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CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR “CUN”
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
CALCULO DIFERENCIAL - GUIA DIDÁCTICA
DOCENTE: LIC. LEO RODRIGO GIL OSPINA
GUÍA No. 5
APLICACIONS DE LA DERIVADA
En Economía existen nombres especiales en los cuales se pueden aplicar la derivación, como son Costo marginal, ingreso
marginal, y utilidad marginal
Los conceptos que se usan son:
COSTO TOTAL: Es la suma de los costos fijos más los costos variables.
COSTO PROMEDIO: Es el costo total dividido entre el número de unidades producidas, esto es:
INCREMENTO EN LOS COSTOS: Es la diferencia en la producción de una unidad u otra.
COSTO MARGINAL: Es el cambio en el costo total debido al incremento de una unidad en la producción, y se
representa, esto es:
Se interpreta como el costo extra unitario por cada unidad producida de más, cuando este incremento en el número de
unidades es muy pequeño.
INGRESO: Es el precio por unidad multiplicado por la cantidad de unidades demandada, esto es:
INGRESO PROMEDIO: Es el ingreso dividido entre el número de unidades demandadas, esto es:
INGRESO MARGINAL: Es el cambio en el ingreso total debido a un incremento de una unidad en la demanda, y se
representa, esto es:
Podemos interpretar el ingreso marginal, como el ingreso adicional por cada unidad demandada de más, cuando esta
demanda adicional es muy pequeña
UTILIDAD TOTAL: Es la diferencia entre el ingreso total y el costo total.
UTILIDAD PROMEDIO: Es la utilidad total dividida entre el número de unidades producidas, esto es:
COSTO MARGINAL: Es el cambio en la unidad total debido al incremento de una unidad en la producción, y se
representa, esto es:
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DOCENTE: LIC. LEO RODRIGO GIL OSPINA
Son muchos más los conceptos marginales en el análisis económico: producción marginal, tasa marginal de sustitución,
rendimiento marginal decreciente, producto físico marginal, productividad marginal, etc. Pero en todo los casos su
significado es el mismo “la tasa a la cual está un total cambiando” y su forma de cálculo será , en donde y representa la
producción, el rendimiento, el producto físico, etc.
Ejemplo:
La siguiente ecuación,
, representa el costo para producir x unidades, que
determinada fabrica vende según la siguiente ecuación de demanda:
a.
b.
c.
d.
e.
¿Cuál es el costo promedio de producir 10000 unidades?
¿Cuál es el incremento promedio en los costos si se pasa de 10000 a 12000 unidades producidas?
¿Cuál es el costo marginal al producir 10000 unidades?
¿Cuál es el ingreso marginal al vender 10000 unidades?
Al vender 10000 unidades, ¿Cuál es la utilidad promedio y cuál es la utilidad marginal?
Solución:
a.
¿Cuál es el costo promedio de producir 10000 unidades?
Costo Promedio
b.
, donde x= 10000
¿Cuál es el incremento promedio en los costos si se pasa de 10000 a 12000 unidades producidas?
El incremento es:
c.
¿Cuál es el costo marginal al producir 10000 unidades?
Costo marginal
d.
¿Cuál es el ingreso marginal al vender 10000 unidades?
Ingreso marginal
Como la ecuación de demanda es:
Se puede obtener que
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Como la ecuación de ingreso es
Se puede obtener
Por lo que:
Para lo que
Por lo que
e.
Al vender 10000 unidades, ¿Cuál es la utilidad promedio y cuál es la utilidad marginal?
Utilidad es
La Utilidad promedio se calcula como:
De donde,
Por lo cual la utilidad promedio es
La Utilidad marginal se calcula a partir de
Por lo cual
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EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
La siguiente ecuación,
, representa el costo para producir x unidades, que
determinada fabrica vende según la siguiente ecuación de demanda:
a.
b.
c.
d.
e.
¿Cuál es el costo promedio de producir 5000 unidades?
¿Cuál es el incremento promedio en los costos si se pasa de 5000 a 7000 unidades producidas?
¿Cuál es el costo marginal al producir 5000 unidades?
¿Cuál es el ingreso marginal al vender 5000 unidades?
Al vender 5000 unidades, ¿Cuál es la utilidad promedio y cuál es la utilidad marginal?
2.
a.
Se estima que al cabo de t años, el tiraje de un periódico local será
Hallar , si t cambia de 2 a 5
b.
Halle e interprete
3.
Un estudio ambiental de cierta comunidad suburbana sugiere que al cabo de t años el nivel promedio de monóxido
en
de carbono en el aire será de
partes por millón.
a.
¿A qué ritmo se estará cambiando el nivel de monóxido de carbono dentro de un año?.
b.
¿En cuánto cambiará realmente el nivel de monóxido de carbono este año?.
4.
La siguiente ecuación de demanda
precio p.
a.
Obtenga el ingreso marginal al producir 40 unidades
b.
A un precio de $600, ¿Cuál es el ingreso marginal?
c.
Si el costo total de producir x unidades es
unidades?
, relaciona el número de x artículos vendidos a un
, ¿Cuál es la utilidad marginal al producir 40
5.
a.
b.
c.
Se estima que al cabo de t años, la población de cierta comunidad suburbana será
Obtenga una fórmula para el ritmo de cambio de la población con respecto de tiempo.
¿A qué ritmo estará creciendo la población de la comunidad dentro de un año?
¿Cuánto crecerá realmente la población dentro de 9 años?
6.
Un fabricante produce cierto artículo que vende a $7500 cada uno. Sus costos de producción son: $240000 de
arriendo y $3800 por material y mano de obra. Calcule la utilidad marginal al producir 50 artículos.
Fuente:
ALLENDOERFER, C. & OAKLEY, C., Matemáticas universitarias. McGRAW HILL. 1990.
miles.