?
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
2. ECUACIONES LINEALES
2.1 AXIOMAS DE IGUALDAD
Sean a,b,c números reales
i. Ley reflexiva: a=a
ii. Ley simétrica: Si a=b entonces b=a
iii. Ley transitiva: Si a=b y b=c entonces a=c
iv. Axioma de sustitución: si a=b, entonces, podemos sustituir a por
b en cualquier expresión matemática
v. Principio fundamental de las igualdades (PF): si efectuamos las
mismas operaciones con cantidades iguales, los resultados serán
iguales
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
1. Si 0 = 2x + 7, entonces 2x + 7 = 0 (por simetría)
2. Si z = 3x + 7 y z = 2x – 1, entonces 3x + 7 = 2x – 1 (por transitividad)
3. Si 6x = 1, entonces 1 (6x) = 1 (1) (Por PF ó por sustitución)
6
6
VERIFICANDO SU COMPRENSION
2.2 ECUACIONES
ECUACIONES
Y
CONCEPTOS
RELACIONADOS
CON
LAS
DEFINICION: Se llama ecuación a una igualdad entre dos expresiones
algebraicas
Recordamos: expresión algebraica es un número, una variable o una
combinación de números y variables por medio de operaciones:
suma, resta, multiplicación, cociente, potenciación y radicación.
CONCEPTOS RELACIONADOS CON LAS ECUACIONES.
 Incógnitas de una ecuación: son las variables que aparecen en
la expresiones algebraicas de las ecuaciones
 Raíz o solución de una ecuación: es el número (o los números)
para el cual la ecuación tiene el mismo valor numérico en sus
dos miembros.
NOTA: al sustituir la incógnita de una ecuación por un valor numérico
se dan dos casos.
 Cada miembro asigna un número real ó
 Al menos un miembro de la ecuación no origina un número
real.
11
En el primer caso se deduce que el valor numérico es un valor
permisible; en el segundo, que es un valor no permisible.
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
7
8
 3x  10 , porque ambos
1. 6 y
son soluciones de la ecuación
3
5 x
miembros tiene el mismo valor numérico, 8, cuando x=6 y, -3, cuando
7
x= .
3
8
 3x  10 por que 5 es un
2. 5 y 0 no son raíces de la ecuación
5 x
valor no permisible de x y si x=0, la igualdad no se cumple
8
 3(0)  10 .
50
VERIFICANDO SU COMPRENSION
CONJUNTO SOLUCION DE UNA ECUACION: Son todos los números
para los cuales se cumple la igualdad que define a una ecuación.
ECUACION IDENTIDAD: Es aquella en la cual la igualdad se cumple
para todos los valores permisibles de la incógnita.
ECUACION IMPOSIBLE: Es aquella que no tiene solución
ECUACION CONDICIONADA: Es aquella en la cual la igualdad sólo se
cumple para algunos valores de la incógnita
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
x2
 1 es una identidad por que la igualdad se cumple para
a)
x2
todos los valores permisibles de “x”, los números reales, excluido
el 2.
b) x 2  1 es una ecuación imposible.
c) x 2  4  0 es una ecuación condicionada. La igualdad se
cumple si x=2 ó x=-2. El conjunto es C.S =  2,2
VERIFICANDO SU COMPRENSION
ECUACIONES EQUIVALENTES: Son las que tienen el mismo conjunto
solución
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
1. Las siguientes ecuaciones son equivalentes:
x2  4 y
x 2  4  0 y (x-2)(x+2)=0
2. Las siguientes ecuaciones no son equivalentes:
x 1
 0 por que no tienen el mismo conjunto
(x-1)(x-5) = 0 y
x5
12
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
SOLUCION
Para la primera C.S = 1,5
Para la segunda C.S = 1
DEFINICION: Se llama ecuación lineal con una incógnita a cualquier
ecuación que pueda escribirse (o este escrita) en la forma ax + b = 0,
donde a y b son números reales y a ≠ 0
NOTA: a las ecuaciones lineales se les llama también, ecuaciones de
primer grado por que el mayor exponente con que aparece la
incógnita es 1.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
1. La ecuación 3x = 0 es lineal, con a = 3 y b = 0
2. La ecuación -2x = 7 es lineal, con a = -2 y b = -7
2
 5  x ¿Por qué?
3. No son lineales x 2  x  4 y
x
2.3. RESOLUCION DE ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE
Para resolver una ecuación, simplificamos su forma, lo cual consiste
en transformarla en otras ecuaciones equivalente hasta obtener una
ecuación equivalente que reúne en uno de sus miembros todos los
términos independientes y finalmente se dividen ambos miembros
entre el coeficiente de la incógnita. Las transformaciones se hacen
aplicando los axiomas de igualdad.
NOTA: Se recomienda comprobar los resultados mediante la
sustitución de la incógnita.
NOTA: Nos limitamos a resolver ecuaciones lineales con una incógnita
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS.
1. Resolver la ecuación 5x – 7 = 3x - 1
SOLUCION
5x – 7 = 3x – 1 ---------------------dada
2x – 7 = 1 --------------------------- principio fundamental de las igualdades
2x = 8 -------------------------------- principio fundamental de las igualdades
X = 4 ---------------------------------- principio fundamental de las igualdades
5x  7  5(4)  7  13
Comprobación. Si x = 4: 
3x  1  3(4)  1  13
13
Ambas igualdades se cumplen, por lo tanto x=4 es solución y C.S = 4
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
2. Resolver la ecuación
3  2x 1 x  1
 
2
4
3
3
SOLUCION
3  2x 1 x  1
 
 2 -------------------------------dada
4
3
3
 3  2x 1 
 x 1

------------------- multiplicando
 12  
 2 12

3
 4
 3

miembros para el m.c.m de los denominadores: 4 y 3
ambos
2.4 RESOLUCION DE PROBLEMAS USANDO ECUACIONES
Problema: nos proponemos resolver problemas de la vida real
mediante el uso de ecuaciones.
A continuación ilustramos la manera en la que frases y problemas
verbales pueden planearse como expresiones algebraicas.





Un número aumentado en 5 se representa como x+5
Cinco veces un número disminuido en 4: 5x-4
Un número supera en 6 a otro: x+6 es un número y x el otro.
La suma de dos números es 15: sea x un número, 15-x es el
otro
1
Un número es la tercera parte del otro: x .
3
Para plantear la ecuación con la cual se resolverá el problema,
conviene leer el enunciado tantas veces como sea necesario hasta
que se entienda bien y se puedan diferenciar las magnitudes
desconocidas, los datos y las relaciones que sugiere el enunciado del
problema. Sólo entonces:




Represente una de las magnitudes por x y usando los datos
represente todas las otras magnitudes en términos de x.
Determine dos expresiones que sean iguales
Resuelva la ecuación
Compruebe la solución.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
1. Don Rogelio cobra un cheque por $10,000 en la ventanilla de un
banco. Después de recibir $800 en billetes de cien, la cajera le
informa que el resto se lo pagará en billetes de $20 por que sólo le
14
quedan de esa denominación. ¿Cuántos billetes de $20 recibirá Don
Rogelio?
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
SOLUCION
Sea x el número de billetes de veinte
El dinero que recibirá en billetes de veinte es 20x
Ya recibió $800.
Debe cumplirse 800 + 20x = 10,000
20x = 9200
2x = 920
X = 460
Recibirá 460 billetes de 20 dólares
2. En un inicio de clases, los Martínez gastaron $224 en la nueva ropa
1
escolar de sus dos hijos. Si la ropa de sus hijos costó 1 del costo de la
3
ropa para el menor. ¿Cuánto gastaron por cada niño?
SOLUCION
1
4x
Sea x el gasto de la ropa del hijo menor 1 x 
, es el gasto de la
3
3
ropa del hijo mayor.
Debe cumplirse
4x
x
 224
3
3x + 4x = 672
7x = 672
X = 96
Gastaron $96 en la ropa del hijo menor y $128 en la ropa del hijo
mayor.
VERIFICANDO SU COMPRENSION
1. El número de mujeres en una clase es 8 mas que el doble de
varones. Si hay 72 mujeres en la clase ¿Cuántos varones hay?
2. Amadeo se dio cuenta que ya había resuelto la tercera parte de
los problemas de su tarea de matemática, y que al resolver dos
problemas más estaría a la mitad de la tarea, ¿Cuántos problemas
tenía la tarea?.
2.5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES
15
DEFINICION: A una ecuación que puede escribirse en la forma
ax+by=c, donde a, b y c son números reales y a y b no son 0, se
llama ecuación lineal con dos variables x y y
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
Resolver una ecuación de la forma ax + by = c para una de las
variables “y” es transformarla en otra ecuación equivalente que
tenga la variable y como uno de sus miembros. En lugar de resolver
para y se dice también despejar y.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
Resuelva la ecuación 3x – 2y = 5
a) Para y
b) Para x
Para a)
Para b)
3x – 2y = 5
-2y = 5 – 3x
2Y =
3x – 5
1
(3 x  5)
y=
2
3x – 2y = 5
3x = 5 + 2y
2y = 3x – 5
1
(5  2 y )
x=
3
VERIFICANDO SU COMPRENSION
1. Resuelve para x cada ecuación
a) 3x – 5 = 2y
b) 2y – 6x – 5 = 0
2. Resuelva para y cada ecuación
a) 2x – y = 5
b) x + 5y = 6
c) 2 – 4x = y =
1
y
2
c) x – 2y = 8
DEFINICION: Un par de números (a,b) es solución de la ecuación
ax+by = c si al sustituir x por a y la y por b, la igualdad se cumple.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
1. El par (1,5) es solución de 3x + 2y = 13
COMPROBACION
3x + 2y = 2 (5) = 3 + 10 = 13
2. El par (5,1) no es solución de 3x + 2y = 13
SE DEJA COMO EJERCICIO
VERIFICANDO SU COMPRENSION
16
1. ¿Para cuál de las ecuaciones siguientes, el par (2,-3) es una
solución?
a) 3x – 5y = 21
b) 5x – 3y = 19
c) x + y = 1
2. ¿Para cuál valor de a, el par (a,3) es solución de
1
1
1
x y ?
2
3
6
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
DEFINICION: Un par de números (p,q) es solución del sistema
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Si al sustituir la x por p y la y por q, la igualdad se cumple en ambas
ecuaciones.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
2 x  y  5
1. El par (3,1) es solución del sistema 
x  y  4
SOLUCION
2 x  y  2(3)  1  6  1  5
Si x = 3 y y = 1, entonces 
x  y  3  1  4
Puesto que la igualdad se cumple en ambas ecuaciones, (3,1) es
solución del sistema dado.
2 x  y  5
2. Determine si el par (3,1) es solución del sistema 
x  y  4
SOLUCION
2 x  y  2(3)  1  6  1  5
Si x = 3 y y = 1, entonces 
x  y  3  1  2  4
Puesto que sólo una igualdad se cumple (3,1) no es solución del
sistema.
VERIFICANDO SU COMPRENSION
1. ¿Para cuál sistema es el par (1,3) una solución?
2 x  1  y
2 x  1  y
3x  1  y
a) 
b) 
c) 
x  2 y  5
 x  2 y  5
3 y  1  x
2. ¿Cuál de los pares dados es solución del sistema?
5x – 3y = 0
7x – y + 16 = 0
a) (0,0)
b) (-3,5)
c) (-3,-5)
2.6
METODOS
ECUACIONES
ALGEBRAICOS
PARA
RESOLVER
SISTEMAS
DE
17
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas, es necesario obtener, partiendo de las dos ecuaciones
dadas, una única ecuación con una incógnita. Esta operación se
llama eliminación. Los métodos de eliminación más usuales son tres:
igualación, sustitución y reducción.
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
ELIMINACION POR IGUALACION
Descripción del método
a) Se despeja la misma incógnita, por ejemplo la y, en ambas
ecuaciones
b) Se igualan entre sí las dos valores de y que hemos obtenido y
ya tenemos una ecuación con una incógnita, la x. Se resuelve
esta ecuación para x
c) Sustituyendo el valor de x en cualquiera de las ecuaciones
dadas, se obtiene el valor de y.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
3x  2 y  14
Resolver el sistema 
2 x  3 y  8
SOLUCION
Despejando la y en ambas ecuaciones
1
y  (3x  14)
2
1
y  (2 x  18)
2
1
1
(3x  14)  (2 x  8)
2
3
9x + 42 = -4z + 16
13x = 16 – 42
13x = -26
X = -2
Sustituyendo x=-2 en 2x +3y = 8, resulta que
2(-2) + 3y = 8
-4 + 3y = 8
3y = 12
y=4
La solución del sistema es (-2,4)
SE DEJA COMO EJERCICIO.
VERIFICANDO SU COMPRENSION
1. Resuelva por el método de igualación.
18
2 x  3 y  12
a) 
3x  2 y  12
3x  2 y  2
b) 
5 x  8 y  60
2 x  y  10
c) 
6 x  3 y  6
13y  8 x  30
d) 
14x  11y  29
5 y  x  9
e) 
4 x  3 y  13
3x  5 y  7
f) 
2 x  y  4
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
ELIMINACION POR SUSTITUCION
Descripción del método
a) Se resuelve una de las ecuaciones para una de las variables,
digamos para la y, (puede ser para la x)
b) Este valor de y se sustituye en la otra ecuación y ya tenemos
una ecuación con una incógnita, la x en cualquiera. Se
resuelve esta ecuación para la x
c) Sustituyendo el valor de x en cualquiera de las ecuaciones
dadas, se obtiene el valor de y.
NOTA: La eliminación por sustitución es más fácil cuando uno de los
coeficientes en una ecuación es 1.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
2 x  y  9
Resolver por sustitución el sistema 
3x  y  1
SOLUCION
Como en la segunda ecuación el coeficiente de la y es 1, esta
ecuación se resolverá para y.
y = 1 – 3x (resolviendo la 2da ecuación para y)
2x-(1-3x) = 9 (sustituyendo en la 1ª)
2x – 1 + 3x = 9
5x = 10
x=2
y=1–3(2)=1–6 =-5 (sustituyendo el valor de la x en la fórmula que da y)
La solución del sistema es (2,-5)
SE DEJA COMO EJERCICIO
3x  4 y  4  0
2. Resuelva por sustitución el sistema 
6 x  2 y  3  0
SOLUCION
1
y  ( 4  3 x) (resolviendo la 1ª ecuación para y)
4
 4  3x 
6 x  2
  3  0 (sustituyendo en la 2da.)
 4 
1
6 x  (4  3 x)  3  0
2
12x – (4 – 3x) – 6 = 0
12x – 4 + 3x – 6 = 0
19
15x – 10 = 0
3x = 2
2
x
3
2 1
1
 2  1
y  4  3   (4  2)  
4 2
4
 3  4
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
2 1
La solución del sistema es el par  , 
3 2
SE DEJA COMO EJERCICIO
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
1. Resuelva por el método de sustitución
x  y  8
4 x  5 y  5
a) 
c) 
2 x  y  1
 10y  4 x  7
5x  2 y  5  0
x  3 y  6
b) 
d) 
3x  y  3  0
5 x  2 y  13
4 x  3 y  6  0
e) 
3x  2 y  4  0
 13y  11x  163
f) 
 8x  7 y  94
ELIMINACION POR REDUCCION
Descripción del método
a) Se multiplica cada ecuación por un número diferente de cero,
el cual se elige de tal manera que los coeficientes resultantes
de una de las variables, por ejemplo la y, difieran solo en sus
signos.
b) Se suman miembro a miembro las ecuaciones del nuevo
sistema (con ello se elimina la y). La ecuación resultante se
resuelve para x.
c) Sustituyendo el valor de x en cualquiera de las ecuaciones
dadas, se obtiene el valor de y.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
3x  2 y  14  0
Resuelva por reducción el sistema 
2 x  3 y  8  0
Si multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2, resulta
que los coeficientes de la y difieren sólo en sus signos.
3 (3x – 2y + 14) = 3 (0), o bien, 9x – 6y + 42 = 0
2 (2x + 3y - 8) = 2 (0), o bien, 4x + 6y - 16 = 0
Sumamos miembro a miembro las ecuaciones del nuevo sistema
para eliminar la y y obtener el valor de x.
9x – 6y + 42 = 0
4x + 6y - 16 = 0
13x
+ 26 = 0
13x = -26
x = -2
20
Sustituyendo x = -2 en 3x – 2y + 14 = 0 resulta que
3 (-2) – 2y + 14 = 0
-6 – 2y + 14 = 0
- 2y + 8 = 0
2y = 8
y=4
La solución del sistema es (-2,4)
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
SE DEJA COMO EJERCICIO
NOTA: Cuando en el sistema de ecuaciones dado los coeficientes de
una de las variables difieren solo en su signo, se omite el paso 1.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
3x  2 y  6
Resuelva por reducción el sistema 
x  2 y  2
Sumamos miembro a miembro las ecuaciones del nuevo sistema
para eliminar la y y obtener el valor de x.
3x – 2y = 6
x + 2y = 2
4x
=8
x=2
Sustituyendo x = 2 en x + 2y = 2 resulta que
2 + 2y = 2
2y = 0
y =0
La solución del sistema es (2,0)
SE DEJA COMO EJERCICIO.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
1. Resolver por reducción
12x  14 y  20
a) 
12 y  14x  19
x  2 y  9
b) 
4 x  3 y  1
5 y  8 x  3
c) 
 8 x  3 y  7
7 x  15y  1
d) 
 x  6 y  8
9 x  11y  14
e) 
6 x  5 y  34
2 x  5 y  21
f) 
x  5 y  3
21
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
3. FUNCIONES
3.1
DEFINICION DE FUNCION Y TERMINOS RELACIONADOS CON LA
DEFINICION
DEFINICION: Una función f, es una correspondencia entre dos conjuntos
X y Y, de tal manera que a cada elemento x  X, le corresponde un
único elemento y  Y.
X se lama “dominio de la función f”
Y se llama “codominio de la función f”
El conjunto de elementos y  Y que están en correspondencia con algún
x  X, se llama “recorrido (o rango) de la función f”
NOTACION: Cuando escribimos y=f(x) estamos indicando que “y” es
el único elemento en Y que la función f asigna a x en X. Por lo tanto
llamamos a f(x) “valor de f en x”.
El valor de f en x (que es “y”) depende de la elección de x, por lo que
se llama “variable dependiente” mientras que a la “x” la
denominaremos “variable independiente”.
RESTRICCION: En general el dominio, y el codominio de una función f
no necesitan ser conjunto de números reales. Sin embargo
consideraremos únicamente funciones en las que ambos son
subconjuntos
de números reales; es decir, consideraremos
únicamente “funciones reales de una variable real”
Para especificar una función, conociendo una descripción de ella, es
suficiente establecer
a) su dominio y
b) su regla de correspondencia, es decir una regla para evaluarla.
NOTAS
1. La regla de correspondencia que define a una función,
usualmente es una fórmula o una ecuación.
2. Llamamos “dominio natural de una función” al conjunto de
todos los valores de la variable independiente para los que la
fórmula (o ecuación) origine un número real. Decimos que la
22
función f está definida en un conjunto S, cuando S está
contenido en el dominio natural de f.
3. Si se da la regla de correspondencia y no se especifica el
dominio, se sobreentiende que éste, es su dominio natural.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
1. Encuentre una fórmula que exprese el área de un cuadrado en
función de su perímetro.
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
SOLUCION
A: el área del cuadrado (variable dependiente)
P: el perímetro del cuadrado (variable independiente)

 : longitud del lado (variable no deseada)
A=  2


p=4 

Eliminemos la variable no deseada del sistema de ecuaciones (por
sustitución)
A=  2
y
p=4 
p
A=  2
y
=
4
2
 p2 
 p

Entonces: A=    
16
4


 A p  
Así
A4 
p2
,
16
42

=1
16
D= 0,
es el valor del área de un cuadrado que tiene un
perímetro de 4 unidades
2. Un hombre dispone de 40 pies de malla de alambre para cercar
un jardín rectangular, utilizando como muro un lado de su casa.
Encuentre una fórmula que exprese el área del jardín en función de x
(la longitud de uno de sus lados).
SOLUCION
A: el área del rectángulo (variable dependiente)
x: longitud de un lado del rectángulo (variable independiente)
casa
A= xy
(aquí “y” es una variable no deseada)
x
x
40=2x + y
y
Eliminamos la variable no deseada del sistema de ecuaciones por el
método de sustitución así:
A= xy y
P=4 
AQ-2x= y
23
Entonces A: =x (40-2x) = 40x – 2 x 2
El mayor valor de x será cuando y=0; es decir si 40-2x = 0 o bien x=20
D= 0,20
 A x   40x  2x 2 ,
VERIFICANDO SU COMPRENSION
1. Con una hoja cuadrada de cartón, de 50 cms por lado, se hará
una caja sin tapa, recortando un cuadrado en cada una de sus
esquinas y luego doblando los bordes hacia arriba. Expresar:
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
a) El área de la base y b) El volumen de la caja,
en función de la longitud “x” del lado del cuadrado recortado.
2. Un cable de 100 cms de longitud se corta en dos pedazos. Con un
pedazo que tiene x cms de longitud se construye un cuadrado y con
el otro un rectángulo cuya base es el doble de la altura. Expresar la
suma de las áreas (del cuadrado y rectángular) en función de x.
3.2 GRAFICA DE UNA FUNCION
DEFINICION: La gráfica de una función f, es el conjunto de puntos en el
plano cartesiano, cuyas coordenadas satisfacen la fórmula (o
ecuación) que defina f”

En símbolos: Gráfica de f  x, y R2 / x  Df

 y  f ( x)
EJEMPLO ILUSTRATIVO
1. Sea f la función definida por f ( x)  x2 en  1,4
Entonces
(0,0)  gráfico de f. ¿Porqué?
(2,4)  gráfico de f. ¿Porqué?
(-1,1)  gráfico de f. ¿Porqué?
(4,16)  gráfico de f. ¿Porqué?
VERIFICANDO SU COMPRENSION
2. Sea g la función definida por g ( x ) 
1
x
a) ¿Cuál es el domino natural de g?
b) Si g está definida en 0,5 , determine puntos en la gráfica de g
y puntos que no estén en la gráfica de g. Justifique su respuesta
PROCEDIMIENTO PARA GRAFICA SU FUNCION
Para construir la gráfica de una función se sugieren tres pasos.
PASO 1: Obtener las coordenadas de unos puntos que satisfagan la
ecuación que define a la función. Presentar estos puntos en una tabla
de valores
PASO 2: Ubicar en el plano los puntos de la tabla de valores y
24
PASO 3: Unir los puntos mediante una curva de trazo contínuo
NOTA: Al construir la gráfica de una función definida en un intervalo
a, b o a, b , conviene comenzar la tabla de valores con el punto con
abscisa “a” y terminar con el punto con abscisa “b”. Cuando el
intervalo es abierto, se eliminan los puntos terminales de la gráfica,
dejando en su lugar un hueco.
EJEMPLO ILUSTRATIVO
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
1
en
x
b) 1,4
Construir la gráfica de g ( x ) 
1,4
a)
SOLUCION
g (x)
a) x
1
2
1
1
3
1
4
1
y
1
1
2
1
2
3
1
4
3
1
2
3
x
4
4
b) y
y
1
1
1
1
4
1
4
x
4
1
4
x
VERIFICANDO SU COMPRENSION
Construya la gráfica de f ( x)  x2 en
a)  1,2
b)  1,2
c) ,2
d)  1,2
3.3 FUNCIONES ESPECIALES Y SUS GRAFICAS
3.3.1. FUNCIONES POLINOMIALES
DEFINICION: Una función polinomial es cualquier función f, que tenga
como regla de correspondencia una expresión de la forma
f ( x)  an xn  an 1xn 1  ....... a2 x2  a1x  a0
Donde los coeficientes a0  a1......an , son números reales y los exponentes
son enteros no negativos
25
Obviamente, el dominio natural de cualquier función polinomial es R.
Si an  0 , n es el grado de la función polinomial
Particularmente, una función polinomial
 De grado 0, f ( x)  a0 , se llama “función constante”.
 De grado 1, f ( x)  ax  b , se llama “función lineal”.
De grado 2, f ( x)  ax2  bc  c , se llama “función cuadrática”
De grado 3, f ( x)  ax3  bx2  cx  d , se llama “función cúbica”


Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
CASO A: FUNCION LINEAL Y SU GRAFICA
Graficar en el intervalo  1,5 la función f
a) Si f ( x)  2 x  1 o y= 2x-1
b) Si f ( x)  2 x  1 o y= -2x-1
SOLUCION
En ambos casos, la tabla de valores constará de dos puntos, porque
como pronto veremos, la gráfica de una función líneal es una línea
recta y toda recta está determinada por dos puntos de ella.
a)
x
y
-1
5
-3
9
y
5
0
0
1
2
3
5
4
-3
b)
x
y
1
-2
-1
5
1
-11
-1
0
2
4
5
-10
-11
Advierta: cuando en la ecuación que define a una línea recta, la
variable dependiente está despejada:
- La recta sube si el coeficiente de la variable independiente es
positivo; es decir, el valor “y” crece al crecer el valor de “x”.
- La recta baja si el coeficiente de la variable independiente es
negativo; es decir, el valor de “y” decrece al aumentar el valor de
“x”.
NOTA: Si c es una constante, entonces
y=c representa una recta horizontal y
x=c representa una recta vertical
DEFINICION: Si una línea recta no es vertical y P(x,y) con Q ( x2 , y2 ) son
puntos distintos de la recta, entonces la “pendiente de la recta” es
y  y1 diferenciade ordenadas
m 2

x2  x1
diferenciade abscisas
26
NOTA 1. La pendiente de una recta vertical no está definida porque
y  y1 y 2  y1
en tal caso x2  x1 = c – c = 0, de modo m  2
y la división

x2  x1
0
entre cero no está permitida.
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
NOTA 2. La pendiente de una recta horizontal es cero ya que y 2  y1 =
y  y1
c – c = 0, y m  2
 0.
x2  x1
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
Encuentre la pendiente de la recta representada por la ecuación
a) y = 2x – 4
b) y = -2x + 4
SOLUCION
En cada caso necesitamos dos puntos (cualesquiera)
pertenezcan a la gráfica de la ecuación dada.
Para a)
Para b)
x
0
2
y
-1
0
m
1 0
2
02
x
0
2
y
4
0
m
40
 2
02
que
Advierta: en cada caso, la pendiente de la recta es el coeficiente de
la variable independiente, cuando la variable dependiente está
despejada. Consecuentemente
m > 0, indica que la recta sube
m< 0, indica que la recta baja
m = 0, ni sube ni baja
VERIFICANDO SU COMPRENSION
Encuentre de dos maneras distintas, la pendiente de la recta
representada por la ecuación.
a) 3x – 2 = 4y
b) 3 – 2y = x
27
Para obtener la ecuación que define a una recta se tienen las
siguientes alternativas
PRIMERA FORMA: PUNTO PENDIENTE
Si (x1,y1) es un punto específico de una recta no vertical, (x,y) es
cualquier otro punto situado sobre la recta y m es la pendiente,
entonces la ecuación se puede escribir como: y – y1 = m (x – x1), que
es la forma punto pendiente de la ecuación de la recta que pasa a
través del punto (x1,y1) y cuya pendiente es m.
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
Particularmente, si en la forma punto pendiente (x1,y1) = (0,b), donde
b se llama intersección “y” y es la ordenada del punto donde la
recta cruza el eje y, se tiene y-b = m(x-0) = mx o bien y = mx + b.
y = mx + b es la fórmula “pendiente-intersección” de la ecuación de
la recta.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
1. Determine la ecuación
pendiente 6.
SOLUCION
Tomando (x1,y1) = (1,3)
obtiene
y – 3 = 6 (x-1)
y – 3 = 6x – 6
y = 6x – 3
de la recta que pasa
y m=6
por (1,3) con
en la forma punto pendiente se
2. Calcule la pendiente y la intersección “y” de 2x+3y+6 = 0
SOLUCION
Despejando y:
y =  2 x2
3
2
Por tanto m =  es la pendiente y b = -2 es la intersección “y”
3
VERIFICANDO SU COMPRENSIÓN
1. Determine la ecuación de la recta que pasa por (-1,-3)
pendiente -1.
2. Calcule la pendiente y la intersección “y” de y-2x+1=0
SEGUNDA FORMA: DOS PUNTOS
con
28
Si (x1,y1) y (x2,y2) son puntos específicos de una recta no vertical y
(x,y) es cualquier otro punto situado sobre la recta, entonces y  y1 y
x  x1
y2  y1
son expresiones de la pendiente, por lo tanto
x2  x1
y  y1 = y2  y1 =m o bien y – y = y2  y1 (x-x )
1
1
x2  x1
x2  x1
x  x1
Esta última igualdad recibe el nombre de Forma de dos puntos de la
ecuación de la recta que pasa a través de los puntos (x1,y1) y (x2,y2).
NOTA: En la forma dos puntos de la ecuación de la recta, a
cualquiera de los dos puntos se puede elegir como (x1,y1).
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
EJEMPLO ILUSTRATIVO
Halle la ecuación de la recta que pasa a través de los puntos (6,-4) y
(1,-1).
SOLUCION
Tomando (x1,y1) = (6,-4)
Tomando (x1,y1) = (1,-1)
y-(-4) =  1  (4) ( x  6)
y-(-1) =  4  (1) ( x  1)
y+4 = 3( x  6) ( x  6)
y+1 =  3( x  1)
-5(y+4) = 3(x-6)
5(y+1) = -3(x-1)
-5y – 20 = 3x – 18
5y + 5 = -3x + 3
0 = 3x + 5y + 2
3x + 5y + 2 = 0
1 6
1 6
6 1
5
VERIFICANDO SU COMPRENSION
Halle la ecuación de la recta que para a través de los puntos (-6,4) y
(-1,1).
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES: Dos rectas paralelas o
perpendiculares entre sí, pueden caracterizarse por medio de sus
pendientes
RECTAS PARALELAS: Dos rectas no verticales y=m1x+b1 y y= m2x + b2
son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente (m1 = m2)
29
RECTAS PERPENDICULARES: Las dos rectas y=m1x+b1 y y= m2x + b2
son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1
(m1m2= -1) (aquí se supondrá, por supuesto, que m1 ≠ 0 y= m2 ≠ 0), por
lo tanto, ninguna de las dos rectas es horizontal o vertical.
EJEMPLO ILUSTRATIVO
Los siguientes pares de recta ¿son paralelas, perpendiculares o
ninguno de los casos?
a) Pasa a través de (2,5) y (4,9) y a través de (3,-1) y (6,5)
b) Pasa a través de (4,0) y (2,-1) y a través de (2,5) y (5,1)
c) Pasa a través de (12,5) y (10,4) y a través de (-1,0) y (0,-2)
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
SOLUCION
a) m1  9  5  4  2 , m2  5  (1)  6  2
42
63
2
m1 = m2
3
 son paralelas
b) m1  0  (1)  1 , m2  5  11   6  2
42
2
25
3
 ninguna de las dos
c) m1  5  4  1 , m2   2  0  2
12  10
2
m1m2 =-1
0  (1)
 son perpendiculares
VERIFICANDO SU COMPRENSION
Los siguientes pares de rectas, ¿son paralelas, perpendiculares o
ninguno de los casos?
a) 6x + 3y = 4
2x + y = -5
b) 8x – 2y = 5
x + 4y = 15
CASO B: FUNCION CUADRATICA Y SU GRAFICA
Recordamos: una función polinomial, f, de grado 2, definida por
f(x)=ax2+bx+c, donde a,b y c son números reales, a≠0, se llama
función cuadrática.
30
La ecuación, y = ax2+bx+c, que define a una función cuadrática se
llama ecuación cuadrática (escrita en forma estándar).
Así: y = 3x2-x+4 y y + x = x2 – 5 son ecuaciones cuadráticas, pero
sólo la primera función está en forma estándar.

Se dice que una ecuación cuadrática es completa si tiene un
término en x2, un término en x y un término independiente de x.
Así, las ecuaciones.
a) x2 = 2x – 5 + y
b) x2 + 3x – 8 = y
c) x2 - x = 3y – 4
Son ecuaciones cuadráticas completas (solo b) está en forma
estándar).
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda

Se dice que una ecuación cuadrática es incompleta si es de la
forma:
y = ax2 + c (carece del término en x) o de la forma
y = ax2 + bx (carece del término independiente)
A la abscisa a del punto (a,0), donde la gráfica de f cruza al eje x
(la intersección x) se llama

Cero de la función cuadrática, o bien
 Raíz de la ecuación cuadrática
DEFINICIÓN: Las raíces de una ecuación cuadrática son los valores de
la incógnita (x en nuestro caso) que satisface la ecuación)
NOTA 1: Resolver una ecuación cuadrática es hallar las raíces de la
ecuación. Si estamos interesados solo en los valores reales, pueden
ocurrir tres casos: que la cuadrática tenga dos raíces reales, una sola
raíz real o que carezca de solución real.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
La ecuación y = (x-1)(x+2) tiene dos raíces reales: x=1 y x=-2. En
efecto 0 = (x-1)(x+2).
Si x = 1, se cumple 0 = 0 (x+2) = 0
Si x = 1, se cumple 0 = 0 (x+2) = 0
La ecuación y = (x-4)2 tiene una solución real única: x=4.
31
En efecto 0 = (x-4)2, Si x = 4, se cumple 0 = (4-4)2 = 0
La ecuación y=x2+4 carece de solución real porque 0=x2+4 es lo
mismo que x2=-4 y cualquier potencia para de un número real es un
número negativo.
NOTA 2: Hallar los ceros de una función cuadrática es hallar las raíces
de la ecuación (cuadrática) que la define. Así:

Los ceros de f(x) = (x-1)(x+2) son las raíces de la ecuación
y=(x-1)(x+2)(1y-2).

La función f(x) = (x-4)2 tiene un cero único, porque la ecuación
y=(x-4)2 tiene una raíz real única (x=4)
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda

La función f(x) = x2+4, carece de ceros, porque la ecuación
y = x2+4 no tiene raíces reales.
METODOS PARA RESOLVER ECUACIONES CUADRATICAS
Existen métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas y
varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas; sin
embargo, utilizaremos únicamente el método de la fórmula general
que igual sirve para los distintos tipos de ecuaciones cuadráticas.
FORMULA GENERAL PARA RESOLVER ECUACIONES CUADRATICAS
Las raíces de la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0 son:
x
 b  b 2  4ac
2a
Fórmula general.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a) 2x2 = 3 – 5x
b) x2 + 9 = 6x
d) x2 = 4
e) x2 – 2x = 0
c) x2 + 2x + 2 =0
SOLUCION
En cada caso, para identificar a,b y c
ecuación debe estar en forma estándar.
Así :
de la fórmula general, la
32
Para a) 2x2 + 5x – 3 = 0
:
a = 2, b = 5, y c = -3
Para b) x2 - 6x + 9 = 0
:
a = 1, b = 6, y c = 9
Para c) x2 + 2x + 2 = 0
:
a = 1, b = 2, y c = 2
Para d) x2 + 0x – 4 = 0
:
a = 1, b = 0, y c = -4
Para e) x2 - 2x + 0 = 0
:
a = 1, b = -2, y c = 0
En la fórmula cuadrática, la expresión b2 – 4ac que aparece dentro
del signo radical se llama discriminante de la ecuación cuadrática. Al
determinar el valor del discriminante se obtiene información acerca
de la naturaleza de las raíces, sin tener que resolver realmente la
ecuación.
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda

Si
b2 – 4ac > 0 y tiene raíz exacta, habrá dos raíces distintas y
racionales

Si
b2 – 4ac > 0 y no tiene raíz exacta, habrá dos raíces distintas e
irracionales

Si b2 – 4ac = 0, entonces, habrá una raíz única

Si b2 – 4ac < 0, la solución no es un número real.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
Determine la naturaleza de las raíces de la ecuación dada:
a) 3x2 – 7x + 2 = 0
b) 2x2 = 4x – 1
c) 25 = 10x - x2
VERIFICANDO SU COMPRENSION
Determine la naturaleza de las raíces de las ecuaciones
a) 6x2 = 11x + 10
b) 2x2 = x – 3
GRAFICA DE UNA FUNCION (ECUACION) CUADRATICA
PRIMERA FORMA: Usando deslazamientos y reflexiones de la gráfica
de la ecuación y = x2
y
33
y=x2
(0,0)
Para un número real c mayor que cero:

La gráfica de y = x2 + c, es la gráfica de y = x2 desplazada
unidades hacia arriba.
c

La gráfica de y = x2 - c, es la gráfica de y = x2 desplazada
unidades hacia abajo.
c

La gráfica de y = (x + c)2, es la gráfica de y = x2 desplazada c
unidades hacia la izquierda.
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda

La gráfica de y = (x – c)2, es la gráfica de y = x2 desplazada c
unidades hacia la derecha.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
6
4
2
y
y
5
y=x2+4
y=x2+4
(0,4)
0
-3
0
-2
-2
-1
2
x
1
2
3
(0,4)
y
5
y=(x+4)2
0
-6
-4
-2
y
5
y=(x+4)2
x
34
x
0
2
6
4
La gráfica de y = -x2, es la gráfica de y = x2 reflejada
y
0
0
y=-x2
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
La gráfica de y = 4 - x2, se obtiene de la gráfica de y = x2 reflejándola
y luego la reflexión se desplaza 4 unidades hacia arriba (cruza el eje
de x en -2 y 2).
La gráfica de y = 4 – (x+2)2, se obtiene de la gráfica de y = x2
desplazándola 2 unidades hacia la izquierda; esta a su vez se refleja y
la reflexión se desplaza 4 unidades hacia arriba (Corta al eje x en -4 y
0).
20
І
-4
І
0
y
y
y=4(x+2)2
І
І
0
І
І
І
0
0
І
x
x
y=4-x2
Advierta: Cuando en una función cuadrática la variable dependiente
está despejada.
 Si el coeficiente de x2 es positivo, la gráfica es cóncava hacia
arriba
 Si el coeficiente de x2 es negativo, la gráfica es cóncava hacia
abajo
VERIFICANDO SU COMPRENSION
Construya mediante desplazamiento (y reflexiones) de la gráfica de
y=x2, las gráficas de las siguientes ecuaciones:
a) y = (x-1)2 – 1
b) y = 1-(x+2)2
c) y = -1- (x-2)2
35
SEGUNDA FORMA: Usando las raíces de la ecuación

Si la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales, r1 y r2, se
ubican en el plano los puntos (r1,0),  r1  r2 , f  r1  r2   y (r2,0) y
 2
 2 
luego se unen con una curva de trazo continua
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
1. Construya la gráfica de la función f definida por f(x) = 2x2 + 3x - 2
SOLUCION
f(x) = 2x2 + 3x – 2 = 0, cuando x = 1
entonces
 
o x = -2 (verificarlo), si r  1 y r=-2,
2
2
25
r1  r2
3
y f  34  

8
2
4
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
 3 25   1 
,  y  ,0 
 4 8  2 
Los puntos a ubicar en el plano son (-2,0),  
y
y=2x2+3x+2
0
0
x
2. Construya la gráfica de la ecuación y=-2x2-3x+2
SOLUCION
f(x) = -2x2-3x+2 = 0, cuando x= 1
entonces
 
2
o
x=-2 (verificarlo), si r  1 y r=-2,
2
25
r1  r2
3
y f  34 

8
2
4
 3 25   1 
,  y  ,0 
 4 8  2 
Los puntos a ubicar en el plano son (-2,0),  
y
5
25
8
0
-2
0
x
36

3
4
Si la ecuación cuadrática tiene una raíz real única, r entonces se
ubica en el plano el punto (r,0) y la intersección y, (0,y) y luego se
unen los puntos con una curva de trazo continuo.
 Cóncava hacia arriba, si el coeficiente de x2 es positivo.
 Cóncava hacia abajo, si el coeficiente de x2 es negativo.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
1. Construya la gráfica de la ecuación f(x) = x2 + 2x +1
SOLUCION
y = x2 + 2x + 1 = 0, únicamente si x=-1 (verifíquelo).
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
La intersección y es 1. Los puntos a ubicar en el plano son (-1,0), (0,1)
y
50
0
-10
0
x
y=x2+2x+1
3.3.2 FUNCION RAIZ CUADRADA Y SU GRAFICA
DEFINICION DE FUNCION RAIZ CUADRADA: Una función
cuadrada” f, se denota por el símbolo
y se especifica así:
“raíz
f ( x)  x es el número no negativo cuyo cuadrado es x.
Tiene como dominio natural, el conjunto de todos los números reales
no negativos.
Así f (4)  4  2 porque 2 2  4 (se dice la raíz cuadrada de 4 es 2)
f (3)  9  3 porque 32  9 (se dice la raíz cuadrada de 9 es 3)
Advierta f (4)   4 no está definida?
GRAFICA DE UNA FUNCION RAIZ CUADRADA (SUS DESPLAZAMIENTOS Y
REFLEXIONES)
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
37
1. Gráficar
SOLUCION
x
0
1
4
9
16
x  0,16
y x
y
y
0
1
2
3
4
2. La gráfica de
x
16
0
y  x  1 , se obtiene desplazando la gráfica de
y  x , una unidad hacia la derecha.
3. La gráfica de
y  x  1 , se obtiene desplazando la gráfica de
y  x , una unidad hacia la izquierda.
4. La gráfica de y   x , se obtiene reflejando la gráfica de y  x .
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
5. La gráfica de y  4  x , se obtiene reflejando la gráfica de y  x ,
y luego desplazando esta reflexión 4 unidades hacia arriba.
Así.
y
y
y
y  x 1
y  x 1
x
x
x
y x
y
4
16
x
y  4 x
6. Graficar y  9  x
Puesto que el dominio natural de una función raíz cuadrada es el
conjunto de los números reales no negativos, la función dada esta
definida para los valores de x que hacen el radicando, 9 – x no
y
38
negativo; es decir 9 – x ≥ 0, o bien
dada es
9 ≥ x. Así, la gráfica de la función
y  9 x
9
x
VERIFICANDO SU COMPRENSION
Graficar.
a) f ( x)  4  x
b) f ( x)  2  4  x
c)
f ( x)  2  1  x
3.3.3 FUNCIONES EXPONENCIALES Y SUS GRAFICAS
Las funciones (como las polinomiales y las raíces cuadradas) cuya
regla de correspondencia es una expresión algebraica, se llama
“funciones algebraicas”.
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
Las funciones que no son algebraicas se llaman “funciones
trascendentes”. Entre ellas tenemos las funciones exponenciales, que
estudiamos a continuación. Con tal propósito recordamos la
potenciación.
POTENCIACION
1. CONCEPTO DE POTENCIA CON EXPONENTE ENTERO Y POSITIVO.
Al hacer cálculos matemáticos con frecuencia encontramos que
algunos involucran productos de varios factores iguales, de tal
manera que es conveniente tener una forma abreviada para
expresarlos y establecer las reglas que permitan realizar operaciones
con ellos en su forma abreviada. En esta sección nos ocupamos de
ambos aspectos. Comenzamos con un caso en el cual el factor
repetido es un número, luego es un monomio y finalmente un
binomio.
DEFINICION: Si n es un entero positivo y “a” es cualquier número real,
entonces la “n-ésima potencia de a”, representada por a n , es el
resultado de tomar el número “a” n veces como factor; esto es
a n = a.a.a.a.a…..a, n veces
En el símbolo a n , “a” se llama “la base” y “n”, el “exponente” de la
potencia. a n se lee “la n-ésima potencia de a” o “a elevada a la n”.
Al proceso para encontrar las potencias de un número se le llama
39
“potenciación”. Advierta que la primera potencia de cualquier
número “a” es el mismo número; es decir; a1  a ; por ello, cuando no se
escribe exponente, debe entenderse que éste es uno.
2. Signos de las potencias.
a) Potencias de un número positivo
32 = (3)(3) = 9 (la segunda potencia de 3 es 9)
33 = (3)(3)(3) = 27 (la tercera potencia de 3 es 27)
34 = (3)(3)(3)(3) = 81 (la cuarta potencia de 3 es 81)
Para recordar: cualquier potencia de un número positivo es un
número positivo.
b) Potencias de un número negativo
(3) 2 = (-3)(-3) = 9
(3) 3 = (-3)(-3)(-3) = -27
(3) 4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81
(3) 5 = (-3)(-3)(-3)(-3)(-3) = -243
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
Recuerde: Toda potencia par de un número negativo es un número
positivo, y toda potencia impar de un número negativo es un número
negativo.
CUIDADO (3) 2 = 9
y  32 = -9; por lo tanto, (3) 2 ≠  32
ACTIVIDADES
1. Determine, por simple inspección, si la potencia dada es un número
positivo o negativo.
a) (17) 36
b) (17) 37
c) (17) 40
d) (17) 45
2. Evalúe cada una de las expresiones siguientes
a) (3) 5
c)  35
e) 23 (2) 3
b) (3) 5
d)  (3) 5
f)  32
5
2
g) 2 3  (2) 3
h) 23  (2) 3
3. Reglas para trabajar con potencias
En esta sección elaboramos una lista de las reglas que se aplican al
trabajar con potencias. En éstas asumimos que:
 Los exponentes, m y n, son enteros positivos;
 Las bases, a y b, son números reales, y
 Los denominadores no pueden valer cero.
Reglas de la multiplicación.
40
R1. a m .a n  a mn
suman)
(cuando las bases son iguales, los exponentes se
2 5.2 4  2 5 4  2 9
Ejemplos 
(3) 5 .(3) 4  (3) 5 4  (3) 9
R2. a m .b n  (ab) n
multiplican)
(cuando las bases no son iguales, las bases se
2 2.3 2  (2.3) 2  6 2  36
Ejemplos 
2
(2) 2 .(3) 2  (2).(3)  6 2  36
Regla de la potencia de una potencia.
R3. (a m ) n  a mn (los exponentes se multiplican)
(2 2 ) 3  2 2 x 3  2 6  64
Ejemplos 
3

 (3) 2

 (3) 2 x3  (3) 6  729
CUIDADO Evite el siguiente error usual (2 2 ) 3  2 23  25
(los exponentes deben multiplicarse, no sumarse)
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
REGLA DEL COCIENTE (UN CASO PARTICULAR).
m
R4. a n  a m  n (cuando las bases son iguales y m > n, los exponentes se
a
restan)
 35
5 2
3
 2  3  3  27
Ejemplos  3
4
 (2)  (2) 43  (2)1  2
 (2) 3
Advierta que en esta regla faltan por considerar dos casos: cuando
m=n y m<n, pero los estudiaremos en la siguiente sección.
n
R5. a n   a 
b
b
n
(cuando las bases no son iguales las bases se dividen)
123  12  3
3
 2     4  64
3
3
 
Ejemplos 
2
2
  3
 (3)
2
 3 2   3   (1)  1

ACTIVIDADES
41
1. Clasifique cada aseveración como falsa o verdadera. Si es falsa,
corrija el lado derecho de la igualdad para obtener una expresión
verdadera.
a) 5 2 5 4  58
d) (2) 3  (3) 2
b) 2 5 2 2  41
e)  4 3  (4) 2
c) (52 ) 6  58
f) 34  34  38
6
g) 102  103
10
2
5
h) 4 3   4 
9 9
3
g) 123  1   8
6
2. Evalúe cada una de las expresiones siguientes.
a)   1 
5
d) 8    2 
 3
27  3 
3
e)  1  83
b) 23 (2) 3
c) 8    2 
3
27  3 
 2
3
)
f) (12
33
3
2 3
g) 2 .8 2
(4)
h)
(2) 3  3
33  2 2
2
5
g) (3) 5
 (3)
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
3. Extensión del concepto de potencia para el caso de un exponente
entero cualquiera
Nuestro estudio sobre las potencias ha estado limitado al uso de
exponentes enteos positivos y nada más. Sabemos que 32 es el
resultado de considerar el 3 dos veces como factor; sin embargo,
carece de sentido decir que 30 es el resultado de tomar el 3 cero
veces como factor, o que 3 2 es el resultado de considerar el 3
menos dos veces como factor.
Por tal motivo, ahora se extenderá la definición de potencia para
permitir que el exponente (n) pueda ser cero o un entero negativo. La
extensión se hará de tal manera que las reglas de las potencias, ya
citadas puedan aplicarse a cualquier tipo de exponente entero.
Para que R1 sea válida, es necesario definir a 0  1 y asumir que a≠ 0
(luego a m  0 . En efecto,
a m a 0  a m  0 (por R1)
a m a 0  a m (obvio)
am
0
a 0  m (despejando a )
a
a 0  1 (el cociente de cualquier cantidad, diferente de cero, entre ella
misma es 1)
42
Para que R4 sea válida es necesario definir
a n 
1
, ya que
an
1
a0
0
 a 0n  a n . Pero a  1 , luego debe ser n  a  n
n
a
a
Los dos resultados anteriores nos permiten formular la definición
siguiente.
DEFINICIÓN
a) Si a es un número real diferente de cero, entonces
a0 1
b) Si a es un número real diferente de cero y n es un entero positivo (n<0),
a n 
1
an
Según (a) 0 0 queda sin definir.
1
1
Según (b)  a   b , ya que  a   1  b  b
b
b
a
b
a
 
b
a
 
b
a
En palabras: Una fracción elevada al exponente -1 es el recíproco de
la propia fracción.
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
Con la definición anterior es posible generalizar R4 para los casos en
que m=n y m<n

a m  n , si m  n
m
R4. (generalizada) a  a 0 , si m  n
an 
1
 n  m , si m  n
a
3
7
31
2
  7  7  49
7
m
3
Ejemplos a   7  7 0  1

a n 73
7
1
1
1
 7 3  7 31  7 2  49

ACTIVIDADES
1. Clasifique cada aseveración como falsa o verdadera. Si es falsa,
corrija el lado derecho de la igualdad para obtener una expresión
verdadera.
a)
204
 2 4
4
10
b) 5 6  5 6  106
d)
1
 3 2
2
3
g) (30 ) 2  32
e) 2  a 2  1  12
4
a
h)
7 4
 7 2
72
43
c) 5 6  5 6  5 12
0
g)  1  1  1   1
f) (m  n) 0  m  1
2
3
4
2. Evalúe cada una de las expresiones.
d)  3    3 
a)  7 5
2
b)  2    2 
 3
0
g) 34 32 33
 2  2
e) 130
13
1
 3
c) (5) 2 (3) 2 
1
f)
5 3 5 9
5  4 5115  2
3 2
g) 2 5 4 2
48
h)
5 3
6 3
FUNCION EXPONENCIAL Y SUS GRAFICAS
Una función exponencial como
que tiene la variable
f ( x)  b x
independiente como exponente se conoce con el nombre de
“función exponencial”. Su dominio natural son todos los números
reales.
Estudiaremos este tipo de funciones con la suposición de que la base
numérica b>0.
Graficar y = 2x en  4,3
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
x
y
y
-3
-2
-1
0
1
2
3
2-4 =0.125
2-2 = 0.25
2-1 = 0.5
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
8
4
(0,1)
-3
3
x
NOTA 1. Todas las funciones exponenciales de la forma y  f ( x)  b x ,
donde b > 1 tiene la misma forma de la función y  2 x .
 Su intersección “y” es 1;
 Son crecientes
 Su rango es el conjunto de todos los reales positivos; es decir bx
> 0 para todo valor de x y
 Su gráfica es cóncava hacia arriba
NOTA 2. Para b = 1, y = bx = 1x = 1x para todo valor x. Como en este
caso se trata de una función constante, f(x) = 1, no usamos la base
b=1 en la clasificación de las funciones exponenciales.
Graficar y   1 
 2
SOLUCION
x
en  4,3
44
x
-4
-2
-1
0
1
2
y
y
12
 12 
4
2
= 16
4
=4
12 = 1
(0,1)
12  = 1
12  = 0.5
12  = 0.25
0
0.25
-2
1
x
2
2
NOTA 3:
Todas las funciones exponenciales de la forma f ( x)  b x
x
donde 0<b<1, tiene la misma forma de la función y   1  :
 2
 Su intersección “y” es 1;
 Son decrecientes
 Su rango es el conjunto de todos los reales positivos (bx > 0) y
 Su gráfica es cóncava hacia arriba
Graficar
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
a) y =
2x-3
b) y =
2x+3
c) y = -2x-3
SOLUCION
 La gráfica de y = 2x-3 se obtiene desplazando la gráfica de y =
2x, tres unidades hacia la derecha
 a gráfica de y = 2x+3, se obtiene desplazando la gráfica de y =
2x, tres unidades hacia la izquierda.
 La gráfica de y = -2x-3, es el reflejo en el eje x de la gráfica de
y = 2x-3.
Particularmente importante por sus aplicaciones, es la función
exponencial y = bx cuando b = e (Euler). Es decir f(x) = ex . Aquí se
satisface la condición 2<e<3; e≈2.71828
y
y=ex
(0,1)
x
PROPIEDADES DE f(x) = ex
45



Dominio: todos los números reales
Rango: R+; es decir ex > 0
 0 < ex < 1, para x<0
 e0 = 1
 ex > 1 para x > 0
La gráfica es cóncava hacia arriba
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EXPONENCIAL
En muchos fenómenos naturales, hay cantidades que crecen o
decrecen a una razón proporcional a su tamaño. Por ejemplo.


El número de bacterias de un cultivo
La masa de una sustancia radioactiva
Las únicas funciones que describen tales fenómenos son las funciones
exponenciales de base e.
y = f(x) = cekt, donde c y k son constantes por determinar.
Si k>0 se habla de crecimiento exponencial
Si k<0 se habla de crecimiento exponencial
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
1. Un cultivo de bacterias empieza con 10 bacterias y al cabo de
2 horas hay 30. Suponiendo que el cultivo crece a una razón
proporcional a su tamaño, establezca la población al cabo de
4 horas.
2. Una sustancia radioactiva decrece a una razón proporcional a
su tamaño. Si la cantidad inicial es de 10 gramos y después de 5
años quedan 8 gramos, calcule la cantidad restante a los 10
años.
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Lic. Mauro H. Henríquez Rauda