Trabajo y potencia en un circuito eléctrico resistivo

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Física III
Unidades 5 y 6
|Apunte complementario
TRABAJO Y POTENCIA EN UN CIRCUITO ELÉCTRICO RESISTIVO.
Un circuito está formado por una fuente de corriente continua y un
conductor con cierta resistencia R. Consideremos que esta fuente
transporta a una carga q positiva desde a hasta b. Como el potencial
de b es mayor que el potencial de a la fuente debe ejercer alguna
fuerza F* distinta de la que produce el campo eléctrico para poder
mover una carga q positiva en la dirección en que el potencial
aumenta.
Esta fuerza F* realiza sobre la carga un trabajo positivo Wab* que le
produce a la carga un aumento en su energía potencial. Este trabajo
no es realizado por el campo electrostático si no por algún otro tipo de fuerza, F*, y su valor por unidad de carga se
Wab*
denomina “fuerza” electromotriz. Por definición:  
. A pesar de su nombre esta magnitud no es una fuerza, si no una
q
diferencia de potencial ya que sus unidades son Joule/Coulomb = Volt
Desde b hasta a el circuito se cierra por medio de un conductor (por ejemplo, un cable). Este conductor no está en
equilibrio electroestático ya que sus puntos no se encuentran a igual potencial. La fuente mantiene una diferencia de
potencial entre los puntos b y a. Por lo tanto existen líneas de campo eléctrico dentro del conductor que van de b hacia a.


Sobre la carga q actúa una fuerza FE  qE que la empuja en su movimiento desde b hacia a. Por lo tanto, realiza un
trabajo positivo Wba  qVa  Vb  y la energía potencial de la carga disminuye ya que Wba  U a  U b  porque la


fuerza FE  qE es una fuerza conservativa.
En un camino cerrado la energía potencial de la carga no varía y por lo tanto se debe cumplir que Wab*  Wba  0
Si en lugar de una carga puntual q consideramos un elemento infinitesimal de carga dq que se desplaza en un lapso de
tiempo dt, la igualdad anterior se puede escribir:
dq  dq Va  Vb   0
dq
dq
  Va  Vb   0
dt
dt
I  I Va  Vb   0
El primer término es la potencia desarrollada (trabajo por unidad de tiempo) por la fuente de f.e.m. El segundo término es
la potencia “disipada”, es decir la pérdida de energía por unidad de tiempo, en el resistor. Esta energía se transfiere al
ambiente en forma de calor Q.
Pfuente  I
Q
 I  V  Pdis
t
Q : calor
La última fórmula se puede combinar con la ley de Ohm en las formas I 
V
R
o V  I R y se obtienen para la
potencia disipada en un resistor las siguientes expresiones equivalentes entre sí: Pdis  I 2 R
Realicemos ahora un análisis de las unidades involucradas en las últimas fórmulas que vimos::
Pdis 
V 2
R
2
P  I   V   A  V  C  J
s C

P  I 2  R  A    A 2  V
2

V
P 
R
A

J
 Watt
s
 A  V  Watt
V2
V2

 V  A  Watt
 V/A
La combinación de unidades “Watt = VoltAmpere” tiene mucha aplicación práctica. En muchos casos conocemos la
potencia de un dispositivo eléctrico, por ejemplo una lámpara, y la diferencia de potencial a la que se debe conectar para
que funcione correctamente.
Por ejemplo si una lámpara1 tiene las especificaciones 220 V 40 W, quiere decir que si la conectamos a una diferencia de
potencial de 220 Volt disipará 40 Joules de energía en cada segundo o “consumirá” esa cantidad de energía. En este caso
consumir quiere decir lo que necesita para funcionar. Por lo tanto podemos averiguar cuál es la intensidad de la corriente
(carga por unidad de tiempo) que circulará por ella y también cuánto vale su resistencia eléctrica:
I
40W
P

 0,182A
V 220V
R
220V
V

 1210
I
0,182 A
Para una lámpara de 100 W (también diseñada para conectarla a 220 V), la intensidad de la corriente y la resistencia valen:
I
P 100W

 0, 4545 A
V 220V
R
V
220V

 484 
I
0, 4545 A
Sin embargo si mido la resistencia de una lámpara de filamento metálico con multímetro (tester) observo que el
instrumento me da una lectura de aproximadamente 37 . ¿Cómo puede ser tan distinto el valor calculado (484 ) del
valor medido (37 )?
LAS LEYES DE KIRCHHOFF Y LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA.
Consideremos un circuito de una sola malla que contiene cierto número de fuentes de f.e.m ideales y cierto número de
resistores. Si el circuito tiene una sola malla, dicha malla es también la única rama, ya que no hay nodos. Dicho de otro
modo, por todos los elementos de este circuito circula la misma corriente.
Si en este caso aplicamos la segunda ley de Kirchhoff y multiplicamos ambos miembros por la intensidad de corriente,
obtenemos:
1   2   3  ...  I R1  I R2  I R3  I R4  ...  0
1I   2 I   3 I  ...  I 2 R1  I 2 R2  I 2 R3  I 2 R4  ...  0
P1  P 2  P3  ...  PR1  PR2  PR3  PR4  ...  0
P"entregada "  P"disipada "  0
Este resultado expresa que en un tiempo dado todo el trabajo realizado por las baterías para transportar las cargas se disipa
en forma de calor en los resistores. Es un caso particular de la 1ra ley de la termodinámica (conservación de la energía):
P"entregada "  t  P"disipada"  t  0
W fuentes  Qdisipado
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Nos estamos refiriendo a una lámpara de filamento metálico y no a las denominadas “de bajo consumo”.
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En este ejemplo estamos considerando que en todas las fuentes ideales de f.e.m, la corriente pasa a través de ellas desde el
borne negativo (menor potencial) hacia el borne positivo (mayor potencial). Por lo tanto todas las fuentes hacen trabajo
“eléctrico” positivo: entregan energía.
Si en la malla hubiera fuentes ideales reversibles en las cuales la corriente circulara en ellas del borne positivo al borne
negativo, el producto   I representa, en este caso, un incremento en la energía interna de la batería. De igual, modo se
seguiría cumpliendo la 1ra ley de la termodinámica:
P"entregada"  t  P"absorbida"  t  P" disipada"  t  0
W  Qdisipado  U
Ahora bien, si un circuito tiene varias mallas formadas por fuentes de f.e.m ideales y reversibles, se debería seguir
cumpliendo la conservación de la energía. ¿Se puede probar esto a partir de las leyes de Kirchhoff?
Para hacerlo, vamos a recurrir a algunos ejemplos simples, donde sea sencillo llegar a esa conclusión. Dejamos para más
adelante una demostración general.
Ejemplo A
A partir del planteo de las leyes de Kirchhoff queremos demostrar que la
potencia entregada por la pila es igual a la potencia disipada en las
resistencias. Planteamos las ecuaciones en base a las reglas de Kirchhoff y
obtenemos:
I1  I 2  I 3
0
(1)
  I1R1  I 2 R2  0
(2)
I 2 R2  I3 R3  0
(3)
Multiplicamos la ecuación (2) por I1 y la ecuación (3) por I3:
 I1  I12 R1  I1I 2 R2  0
I 2 I3 R2  I32 R3
0
(2`)
(3`)
En la ecuación (2`) reemplazamos I1  I 2  I3 en el 3er término:
 I1  I12 R1  ( I 2  I 3 ) I 2 R2  0
 I1  I12 R1  I 22 R2  I 3 I 2 R2  0
(2``)
Ahora sumamos miembro a miembro la ecuación (2``) con la ecuación (3), obtenemos lo que queríamos demostrar:
 I1  I12 R1  I 22 R2  I32 R3  0
P  PR1  PR2  PR3
Ejemplo B
Vamos a repetir el procedimiento aplicado en el ejemplo anterior pero en
este caso a un circuito que tiene dos fuentes de f.e.m. Comenzamos por
el planteo de las ecuaciones aplicando las leyes de Kirchhoff:
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I1  I 2  I 3
0
(1)
1  I1R1  I3 R3  0
 2  I 2 R2  I3 R3  0
(2)
(3)
Multiplicamos la ecuación (2) por I1 y la ecuación (3) por I2:
1I1  I12 R1  I 3 I1R3  0
(2`)
 2 I 2  I 22 R2  I 3 I 2 R3  0
(3`)
Sumamos miembro a miembro la (2`) y la (3`) y hacemos la sustitución I1  I 2  I3
1 I1   2 I 2  I12 R1  I 22 R2  I 3 ( I1  I 2 ) R3  0
1 I1   2 I 2  I12 R1  I 22 R2  I 32 R3  0
P1  P 2  PR1  PR2  PR3