Probabilidad_presentación

Descripción breve del tema
Introducción a la
Probabilidad
1.
2.
Introducción
Fenómenos y experimentos aleatorios
3.
Concepto de probabilidad y propiedades
Tema 3
4.
Sucesos, operaciones con sucesos (conjuntos) y sus propiedades
Definición de probabilidad
Primeras propiedades de la probabilidad y alguna consideración
Asignación de probabilidades en la práctica
Equiprobabilidad, regla de Laplace, métodos combinatorios
5.
Probabilidad condicionada
Independencia de sucesos
Concepto de probabilidad condicionada
6.
Teorema de Bayes
Teoremas de la probabilidad compuesta, de la total y de Bayes
Ignacio Cascos
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
1
Objetivos
Ignacio Cascos
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
2
Descripción breve del tema
Entender el concepto de experimento aleatorio
Valorar la probabilidad y sus aplicaciones.
Calcular probabilidades de sucesos simples.
Manejar con soltura el concepto de
independencia de sucesos.
Entender el concepto de probabilidad
condicionada y aplicar con soltura los
teoremas de la probabilidad total y Bayes.
1.
2.
Introducción
Fenómenos y experimentos aleatorios
3.
Concepto de probabilidad y propiedades
Sucesos, operaciones con sucesos (conjuntos) y sus propiedades
Definición de probabilidad
Primeras propiedades de la probabilidad y alguna consideración
4.
Asignación de probabilidades en la práctica
5.
Probabilidad condicionada
Equiprobabilidad, regla de Laplace, métodos combinatorios
Independencia de sucesos
Concepto de probabilidad condicionada
6.
Teorema de Bayes
Teoremas de la probabilidad compuesta, de la total y de Bayes
Ignacio Cascos
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
3
Ignacio Cascos
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
4
Introducción
Descripción breve del tema
El Cálculo de Probabilidades nos permite
calcular el grado de fiabilidad o error de las
conclusiones obtenidas mediante inferencia
estadística.
1.
2.
Introducción
Fenómenos y experimentos aleatorios
3.
Concepto de probabilidad y propiedades
Sucesos, operaciones con sucesos (conjuntos) y sus propiedades
Definición de probabilidad
Primeras propiedades de la probabilidad y alguna consideración
4.
Asignación de probabilidades en la práctica
Equiprobabilidad, regla de Laplace, métodos combinatorios
La probabilidad mide o cuantifica la
incertidumbre que tenemos sobre el resultado
de un experimento aleatorio.
5.
Probabilidad condicionada
Independencia de sucesos
Concepto de probabilidad condicionada
6.
Teorema de Bayes
Teoremas de la probabilidad compuesta, de la total y de Bayes
Ignacio Cascos
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
5
6
El espacio muestral es el conjunto de todos los
posibles resultados del experimento aleatorio, lo
denotamos por E.
Un experimento es determinista cuando existe un
conjunto de circunstancias que, antes de su
ejecución, determinan completamente su resultado.
Un experimento es aleatorio si no podemos predecir
su resultado de antemano:
Ejemplo: Experimento, lanzar dado, E={1,2,3,4,5,6}
Un suceso es cualquier subconjunto del espacio
muestral.
Se conocen previamente y con exactitud los posibles
resultados del experimento.
Es imposible saber su resultado antes de su realización.
Se puede repetir indefinidamente, en las mismas
condiciones iniciales, obteniendo resultados distintos.
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
Sucesos
Fenómenos y experimentos aleatorios
Ignacio Cascos
Ignacio Cascos
Un suceso elemental es un elemento del espacio muestral.
Ejemplo: (lanzar dado), sale un seis, A={6}
Un suceso compuesto es un conjunto de sucesos
elementales.
Ejemplo: (lanzar dado), sale un número par B={2,4,6}
7
Ignacio Cascos
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
8
Sucesos
Operaciones con sucesos (conjuntos)
Operación unión. Dados dos sucesos A y B, el
suceso A∪B ocurre cuando ocurre A u ocurre
B u ocurren ambos.
El suceso seguro es el que siempre ocurre al
realizar el experimento, E.
Ejemplo: (lanzar dado) E={1,2,3,4,5,6}
El suceso imposible es el que nunca ocurre
como resultado del experimento ∅.
A={☺,☺,☺, } ; B={ , ,☺, }
A∪B={☺,☺, , ,☺, }
Ejemplo: (lanzar dado) sale un número negativo
Ignacio Cascos
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
9
Operaciones con sucesos (conjuntos)
Ignacio Cascos
Suceso contrario (o complementario). Dado
un suceso A, su contrario Ac ocurre cuando A
no ocurre.
E={☺,☺,☺} ; A={☺}
Ac={☺,☺}
A={☺,☺,☺, } ; B={ , ,☺, }
A∩B={☺, }
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
10
Operaciones con sucesos (conjuntos)
Operación intersección. Dados dos sucesos A
y B, el suceso A∩B ó (AB) ocurre cuando
ocurren simultáneamente A y B.
Ignacio Cascos
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
11
Ignacio Cascos
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
12
Operaciones con sucesos (conjuntos)
Propiedades de las operaciones con sucesos
Diferencia de sucesos. Dados dos sucesos A y
B, la diferencia A\B (ó A-B) es el suceso que
ocurre cuando ocurre A y B no ocurre.
A={☺,☺,☺} ; B={☺, }
A\B={☺,☺}.
Conmutativa.
A∪B = B∪A
A∩B = B∩A
Asociativa.
A∪(B∪C) = (A∪B)∪C
Sucesos incompatibles. Dos dos sucesos A y
B, son incompatibles (disjuntos) si
A∩B=∅
Ignacio Cascos
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
A∩(B∩C) = (A∩B)∩C
13
Propiedades de las operaciones con sucesos
Elemento neutro.
Intersección, suceso seguro: A∩E = A
Distributiva.
Unión respecto de la intersección
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
Intersección respecto de la unión
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
14
Propiedades de las operaciones con sucesos
Complementación.
A∪Ac = E ; A∩Ac = ∅
Idempotencia.
A∪A = A ; A∩A = A
Absorción.
A∪E = E ; A∩∅ = ∅
Simplificación. A∪(A∩B) = A = A∩ (A∪B)
Unión, suceso imposible: A∪∅ = A
Ignacio Cascos
Ignacio Cascos
15
Ignacio Cascos
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
16
Propiedades de las operaciones con sucesos
Propiedades del contrario.
(Ac)c = A ; Ec = ∅ ; ∅c = E
Leyes de De Morgan.
(A∪B)c = Ac∩Bc
(A∩B)c = Ac∪Bc
(∪i=1,∞Ai)c = ∩i=1,∞(Ai)c
(∩i=1,∞Ai)c = ∪i=1,∞(Ai)c
Descripción breve del tema
1.
2.
Introducción
Fenómenos y experimentos aleatorios
3.
Concepto de probabilidad y propiedades
Sucesos, operaciones con sucesos (conjuntos) y sus propiedades
Definición de probabilidad
Primeras propiedades de la probabilidad y alguna consideración
4.
Asignación de probabilidades en la práctica
Equiprobabilidad, regla de Laplace, métodos combinatorios
5.
Probabilidad condicionada
Independencia de sucesos
Concepto de probabilidad condicionada
6.
Teorema de Bayes
Teoremas de la probabilidad compuesta, de la total y de Bayes
Ignacio Cascos
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
17
Definición de probabilidad
Propiedad 2. P(∅) = 0
Propiedad 3. si A ⊂ B, entonces P(A) ≤ P(B)
Propiedad 4. P(A\B)=P(A)−P(A∩B)
entonces P(∪i=1,∞ Ai)=Σi=1,∞ P(Ai) .
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
18
Propiedad 1. P(Ac) = 1−P(A)
si A1, A2,… son tales que Ai∩Aj=∅ si i ≠ j,
Ignacio Cascos
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
Primeras propiedades de la probabilidad
Una probabilidad es una función P que asigna a
cada suceso A asociado al experimento un valor
real tal que
1.
P(A) ≥ 0 ;
2.
P(E) = 1 ;
3.
Ignacio Cascos
Propiedad 5. P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)
19
Ignacio Cascos
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
20
Consideración final
Descripción breve del tema
Ignacio Cascos
Concepto de probabilidad y propiedades
0.6
0.4
4.
Asignación de probabilidades en la práctica
Equiprobabilidad, regla de Laplace, métodos combinatorios
0.2
frecuencia relativa cara
3.
Definición de probabilidad
Primeras propiedades de la probabilidad y alguna consideración
5.
Probabilidad condicionada
Independencia de sucesos
Concepto de probabilidad condicionada
0
200
400
600
800
1000
Teorema de Bayes
Teoremas de la probabilidad compuesta, de la total y de Bayes
21
Ignacio Cascos
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
22
Métodos combinatorios
Si un experimento tiene un número finito de
resultados posibles y no hay razón que privilegie
un resultado frente a otro, para cualquier A
número de casos favorables a A
número de casos posibles
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
6.
numero lanzamientos
Equiprobabilidad, regla de Laplace
Ignacio Cascos
Introducción
Fenómenos y experimentos aleatorios
Sucesos, operaciones con sucesos (conjuntos) y sus propiedades
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
P( A) =
1.
2.
0.0
Si repetimos muchas veces
un experimento, la
frecuencia relativa de un
suceso A cualquiera tiende
a estabilizarse en torno a un
valor (PROBABILIDAD
DEL SUCESO).
0.8
Leyes de los Grandes
Números.
23
Variaciones de n elementos tomados de k en k. Número de
secuencias ordenadas de k elementos a partir de n elementos
sin que se repitan. n!/(n-k)!
Combinaciones de n elementos tomados de k en k. Número
de conjuntos de k elementos a partir de n elementos sin que se
repitan. n!/(k!(n-k)!)
Variaciones con repetición de n elementos tomados de k
en k. Número de secuencias ordenadas de k elementos a
partir de n elementos (pueden repetirse). nk
Combinaciones con repetición de n elementos tomados de
k en k. Número de conjuntos de k elementos a partir de n
elementos (pueden repetirse). (n+k-1)!/(k!(n-1)!)
Ignacio Cascos
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
24
Descripción breve del tema
Independencia entre sucesos
1.
2.
Introducción
Fenómenos y experimentos aleatorios
Dos sucesos A y B son independientes si
3.
Concepto de probabilidad y propiedades
P(A∩B)=P(A)P(B)
Sucesos, operaciones con sucesos (conjuntos) y sus propiedades
Definición de probabilidad
Primeras propiedades de la probabilidad y alguna consideración
4.
P(A∩B) P(A∩Bc)
Asignación de probabilidades en la práctica
Equiprobabilidad, regla de Laplace, métodos combinatorios
5.
P(Ac∩B) P(Ac∩Bc)
Probabilidad condicionada
Independencia entre sucesos
Concepto de probabilidad condicionada
6.
Teorema de Bayes
Teoremas de la probabilidad compuesta, de la total y de Bayes
Ignacio Cascos
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
25
Ignacio Cascos
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
La probabilidad condicionada
La probabilidad condicionada
Dados dos sucesos A y B con P(B)>0, definimos
la probabilidad de A condicionada a B como la
probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha
ocurrido B,
Tenemos:
P(A|B) ≥ 0 ;
P(E|B) = 1 ;
P(A|B) =
si A1, A2,… son tales que Ai∩Aj=∅ si i ≠ j,
P(A ∩ B)
P(B)
entonces P(∪i=1,∞ Ai|B)=Σi=1,∞ P(Ai|B) .
En consecuencia, todas las propiedades de una
probabilidad.
Si A y B son independientes, P(A|B)=P(A) .
Ignacio Cascos
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
26
27
Ignacio Cascos
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
28
Descripción breve del tema
Teorema de la probabilidad compuesta
1.
2.
Introducción
Fenómenos y experimentos aleatorios
3.
Concepto de probabilidad y propiedades
Dados n sucesos A1, A2,…,An con P(Ai)>0 para
i=1,…,n. Se cumple
Sucesos, operaciones con sucesos (conjuntos) y sus propiedades
P(A1∩A2∩…∩An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1∩A2∩…∩An-1)
Definición de probabilidad
Primeras propiedades de la probabilidad y alguna consideración
4.
Asignación de probabilidades en la práctica
Si los sucesos son independientes
Equiprobabilidad, regla de Laplace, métodos combinatorios
5.
Probabilidad condicionada
Independencia de sucesos
Concepto de probabilidad condicionada
6.
P(A1∩A2∩…∩An) = P(A1)P(A2)…P(An)
Teorema de Bayes
Teoremas de la probabilidad compuesta, de la total y de Bayes
Ignacio Cascos
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
29
Ignacio Cascos
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
Teorema de la probabilidad total
Teorema de Bayes
Dados A1, A2,…,An tales que Ai∩Aj=∅ si i ≠ j
Dados A1, A2,…,An tales que Ai∩Aj=∅ si i ≠ j
y ∪i=1,n Ai=E, entonces la probabilidad de un
suceso B cualquiera viene dada por
y ∪i=1,n Ai=E y dado un suceso B cualquiera con
P(B)>0, entonces se cumple
P( B) =
n
∑ P( A ) P( B|A )
i =1
Ignacio Cascos
i
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
P( Ai|B) =
i
31
Ignacio Cascos
30
P( Ai ∩ B)
P( A ) P( B|Ai )
= n i
P( B)
∑ j =1 P( A j ) P( B|Aj )
Depto. Estadística, Universidad Carlos III
32