Cálculo de tangentes

Calculo de tangentes
Partimos de una curva polinómica
. Supongamos que en el punto
la curva tiene un extremo (máximo o mínimo), digamos
. Fermat
sustituye por
(os suena, ¿verdad?), donde es una variable auxiliar.
Como
es un polinomio podemos desarrollar
, obteniendo así lo
siguiente:
donde
son ciertas expresiones dependientes de .
Ahora las cantidades
y
se hacen adiguales, algo así como tan
próximas como sea posible (¿a qué suena eso?). Simbolizando adigualar con
el símbolo
, obtenemos lo siguiente:
Cancelando
llegamos a:
Sacando factor común obtenemos que
ecuación.
es una solución de dicha
Y aquí viene la idea clave del razonamiento de Fermat: en un extremo, la
paralela al eje de abscisas corta a la curva con multiplicidad dos. Como en
un extremo la paralela al eje de abscisas es la tangente a la curva en dicho
punto, entonces la tangente corta a la curva en un extremo con multiplicidad
dos. ¿Por qué?
Si
es un extremo, entonces para puntos cercanos al punto la paralela al
eje de abscisas corta a la curva en dos puntos. Si nos acercamos al punto , al
llegar a él esos dos puntos de corte se confunden en uno. Es decir, tenemos
una solución (el punto de corte) que aparece dos veces, o sea, con
multiplicidad dos.
¿Qué significa esto? Pues que
debe ser una solución doble de la
ecuación anterior. Para que esto pase debe ser
(para poder volver a
sacar factor común ). Lo interesante es observar ahora que
es
exactamente
.
Vamos a ver un ejemplo de la aplicación de este método. Este ejercicio es el
que utilizó el propio Fermat para explicar su método:
Dividir un segmento de longitud en dos partes de forma que el producto
de las longitudes de las mismas sea máximo
Si el segmento tiene longitud , una de las partes tendrá longitud y la otra
longitud
. El problema trata de hacer máximo el producto de esas dos
cantidades, es decir, de calcular el máximo de la siguiente función:
Según el método sustituimos por
. Queda:
Ahora adigualamos:
Al operar obtenemos
de donde eliminando los términos comunes llegamos a:
Simplificando una queda:
Y ahora, como
debe ser solución al menos doble (básicamente, esto es
hacer límite cuando
) obligatoriamente debe ocurrir que
. De
donde obtenemos el extremo:
Que precisamente el punto donde la función inicial tiene su máximo.