Plan de clase (1/ )
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Modelo general Plan de clase (1/3) Escuela: ________________________________________________Fecha: ____________ Profr. (a): _______________________________________________________________ Curso: Matemáticas 3 Secundaria Eje temático: SNyPA Contenido: 9.3.1 Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones. Intenciones didácticas: Que los alumnos conozcan la fórmula general para solucionar problemas que tengan asociadas ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 bx c 0 . Consigna. Organizados en parejas, encuentren las ecuaciones que modelen los siguientes problemas y resuélvanlas. a) Erik es dos años mayor que su hermano. Si la suma de los cuadrados de sus edades es 340, ¿cuántos años tiene Erik? ________________________________________ 1 , ¿qué número es? 4 _____________________________________________________________________ b) El cuadrado de un número es igual a ese número menos Consideraciones previas: Es probable que los estudiantes traten de resolver las ecuaciones correspondientes a los problemas mediante técnicas como factorización o ensayo y error. Sin embargo, su aplicación se dificulta debido a los números que involucran. Antes de introducir la fórmula general, es importante dar tiempo suficiente para que los estudiantes planteen sus ecuaciones y traten de resolverlas. En la discusión grupal, hay que verificar que las ecuaciones planteadas sean las adecuadas. Es probable que algunos alumnos necesiten ayuda para plantear la ecuación del primer problema. Primero hay que representar las edades, por ejemplo, x (edad del hermano) y x + 2 (edad de Erick). Después, hay que plantear como una ecuación las relaciones que se establecen en el texto del problema: x2 + (x + 2)2 = 340 Finalmente efectuar las operaciones y simplificar para llegar a la ecuación: 2 x 2 4 x 336 0 o bien, x 2 2 x 168 0 Aunque es posible resolver esta ecuación por factorización (los factores son x + 14 y x - 12), los números involucrados pueden complicar la factorización, pues hay que factorizar 168. Este momento se puede aprovechar para introducir el uso de la fórmula general. Para ello, es necesario explicar que la forma general de las ecuaciones cuadráticas es: ax2 + bx + c = 0, donde a 0 y a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática. Se recomienda dar nombres a los términos de la forma general de las ecuaciones cuadráticas, como se indica en la siguiente tabla: ax2 Término de segundo grado o cuadrático bx Término de primer grado o lineal c Término independiente A continuación, hay que introducir la fórmula general y explicar su aplicación detalladamente: x b b2 4ac 2a Se sugiere hacer una tabla como la anterior para identificar los términos, en el caso de la ecuación específica que se quiere resolver en este momento: x 2 2 x 168 0 x2 Término de segundo grado o cuadrático a=1 2x Término de primer grado o lineal -168 Término independiente b=2 c = -168 Es importante explicar detalladamente la aplicación de la fórmula paso a paso. Entre otras cosas, explicar cuidadosamente el significado del “±” de la fórmula y cómo se usa al calcular el valor de la x. Una vez encontradas las soluciones de la ecuación (-14 y 12, en este caso) es muy importante descartar la que no sea adecuada de acuerdo con el contexto y verificar que la solución cumpla con las condiciones del problema. Al segundo problema le corresponde la ecuación: x2 = x – 1 4 Es conveniente que esta ecuación se pase a la forma general: x2 – x + 1 =0 4 Cuya solución es x = ½. Para reafirmar lo anterior se puede dejar de tarea lo siguiente: Determina los valores de a, b y c de las siguientes ecuaciones y resuélvelas usando la fórmula general. Ecuación 3x2 – 5x – 2 = 0 5x2 + 2x = 0 8 + 10x – x2 = -1 a b c En la siguiente sesión conviene retomar el trabajo que hayan hecho los alumnos porque es muy probable que cometan errores en las sustituciones de los valores de a, b y c en la fórmula. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre Por el tipo de valor Plan de clase (2/3) Escuela: ________________________________________________Fecha: ____________ Profr. (a): _______________________________________________________________ Curso: Matemáticas 3 Secundaria Eje temático: SNyPA Contenido: 9.3.1 Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones. Intenciones didácticas: Que los alumnos usen el valor del discriminante de la fórmula general para determinar el número y el tipo de soluciones de una ecuación cuadrática. Consigna: Organizados en parejas, calculen el valor numérico de b² - 4ac (discriminante) y las soluciones de cada ecuación. ECUACIÓN VALOR DEL DISCRIMINANTE b² - 4ac SOLUCION o SOLUCIONES x1= ________ 3x² - 7x + 2 = 0 x2= ________ x1= ________ 4x² + 4x + 1 = 0 x2= ________ x1= ________ 3x2 -7x +5 = 0 x2= ________ Con base en las ecuaciones cuadráticas que han resuelto hasta el momento, contesten: 1. Si el valor del discriminante es mayor que cero, ¿cuántas soluciones consideran que tendrá la ecuación? _____________ ¿Por qué? ________________________________ _______________________________________________________________________ 2. Si el valor del discriminante es igual a cero, ¿cuántas soluciones consideran que tendrá la ecuación? _________________________ ¿Por qué? ____________________________ ________________________________________________________________________ 3. Si el valor del discriminante es menor que cero, ¿cuántas soluciones consideran que tendrá la ecuación? ____________________ ¿Por qué? __________________________ ________________________________________________________________________ Consideraciones previas: Entre los errores se puede presentar que algunos alumnos calculen la raíz cuadrada de un número negativo; en este caso, puede pedirse que hagan la comprobación con la calculadora, que marcará como error. Es conveniente explicar entonces que la raíz cuadrada de un número negativo pertenece a otro campo de números llamados “imaginarios”. Al analizar el caso en el que el discriminante es cero, enfatizar que habrá una única solución, aunque es importante señalar que en este caso la solución son dos raíces iguales. Para resumir, se puede llenar una tabla como la siguiente: Discriminante b2 -4ac 0 b2 -4ac =0 b2 -4ac 0 Tipo de solución Dos raíces distintas. Por ejemplo, 2 y -1/3. Dos raíces iguales (solución única). Por ejemplo, -1/2. Sin solución dentro del conjunto de los números reales; es decir, su solución es “imaginaria”. Es muy recomendable que se planteen otras ecuaciones para seguir ejercitando lo estudiado en este plan de clase. Se puede tomar ejercicios del libro de texto de los alumnos, como los siguientes: Determina cuántas soluciones tiene cada ecuación y encuéntralas: x2 – 64 =0 x2 – 6x + 10 =0 x(x + 3) = 5x + 3 Inventa una ecuación cuadrática de una incógnita que no tenga soluciones (reales), una con dos raíces iguales (una solución única) y una con dos soluciones. Se sugiere realizar la actividad complementaria “Funciones Cuadráticas”, en Hoja electrónica de cálculo. EMAT, México, SEP, 2000,pp. 129-130. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre Un solo camino Plan de clase (3/3) Escuela: ________________________________________________Fecha: ____________ Profesor (a): _______________________________________________________________ Curso: Matemáticas 3 Secundaria Eje temático: SNyPA Contenido: 9.3.1 Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones. Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado en la resolución de problemas. Consigna: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema: Si el área de un terreno, como el indicado en la figura, mide 207 m2, ¿cuáles son sus dimensiones? Consideraciones previas: Se espera que los alumnos encuentren la ecuación cuadrática que resuelve el problema: 3x2+8x-203=0 y utilicen la fórmula general para encontrar la solución a dicho problema. En la confrontación se deberá hacer la observación de que sólo una de las raíces de la ecuación cumple con las condiciones del problema. Con el fin de consolidar el uso de la fórmula general se pueden plantear más problemas como por ejemplo: 1. Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya base mida 2 cm menos que la altura y su diagonal, mida 5 cm. 2. Se quiere encontrar dos números impares positivos y consecutivos, de tal manera que la suma de sus cuadrados sea 394. ¿Existen esos números? Si existen, ¿cuáles son? Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre 14/15