CONCURSO “PROBLEMAS CON PREMIO” Soluciones de los problemas del concurso celebrado con ocasión de la Semana de la Ciencia 2009, en la carpa del Arenal en Bilbao. 1) Aitor entró en una tienda para comprar un juguete pero le faltaban 3 euros. Ahora bien, si el juguete costara la mitad, le sobrarían 2 euros. ¿Cuál es el precio del juguete y cuánto dinero tiene Aitor? Si llamamos x al dinero que tiene Aitor, la primera proposición indica que el precio del juguete es x+3 euros. De la segunda proposición obtenemos la ecuación (x+3)/2=x-2 Al despejar la incógnita, deducimos que x=7 euros y el juguete cuesta 10 euros. 2) En un campamento escolar acude un grupo de niños. Sabemos que los que vienen de Teruel son la mitad de los que vienen de Oviedo, que, entre Oviedo y Santander, vienen un total de ocho niños y que los que vienen de Santander son el doble de los que vienen de Logroño. ¿Cuántos niños hay en el campamento? Si escribimos en forma de ecuación los datos suministrados, tenemos: T=O/2, O+S=8, S=2L, o bien T=O/2, O+S=8, L=S/2. Sumando todas las ecuaciones, obtenemos el total de niños en el campamento, porque T+O+S+L=O/2+8+S/2=8+(O+S)/2=8+4=12. 3) Un estudiante de matemáticas recibe la siguiente oferta: por cada problema bien resuelto recibirá 8 euros y por cada problema mal resuelto pagará 5 euros. Después de resolver 26 problemas, tiene tanto dinero como al principio. ¿Cuántos problemas resolvió correctamente? Si llamamos x al número de problemas resueltos correctamente e y al número de problemas mal resueltos, el enunciado del problema nos conduce a las ecuaciones 8x=5y x+y=26. De la primera ecuación, resulta que x debe ser múltiplo de 5. Una sencilla comprobación nos permite deducir que x=10, y=16. 4) Con 1000 cubitos cuya arista mide 1cm formamos un cubo más grande de arista 10cm. Lo pintamos y luego lo descomponemos en los cubos originales. ¿Cuántos de estos cubos tienen alguna cara pintada? ¿Cuántos de ellos tienen sólo una cara pintada? ¿Cuántos cubos tienen por lo menos dos caras pintadas? Los ocho vértices del cubo grande corresponden a cubitos que tienen tres caras pintadas. Las doce aristas del cubo grande contienen ocho cubitos que tienen dos caras pintadas; en total habrá 8·12=96 cubitos con dos caras pintadas. Por último, cada una de las seis caras del cubo contiene 8·8=64 cubitos con una cara pintada; en total habrá 64·6=384 cubitos con una sola cara pintada. Los cubos interiores, que no tienen ninguna cara pintada, forman un cubo grande de arista 8cm. Así pues, habrá 8+96+384=488 cubitos con alguna cara pintada, 384 cubitos con una sola cara pintada y 8+96=104 cubitos con más de una cara pintada. - Intermedios: 5) ¿Cuántos números de cinco cifras, es decir comprendidos entre 10000 y 99999, son capicúas? ¿Cuáles de ellos están más próximos entre sí y cuáles están más alejados? ¿Cuál es el menor conjunto de números consecutivos que contiene tres capicúas? Todo número capicúa de cinco cifras tiene la forma general xyzyx, donde x es cualquier número comprendido entre 1 y 9, y es cualquier número entre cero y nueve, y z es también cualquier número comprendido entre cero y nueve. Así pues, el total de números capicúas es igual al producto 9·10·10=900. Dados dos números capicúas, si sus dos primeras cifras coinciden, la menor diferencia entre ellos será 100 (por ejemplo, 45654-45554=100). Ahora bien, si las tres cifras intermedias de ambos números son 000 y 999, respectivamente, su diferencia puede hacerse igual a 11. Los ocho pares de números con dicha distancia son 19991 y 20002, 29992 y 30003, …, 89998 y 90009. Los más alejados serán, evidentemente, los extremos del conjunto de números capicúas, concretamente 10001 y 99999, cuya diferencia es 89998. Por último, dado el conjunto que incluye dos de los números más próximos, buscamos el siguiente número capicúa, añadiendo una unidad a la cifra de las decenas. Conseguimos así un conjunto de 112 números que contiene tres números capicúas. Los ocho conjuntos de números consecutivos más pequeños con tres números capicúas son {19991, …, 20002, …, 20102}, {29992, …, 30003, …, 30103}, … y {89998, …, 90009, …, 90109}. 6) El número 7 x 541 tiene 30 cifras en notación decimal. ¿Es cierto o no que en esas treinta cifras hay alguna que aparece por lo menos cuatro veces? Razonar la respuesta. Supongamos que ninguna cifra aparece por lo menos cuatro veces. Como el número tiene 30 cifras y hay 10 cifras diferentes, deben aparecer todas las cifras exactamente tres veces. Esto significa que el número es múltiplo de tres, lo cual es imposible porque el número dado sólo es divisible por 7 y por 5. 7) A las tres en punto, el ángulo formado por la aguja horaria y el minutero es de 90 grados. ¿Qué ángulo formarán diez minutos después? Sabemos que la aguja del minutero gira 6º cada minuto y la aguja horario gira medio grado cada minuto. Por tanto, diez minutos después de las tres, el minutero habrá girado 6·10=60 grados, y la aguja horaria habrá girado ½·10=5 grados. El ángulo formado por ambas agujas será ahora 90-60+5=35º. 8) Para dividir un pastel entre 16 invitados se corta en el centro una porción circular de 3 cm. de radio y el resto se divide en 15 porciones iguales, que resultan del mismo tamaño que la porción central. Si quisiéramos dividir el mismo pastel y con el mismo procedimiento entre 25 invitados, ¿cuál debería ser el radio de la porción central? Si llamamos x al radio del pastel, al cortar una porción circular de radio 3cm, el área restante es igual a ( x 2 9) , de modo que el área de cada trozo es ( x 2 9) / 15 9 . Despejando el valor de x, obtenemos x=12cm. Si queremos repartir el pastel entre 25 invitados, el área de cada porción será igual a 144 / 25 (12 / 5) 2 . Como la porción central es un círculo de área r 2 , la longitud de su radio es igual a 2,4 cm. - Menos fáciles: 9) ¿Cuáles son las dos últimas cifras de 2222? Si calculamos las dos últimas cifras de las diferentes potencias de dos, observamos que siguen una secuencia de periodo 20. Concretamente, las unidades se repiten cada cuatro potencias pues toman los valores 2, 4, 8 y 6 en forma secuencial. Como 222 = 4 · 55 + 2, el resto de la división de 222 entre 4 es 2, los posibles valores de las dos últimas cifras son 04, 64, 24, 84 y 44, repetidos de cinco en cinco. Como además el resto de la división de 55 entre 5 es cero, las dos últimas cifras de 2222 son 04. 10) Dos amigos lógicos se encuentran. Uno de ellos propone al segundo el siguiente problema. - Un granjero dejó en herencia a sus tres hijos un campo rectangular de dimensiones 6 y 7 kilómetros. Los tres hermanos dividieron el terreno en tres rectángulos, cada uno de ellos con una cantidad entera de kilómetros por lado, de modo que el área de cada parte sea igual a la edad de cada uno. Sabiendo que cada uno tiene edades distintas, ¿cuáles son las edades de los hijos? - No puedo saberlo. Me faltan datos. - Es cierto, todos nacieron el mismo día que tú. - Bien, ahora ya sé la respuesta. ¿Cuáles son las edades de los hijos? El rectángulo dado puede descomponerse en tres rectángulos de alguna de las formas siguientes: 7x 6 a b 7xb a x6 bx6 7 a b x6 7xa 7 a xb a xb a x 6 b 7 a x6 7x 6 b a xb Dando valores arbitrarios, pero enteros, a los parámetros “a” y “b”, se obtienen distintas soluciones. El hecho de saber que los hijos nacieron el mismo día que el amigo no proporciona información adicional salvo que el día de nacimiento sea el 29 de febrero. Esto quiere decir que la diferencia de edades entre los hijos debe ser múltiplo de cuatro. Como sólo hay una solución en que la diferencia de áreas es múltiplo de cuatro, que es la mostrada en la figura siguiente, las edades de los hijos son 30, 10 y 2 años. 2x5 5x6 2x1 11) Dado un número primo mayor que 5, se eleva al cuadrado, al resultado se le suma 17 y se divide el nuevo resultado por 12. Probar que el resto de la división es seis. Si llamamos p a un número primo mayor que 5, debemos probar que p 2 17 12q 6 , donde q es entero. Los posibles restos de la división de un primo por 12 son 1, 5, 7 y 11, de modo que basta comprobar la igualdad sólo para estos casos. Si Si Si Si p=12n+1, p 2 17 144n 2 24n 18 12(12n 2 2n 1) 6. p=12n+5, p 2 17 144n 2 120n 42 12(12n 2 10n 3) 6. p=12n+7, p 2 17 144n 2 168n 66 12(12n 2 14n 5) 6. p=12n+11, p 2 17 144n 2 264n 138 12(12n 2 22n 11) 6. En todos los casos se obtiene la igualdad deseada. 12) En un tablero cuadriculado de 100 filas y 100 columnas, se numeran las filas del 1 al 100, de arriba abajo, y las columnas del 1 al 100, de izquierda a derecha. A continuación, en cada columna se pintan las casillas correspondientes a las filas cuyo número es divisor del número de la columna (por ejemplo, en la columna 4 se pintan las casillas de las filas 1, 2 y 4). ¿Cuántas casillas se han pintado en la décimotercera fila? ¿Cuántas casillas se han pintado en todo el tablero? Con la son: (1,1), fila; (2,2), dos; (3,3), tres; … información suministrada, las casillas pintadas (1,2), …, (1,100): todas las de la primera (2,4), (2,6), …, (2,100): (3,6), …, (3,99): casillas de dos en casillas de tres en (100,100): única casilla en la última fila. Al sumar todos estos valores, obtenemos: 100+100/2+[100/3]+[100/4]+…+[100/100] = 100+50+33+25+20+16+14+12+11+10+9+8+2·7+2·6+4·5+5·4+8:3 +17·2+50·1 = 482. (El símbolo [·] representa la parte entera del número.)