Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Antonio Francisco Roldán López de Hierro
*
Convocatoria de 2008
Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos para las pruebas
de acceso a la Universidad en Andalucía de la asignatura Matemáticas aplicadas a las Ciencias
Sociales II. Está clasi…cados por convocatorias y llevan un código como el siguiente: 2008-3-B-2,
que signi…ca ejercicio 2 de la opción B del modelo 3 de la convocatoria de 2008.
Ejercicio 1 (2008-1-A-2) Sea la función f de…nida mediante
f (x) =
x+1
:
2x 1
(a) [0’5] Determine los puntos de corte con los ejes.
(b) [1] Estudie su curvatura.
(c) [1] Determine sus asíntotas.
(d) [0’5] Represente la función.
Solución :
Observemos primeramente que dom f = R
denominador de f .
f1=2g, pues en x = 1=2 se anula el
(Apartado a) El único punto de corte con el eje OY es (0; f (0)) = (0; 1). Con el eje OX,
las abscisas de los puntos de corte cumplen la ecuación:
f (x) = 0
,
x+1=0
,
x=
1;
por lo que el único punto en el que f corta al eje OX es ( 1; 0).
(
*
OX ! ( 1; 0)
OY ! (0; 1)
Profesor del I.E.S. Acci de Guadix (Granada) - http://www.ies-acci.com/antonioroldan/
1
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
(Apartado b) Para estudiar la curvatura de f necesitamos calcular su segunda derivada.
Para x 2 R f1=2g se tiene que:
f 0 (x) =
3
1) (x + 1) 2
=
;
2
(2x 1)
(2x 1)2
(2x
12
( 3) 2 (2x 1) 2
=
:
4
(2x 1)
(2x 1)3
f 00 (x) =
Como f 00 nunca se anula, estudiamos su signo en la siguiente tabla:
f 00
+
f
\
1=2
[
Por tanto, la curvatura de f es la siguiente.
8
< f es cóncava en ] 1; 1=2[ ;
Curvatura
: f es convexa en ]1=2; +1[ :
(Apartado c) Como f es continua en su dominio, R f1=2g, el único punto candidato
a asíntota vertical es x = 12 (anula al denominador pero no al numerador). Calculamos los
siguientes límites laterales:
l m f (x) =
x! 12
Indet.
0
0
=
l m f (x) =
1;
+
x! 12
Indet.
0
0
= +1:
Lo anterior con…rma que la recta x = 1=2 es asíntota vertical de f . Por otro lado, como f es
una función racional y su numerador y su denominador poseen el mismo grado, estudiamos su
asíntota horizontal:
1
x+1
= :
n = l m f (x) = l m
x! 1
x! 1 2x
1
2
Por tanto la recta y = 1=2 es asíntota horizontal de f a ambos lados.
1
AV. x = ;
2
1
AH. y = :
2
(Apartado d). Uniendo todo lo anterior, realizamos la siguiente representación grá…ca.
y
4
2
-2
2
-2
4
x
-4
Andalucía
2
Antonio Roldán
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Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Ejercicio 2 (2008-1-B-2) (a) [1’5] La grá…ca de la derivada de una función f es la recta que
pasa por los puntos (0; 3) y (4; 0). Estudie la monotonía de f .
(b) [1’5] Calcule la derivada de las siguientes funciones:
g (x) = (3x + 1)3 L x2 + 1 ;
ex
h (x) =
7x5
4
:
Solución :
(Apartado a) Representamos grá…camente la función derivada de f , que viene determinada por ser la recta que pasa por los puntos (0; 3) y (4; 0).
Hay que tener la precaución de no confundir f 0 con f . La
grá…ca adjunta es la de la derivada (f 0 ). Pero nos da toda la
información que necesitamos. Por ejemplo, el único punto en
el que se anula f 0 (corta al eje OX) es x = 4, y la siguiente
tabla nos indica la monotonía de f .
y
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
x
f'
f0
-3
f
+
&
4
%
La monotonía de f queda así estudiada.
Monotonía
8
< f es (estrict.) decreciente en ] 1; 4[ ;
: f es (estrict.) creciente en ]4; +1[ :
(Apartado b) Las derivadas son las siguientes:
g 0 (x) = 3 (3x + 1)2 3 L x2 + 1 + (3x + 1)3
(3x + 1)2
=
h0 (x) =
ex
7x5
4
(7x5
9 L x2 + 1 +
ex 35x4
2
4)
=
2x
=
+1
x2
2x (3x + 1)
x2 + 1
ex 7x5
(7x5
;
35x4
2
4)
4
.
Ejercicio 3 (2008-2-A-2, Septiembre) (a) [1’5] Halle la ecuación de la recta tangente a la
3
grá…ca de la función f (x) =
en el punto de abscisa x = 1.
x
Andalucía
3
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b
(b) [1’5] Halle los valores de a y b para que la función g (x) = ax +
tenga un extremo relativo
x
en el punto (1; 2).
Solución :
Apartado (a). La ecuación de la recta tangente a la grá…ca de una función f en un
punto x = a en el que f sea derivable es:
y
Como a =
a) :
1, los únicos datos que nos hacen falta son:
3
=
1
f (a) = f ( 1) =
f 0 (x) =
f (a) = f 0 (a) (x
0 x
3 1
x2
=
3;
3
x2
;
8x 2 R
f0g
f 0 (a) = f 0 ( 1) =
)
3
=
( 1)2
3:
Por consiguiente:
y
f (a) = f 0 (a) (x
,
y=
3
a)
3x
,
y
3=
3x
( 3) =
3 (x
( 1))
,
y+3=
3 (x + 1)
,
6:
De esta forma, deducimos que la ecuación de la recta tangente a la grá…ca de f en el punto de
abscisa x = 1 es:
y = 3x 6:
Apartado (b). Vamos a encontrar a y b estableciendo y resolviendo un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas en base a los datos del problema. En primer lugar, debemos
observar que g es (continua y) derivable en R f0g (su máximo dominio de de…nición), siendo
su función primera derivada:
8x 2 R
f0g ;
g 0 (x) = a +
0 x
b 1
x2
=a+
b
=a
x2
b
:
x2
Para que g posea un extremo relativo en el punto (1; 2), es necesario que ocurran dos cosas:
que la grá…ca de la función g pase por el punto (1; 2), en cuyo caso g (1) = 2, y que su primera
derivada en dicho punto se anule, es decir, g 0 (1) = 0 (la cual es una condición necesaria para
que exista un extremo relativo). Estas dos condiciones nos llevan al sistema:
8
8
b
>
< 2 = g (1) = a 1 +
< a + b = 2;
= a + b;
1
,
) a = b = 1:
b
>
: a b=0
: 0 = g 0 (1) = a
=a b
12
Por tanto, para que g cumpla las condiciones del enunciado, los valores de a y de b deben ser:
a=1
Andalucía
y
4
b = 1:
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Ejercicio 4 (2008-2-B-2, Septiembre) Dada la función f (x) = 4
3x2 + x3 , determine:
(a) [1’5] La monotonía y la curvatura de f .
(b) [0’5] Los puntos donde la función alcanza sus extremos relativos.
(c) [1] La ecuación de la recta tangente a la grá…ca de f en el punto de abscisa x =
1.
Solución :
Apartado (a). Es claro que el máximo dominio posible en el que se puede considerar
la función f es R, ya que es polinómica, lo que además nos dice que es derivable en R (tantas
veces como se quiera) y sus dos primeras derivadas son:
8x 2 R;
f 0 (x) = 3x2
6x = 3x (x
f 00 (x) = 6x
2) ;
6 = 6 (x
1) :
Los únicos puntos en los que se anula la primera derivada de f son x = 0 y x = 2, por lo que
hacemos una tabla como la siguiente para estudiar la monotonía de f .
f0
+
f
%
+
0
&
2
%
Igualmente, el único punto en el que se anula la segunda derivada de f es x = 1, por lo que la
siguiente tabla nos indica la curvatura de f .
f 00
f
+
\
1
[
Concluimos entonces lo siguiente.
Monotonía
Curvatura
8
< f es (estrict.) creciente en ] 1; 0[ [ ]2; +1[ ;
: f es (estrict.) decreciente en ]0; 2[ :
8
< f es cóncava en ] 1; 1[ ;
: f es convexa en ]1; +1[ :
Apartado (b). La tabla que hemos hecho para estudiar la monotonía nos dice, además,
que en x = 0 hay un máximo relativo y en x = 2 hay un mínimo relativo. Como f (0) = 4 y
f (2) = 0, a…rmamos lo siguiente.
Extremos
Andalucía
8
< f posee un máximo relativo en (0; 4) ;
: f posee un mínimo relativo en (2; 0) :
5
Antonio Roldán
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Apartado (c). La ecuación de la recta tangente a la grá…ca de una función f en un punto
x = a en el que f sea derivable es:
y
Como a =
f (a) = f 0 (a) (x
a) :
1, los únicos datos que nos hacen falta son:
f (a) = f ( 1) = 4
3
f 0 (a) = f 0 ( 1) = 3 ( 1)2
1 = 0;
6 ( 1) = 9:
Por consiguiente:
y
f (a) = f 0 (a) (x
a)
,
y
0 = 9 (x
( 1))
,
y = 9 (x + 1) :
De esta forma, deducimos que la ecuación de la recta tangente a la grá…ca de f en el punto de
abscisa x = 1 es:
y = 9x + 9:
Ejercicio 5 (2008-3-A-2, Junio) Sea la función de…nida de la forma
8
2x
>
<
;
si x < 2;
x 1
f (x) =
>
:
2x2 10x;
si x 2:
(a) [0’5] Halle el dominio de f .
(b) [1’25] Estudie la derivabilidad de f en x = 2.
(c) [1’25] Halle la ecuación de la recta tangente a la grá…ca de f en el punto de abscisa x = 0.
Solución :
Apartado (a). En el intervalo [2; +1[, la función f está de…nida de una forma
polinómica, por lo que podemos asegurar que está bien de…nida y además es continua en el
subintervalo abierto ]2; +1[ (en el extremo inferior x = 2 aún no sabemos si es o no continua
porque no hemos estudiado el límite puntual por la izquierda). Por otro lado, si x < 2, la función
pretende estar de…nida de manera racional, pero el denominador se anula en el punto x = 1, por
lo que debemos excluir este punto del dominio de f . En consecuencia, podemos a…rmar que el
mayor dominio posible en el que se puede considerar la función f correctamente de…nida es:
dom f = R
f1g :
Apartado (b). Para estudiar la derivabilidad de f en x = 2, hemos de estudiar primeramente si es continua en dicho punto. En primer lugar, observamos que el punto está en el dominio,
Andalucía
6
Antonio Roldán
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es decir, x = 2 2 dom f y su imagen por f es f (2) = 8 20 =
límite en x = 2 estudiando sus límites laterales en dicho punto:
f 2
2x
= l m f (x) = l m
x!2
x
x!2
f 2+ = l m f (x) = l m
x!2+
1
=
2x2
x!2+
4
2
1
12. Veamos ahora si f posee
= 4;
10x = 8
20 =
12:
Como los límites laterales de f en x = 2 existen pero son distintos, podemos a…rmar que la
función f no es continua en x = 2 y, por consiguiente, tampoco es derivable en x = 2 (si fuese
derivable, entonces sería continua en dicho punto, lo cual no ocurre).
f no es derivable en x = 2:
Apartado (c). Finalmente, la ecuación de la recta tangente a f en el punto de abscisa
x = 0, si existe, es:
y f (0) = f 0 (0) (x 0) :
Por un lado, es sencillo calcular f (0) = 0= ( 1) = 0. Por otro lado, debemos calcular f 0 (0),
si existe. Dado el carácter local de la derivación, para derivar f en x = 0 basta con derivar la
expresión 2x= (x 1), pues coincide con f en el intervalo abierto ] 1; 2[, que contiene al punto
x = 0. De esta forma:
x < 2;
2= ( 1)2 =
Así, f 0 (0) =
y
0
2x
x
1
=
2 (x 1) 2x
2
=
:
2
(x 1)
(x 1)2
2, y la ecuación de la recta buscada es:
f (0) = f 0 (0) (x
0)
,
y
0=
2 (x
0)
,
y=
2x:
Concluimos entonces que la recta tangente a la grá…ca de f en el punto de abscisa x = 0 es la
recta de ecuación:
y = 2x:
Ejercicio 6 (2008-3-B-2, Junio) Sea la función f de…nida mediante
8
< x2 + ax + b; si x < 1;
f (x) =
:
L (x) ;
si x 1:
(a) [1’5] Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en x =
(b) [1’5] Para a =
Andalucía
1 y b = 1, estudie la derivabilidad de f en x =
7
1.
1 y en x = 1.
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Solución :
Apartado (a). La función f está de…nida en el intervalo abierto ] 1; 1[ como una
función polinómica, y en el intervalo abierto ]1; +1[ como la función logaritmo neperiano. Por
tanto, dado el carácter local de la continuidad y de la derivabilidad, de entrada, podemos a…rmar
que f es continua y derivable en R f1g. El único punto en el que puede fallar la continuidad
es en el punto x = 1. Estudiemos qué relación deben veri…car los coe…cientes a y b para que f
sea continua en x = 1. Para ello, calculamos los límites laterales de f en x = 1 y establecemos
que sean iguales.
f 1
x2 + ax + b = 1 + a + b;
= l m f (x) = l m
x!1
x!1
f 1+ = l m f (x) = l m L (x) = L (1) = 0:
x!1+
x!1+
Para que f sea continua en x = 1, es necesario (y su…ciente) que 1+a+b = 0, es decir, a+b = 1.
Por otro lado, si f alcanza un mínimo en x = 1, entonces debe cumplirse que f 0 ( 1) = 0, ya
que se ha comentado que f es derivable en dicho punto. Dado que si x < 1 se tiene que:
f 0 (x) =
x2 + ax + b
0
= 2x + a;
entonces:
f 0 ( 1) = 0
,
2+a=0
,
a = 2:
Sabiendo ahora que f es continua en x = 1, podemos despejar:
a+b=
1
)
b=
a
1=
2
1=
3:
Por consiguiente, concluimos que los valores que hacen que f sea continua y, a la vez, tenga un
mínimo en x = 1, son:
a=2
y
Apartado (b). Supongamos ahora que a =
siguiente.
b=
3:
1 y b = 1. Entonces podemos a…rmar lo
La función f es derivable en x = 1, pues ya se ha expuesto antes que, sean cuales sean
los valores de a y de b, la función f es derivable en R f1g.
La función f no es derivable en x = 1 ya que en dicho punto no es continua. Para ser
continua en x = 1, hemos visto que los valores a y b deben veri…car la relación a + b = 1,
y los valores a = 1 y b = 1 no la cumplen. Así, f no es continua en x = 1 y, en
consecuencia, no puede ser derivable en dicho punto.
f es derivable en x =
Andalucía
8
1 y no lo es en x = 1.
Antonio Roldán
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Ejercicio 7 (2008-4-A-2) El bene…cio de una empresa, en miles de euros, viene dado por la
función
B (x) = 3x2 + 120x + 675;
x 0;
donde x representa el gasto en publicidad, en miles de euros.
(a) [0’75] Calcule el gasto a partir del cual la empresa no obtiene bene…cios.
(b) [0’75] Calcule el valor de x que produce máximo bene…cio. ¿Cuánto es ese bene…cio?
(c) [0’75] Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento del bene…cio de la empresa.
(d) [0’75] Represente grá…camente la función B.
Solución :
El dominio de la función B es [0; +1[, y como se trata de una parábola cóncava,
podemos dibujarla fácilmente conociendo su vértice.
xv =
x
B (x)
0
10
675
1575
20
1875
30
40
1575
675
b
=
2a
120
= 20
6
y
1500
1000
500
0
10
20
30
40
-500
50
x
(Apartado a) El gasto (x) a partir del cual la empresa no obtiene bene…cios es el punto en
el que el bene…cio vale cero, es decir, el punto en el que la función corta al eje de abscisas.
B (x) = 0
,
Como el valor x2 =
3x2 + 120x + 675 = 0
x2
,
40x
225 = 0
,
x1 = 45; x2 =
5:
5 no está en el dominio de f , podemos a…rmar que:
la empresa no obtiene bene…cios a partir de 45000 e (x = 45) invertidos en publicidad.
(Apartado b) El bene…cio máximo se alcanza cuando x = 20, y es de B (20) = 1875.
El bene…cio máximo, que es de 1875000 e, se alcanza invirtiendo 20000 e en publicidad.
Andalucía
9
Antonio Roldán
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(Apartado c) Como B es una función parabólica, conocemos su monotonía.
8
< f es (estrict.) creciente en [0; 20[ ;
Monotonía
: f es (estrict.) decreciente en ]20; +1[ :
(Apartado d) Ya hemos hecho la representación grá…ca de f .
Ejercicio 8 (2008-4-B-2) Calcule las derivadas de la siguientes funciones:
Solución :
a) [0’75]
f (x) = x3 + 1
e7x
c) [0’75]
h (x) = x2 + 1
x5
6
6x
b) [0’75]
g (x) = 3x L (x)
d) [0’75]
i (x) =
(x + 1)2
x2 2
Las derivadas de las funciones son las siguientes:
f 0 (x) = 3x2 e7x + x3 + 1 e7x 7 =
1
=
x
g 0 (x) = 3x L 3 L x + 3x
h0 (x) = 2x x5
= 2 x5
=
i0 (x) =
=
6
6x
6x
2 x5
x x5
6x
5
2 (x + 1) x2
(x2
2 (x + 1) ( x
(x2
2
2)
x5
6
2
2)
=
5
=
Ejercicio 9 (2008-5-A-2) Sea la función f (x) = x3
6 =
6
=
x2
2
18 :
2 (x + 1)
(x2
2 (x + 1) (x + 2)
(x2
:
5x4
5x4
24x2
(x + 1)2 2x
2)
6x
6x + 3 x2 + 1
16x6 + 15x4
2
1
x
3x L 3 L x +
+ x2 + 1
5
e7x 7x3 + 3x2 + 7 :
2)2
(x + 1) x
2
2)
=
:
6x2 .
(a) [1] Determine sus puntos de corte con los ejes.
(b) [1] Calcule sus extremos relativos y su punto de in‡exión.
(c) [1] Represente grá…camente la función.
Andalucía
10
Antonio Roldán
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Solución :
(Apartado a) El único punto de corte con el eje OY es (0; f (0)) = (0; 0). Con el eje
OX, las abscisas de los puntos de corte cumplen la ecuación:
f (x) = 0
,
x3
6x2 = 0
,
x2 (x
6) = 0
,
x1 = 0; x2 = 6;
por lo que f corta al eje OX en (0; 0) y en (6; 0).
(
OX ! (0; 0) ; (6; 0)
OY ! (0; 0)
(Apartado b) La primera derivada de f es f 0 (x) = 3x2 12x = 3x (x 4), por lo que
sus puntos críticos son x1 = 0 y x2 = 4. En la siguiente tabla estudiamos su monotonía y sus
extremos relativos.
f0
+ Máx
mín +
f
%
La derivada segunda de f es f 00 (x) = 6x
de in‡exión es x = 2.
f 00
f
Como f (0) = 0, f (4) =
32 y f (2) =
Extremos
0
&
12 = 6 (x
\
4
%
2), por lo que el único candidato a punto
PI
+
2
[
16, concluimos entonces lo siguiente.
8
< f posee un máximo relativo en (0; 0) ;
: f posee un mínimo relativo en (4; 32) :
f posee un punto de in‡exión en (2; 16) :
(Apartado c) De acuerdo con lo anterior, la grá…ca de f es la siguiente.
y
f
-2
2
4
6
x
-20
-40
Ejercicio 10 (2008-5-B-2) Sea la función f (x) =
Andalucía
11
8
< x2 + 4; si x
:
1;
ax + b; si x > 1:
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(a) [2] Calcule a y b, sabiendo que f (2) = 7 y que f es continua en x = 1.
(b) [1] Determine la ecuación de la recta tangente a la grá…ca de f en el punto de abscisa x =
1.
Solución :
(Apartado a) Para que f (2) = 7 debe cumplirse que 2a + b = 7. Por otro lado,
como f es continua en x = 1, sus límites laterales son iguales, lo que nos lleva a la ecuación
1 + 4 = a + b, es decir, a + b = 5. Resolviendo el sistema que se forma, deducimos que:
a = 2 y b = 3:
(Apartado b) Por un lado, f ( 1) = 1 + 4 = 5. Por otro lado, si x < 1, la primera derivada
de f es f 0 (x) = 2x, de donde f 0 ( 1) = 2. Por tanto, la recta tangente a la grá…ca de f en el
punto de abscisa x = 1 es:
y
5=
2 (x
( 1))
,
y
5=
2x
2
y=
,
2x + 3:
Ejercicio 11 (2008-6-A-2) Sea la función de…nida de la forma:
8
<
ex ;
si x 0;
f (x) =
: 2
x + x + 1; si x > 0:
(a) [1] ¿Es f continua en x = 0? ¿Es continua en su dominio?
(b) [1] ¿Es f derivable en x = 0? ¿Es derivable en su dominio?
(c) [1] Estudie la monotonía de f .
Solución :
(Apartado a) De entrada, f es continua y derivable en R f0g, pues en el intervalo
abierto ]0; +1[ coincide con la función exponencial (que es continua y derivable) y en ]0; +1[
coincide con una función polinómica (ocurre lo mismo). El único punto en el que vamos a estudiar
la continuidad es en x = 0.
(1)
(2)
(3)
Andalucía
f (0) = e0 = 1:
8
<
f (0 ) = e0 = 1
9
=
: f (0+ ) = 0 + 0 + 1 = 1 ;
)
l m f (x) = 1:
x!0
f (0) = l m f (x) :
x!0
12
Antonio Roldán
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Por consiguiente, f es continua en x = 0, y así concluimos que:
f es continua en R:
(Apartado b) La primera derivada de f es, al menos:
8
< ex ;
si x < 0;
0
8x 2 R f0g ;
f (x) =
:
2x + 1; si x > 0:
Queda por estudiar si f es derivable en x = 0, y para ello utilizamos los límites laterales de la
función derivada:
f0 0
= l m f 0 (x) = e0 = 1;
f 0 0+ = l m f 0 (x) = 0 + 1 = 1:
x!0+
x!0
Como los límites laterales de la derivada son iguales, f es derivable en x = 0, lo que unido a que
ya sabíamos que f era derivable en R f0g, nos lleva a que:
f es derivable en R;
y su derivada es:
8x 2 R;
0
f (x) =
8
<
:
ex ;
si x
0;
2x + 1; si x > 0:
(Apartado c) Buscamos los puntos en los que se anula la primera derivada de f .
0;
f 0 (x) = 0
,
ex = 0; imposible;
x > 0;
f 0 (x) = 0
,
2x + 1 = 0
x
,
x=
1=2; imposible ya que
1=2 2
= ]0; +1[ :
Dado que f es derivable en R pero su derivada nunca se anula, ésta tiene siempre el mismo signo
(positivo, ya que f 0 (0) = 1), lo que nos dice que:
f es (estrict.) creciente en R:
Es sencillo comprender cómo la función exponencial y la función parabólica se unen de
manera continua y derivable en x = 0.
y
2
-2
Andalucía
-1
0
13
1
x
Antonio Roldán
Selectividad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Ejercicio 12 (2008-6-B-2) (a) [1’5] Calcule la ecuación de la recta tangente a la grá…ca de
2
f (x) =
en el punto de abscisa 1.
x
(b) [1’5] Sea la función g (x) = x3 + ax2 + b. Calcule a y b sabiendo que su grá…ca presenta un
punto de in‡exión en el punto (2; 5).
Solución :
(Apartado a) Por un lado, f (1) = 2=1 = 2. Por otro lado, si x 6= 0, la primera
derivada de f es f 0 (x) = x22 , de donde f 0 (1) = 2. Por tanto, la recta tangente a la grá…ca de
f en el punto de abscisa x = 1 es:
y
2=
2 (x
1)
,
y
2=
2x + 2
,
y=
2x + 4:
(Apartado b) De los datos del enunciado deducimos que f pasa por el punto (2; 5), por lo
que f (2) = 5, y que posee un punto de in‡exión en x = 2, de donde f 00 (2) = 0 (pues f es dos
veces derivable en x = 2). Éstas son las dos ecuaciones que nos van a conducir a calcular a y b.
Para cada x 2 R se tiene que:
f 0 (x) = 3x2 + 2ax
Entonces:
Por tanto,
8
< f (2) = 5
: f 00 (2) = 0
,
,
8 + 4a + b = 5
12 + 2a = 0
a=
Andalucía
y
f 00 (x) = 6x + 2a:
,
,
4a + b =
a=
3;
6:
6 y b = 21:
14
Antonio Roldán