Com – Partida de Matemática del Uruguay Federación Iberoamericana de Competiciones Matemáticas Centro Latinoamericano de Matemática e Informática – CLAMI 1ª PRUEBA DE SELECCIÓN para la XLV Olimpíada Mundial de Matemática, Grecia 2004 XIX Olimpíada Iberoamericana de Matemática, España 2004 26 de marzo de 2004 Problema 1 (Eslovenia 2003) En una casilla de un tablero de 5x5 se coloca un anillo, las restantes casillas son cubiertas con fichas de 3x1 sin salirse ni superponerse. Encontrar todas las posibles posiciones del anillo. Problema 2 (Croacia 2003) Sean a, b y c tres números reales que verifican Calcular a b c 1 bc ac ab a2 b2 c2 bc ac ab Problema 3 (shortlist Japón 2003) Sea ABC un triángulo isósceles con AC=BC de incentro I. Llamaremos a la circunferencia circunscipta al ABC y ’ a la circunscripta al ABI. Tomamos P variable en ’ en el arco AB que contiene a I tal que P no coincide con I. La paralela a AC por P corta a AB en D, la paralela a AB por P corta a AC en F y la recta PC vuelve a cortar a en Q. Se pide: i) ii) Demostrar que AFPQ y DPBQ son inscriptibles Demostrar que F, D y Q están alineados Problema 4 (shortlist Japón 2003) Dado un entero positivo a de más de una cifra, procedemos de la siguiente manera: i) ii) iii) Movemos el último dígito de a para la primera posición y obtenemos un número b. Hacemos el cuadrado de b y obtenemos un número c. Movemos el primer dígito de c para la última posición y obtenemos un número d. Por ejemplo, si a es 2004, b es 4200, c es 17640000 y d es 76400001. Hallar todos los números a tales que d = a² Morales 2640 Montevideo Uruguay Tel: 4877137 Fax: 4800935 e-mail: cpm@preu.edu.uy