XII OLIMPIADA DE FÍSICA – BULGARIA, 1981

OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FÍSICA
Problemas resueltos y comentados por:
José Luis Hernández Pérez y Agustín Lozano Pradillo
XII OLIMPIADA DE FÍSICA – BULGARIA, 1981
1.-Un cilindro de masa m 1 = 0,6 kg se mantiene en el vacío en posición
horizontal. Un pistón de masa m2 = 0,3 kg y espesor despreciable divide
en dos partes iguales al cilindro
vacío
gas
La parte cerrada del cilindro contiene n = 25 moles de un gas de masa
molar M = 4 g/mol y se encuentra a la temperatura To = 273 K. El
pistón que está inicialmente en reposo mediante una sujeción, al liberarlo
de ella se mueve hacia la izquierda y se escapa del cilindro y a
continuación lo hace el gas. Calcular la velocidad final del cilindro
suponiendo que no hay rozamientos, ni intercambio de calor entre el
cilindro y pistón.
Datos Cv = 12,6 J/(mol.K) ,  =5/3
12ª Olimpiada Internacional de Física. Bulgaria 1981.
gas
vacío
(m1 = 0,6 kg); (M = 4 g/mol); (m2 = 0,3 kg); (n = 25) moles R=8,314 J/mol-K; (To =
273 K)
Cuando el pistón abandona el cilindro puede considerarse como un sistema aislado, y
por consiguiente se conserva su momento y su energía: con los datos,
(m1 + nM).v1 – m2 u = 0
½ .( (m1 + nM).v1 2 + ½ (m2.u2) = U
(1)
(2)
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donde v1 es la velocidad del cilindro cuando lo abandona el pistón; u es la velocidad del
pistón en ese mismo instante, U es el cambio de energía interna del gas. El gas es
perfecto y monoatáomico, por tanto su energía interna disminuye
U= 3/2 . nRT = 3/2. nR (T0 – Tf)
(3)
Tf es la temperatura del gas en el momento que el pistón abandona el cilindro. Esta
temperatura puede ser determinada por la ley del proceso adiabático.
T0.V-1 = Tf.Vf-1
Teniendo en cuenta que Vf = 2 V, ya que el pistón se encuentra al principio en la mitad
c p (5/2)R 5
del cilindro, y además que el coeficiente adiabático es γ 

 , resulta
c V (3/2)R 3
V
(4)
Tf  T0 ( ) γ 1  T0 .22/3
Vf
De la ecuación (1) despejamos u:
u
m1  nMv1
m2
y sustituyendo en (2) y
sustituyendo también
ΔU 
2
2
 
 

3
3 
3
3
nRTo  Tf   nR To  To 2 3   nRTo 1  2 3   nRTo * 0,37
2
2 
 2

 2
2 v12
m1  nMv12  m 2 m1  nM
2
m2
 3nRTo * 0,37  v1 
3nRTo * 0,37
2
m1  nM  m1  nM

m2
v1 
3 * 25 * 8,314* 273* 0,37
* 4.10 
0,6  25* 4.10   0,6  250,3
3
3 2
 164
m
s
vy
u
vx
v1+
v2
vz
Fig. 2
Los choque de las partículas con el fondo del cilindro:
El impulso que recibe el cilindro por el choque de las partículas gaseosas con su fondo
cerrado cuando el pistón lo abandona incrementan su velocidad en una cantidad v2 que
podemos calcular teniendo en cuenta que cada átomo varía su cantidad de movimiento
:
p = 2mA.vx
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y vx puede obtenerse por ser la
donde mA es la masa del átomo mA = M/NA
componente de la velocidad cuadrática media v
momento es p  2
M
NA
2
v2
vx=
,
3
de donde el
v2
3
Asumiendo que la velocidad térmica molecular es mucho mayor que la velocidad del
cilindro, y describiendo el movimiento en un sistema solidario con éste.
Hay que tener presente que solamente la mitad de los átomos que se mueven según vx
chocan con el fondo del cilindro, el momento total que recibe éste de los choques de los
átomos del gas es.
pt 
1
v2
p.n.NA  nM
2
3
que proporciona un incremento adicional v2 de la velocidad del cilindro
pt
M v2
,
n
m1
m1 3
y usando la fórmula de la velocidad cuadrática media en función de la temperatura,
3RTf
, y teniendo en cuenta que Tf = T0. 2-2/3 , queda para v2,
v2 
M
v2 
2
nM
v2 
m1
n MRT0
3RT0 * 2 3
 2 1/3
3M
m1
que aplicando los datos numéricos vale:
v 2  0,79
25 0,004.8,31
4.273
 99 m/s
0,6
Así que la velocidad final del cilindro es, v = v1 + v2
v = v1 + v2 = 164 + 99 = 263 m/s
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2.-Una bombilla eléctrica de resistencia Ro = 2 funciona a un voltaje
Uo= 4,5 V. Se conecta a una batería de resistencia interna despreciable y
fuerza electromotriz U = 6 V mediante un reóstato de cursor que
funciona como un potenciómetro. Se desea que la eficiencia ( e =
potencia consumida en la bombilla / Potencia total de la batería) no sea
menor que 0,6. Calcular el valor de la resistencia del reóstato.
¿Cuál es la máxima eficiencia posible y en este caso cómo se debe
conectar la bombilla al reóstato?
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El esquema del circuito eléctrico es el de la figura 1.
6V
iB
R1
I
R2
4,5 V
Fig 1
La resistencia total del reóstato es R1 + R2
La intensidad que circula por la batería y por R2 es I
U
4,5
 2,25 A
La intensidad que circula por la bombilla es i B  o 
2
Ro
La potencia consumida en la bombilla es Po  iB2 Ro  2,252 * 2  10,125 W
Po
P 10,125
 Pt  o 
 16,875 W
Pt
e
0,6
P 16,875
 2,8125 A
La intensidad que circula por la batería y R2 es: I  t 
U
6
La intensidad que circula por R1 es:
2,8125-2,25 = 0,5625 A
e
La potencia total es:
4,5
6  4,5
8 
; R2 
 0,53 
0,5625
2,8125
La resistencia del reóstato es R = R1+R2 = 8,53 
Si la bombilla funciona correctamente consume una potencia de 10,125 W, su tensión es
de 4,5 V y por ella circula una corriente de 2,25 A
P
P
e 0
 eI  o
UI
U
Tanto la potencia de la bombilla como la fem de la batería son datos fijos. La eficiencia
y la intensidad son inversamente proporcionales.
R1 










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

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Si la eficiencia en lugar de ser 0,6 fuese menor, por ejemplo, 0,5, entonces la potencia
de la batería valdría 10,125/0,5 = 20,25 W y la intensidad de la corriente 20,25/6= 3,375
A. Se deduce que cuanto menor sea la intensidad I que pase por la batería mayor será la
eficiencia, por tanto, si deseamos que la eficiencia sea máxima hemos de lograr que I
sea mínima.
Para que la bombilla no corra peligro de fundirse será necesario que i B  2,25A, pero si
es menor que 2,25 A su potencia Po  i 2B R o también lo será y no alumbrará bien.
Con estas limitaciones el mínimo de I =2,25 A que ha de pasar por la batería es también
el máximo que ha de pasar por la bombilla y la eficiencia máxima
Po
10,125

 0,75
UI 6 * 2,25
Para poder ajustar mejor estos datos se logra con el circuito de la figura2.
e
6V
2,25 A
Fig.2
R2
2,25 A
4,5 V
Ahora la intensidad I =2,25 A y el valor de la resistencia que se toma en el reóstato es:
R2 
6  4,5
 0,67 
2,25
La eficiencia máxima es 0,75
3.- El receptor de un observatorio radioastronómico está situado a una
altura de 2 m sobre el nivel del mar. Registra solamente las componentes
horizontales de los campos eléctricos. Cuando una radioestrella está en el
horizonte radiando ondas de  = 21 cm el receptor recoge máximos y
mínimos a) Determinar la dirección de las ondas cuando se observan
máximos y mínimos. La dirección se expresará mediante el ángulo
respecto de la horizontal b) La intensidad aumentará o disminuirá
cuando la estrella aparece sobre el horizonte? c) calcular la relación de
intensidad entre los sucesivos máximos y mínimos.
Nota.- La relación de amplitudes de las ondas incidentes y reflejadas es
n  sen θ
n  sen θ
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siendo  el ángulo de la onda incidente medido sobre la horizontal y n el
índice de refracción que para las ondas electromagnéticas cortas es n =
9.
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a) El receptor del observatorio recibe la radiación directamente de la estrella o después
de reflejarse en el mar, tal como se indica en la figura inferior

M
R
h



O
Una vez que las ondas llegan a M y a O, desde ahí al receptor recorren distintos
caminos, siendo la diferencia de distancias recorridas OR-MR.
h
MR
h
h
1  cos2θ ,
senθ 
; cos2θ 
; OR  MR 
 ORcos2θ 
OR
OR
senθ
senθ
h
OR  MR 
1  cos2 θ  sen 2 θ   2 h senθ
senθ
Además, la onda que se refleja en el agua al hacerlo en un medio de mayor índice de
refracción sufre una inversión de fase, lo que equivale a recorrer media longitud de
onda. En consecuencia la diferencia de caminos es:


λ
2
Los máximos ocurren cuando la diferencia de marcha sea un múltiplo entero de la
longitud de onda
δ  2 h senθ 
2 h senθ 
λ
 kλ
2

1

λ k  
2
senθ  
2h
siendo k  1, 2 , 3,....
(1)
Los mínimos ocurren cuando la diferencia de marcha sea un múltiplo impar de la
semilongitud de onda
2 h senθ 
λ
λ
 2k  1
2
2

senθ 
kλ
, siendo k = 0,1,2 3, ...... (2)
2h
b) Cuando la radioestrella aparece sobre el horizonte el ángulo  = 0, esta condición la
cumple la ecuación (2) por tanto corresponde a un mínimo, a medida que se eleve sobre
el horizonte la intensidad irá aumentando
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c) Cuando haya mínimo hemos de restar el campo de la onda directa del de la onda
reflejada en el agua
E min
kλ 

 n  2h 
n  senθ
2kλ
 EE
 E 1 

E;

kλ
n  senθ
2nh

kλ
 n

2h 

k  0, 1, 2,.......
(3)
La intensidad es proporcional al cuadrado de E. Para los mínimos se sustituyen valores
en la ecuación (3)
k=0 , =0,
I =0
;

2 * 21.102
k =1 ,  =3º , I1  
2
 2 * 2 * 9  21.10

2 * 2 * 21.102
I 2  
2
 2 * 2 * 9  2 * 21.10
k=2,
=6º ,
k=3,
=9,1º ,
I3 = 11,8.10-4 E2
;
2
 2
 E  1,35.10 4 E 2

2
 2
 E  5,32.10 4 E 2

k=4,
=12,1º ,
I4 = 20,8.10-4 E2
Para los máximos se sustituyen valores en la ecuación (1)
E max
λ2k - 1 

 n  4h 
n  senθ
8hn
EE
 E 1 

E;



λ
2k
1


n  senθ
4nh

λ
2k
1
 n


4h 
k  1, 2, 3, ....... (4)
Sustituyendo valores en la ecuación (4)
2
k=1,
 = 1,5º ,

 2
8* 2*9
 E  3,98.E 2
I 1  
2
 4 * 9 * 2  21.10 2 *1  1 
2
k=2,
 = 4,5º ,

 2
8* 2*9
 E  3,93.E 2
I 2  
2
 4 * 9 * 2  21.10 2 * 2  1 
 = 7,5º ,

 2
8* 2*9
 E  3,88.E 2
I 2  
2


4
*
9
*
2

21
.
10
2
*
3

1


2
k=3,
2
k=4,
 = 10,6º ,

 2
8* 2*9
 E  3,84.E 2
I 2  
2
 4 * 9 * 2  21.10 2 * 4  1 
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Relación entre los máximos sucesivos I1:I2:I3:I4 :….. = 3,98 : 3,93: 3,88: 3,84
El contraste entre máximos y mínimos sucesivos:
k=1; Re l1 
I1 (max) 3,98 4

.10  2,95.104 ;
I1 (min) 1,35
k=2; Re l 2 
I 2 (max) 3,93 4

.10  0,74.104
I 2 (min) 5,32
k=3;
Re l3 
I 3 (max) 3,88 4

.10  0,33.104
I 3 (min) 11,8
k=4;
Re l 4 
I 4 (max) 3,84 4

.10  0,18.104
I 4 (min) 20,8
La relación de intensidades entre máximo y mínimo del mismo orden, aunque se
mantiene en órdenes de magnitud de 104, los mínimos crecen rápidamente y los
máximos decrecen lentamente, y por tanto el contraste se va reduciendo.
Rel1 : Rel2 : Rel3 : Rel4 : ...... = 2,95 : 0,74 : 0,33 : 0,18 : ...
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