TP_6_Analisis_dimensional_y_semejanza_2010_rev00

Facultad de Ciencias Fisicomatemáticas e Ingeniería
Cátedra: Mecánica de Fluidos
Práctica N 6 – Análisis dimensional y semejanza
Docentes: Dra. Miralles / Ing. Jorge Rosasco / Ing. Eduardo Contento
1.
Revisión: 00
El número de Reynolds es una función de la densidad (ρ), la viscosidad (μ) y la velocidad del fluido (V), así como
también de una longitud característica (L). Establecer la expresión del número de Reynolds mediante análisis dimensional
Rta.: Re 
2.
V L

La fuerza centrípeta sobre una masa pequeña que describe un movimiento circular con velocidad tangencial V y
radio R está dada por:
Fc 
MV 2
R
Determinar si la ecuación es dimensionalmente correcta y determinar cuatro grupos de unidades compatibles con ella.
3.
La velocidad de una partícula que cae en un medio resistente puede expresarse en primera aproximación por la
siguiente ecuación:
W
vz  [1  e  kt / m]
k
Siendo: m la masa de la partícula, W su peso, k una constante, y t el tiempo. Se pide determinar en qué dimensiones
deberá estar indicada k, y cuáles serían sus unidades características si se adopta el sistema SI.
4.
Suponiendo que la potencia comunicada a una bomba es función del peso específico del fluido, del caudal y de la
altura correspondiente a la corriente, establecer una ecuación por análisis dimensional Rta: (peso específico x caudal x
altura)
5.
Se dispara un proyectil un ángulo θ con una velocidad inicial V0. Hallar el alcance R en el plano horizontal
suponiendo que es función de V, θ y g.
2
Rta: R = k V sen 2θ/ 2g. ( k es una constante que cuando se realiza la experiencia es igual a 2).
6.
Analizar y buscar una relación funcional entre la fuerza de resistencia al avance o arrastre, en una esfera lisa de
diámetro D que es embestida por una corriente de flujo no ideal de viscosidad µ y densidad ρ, pero incompresible y
permanente a velocidad V.
7.
Se busca a partir de las experiencias hechas con un modelo determinar la fuerza de arrastre. El arrastre (Drag) sobre
un auto prototipo es función de los parámetros: FDrag = f (U, L μ, ρ). Demostrar que los números adimensionales asociados
son el de Reynolds, y el. Cd.
Cd 
8.
FD
1
U  2 Af
2
. Siendo FD la fuerza de arrastre, ρ la densidad del aire, U la velocidad del móvil y A f el área frontal.
Se desea estudiar la fuerza resistente al avance o arrastre de un cilindro muy liso de diámetro D y longitud L,
cuando es embestido por una corriente de flujo no ideal de viscosidad µ y densidad ρ, pero incompresible y permanente a
velocidad V.
a.- Determinar que variables entran en juego y la relación funcional entre ellas.
b.- Como se podría armar un programa de experimentos y como sería una posible gráfica que permita estudiar el problema
y sea útil para una variedad de cilindros en diámetro y longitud.
9.
Se desea estudiar la diferencia de presión necesaria entre los extremos de una tubería horizontal, de sección
circular, para lograr la circulación de un fluido incompresible de viscosidad µ y densidad ρ, real, en régimen permanente a
velocidad V, y para un tramo de longitud ∆l . Se debe considerar que la tubería es comercial, y posee cierta rugosidad
absoluta e, en su interior.
a.- Determinar que variables entran en juego y la relación funcional entre ellas.
b.- Como se podría armar un programa de experimentos y como sería una posible gráfica que permita estudiar el problema
y sea útil para una variedad de tuberías de diferentes diámetros, longitudes y rugosidades
10.
Se supone que la velocidad u de un cuerpo de masa m que cae libremente a través de una distancia h depende de
m y h, de la aceleración gravitatoria g y de la velocidad inicial u0.
a) Demuestre que la relación entre u y estas cantidades puede ser de la forma:
 u 
u ghf 0 
 gh


b) Determine la naturaleza de esta función en comparación con la solución cinemática clásica.
11.
Demuestre que el torque que se requiere para hacer girar un disco de diámetro d, a una velocidad angular ϖ dentro
de un fluido de densidad ρ y viscosidad μ está dado por:
  d 2 

  
  d 5  2  f 
a) Un disco de 230 mm de diámetro absorbe 160W al girar dentro de agua a una velocidad de 146 rad/s ¿Cuál será la
velocidad de rotación correspondiente de un disco similar, pero de 690mm de diámetro, cuando gira en condiciones
dinámicamente similares en aire?
b) Calcular la potencia absorbida a esa velocidad.
Datos: μagua = 101,3x 10-5 N s/m2, μaire = 1,85x10-5N s/m2, ρaire = 1,25 kg/m3, ρagua= 1000 kg/m3
Rtas; 237 rad/s, 208 W
12.
Se supone que el caudal volumétrico Q que pasa por un orificio depende de ρ y de μ, la densidad y viscosidad
absoluta del fluido respectivamente, de d, diámetro del orificio y de ∆p, la diferencia de presión al pasar el orificio
a)
Demostrar que:
Q  d2
b)
p  d
f
  
p

 
Demostrar, utilizando lo hallado en a) y suponiendo que hay una altura h de fluido por encima del orificio, que el
coeficiente de desagüe CD ó KG , definido como el cociente del caudal real sobre el ideal, es una función del número de
Reynolds: CD = f (Re)
13.
Demuestre que el flujo de un líquido por una abertura rectangular puede expresarse por medio de:
1
3
V
g2 H2
L
  g 1/ 2H 3 / 2 L 
f 
, 

H

Siendo: L = ancho de la abertura H = altura sobre la abertura ρ = densidad del líquido μ = viscosidad absoluta g =
aceleración de la gravedad
a)
Se desea calcular el caudal de un aceite con densidad específica 0.8 y viscosidad 8 veces mayor que la del
agua, que pasa por la abertura rectangular de 1m de ancho, con una altura de 0.6m, por medio de pruebas en una
abertura similar. Hallar los valores correspondientes de H y L para la abertura de prueba con similitud dinámica y el
factor de escala para el caudal.
Rtas: L = 0,215 m, H = 0,129 m,
14.
v a
 46,7
v agua
La elevación de presión Δp generada por una bomba depende del diámetro del rotor D, su velocidad rotacional
N, la densidad ρ , la viscosidad del fluido μ y el caudal de descarga Q
a)
Demuestre que la relación entre estas variables puede expresarse de la siguiente forma:
  Q   ND 2
p   N 2 D 2 f   3 , 
  ND   
b)

 


Una bomba gira a una velocidad de 100 rev/min y en su punto de trabajo genera una altura 12 m al bombear
agua con un caudal de 15 l/min. Calcular la altura que se genera por medio de una bomba similar, dos veces más
grande que la primera (diámetro doble), al operar en condiciones de similitud dinámica y descargar 45 l/s
c)
Calcule la potencia en el eje P = ( ρ V g ΔH) /η de la segunda bomba si su eficiencia total (η) es de 80%. La
influencia del número de Reynolds es insignificante para valores de viscosidad bajos como el agua.
Rtas: 6,75 m, 3725 kW.
Por medio del método de análisis dimensional demuestre que para un cojinete hidrostático la relación entre la
15.
presión de aceite en el punto de entrada p, el diámetro de entrada d, el diámetro de cubierta D, el claro radial medio h,
la velocidad media u al pasar por el punto de entrada, la viscosidad μ y la densidad ρ del aceite, puede expresarse
como:
p
 u  ud D h 
f
, , 
d   d d 
En una prueba efectuada en un cojinete hidrostático se encontró que la presión en el punto de entrada era de 21
2
1
kN/m cuando el caudal de aceite era de 15 l/min. El aceite utilizado en la prueba tenía una viscosidad de 0,15 P y
3
una densidad de 950 kg/m . El diámetro del orificio de entrada era de 50 mm, el diámetro de la cubierta de 0.5 m y el
claro radial medio de 0.5 mm.
Calcular el diámetro del orificio de entrada, el claro radial, el caudal de aceite y la presión en un orificio de entrada, que
se esperaría en un cojinete geométricamente similar que posee un diámetro de cubierta de 100 mm, si el aceite que
3
se va a utilizar tiene una viscosidad de 0,2 Poise1 y una densidad de 900kg/m .
3
Rtas: 10 mm, 422 l/min, 985 kN/m .
16.
Demuestre, por medio del método de análisis dimensional, que una hélice de buque la relación entre el empuje
F, el torque τ, el diámetro D, la velocidad de avance u, la velocidad de rotación N y densidad y viscosidad del fluido,
puede expresarse de la siguiente forma:
 D 3u 2 ND ud 

F   D u f 
,
,

u



2
a)
2
Una hélice de 3m de diámetro operará a 6,5m/s y su comportamiento se estudiará por medio de un modelo
similar de 0.3m de diámetro. Los resultados que se obtuvieron con el modelo fueron: velocidad de avance: 2,25 m/s a
1
Recordar que 1 cP (centipoise) = 10-3 Ns/m
2
505 rev/min torque: 6 N m empuje 100N Determine las características correspondientes del prototipo y calcule su
eficiencia suponiendo que el efecto del número de Reynolds es insignificante.
Rtas: N = 145.9 rev/min, τ = 50074 Nm, F = 83457N, Eficiencia (Fu/τϖ
) = 0.709
17.
Un dirigible meteorológico a escala es testeado en un túnel de viento en iguales condiciones para el aire que tendrá
el prototipo. El factor de escala es 1: 6, la velocidad media del prototipo esperada es de 48 Km/h , la fuerza que se registró
en el modelo es de 320 N.
Se pide determinar la fuerza de arrastre que tendrá el prototipo y la potencia requerida para el motor que mueve la hélice
del túnel, considerando una eficiencia de transferencia de energía de 40%.
18.
Un modelo a escala de un submarino, con factor de escala 1 : 25, es testeado a 60 m /seg. en un túnel de viento,
usando aire a temperatura estándar y nivel del mar.
¿Cuál será la velocidad del prototipo en agua de mar a 20ºC que reproduzca las condiciones del ensayo?
19.
Se utiliza un modelo de madera de un automóvil de 3.75 m de largo y en escala 1 : 10 para medir la fuerza de
arrastre de un diseño de carrocería propuesto y se está interesado en determinar las propiedades del flujo y el arrastre
cuando el automóvil marche a 90 Km / h.
Se pide determinar cuáles serían las condiciones del ensayo para un túnel de viento.
20.
Se desea estimar la resistencia al avance para un nuevo diseño de casco de un velero oceánico, a partir de un
modelo de ensayo construido para un canal de ensayos hidrodinámicos, con una relación de escalas 1 : 10.
a.- Definir cuál debería ser la viscosidad cinemática teórica del fluido a usar en el canal si el prototipo funcionará en agua de
mar de características:
ρ = 1025 Kg/m3, μ = 1,02 10E-3 Pa /seg
b.- ¿Cuáles serían las fórmulas que permiten conocer la velocidad para remolcar el modelo en el canal, y para determinar la
fuerza de arrastre del prototipo?
21.
Un submarino a escala 1:20 se prueba en un túnel aerodinámico. las condiciones de operación bajo la superficie,
típicas del submarino se desarrollan a una velocidad de 9 nudos (4,63 Km/h) y a una temperatura del agua oceánica de 5ºC.
a.- Se pide determinar a qué velocidad de viento en el túnel debe efectuarse la medición de arrastre si este trabaja con aire
en condiciones estándar y a una T de 20ºC
b.- Definir si será posible realizar la prueba en el túnel de viento, explicando la respuesta.
22.
Una turbina eólica con un diámetro de pala de 4 mts, está diseñada para trabajar con vientos nominales promedio de
50 Km/h , rotando a 25 RPM, a nivel del mar y condiciones estándar de presión y temperatura. Va a ser sometida a pruebas
en un túnel de viento con un modelo a escala 1 : 5, se pregunta:
a.- Que velocidad de aire se deberá utilizar en el túnel, y cual deberá ser la velocidad de rotación del modelo para simular
las condiciones reales de operación.
b.- Si debe conservarse la similitud geométrica en todos los aspectos entre prototipo y modelo, esto es: número de palas,
perfil aerodinámico de las palas, ángulo de paso etc. como podría lograrse mantener las revoluciones al valor que surjan de
los datos del punto b.
c.- Estimar cual sería la potencia nominal que entregara el aerogenerador prototipo.
d.- Estimar la fuerza de sostén que sería necesaria en función del arrastre que se mida sobre el modelo y el momento en el
empotramiento de la columna si el eje central de las aspas rotantes se ubican a h mts. del piso.
23.
Un avión prototipo, está diseñado para volar a crucero de alta velocidad, con V = 240 m/seg cuando su altitud es de
8 Km. Se construirá un modelo para prueba de túnel con una relación de escala 1:12, y que será ensayado en un túnel
cerrado en anillo que admite ser presurizado. Encontrar la velocidad y la presión requeridas dentro del túnel para reproducir
la igualdad entre los fenómenos aerodinámicos entre el modelo y el prototipo.
Datos del aire.
@ 8000 m:
ρ =0.526 Kg/m3 ; T = - 36.9 ºC
@ nivel del mar:
ρ =1.29 Kg/m3 ; T = 25ºC
; μ = 1.53 E -5 Pa.s
; μ = 1.84 E -5 Pa.s
Constante, particular de los gases para el aire: R’= 287 Joule / Kg ºK
Bibliografía
Los ejercicios de esta guía fueron tomados de los siguientes textos, que se recomienda consultar
1.- G. Boxer, Mecànica de Fluidos, Addison-Wesley Iberomericana, Argentina, 1994.
2.-http://www.ib.cnea.gov.ar/∼fluiding/r2007/node6.html
3.-http://www.fi.uba.ar/materias/6718/Problemas/adimensional.pdf
4.- R. Giles, Mecánica de los fluidos e Hidráulica, Mc Graw-Hill, Madrid, 1976.