GEOMETRIA DE 25 PUNTOS - Grupo Pedagógico Cambiemos

GEOMETRÍA DE 25 PUNTOS
Y
CUADRADOS MÁGICOS DE ORDEN CINCO
MILTON RODRÍGUEZ SANTOS
UNIVERSIDAD DEL TOLIMA
2003
GEOMETRÍA DE 25 PUNTOS
Y
CUADRADOS MÁGICOS DE ORDEN CINCO
MILTON RODRÍGUEZ SANTOS
Licenciatura en Matemáticas y Física
Universidad del Tolima
Resumen
El objetivo de este trabajo es construir una geometría finita de 25
puntos e indicar cómo aplicarla para elaborar cuadrados mágicos
de orden cinco.
INTRODUCCIÓN
Los cuadrados mágicos son ordenaciones de los números 1, 2, 3, m2 dispuestos en un
cuadrado de m casillas de lado, de tal forma que la suma de los elementos de cada una de sus
filas, de cada una de sus columnas y de cada una de sus diagonales dé el mismo resultado. El
siguiente es un ejemplo de un cuadrado mágico de orden tres:
8
1
6
3
5
7
4
9
2
Figura 1. Un Cuadrado mágico de orden tres
Construir este cuadrado solo requiere un poco de habilidad calculista y algo de desocupación.
Pero tratar de elaborar un cuadro de orden cinco es una labor más complicada.
Por otro lado, la Geometría Finita es, a grandes rasgos, la disciplina que estudia conceptos
geométricos sobre un conjunto finito de puntos. Uno de sus precursores fue el matemático
italiano Gino Fano quien en 1892 diseñó una geometría de siete puntos.
En el presente Trabajo estudiaremos el espacio vectorial (Z52,+,.,Z5) y construiremos una
geometría sobre este espacio Z52, definiendo algunos conceptos geométricos (punto, plano
cartesiano, recta, paralela,...). Diseñaremos un modelo gráfico que identifique esta geometría
finita. Posteriormente indicaremos cómo aplicar los resultados de esta geometría a la
elaboración de cuadrados mágicos de orden cinco.
CONTENIDO
1. ESTRUCTURA ALGEBRAICA DE Z52
1.1 CAMPO Z5
1.2 ESPACIO VECTORIAL Z52
2. UNA GEOMETRÍA FINITA EN Z52
2.1 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS Y SUS PROPIEDADES
2.2 MODELO GRAFICO
2.3 ENFOQUE AXIOMÁTICO
3. APLICACIÓN DE LA GEOMETRÍA AL DISEÑO DE CUADRADOS MÁGICOS
3.1 LOS CUADRADOS MÁGICOS
3.2 MODELO GEOMETRÍA FINITA VS CUADRADOS MÁGICOS
3.3 CONSTRUCCIÓN DE CUADRADOS MÁGICOS DE ORDEN CINCO
BIBLIOGRAFÍA
1. ESTRUCTURA ALGEBRAICA DE Z5
1.1 CAMPO Z5
Se denotará con Z5 el subconjunto de números reales {0,1,2,3,4}. Sobre Z5 definiremos las
operaciones  y  mediante las siguientes tablas:

0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
Tabla 1. Suma en Z5

0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1
Tabla 2. Producto en Z5
Teorema: La terna (Z5, , ) tiene estructura algebraica de campo.
El resultado anterior nos garantiza que Z5 con  y  posee propiedades análogas a los
números reales con la suma y el producto. Tenemos que la "suma" y "producto" en Z5 posee
las siguientes propiedades: a,b,cZ5
Clausurativa
Z5
Z5
Conmutativa
 = 
 = 
Asociativa
() = ()
() = ()
Modulativa
0 es el módulo aditivo
1 es el módulo multiplicativo
Invertiva
(-)Z5: (-)=0
Z5-{0} -1Z5-{0}:-1=1
Inversos aditivos
: (-1) = 4
(-2) = 3
(-3) = 2
(-4) = 1
Inversos multiplicativos : 1-1 = 1
2-1 = 3
3-1 = 2
4-1 = 4
Ley uniforme
 =    = 
 =    = 
Ley cancelativa
 =    = 
 =    = 
CONVENCIONES: Los elementos de Z5 se denotarán siempre por letras griegas minúsculas
, , , , , . Las operaciones binarias en Z5, "suma", "multiplicación", "resta" y "división"
EJE Z5 : el conjunto Z5 será representado gráficamente mediante un segmento de cinco
unidades de longitud, donde cada unidad identifica a un elemento de Z5 (ver figura 1)
Figura 2. Eje Z5
ECUACIONES: Se llamará ecuación lineal en Z5 a toda expresión de la forma x + y = 
donde , ,  son constantes (obviamente de Z5) y x, y incógnitas en Z5.
Teorema: Ecuación lineal. Si x +  = 0 entonces x = -/
Teorema: Sistema lineal 2x2. Si
  
  
  
y
  
x
x  y  
x  y  

MATRICES: Para fines del trabajo serán útiles las matrices cuadradas de orden dos sobre el
campo Z5, las cuales son ordenaciones de la forma:






las matrices se denotaran con letras mayúsculas cursivas A, B, C,...

DETERMINANTES: El determinante de la matriz A= 


det A =det 


INVERSA DE UNA MATRIZ: A= 


 se definirá como:


 =   





A-1 =
1 

det A   
- 


1.2 ESPACIO VECTORIAL Z52
Realizando el producto cartesiano Z5 x Z5 obtenemos:
Z5 x Z5 = {(0,0) , (0,1) , (0,2) , (0,3) , (0,4) , (1,0) , (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,0) , (2,1) ,
(2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,0) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,0) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) }
Este conjunto será representado, naturalmente, por Z52.Se define sobre Z52 las operaciones
interna + y externa . de la siguiente manera
+:
Z52 x Z52
(X,Y)
Z52
.
X +Y = (x1 y1 , x2 y2)
:
Z5 x Z52
(,X)
Z52
X = (x1 , x2)
donde X = (x1 , x2) y Y = (y1 , y2)
Teorema: (Z52, +, . , Z5) tiene estructura de espacio vectorial.
Los elementos de Z52 se llaman vectores y los de Z5 escalares. La operación + es la suma
vectorial y . es el producto por escalar. Definiremos algunos conceptos del álgebra lineal
sobre el espacio Z52 tales como:
combinaciones lineales, dependencia e independencia,
isomorfismos,...
COMBINACIONES LINEALES: Consideremos un conjunto A = {V1, V2, ...,Vn} de vectores
de Z52. Se denomina combinación lineal cualquier expresión de la forma 1V1 + 2V2 +3V3
+ ... + nVn donde 1, 2, ...,n son escalares (elementos de Z5).
DEPENDENCIA E INDEPENCIA LINEAL: Se dice que un conjunto A = {V1, V2, ...,Vn} de
vectores de Z52 es linealmente independiente si y solo si toda combinación lineal 1V1 + 2V2
+3V3 + ... + nVn = 0 implica que 1= 2= ...=n= 0. En caso contrario, los vectores de A son
linealmente dependientes.
ISOMORFISMOS: En general, dados dos espacios vectoriales V y W, la función f: VW es
una transformación lineal u homomorfismo si: X,Y vectores y , escalares
f(X + Y) = f(X) + f(Y)
Un ismorfismo es una transformación lineal biyectiva. Representaremos el conjunto de todos
los isomorfismos en Z52 se representará por I(Z52).
2. UNA GEOMETRÍA FINITA EN Z52
2.1 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS Y SUS PROPIEDADES
PUNTO: En esta geometría de Z52 se llamaran puntos a cada una de las parejas ordenadas que
componen el producto cartesiano Z5 x Z5 .
RECTAS: Si P y Q son elementos del espacio vectorial (Z52, +, . , Z5) , entonces la recta que
pasa por los puntos P y Q se definirá por analogía a la Geometría Vectorial Euclidiana, como
el conjunto de puntos
{X = P+ t.(P-Q): t Z5}
Por ejemplo la recta que pasa por los puntos (4,4) y (1,1) es L1 = {X = (4,4) + t.(3,3): tZ5}
L1 = {(4,4) , (0,0) , (2,2) , (3,3) , (1,1)} y la recta que pasa por los puntos P = (3,4) y Q = (2,0)
es L2 = {X=(3,4) + t.(1,4): tZ5}, o bien , L2 = {(3,4) , (4,3) , (0,2) , (1,1) , (2,0)}.
Teorema: Dados dos puntos distintos existen una única recta que los contiene.
VECTOR DIRECCION DE UNA RECTA: Si la ecuación vectorial de una recta es X = P + t.V
entonces el termino V se llama vector director.
RECTAS PARALELAS: Se dirá que dos rectas son paralelas si y solo si sus vectores
directores son linealmente dependientes.
Teorema (Postulados de Euclides): Por un punto exterior a una recta pasa una y solo una
paralela.
Teorema: Dos rectas no paralelas se interceptan exactamente en un punto.
CLASIFICACIÓN DE LAS RECTAS
RECTAS HORIZONTALES: Se llamaran rectas horizontales a aquellas que tengan vector
dirección (0,1) o sean paralelas a ellas.
RECTAS VERTICALES: Se llamaran rectas verticales a aquellas que tengan vector dirección
(1,0) o sean paralelas a ellas.
RECTAS OBLICUAS: Llamaremos rectas oblicuas a aquellas que no sean horizontales ni
verticales.
Teorema: Si L una recta oblicua de Z52, entonces existe una función biyectiva g:Z5 Z5 tal
que L = {(, g()):  Z5}.
2.2 MODELO GRÁFICO
Gráficamente el plano Z52 será representado por dos ejes Z5 perpendiculares e interceptados
en sus extremos iniciales (ver figura 2)
Figura 3. Plano Z52
En los siguientes planos Z52 se ilustra como representar puntos (parejas de coordenadas).
Figura 4. Representación gráfica de puntos en el plano Z52
A continuación se grafican algunas rectas en Z52.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 5. Gráficas de rectas en Z52.
(a) L = {X=(0,2) + t(1,0): t Z5}
(b) L = {X=(4,0) + t(0,1) : t Z5}
(c) L = {X=(2,2) + t(1,4) : t Z5
(d) L = {X=(1,1) + t(1,2) : t Z5}
RECTAS VISIBLES: Se llamarán rectas visibles a aquellas cuya gráfica corresponda a una
sucesión "no interrumpida" de puntos. Estas son las horizontales, verticales y las rectas que
pasan por (2,2) y tienen vector director (1,1) o (1,4) o paralelo a ellos.
Un campo escalar es una función f: Z52 de valor real y variable vectorial. Gráficamente,
un campo escalar se representará como lo presenta el siguiente ejemplo: la función f: Z52
definida por f(x,y) = 2x+y+3 tiene la siguiente tabla de valores
(x,y) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,0) (2,1)
f(x,y)
3
4
5
6
7
5
6
7
8
9
7
8
(2,2) (2,3) (2,4) (3,0) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
9
10
11
9
10
11
12
13
11
12
13
14
15
Tabla 3. Valores del campo escalar f (x,y) = 2x+y+3
(a)
(b)
Figura 6. Diagrama del proceso de representación de un campo escalar. (a) Plano Z52 (b)
Representación gráfica de f(x,y) = 2x+y+3.
3. APLICACIÓN DE LA GEOMETRÍA AL DISEÑO DE
CUADRADOS MÁGICOS
3.1 LOS CUADRADOS MÁGICOS
En el Trabajo se entenderá un cuadrado mágico de orden cinco como una distribución de los
25 primeros números enteros positivos en un cuadrado de cinco celdas de lado, de tal manera
que los elementos de cada una de sus filas, de cada una de sus columnas y de cada una de sus
diagonales sumen un valor constante, por ejemplo:
17
24
1
8
15
23
5
7
14
16
4
6
13
20
22
10
12
19
21
3
11
18
25
2
9
Figura 7. Un cuadrado mágico de orden cinco
La suma de todos los elementos de un cuadrado mágico es
1+2+3+....+25 = 325
todos estos elementos están distribuidos en cinco filas, puesto que cada fila tiene una suma
constante K, entonces
5K=325

K=65
Esto indica que la suma constante de las filas, columnas y diagonales es 65.
3.2 MODELO GEOMETRÍA FINITA VS CUADRADOS MÁGICOS
El marco de un cuadrado mágico corresponde al plano Z52 y sus filas, columnas y diagonales
son las rectas visibles.
Teorema: (Definición de cuadrado mágico en términos de geometría finita): Un cuadrado
mágico es la representación gráfica de cualquier campo escalar f sobre Z52 que cumpla las
siguientes condiciones
1. Rang (f) = {1,2,3,...,25}
2. f es biyectiva.
3. Si L es una recta visible entonces  f (P)  65
PL
3.3 CONSTRUCCION DE CUADRADOS MAGICOS DE ORDEN CINCO
El estudio de algoritmos para generar cuadrados mágicos de orden cinco, aplicando resultados
obtenidos de geometrías finitas esta en proceso. Sin embargo, a continuación presentaremos
algunos cuadrados mágicos ya generados mediante la búsqueda de campos escalares sobre Z52
que cumplen las condiciones dadas en el teorema del subcapitulo 3.2.
La figura 8 representa el campo escalar f(x,y) = 5(x+3y) + (3x+y) + 1
La figura 9 representa el campo escalar f(x,y) = 5(x+y+2) + (2x+y+2) + 1
NOTA: Las operaciones entre paréntesis son la suma y producto sobre Z52.
15
18
21
4
7
24
2
10
13
16
8
11
19
22
5
17
25
3
6
14
1
9
12
20
23
Figura 8. Un cuadrado mágico de orden cinco
7
14
16
4
5
1
8
15
10
24
25
2
9
11
18
19
21
3
17
12
13
20
22
23
6
Figura 9. Un cuadrado mágico de orden cinco
Podemos generar gran cantidad de cuadrados mágicos estudiando otros campos escalares.
BIBLIOGRAFÍA
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Finito de Puntos: Z52. En: ENCUENTRO DE GEOMETRIAS Y SUS APLICACIONES
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UN POCO DE HISTORIA. DE LOS CUADRADOS MAGICOS [en línea]
Disponible en: http://www.redescolar.ilc.edu.mx/redescolar/act_permanentes/
mate/mate1e.htm - 7 Kb.
NOTA: Este taller ha sido elaborado basado en los contenidos de mi trabajo de grado
que actualmente estoy realizando.
MILTON RODRIGUEZ SANTOS
Licenciatura en Matemáticas y Física
Universidad del Tolima
Septiembre de 2003
milrod33@mixmail.com