MÉTODO NUMÉRICO PARA EL CÁLCULO DE LA CAPACITANCIA

MÉTODO NUMÉRICO PARA EL CÁLCULO DE LA CAPACITANCIA ENTRE
DOS ELECTRODOS CORRUGADOS Y APLICACIONES.
Alicia Campos Hernández a, Alberto Mendoza Suárez b
a Preparatoria José Vasconcelos, Av. Madero Poniente, 641, Centro, 58000, Morelia,
Michoacán, alicammx@yahoo.com
b Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas, UMSNH, Francisco J. Mújica, S/N, Col.
Felícitas del Río, 58060, Morelia, Michoacán, almend@zeus.umich.mx
RESUMEN. El problema del cálculo de la capacitancia entre dos electrodos es importante en particular en
la microscopía de fuerza atómica. Existen métodos, tanto aproximados como otros más rigurosos 1, para
calcular la capacitancia entre electrodos corrugados en el caso de ciertas geometrías. Nosotros presentamos un
método numérico riguroso que permite calcular dicha capacitancia para geometrías algo más generales que las
resueltas en los trabajos que conocemos al respecto. Se presentan aplicaciones a la formación de imágenes de
superficies conductoras unidimensionales.
1. INTRODUCCIÓN. El problema de la extracción de información de la medida de la capacitancia entre
una superficie rugosa y un electrodo controlado es importante en especial en la microscopía de fuerza
atómica. Existen varios métodos para simular este problema. En este trabajo proponemos un método
numérico para resolver algunos de estos problemas, el cual está inspirado por uno que hemos usado para
2
cálculos de dispersión de luz por superficies rugosas . El desarrollo de este trabajo es como sigue. La
sección 2 presenta el modelo del problema conjuntamente con un breve desarrollo del método de solución. En
la sección 3 aparecen los resultados numéricos de algunas aplicaciones del método. Finalmente, la sección 4
presenta las conclusiones de este trabajo.
2. MÉTODO NUMÉRICO USADO. En la figura 1 se representan dos electrodos conductores
corrugados. Entre ambos se establece una diferencia de potencial
región entre ellos.
0
que da origen a un campo eléctrico en la
Figura 1. Se muestran dos electrodos conductores. El electrodo que se encuentra a potencial
representa una superficie conductora corrugada; el electrodo a potencial
  0
 0
representa una “punta”.
Para calcular el campo eléctrico que existe en la región vacía (entre los electrodos) se utiliza el hecho de
que en esa región el potencial electrostático satisface la ecuación de Laplace. Usando las condiciones frontera
para el potencial podemos usar algún método numérico para encontrar la solución. A partir del potencial se
calcula el campo eléctrico y de ahí, en la forma conocida, se evalúa la densidad de carga y enseguida la carga
de los electrodos. Con esto último y la diferencia de potencial, finalmente se calcula la capacitancia del
sistema. A continuación, mostraremos un método con el que se puede efectivamente hacer lo mencionado, sin
embargo, por brevedad sólo lo aplicaremos en este trabajo al caso especial en el que la punta se supone que es
una distribución lineal y uniforme de carga  . En este caso el papel de la capacitancia lo tomará la simple
diferencia de potencial entre los electrodos.
Se tiene que por arriba de la superficie corrugada se satisface la ecuación de Poisson
y además la condición de frontera

2 ( x, y)  4 x, y 
(1)
 0 , donde C representa al perfil de la superficie. Para resolver el
C
problema podemos usar un método que involucre a una función de Green, definida por
 
 
 2G(r  r )  4 r  r 
(2)
El método a usar está basado en el teorema de Green, que para el potencial y la función de Green
escribimos como
  G  G  da    n  G n ds
2
 
 G
2
S
(3)
C
donde resulta que la función de Green está dada por
G ( x, y; x, y)  2 ln
  x  x    y  y   
2
2
que básicamente es el potencial generado por una línea de carga (   1 ), ubicada en la posición
el punto  x, y  . De las expresiones anteriores, y considerando que la
densidad de carga lineal se puede representar por
x,
 ( x, y)   x  x0   y  y0 
en donde
(4)
y , en
(5)
x0 , y0  es la posición de la carga, se obtiene la expresión
 x, y   2 ln
 x  x   y  y  2 ln x  x   y  y  x, yds
2
2
2
2
(6)
C
en la cual la función  x, y es la densidad de carga sobre la superficie corrugada. Resulta que se puede
evaluar numéricamente esta función resolviendo la ecuación anterior por medio del sistema de ecuaciones
lineales
N
i0   M ij j
j 1
(7)
en donde
i0
es el primer término del lado derecho de la Ec. (6) evaluado en el i-ésimo punto de una
M ij se pueden obtener de
 s 
M ij  s lndij 1   ij   s ln  ij
(8)
 2e 
donde dij es la distancia entre los puntos i-ésimo y j-ésimo y s es la longitud de arco entre puntos
discretización que se hace de la superficie, y los elementos de matriz
consecutivos. Finalmente, podemos encontrar el potencial debido a la carga inducida en la superficie
 ind x, y    x, y    0 x, y   2s lnd j x, y 
N
j 1
En ésta,
evaluar
j
(9)
d j x, y  es la distancia entre el j-ésimo punto de la superficie y el punto de observación  x, y  . Al
 ind x, y  en la posición de la punta , x0 , y0  , tenemos la diferencia de potencial entre los dos
electrodos, que en este trabajo sustituye a la capacitancia.
3. RESULTADOS NUMÉRICOS Y APLICACIONES. En la figura 2 se muestra una comparación
entre resultados analíticos y numéricos en el caso de una superficie plana y una cilíndrica, que son casos en
los que es posible tal comparación. Los datos de las simulaciones numéricas están indicados en el pie de
figura. Note que en la forma de graficado mostrada, los resultados comparados son prácticamente
indistinguibles, lo cual le da cierto grado de confiabilidad a nuestro método.
Figura 2. Comparación entre resultados analíticos y numéricos. (a) Potencial calculado analíticamente para
una superficie plana de longitud 20. La fuente está en (0,1); (b) potencial calculado analíticamente para una
superficie cilíndrica de radio 4. La fuente está en (0,4); (c) potencial calculado por nuestro método numérico
para el plano; (d) potencial calculado numéricamente para el cilindro.
En la figura 3 se muestran resultados del cálculo del potencial producido por la carga inducida sobre
una superficie conductora con rugosidad senoidal. La carga se induce debido a una fuente lineal mostrada por
una x en la Fig. 3 (a), precisamente en el punto (0,1), en la cual, también se muestra la superficie; en la Fig. 3
(b) aparece la densidad de carga inducida; en la Fig. 3 (c) aparece el potencial debido a dicha carga inducida;
y en la Fig. 3 (d) lo mismo que en (c) pero con curvas de nivel.
Figura 3. Potencial producido por una carga inducida sobre una superficie rugosa. (a) Se muestra un perfil de
una superficie con rugosidad cosenoidal de amplitud 0.5. El punto marcado con x indica la posición de la
fuente; (b) se muestra la densidad de carga inducida en cada punto de la superficie; (c) se muestra el potencial
generado por esa carga inducida; (d) lo mismo que en (c) pero con superficies de nivel.
Figura 4. Imágenes de superficies con defectos rectangulares. (a) Se muestra un perfil de una superficie con
una rugosidad rectangular. Los puntos marcados con x indican diferentes posiciones de la fuente durante la
simulación; (b) se muestra la imagen asociada al perfil mostrado en (a). La imagen es simplemente la
representación del potencial con respeto a X; (c) se muestra un perfil de una superficie con dos rugosidades.
Los puntos marcados con x indican diferentes posiciones de la fuente durante la simulación; (d) lo mismo que
en (b) pero para el perfil mostrado en (c).
La figura 4 muestra una aplicación de nuestro método. Se trata de la formación de imágenes de
superficies con defectos rectangulares. Las Figs. 4 (a) y (c) muestran las superficies; las Figs. 4 (b) y (d)
muestran las imágenes correspondientes. Las imágenes fueron obtenidas calculando el potencial, debido a la
carga inducida, en cada posición de una punta que es trasladada en dirección paralela a la superficie. Note que
en este caso los defectos rectangulares son mas o menos reconocibles a partir de las imágenes. También, las
imágenes guardan una semejanza muy cercana a las obtenidas por medio de ciertos modelos de microscopios
3
ópticos de campo cercano .
4. CONCLUSIONES. Las conclusiones de este trabajo se establecen a continuación:



Hemos presentado un método numérico que permite resolver el problema del potencial electrostático
en un sistema formado por una fuente lineal y una superficie corrugada. Con cierta facilidad, el
método se puede generalizar para tratar el caso de la capacitancia entre dos electrodos corrugados.
El método numérico propuesto da buenos resultados, al ser comparados con los correspondientes
analíticos, cuando la comparación es posible.
El método permite, en particular, obtener imágenes de superficies. Éstas se asemejan a las obtenidas
por ciertos modelos de microscopios de campo cercano. Hacemos notar que, mientras que en este
último caso las imágenes dependen tanto de la geometría de la superficie como de su material, las
imágenes obtenidas en este trabajo tienen la ventaja de que solamente dependen de la geometría.
BIBLIOGRAFÍA
1. NC Bruce and A García-Valenzuela, “Capacitance measurement of Gaussian random rough surfaces with
planar and corrugated electrodes”, Meas. Sci. Technol, Vol. 16, 2005, pp. 669-676.
2. A. Mendoza-Suárez and E.R. Méndez, “Light scattering by a reentrant fractal surface”, Appl. Opt., Vol. 36,
1997, pp. 3521-3531.
3. A.A. Maradudin, A. Mendoza-Suárez, E.R. Méndez, and M. Nieto-Vesperinas, “A numerical study of a
model near-field optical microscope”, Optics of the Nanometer Scale, Kluwer Academic Publishers,
Netherlands, 1996, pp. 41-61.
AGRADECIMIENTOS. A. Campos Hernández agradece a la Preparatoria José Vasconcelos por el
apoyo para la realización de este trabajo. A. Mendoza Suárez agradece a la CIC de la UMSNH por el apoyo
recibido bajo el proyecto 9.2.