REPASO DE CUESTIONES BASICAS

REPASO DE ALGUNAS CUESTIONES BASICAS
1. Reglas de las potencias ............................................................
2. Radicales ...................................................................................
3. Logaritmos ...............................................................................
4. Fórmulas notables ...................................................................
5. Razones trigonométricas .........................................................
6. Arco seno, arco coseno, arco tangente ...................................
7. Algunas observaciones sobre la exponencial .........................
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1.- Reglas de las potencias:

Producto de potencias de la misma base: para multiplicar dos potencias de la
misma base, dejamos la misma base y sumamos los exponentes.
a m  a n  a m n
Dos potencias de distinta base NO pueden multiplicarse en forma de potencia
(obviamente, sí podemos ver cuánto vale cada una de ellas, y multiplicar los
números que obtengamos); por ejemplo, 2 3  32 no puede operarse en forma de
potencia, aunque claramente 2 3  32  8  9  72 .

Cociente de potencias de la misma base: para dividir dos potencias de la misma
base, dejamos la misma base y restamos los exponentes.
am
 a mn
n
a
Dos potencias de distinta base NO pueden dividirse en forma de potencia
(obviamente, sí podemos ver cuánto vale cada una de ellas, y dividir los números
63
que obtengamos); por ejemplo, 2 no puede operarse en forma de potencia,
3
3
6
216
 24 .
aunque claramente 2 
9
3

Potencia elevada a otra potencia: para elevar una potencia a otra potencia,
dejamos la misma base y multiplicamos los exponentes.
a 
m n

 a mn
Potencia de un producto: para elevar un producto a una potencia elevamos cada
factor, y multiplicamos:
1
a  bm  a m  b m

Potencia de un cociente: para elevar un cociente a una potencia, elevamos tanto
el numerador como el denominador:
m
am
a

 
bm
b

Para todo valor de a, se cumple: a 0  1; a1  a

Potencia de exponente negativo: Una potencia de exponente negativo es igual a
1 dividido por la misma potencia, con exponente positivo:
a n 
Por ejemplo, 3  2 

1
an
1 1
1
1
1
3
 ;  2 
.


2
3
9
3
 2  8 8
Errores comunes:
a m  a n  a m n ; a m  a n  a m n
No hay ninguna regla para la suma o resta de potencias de la misma base (mucho
menos si las bases son distintas). Por ejemplo, 2 3  2 2 NO es igual a 2 5 .
2.- Radicales:



Definición: n a  b  b n  a . Por ejemplo, 3 8  2 porque 2 3  8 ;
3
3
 27  3 porque  3  27 . En concreto, n 0  0 y n 1  1 para todo valor
de n . La expresión n a recibe el nombre de radical, y el valor a recibe el
nombre de radicando; n es el índice del radical.
No existe la raíz de índice par de un número negativo. En cambio, sí existe la
raíz de índice impar (por ejemplo, 3  27  3 ).
Forma exponencial de un radical: todo radical se puede considerar una potencia
de exponente fraccionario, según la siguiente regla:
n

a  a1 / n ;
n
am  am/ n
Producto de radicales del mismo índice: El producto de radicales del mismo
índice es otro radical cuyo índice es el mismo, y cuyo radicando es el producto
de los radicandos.
2
n
a  n b  n ab
La igualdad anterior también puede interpretarse del siguiente modo: la raíz del
producto, es igual al producto de las raíces.

Cociente de radicales del mismo índice: El cociente de radicales del mismo
índice es otro radical cuyo índice es el mismo, y cuyo radicando es el cociente
de los radicandos.
n
a
n
b
a
b
n
La igualdad anterior también puede interpretarse del siguiente modo: la raíz del
cociente, es igual al cociente de las raíces.

Potencia de un radical: para elevar un radical a una potencia, dejamos el mismo
índice, y elevamos el radicando.
 a
n

 n ap
Errores comunes: la raíz de una suma (o una resta) NO es igual a la suma (o la
resta) de las raíces:
n

p
ab  n a n b ;
n
a b  n a n b
Racionalización: racionalizar una expresión es transformarla, de modo que
desaparezcan los radicales del denominador.
1.- Si hay un solo radical en el denominador (quizá multiplicado por alguna
constante), basta multiplicar y dividir por él. Por ejemplo:
3
5 2

3
5 2

2
2

3 2
10
2.- Si en el denominador hay una suma o resta en la que intervienen radicales,
multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador (el conjugado de
A  B es A  B , y recíprocamente). Por ejemplo:
3
3 2

3
3 2

3 2
3 2

3 33 2
 3   2 
2
2

3 3 3 2
3 33 2
3 2
3.- Logaritmos:

Definición: loga b  z  b  a z ; el valor a recibe el nombre de base del
logaritmo, y debe ser positivo y distinto de 1. Por ejemplo: log2 8  3 ;
3
1
 3 ; log10 100  2 , etc. Las bases más importantes son 10 (que da lugar
8
a los logaritmos decimales), y e (que da lugar a los logaritmos neperianos;
habitualmente, para representar el logaritmo neperiano de x se utiliza ln x ó
Lx ).
log 2

Propiedades de los logaritmos:
1.- No existe el logaritmo de los números negativos.
2.- loga 1  0 para todo valor de a . En particular, L1  0 .
3.- loga a  1 ; loga a k  k . En particular, Le  1 ; Le k  k .
4.- El logaritmo del producto es igual a la suma de los logaritmos:
loga u  v  loga u  loga v
5.- El logaritmo del cociente es igual a la resta de los logaritmos:
log a
u
 log a u  log a v
v
6.- El logaritmo de una potencia es igual al exponente, por el logaritmo de la
base:
loga u n  n  loga u
7.- El logaritmo de la raíz de índice n es igual a 1 / n por el logaritmo del
radicando:
log a n u 
1
 log a u
n
8.- Si a  1 (por ejemplo, para los logaritmos decimales, o neperianos), el
logaritmo es creciente, es decir, cuanto mayor sea un número, mayor será su
logaritmo. Si a  1 , sucede al revés: cuanto mayor es el número, menor es el
logaritmo. En cualquier caso, los logaritmos que manejaremos en la práctica
totalidad del curso cumplen a  1 .
9.- Si a  1 , el valor de loga x es negativo cuando x está entre 0 y 1, y positivo
cuando x es mayor que 1. Además, si a  1 , se cumple lim log a x   ,
x 0
lim log a x   . Informalmente, puede escribirse que loga 0   , loga   
x 
cuando a  1 .
10.- La gráfica de la función y  loga x para a  1 (por ejemplo, la de y  Lx) ,
es:
4
11.- Números distintos tienen logaritmos distintos.
12.- Errores comunes: no hay ninguna fórmula para loga u  v (NO es igual a
la suma de los logaritmos!!), loga u  v  (NO es igual a la resta de los
loga u
logaritmos). Tampoco hay ninguna fórmula para loga u  loga v , ni para
.
loga v
13.- Fórmula del cambio de base: logb N 
loga N
loga b
4.- Fórmulas notables.






Cuadrado de una suma: a  b  a 2  2ab  b 2 .
2
Cuadrado de una resta: a  b  a 2  2ab  b 2
Suma por diferencia: a  b  a  b  a 2  b 2
2
Cubo de una suma: a  b  a 3  3a 2b  3ab2  b3
3
Cubo de una resta: a  b  a 3  3a 2b  3ab2  b3
3
Error común: a  b  a n  b n . Por ejemplo, x  1 NO es igual a x 4  1 .
n
4
5.- Razones trigonométricas.

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo:
5
a
b

c
cateto opuesto b

hipotenusa
a
cateto contiguo c
cos 

hipotenusa
a
cateto opuesto b
tg 

cateto contiguo c
sen 
Puede observarse que tg 
Se definen, además,

sen 
cos 
cos ec  
1
1
1
; sec  
; cot g 
sen 
cos 
tg
Razones trigonométricas en la circunferencia goniométrica: una circunferencia
goniométrica es simplemente una circunferencia cuyo radio vale 1. De ese
modo, el seno (respectivamente, el coseno) de un ángulo se puede ver como la
longitud de la vertical (respectivamente, la horizontal) interceptada en la
circunferencia por el ángulo correspondiente. Además, le atribuimos signo a esa
longitud: para las verticales, positivo si apunta hacia arriba, y para las
horizontales, positivo si apunta hacia la derecha. Ello determina el signo de las
razones trigonométricas en los cuatro cuadrantes (I, II, III, IV) en que queda
dividida la circunferencia. Recordemos que pertenecen al primer cuadrante (I)
los ángulos entre 0º y 90º. Al segundo (II), los ángulos entre 90º y 180º. Al
tercero (III), los ángulos entre 180º y 270º. Al cuarto (IV), los ángulos entre 270º
y 360º.
6
I
II
sen
sen
+
cos
+
cos
III
IV
En el dibujo anterior aparece (en trazo grueso), un ángulo del primer cuadrante.
Vemos que la vertical correspondiente apunta hacia arriba, y que la horizontal
apunta hacia la derecha. En consecuencia, tanto seno como coseno son positivos.
Puesto que la tangente es el cociente de ambos, también es positiva. Abajo, sin
embargo, aparece un ángulo del segundo cuadrante. Aquí, la vertical sigue
apuntando hacia arriba, luego el seno es positivo, pero la horizontal apunta hacia
la izquierda, luego el coseno es negativo. Puesto que la tangente es el cociente de
ambos, su signo es negativo.
sen
+
cos
-
II
I
III
IV
Razonando igualmente, se tiene que los signos de las razones trigonométricas, en
cada cuadrante, son:
7
I
+
+
+
sen
cos
tg
II
+
-
III
+
IV
+
-
Teniendo además en cuenta que el valor del seno corresponde a una longitud en
vertical, el del coseno a una longitud en horizontal, y que la tangente es el cociente
de ambos, se tienen los siguientes valores de las razones trigonométricas de 0º, 90º,
180º, 270º, 360º:
0º
0
1
0
sen
cos
tg
90º
1
0
∞
180º
0
-1
0
270º
-1
0
-∞
360º
0
1
0
En particular, las razones de 0º y 360º son iguales. Si tenemos un ángulo de más
de 360º, dividimos el ángulo en cuestión por 360 y nos quedamos por el resto.
Por ejemplo, para 1220º, al dividir por 360 obtenemos como resto 140. Por
tanto, las razones de 1220º coinciden con las de 140º.
Se recuerda asimismo que los ángulos positivos se miden en sentido contrario a
las agujas del reloj, y los negativos, en sentido horario. En consecuencia, las
razones de, por ejemplo, -30º, coinciden con las de 330º.

Paso de radianes a grados, y viceversa: para medir ángulos se utiliza
frecuentemente como unidad el radián. El radián es el ángulo que intercepta en
una circunferencia un arco igual al radio. Para pasar de grados a radianes y
viceversa basta aplicar una regla de tres teniendo en cuenta que 360º grados
equivalen a 2 radianes, o que 180º grados equivalen a  radianes. En
consecuencia, para pasar, por ejemplo, 45º, a radianes, tendríamos que
180º  
45º  x
y por lo tanto x 
45   
45  
 sim plificando

180 
180 4
En concreto, para los ángulos más utilizados, se tiene
Grados
0
30
45
60
90
180
270
360
Rads.
0
 /6
 /4
 /3
 /2

3 / 2
2
8

Las razones trigonométricas de 30º, 45º, 60º, son:
Angulo
30º
45º
60º

sen
1/ 2
2/2
3/2
tg
cos 
3/2
3/3
1
2/2
1/ 2
3
Reducción al primer cuadrante: si tenemos un ángulo que no está en el primer
cuadrante, para averiguar los valores de sus razones trigonométricas lo
relacionaremos con algún ángulo que sí esté en el primer cuadrante. En concreto,
según el cuadrante en que esté utilizaremos lo siguiente:
1.- Reducción del segundo al primer cuadrante: Se utilizan las razones de
ángulos suplementarios (se dice que dos ángulos son suplementarios si suman
180º). Concretamente:
sen  sen 180   

cos   cos 180   
tg  tg 180   

Estas relaciones pueden deducirse dibujando los ángulos. En concreto,
II
I
sen 180 α 
sen
cos
III
cos 180 α 
IV
Por ejemplo, si   135 º , entonces
cos135º   cos 180º135º    cos 45º   2 / 2
2.- Reducción del tercer al primer cuadrante: Se utilizan las razones de  y
α  180 . Concretamente,
9
sen   sen   180

cos   cos   180
tg  tg   180

De nuevo, estas relaciones se pueden deducir de un dibujo apropiado. Por
ejemplo, si   210 º , entonces tg 210º  tg 210º180º   tg 30º  3 / 3 .
3.- Reducción del cuarto al primer cuadrante: Se utilizan las razones de  y
360   . Concretamente:
sen   sen 360   

cos  cos 360   
tg  tg 360   

De nuevo, estas relaciones se pueden deducir de un dibujo apropiado. Por
ejemplo, si   300 º , entonces sen 300º  sen 360º 300º   sen 30º  1 / 2 .

Razones trigonométricas de ángulos negativos: Se utilizan las relaciones
siguientes, análogas a las que permiten la reducción del cuarto cuadrante al
primero:
sen( )   sen 

cos( )  cos
tg ( )  tg 

Por ejemplo, tg (45º )  tg 45º  1 .

Es importante recordar que  1  sen , cos  1 , es decir, el seno de un ángulo
(respectivamente, el coseno) no puede ser ni mayor de 1, ni menor que -1; por
ejemplo, no hay ningún ángulo cuyo seno valga 2. En cambio, la tangente de un
ángulo no está acotada, es decir, puede valer cualquier cosa.

Principales identidades trigonométricas:
1.- Relación fundamental de la trigonometría: sen 2  cos2   1
sen 
2.- tg 
cos 
2
3.- 1  tg   sec2 
4.- 1  cot g 2  cosec 2
5.- Seno del ángulo doble: sen 2  2sen  cos 
6.- Coseno del ángulo doble: cos 2  cos2   sen 2
7.- Seno de la suma: sena  b  sena  cosb  senb  cosa
8.- Seno de la resta: sena  b  sena  cosb  senb  cosa
9.- Coseno de la suma: cosa  b  cosa  cosb  sena  senb
10
10.- Coseno de la resta: cosa  b  cosa  cosb  sena  senb

Gráficas de las funciones trigonométricas:
1.- y  senx : función periódica de periodo 2 (es decir, cada 2 radianes sus
valores se repiten). Acotada entre -1 y 1.
2.- y  cos x : función periódica de periodo 2 (es decir, cada 2 radianes sus
valores se repiten). Acotada entre -1 y 1. Su gráfica es como la de y  senx , con
un desfase de  / 2 .
3.- y  tgx : función periódica de periodo  . No está acotada (de hecho, se hace
infinita en …, -  / 2 ,  / 2 , 3 / 2 , etc.
11
6.- Arco seno, arco coseno, arco tangente.

La expresión arcsen x se lee “arco seno de x ”, y su valor coincide con el
ángulo (habitualmente en radianes) cuyo seno vale x . El valor del arco seno no
es único, por ejemplo arcsen 0 significa “el ángulo cuyo seno vale 0”, luego es
igual a 0, pero también a  , o a 2 , o a   , etc. Normalmente se toma su
valor entre   / 2 y  / 2 (en cuyo caso sí es único). Con esa consideración,
tomaríamos arcsen 0  0 . Otros ejemplos:
arcsen1   / 2
arcsen 2 / 2   / 4
arcsen(1)   / 2
Observemos que por ejemplo arcsen 2 no tiene sentido porque no hay ningún
ángulo cuyo seno valga 2. La gráfica de la función y  arcsenx es:
12

La expresión arccosx se lee “arco coseno de x ”, y su valor coincide con el
ángulo (habitualmente en radianes) cuyo coseno vale x . Como en el caso del
arco seno, su valor no es único pero se suele tomar entre 0 y  (en cuyo caso sí
es único). Por ejemplo:
arccos1  0
arccos 2 / 2   / 4
arccos(1)  
Observemos que por ejemplo arccos 2 no tiene sentido porque no hay ningún
ángulo cuyo coseno valga 2. La gráfica de la función y  arccos x es:

La expresión arctg x se lee “arco tangente de x ”, y su valor coincide con el
ángulo (habitualmente en radianes) cuya tangente vale x . Como en los casos
anteriores su valor no es único, pero como en el caso del arco seno se suele
tomar entre   / 2 y  / 2 (en cuyo caso sí es único). Algunos ejemplos:
arctg 0  0
arctg1   / 4
arctg    / 2
arctg (-1)  - / 4
arctg      / 2
Puesto que la tangente de un ángulo puede ser cualquier número real,
arctg x siempre tiene sentido. La gráfica de y  arctgx es:
13
7.- Algunas observaciones sobre la exponencial.
Se llama función exponencial a la función cuya expresión es y  a x , con a  0 , a  1 .
Esta expresión tiene sentido para todo valor de x (por ejemplo, si x  0 tenemos
1
a 0  1 , y si x es negativo, tenemos que a  k  k ). Algunas propiedades importantes
a
son:

Si a  1 (por ejemplo 2 x , 5 x , e x ), entonces:
1.- a x  0 siempre; en particular, las ecuaciones a x  0, a x  b donde b es un
número positivo, NO tienen solución. Las ecuaciones a x  b con b positivo sí
tienen solución, que puede obtenerse tomando logaritmos; concretamente,
x  Lb / La .
2.- a x es CRECIENTE, es decir, cuanto mayor sea x , mayor será a x .
3.- lim a x  0 , lim a x   . A veces, esto se expresa informalmente diciendo
x  
x 
que, para a  1 , a   0 y a    .
4.- Las características anteriores pueden observarse en la gráfica de la función
exponencial para a  1 :
14

x
Si a  1 (por ejemplo 1/ 2 o equivalentemente 2  x , e  x , etc.), entonces:
1.- a x  0 siempre; en particular, las ecuaciones a x  0, a x  b donde b es un
número positivo, NO tienen solución. Las ecuaciones a x  b con b positivo sí
tienen solución, que puede obtenerse tomando logaritmos; concretamente,
x  Lb / La .
2.- a x es DECRECIENTE, es decir, cuanto mayor sea x , menor será a x .
3.- lim a x   , lim a x  0 . A veces, esto se expresa informalmente diciendo
x  
x 
que, para a  1 , a    y a   0 .
4.- Las características anteriores pueden observarse en la gráfica de la función
exponencial para a  1 :
15