TAP_12_TCI_2012 - Facultad de Ingeniería

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE ELECTROTECNIA
TEORÍA de CIRCUITOS I - 2012
ANEXO CLASE DE EXPLICACIÓN Nº 12
TEMA 12: CIRCUITOS CON TENSIONES Y CORRIENTES POLIARMÓNICAS.
Desarrollo en series de Fourier. Condiciones de simetría que anulan términos. Valor eficaz de una
poliarmónica. Impedancia o admitancia para cada componente. Resolución de circuitos con poliarmónicas.
Potencia activa, reactiva, aparente y de deformación. Sus consecuencias sobre la diferenciación entre factor de
potencia y cos.
Repasar: Trabajos de Aplicación Nº 3, 10 y 11.
I) RESUMEN DE LA CLASE DE EXPLICACIÓN
 Las señales poliarmónicas son señales periódicas que se pueden descomponer en una suma de señales sinusoidales de diferentes pulsaciones.Las señales periódicas no sinusoidales que admiten desarrollo en serie
de Fourier son señales poliarmónicas. En un circuito pueden aparecer en alguna de las siguientes circunstancias:
a) Las fuentes son señales periódicas no sinusoidales.
b) El circuito contiene elementos pasivos no lineales.
 Una señal periódica no sinusoidal (que cumpla ciertas condiciones) se puede desarrollar en serie de Fourier.
La serie de Fourier consta en la sumatoria de un término constante más una sucesión infinita de funciones sinusoidales cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la frecuencia de su primer término. Si f(t) es una señal
periódica de periodo T, entonces se podrá expresar como:
El valor corresponde a la pulsación de la señal y se denomina frecuencia fundamental. Los términos de
las serie se denominan armónicos de las misma, correspondiendo el termino con
al primer armónico,
con
al segundo armónico, y así sucesivamente.
El término corresponde al valor medio de la señal. Loscoeficientes y
tienden a ser cada vez más pequeños a medida que aumenta , con lo que se puede logar una buena aproximación de la señal tan solo
usando los primeros términos de la serie.
También, utilizando algunas propiedades trigonométricas, se puede expresar la serie de la siguiente forma:
 Para que una señal periódica admita un desarrollo en serie de Fourier debe cumplir las condiciones de Dirichlet, las cuales exigen que:
1) Debe tener un número finito de discontinuidades dentro de cada período.
2) Debe tener un número finito de máximos y mínimos dentro de cada período.
3) Debe ser absolutamente integrable en un período (
).
Cualquier señal eléctrica producida por una fuente real cumple con las condiciones de Dirichlet.
 Las señales periódicas pueden presentar algunas de las siguientes simetrías:
Par: las señales pares cumplen
y son simétricas con respecto al eje de ordenadas.
Impar:las señales impares cumplen
das.
y son simétricas con respecto al origen de coordena-
Simetría de media onda: estas señales cumplen
y son simétricas con respecto al eje de
abscisas, tras un desplazamiento de .
Simetría de cuarto de onda: estas señales tienen simetría de media onda y además son pares o impares.
TAP12
1
TCI 2012
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE ELECTROTECNIA
 Es útil saber si una señal posee alguna de estas simetrías, ya que su serie de Fourier presentará algún tipo
de simplificación. En la siguiente tabla se muestra cómo se pueden calcular los coeficientes de las serie de
acuerdo al tipo de simetría que tenga la señal:
Simetría de
f(t)
Calculo de los coeficientes de la serie
Ninguna
Par
Impar
Media onda
Cuarto de
onda par
Cuarto de
onda impar
 Para la resolución de circuitos alimentados con fuentes de tensión poliarmónica será conveniente utilizar el
desarrollo de su serie de Fourier de la siguiente forma:
u(t)
u1(t)
U0
u2(t)
Tomando como ejemplo el caso de que esta fuente de tensión poliarmónica alimente un circuito RLC serie, y
se pretende calcular la corriente del circuito en el régimen permanente, es recomendable proceder como se
detalla a continuación:
R
L
u(t)
C
i(t)
En primer lugar se puede calcular la impedancia Z del circuito, dejándola expresada en función de la pulsación:
Y calculando las impedancias para cada armónico resulta:
Ahora, para resolver el circuito bastará con utilizar el teorema de superposición y considerar un armónicode la
fuente de tensión a la vez. Para cada armónico se encontrará la corriente correspondiente (utilizando la impedancia calculada previamente), y la corriente total será la suma de la corriente aportada por cada armónico:
TAP12
2
TCI 2012
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE ELECTROTECNIA
 El valor eficaz de una tensión poliarmónicase puede calcular a partir de la siguiente expresión:
Para calcular el valor eficaz de una corriente poliarmónica, la expresión es totalmente análoga.
 La potencia activa en circuitos con señales poliarmónicas se calcula de la siguiente forma:
 Análogamente, la expresión de la potencia reactiva es:
 La potencia aparente se calcula de la forma habitual:
 En general no se cumplirá la relación
. Esto se debe la deformación que existe entre la forma de
onda de la tensión con respecto a la de la corriente. Por eso se define la potencia de deformación (D) medida en vad, la cual satisface la siguiente ecuación:
La forma más práctica de calcularla es:
 El factor de potencia se calcula igual que antes:
II) ACTIVIDADES DE LA CLASE DE EXPLICACIÓN
ACTIVIDAD 1
u
5V
Dada la onda cuadrada mostrada en la Fig.A1:
1. Hallar los cinco primeros coeficientes de la serie trigonométrica de
Fourier.
2. En un mismo gráfico, representar la onda cuadrada, los tres primeros
términos de la serie de Fourier y la suma de estos últimos.
-5V
π
2π
α
Fig. A1
ACTIVIDAD 2
La tensión de la propuesta anterior se aplica a un circuito RC, para el cual la constante de tiempo resulta
mucho mayor que el periodo de la onda en cuestión.
1. Demostrar que la tensión en el capacitor resulta la integral de la tensión de entrada (incluso si ésta es
senoidal).
2. Verificar dicha conclusión con la composición por Fourier de cada onda.
III) CUESTIONARIO
a)
b)
c)
d)
¿Qué es una tensión o corriente poliarmónica? Identificar sus componentes.
¿Cuál es la razón de analizar la respuesta de modelos circuitales excitados con funciones poliarmónicas?
¿Cómo se determina el valor eficaz de una tensión o corriente poliarmónica?
Indicar las expresiones de cálculo de las potencias activa, reactiva, aparente y de deformación.
TAP12
3
TCI 2012
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE ELECTROTECNIA
TEORÍA de CIRCUITOS I - 2012
TRABAJO DE APLICACIÓN Nº 12
Apellido y
Nombre:
N° Alumno:
Grupo:
Comisión:
Ejercicio 01
En un circuito con R = 10 Ω y L= 0,035 H, hay una corriente:
i(t) = 5 . sen(ω . t) + 0,3 . sen(3ω . t + 70,1º) + 0,1 . sen(5ω . t + 159º) A; la frecuencia fundamental es de 50 Hz.
1. Calcular las amplitudes de las tres tensiones componentes necesarias para mantener esta corriente.
2. Verificar si estas tensiones y corrientes están en fase entre sí.
Ejercicio 02
Un voltímetro (que mide valores eficaces) está conectado a un alternador que entrega la siguiente tensión:
u(t) = 8000. sen(ω . t) + 540 . sen(3ω . t) + 350 . sen(5ω . t) V; la frecuencia fundamental es de 50 Hz.
1. ¿Cuál será la lectura del voltímetro?
2. Hallar el valor eficaz de la corriente que habría si se aplicara esta tensión a:
a) Un capacitor de 125 uF.
b) Una bobina de resistencia despreciable y una inductancia de 0,05 H.
Ejercicio 03
Al aplicarle a un circuito la tensión:u(t) = 50 + 25. sen(500 . t) + 5 . sen(2500 . t) V se obtiene una corriente de valor: i(t) = 5 + 2,23. sen(500 . t – 26,5º) + 0,566 . sen(1500 . t –56,3º) + 0,186 . sen(2500 . t –68,2º) A.
1. Calcular los valores eficaces de la corriente y de la tensión.
2. Determinar la potencia activa, reactiva, aparente y de deformación.
Ejercicio 04
En el circuito de la Fig.04: u(t) = 10 + 10. sen(ω . t) V; f = 50 Hz; L = 20 mH;
C = 300 uF y R = 10 Ω.
1. Determinar la tensión en el resistor.
2. Calcular la potencia activa, reactiva, aparente y de deformación en la fuente.
Ejercicio05
La tensiónu(t) = 2000. sen(ω . t) + 400 . sen(3ω . t) + 100 . sen(5ω . t) Vse aplica al circuito de la Fig.05. Si R= 10 Ω; C= 30 uF y la frecuencia fundamental
es 50 Hz, determinar:
1. El valor de L para que exista resonancia en la tercera armónica de corriente.
2. Los valores de la corriente y tensión eficaces en el caso anterior.
L
R
C
uf
Fig. 04
R
L
C
Fig. 05
Ejercicio 06
La tensión de fase de un generador trifásico consta de una fundamental de 3100 V de amplitud y de una tercera armónica de valor 30% de aquella.
1. Calcular el valor eficaz de la tensión de línea cuando los devanados se conectan en estrella.
2. Ídem para cuando se conectan en triángulo.
3. Determinar las corrientes en cada devanado (siendo R= 0 Ω y XL= 10 Ωlos valores de su impedancia interna a la frecuencia fundamental) cuando se conectan en triángulo.
TAP12
4
TCI 2012
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE ELECTROTECNIA
Ejercicio 07
A un circuito se le aplica la tensión u(t) = 310 . cos(ω . t) V con frecuencia de
50 Hz, y se obtiene la corriente periódica representada en la Fig. 07, donde
t1 = 16 ms y t2 = 20 ms.
1. Calcular los valores eficaces de la corriente y la tensión, y obtener el
valor de la potencia aparente.
2. Con la ayuda de la serie de Fourier de la corriente, determinar la
potencia activa, reactiva y de deformación, y el factor de potencia.
TAP12
5
i
1A
t1 t2
t
Fig. 07
TCI 2012