Aproximación - Sector Matemática

Aproximación
Resumen
Aproximar un número x por otro número y es sustituir x por y de modo que el reemplazo facilite
las operaciones o la comprensión de algún problema matemático, sin que se pierda la esencia del
problema.
Por ejemplo:
0,3 es un valor aproximado de 3  10.
3,14 es un valor aproximado de 
Desarrollo del concepto
En este caso diremos que
símbolos se escribe:
x es el valor exacto y que y es el valor aproximado de x y en
x y
Una aproximación se llama por defecto, si el valor aproximado es menor que el valor exacto y se
llama por por exceso, si es mayor que el valor exacto.
Ejemplo 1 Al efectuar la operación
1 3 ,
se tiene un proceso que puede prolongarse indefinidamente, por esta razón es necesario detener
la división en alguna etapa. Los valores obtenidos en cada etapa de la división:
3
10
33
0,33 
100
333
0,333 
1000
3333
0,3333
10000

0,3 
son valores aproximados del número
1 3 .
En este caso podemos observar que todos los valores aproximados son menores que el valor
exacto, por lo tanto todos ellos son aproximaciones por defecto de 1 3 .
0,3  0,33  0,333  0,3333   (1  3)
en este tipo de aproximación se sustituyó en número decimal periódico
Ejemplo 2 Cuando
0, 3 por un decimal finito.
x es un número cercano a cero, 1 2 x es una aproximación de (1  x) :
2
1  2x  (1  x) 2  1  2x  x 2
En este tipo de aproximación se utiliza el hecho que las potencias de exponente entero de un
número positivo y menor que 1 son menores que el número. En particular, en este caso no se
2
considera x . Por lo tanto, la aproximación es menor que el valor exacto y el error es
caso particular que ilustra esta situación es la siguiente:
x 2 . Un
0,0072  1  0,0072
 1  2  0,007
 1,014
El error cometido es:
(0,007) 2  (7 103 ) 2  49106
Ejemplo 3 Si al medir el lado de una placa cuadrada esta mide 1 metro con un error de 3mm.
¿Qué error se comete al calcular el área de la placa?
El error expresado en metros es 0,003 m. Como no se dice si el error es por defecto o por exceso,
la longitud del lado puede variar entre
1  3 103 y 1  3 103 . Por lo tanto, el área es:
(1  3 103 ) 2  1  2  3 103  1  6 103
El error aproximado en la medición del área es de 6 milésimas, usando la aproximación del ejemplo
anterior.
Ejemplo 4 Aproximación de un número irracional mediante un número decimal finito
Dando por sabido que
2 es un número irracional y que
0  a  b es equivalente a a  b
2
una forma de encontrar una aproximación de
Como
2
2 es la siguiente:
2 es un número tal que su cuadrado es 2, y
12  2 2  4
Entonces:
1 2  2
Para calcular una aproximación de 2 con un decimal se procede a calcular los cuadrados de
todos los números entre 1 y 2 con un decimal, hasta encontrar una valor menor y valor mayor que
2.
1,12  1,21
1,2 2  1,44
1,32  1,69
1,4 2  1,96
1,52  2,25
Estos cálculos nos indican que
2 está entre 1, 4 y 1, 5. Así, podemos afirmar que:
1,4  2  1,5
En esta caso, tenemos que, 1,4 es una aproximación por defecto de
aproximación por exceso de
una décima.
2 y que 1,5 es una
2 . El error cometido al aproximar 2 por 1,4 o por 1,5 es menor que
Es importante observar que ahora se puede hacer el mismo proceso, que con la ayuda de una
calculadora se hace más agradable, agregando un decimal a 1,4 hasta que obtengamos dos
números con el segundo decimal consecutivos y tal que uno tenga cuadrado menor que 2 y el otro
tenga cuadrado mayor que dos. Entonces, podemos observar que este proceso es infinito, lo cual
nos dice que podemos obtener una aproximación de
queramos. Otra forma de decir lo mismo es que
exactitud que uno quiera.
2 con la cantidad de decimales que
2 puede aproximarse con el grado de
Otros conceptos relacionados con aproximación
En el caso que la aproximación consista en reemplazar un decimal infinito por uno finito o para un
decimal finito disminuir el número de decimales, suele hablarse de redondeo o truncación. La
precisión de un número se expresa por la cantidad de cifras significativas. Los infinitos ceros que
pueden escribirse a la izquierda o a la derecha de un número no se consideran cifras significativas,
tampoco tiene importancia la ubicación de la coma.
Ejemplo 5
312045
 0000312045
000
31,2045000
0,0003120450
00
31204500
En todos estos números vemos que la primera cifra no nula a la izquierda es 3 y la última es 5.Por
lo tanto, las cifras significativas de todos ellos son: 3, 1, 2, 0, 4, 5. Así, vemos que todos ellos
tienen 6 cifras significativas.
Es importante observar que la precisión de un número es independiente de la unidad de medida
utilizada para expresar una magnitud dada.
Ejemplo 6 La masa de la Tierra, expresada con cuatro cifras significativas es
5,9771027 gramos 5,9771024 kilos  0,0059771027 kilos.
El grado de exactitud de una aproximación se mide por la cantidad de cifras significativas que
permanecen fijas entre dos aproximaciones consecutivas.
Ejemplo 7
Prosiguiendo con la aproximación de
2 , tenemos que:
1,412  1,9881
1,422  2,0164
De lo que podemos deducir que:
1,41  2  1,42
La diferencia 1,42 – 1,41 = 0,01 nos da el margen de error o el grado de exactitud de la
aproximación que tiene dos cifras significativas fijas, las unidades y las décimas.