Física 1 2013

1
Física 1
2013
Unidad 1: a) Cinemática de la partícula b) Mediciones y errores
a) Movimiento: sistemas de referencia y coordenadas. Movimiento rectilíneo: velocidad media e instantánea.
Aceleración, media e instantánea. Ecuaciones horarias, o paramétricas, de la posición, la velocidad y la aceleración en
función del tiempo. Movimiento rectilíneo uniforme y movimiento rectilíneo uniformemente variado. Movimientos
verticales libres bajo la acción de la gravedad. Gráficos de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.
Representación vectorial de la velocidad y la aceleración en el movimiento rectilíneo.
Movimiento curvilíneo en dos dimensiones. Vectores posición, velocidad media e instantánea, aceleración media e
instantánea. Aceleración normal y tangencial. Movimiento curvilíneo con aceleración constante. Tiro oblicuo.
Movimiento circular: velocidad angular, aceleración angular. Relaciones vectoriales en el movimiento circular.
Movimiento circular uniforme. Período y frecuencia. Movimiento relativo. Composición de velocidades y
aceleraciones.
b) Mediciones. Precisión. Incerteza. Errores de medición, absoluto, relativo y relativo porcentual. Propagación de
errores.
Introducción
La Física. Explicación y Predicción
Una ciencia, tal como la Física tiene valor explicativo y valor predictivo. La Física permite explicar fenómenos.
Desarrollar una explicación significa construir un razonamiento en el que se utilizan leyes como premisas. Estas leyes
están incluidas en sistemas de leyes y definiciones que se conocen con el nombre de Teorías. Como estas Teorías son
sistemas lógicos permiten el desarrollo de razonamientos y deducciones que a veces alcanzan conclusiones que no han
sido observadas experimentalmente. En este caso se está realizando una predicción. Es decir se anuncia la posibilidad
de que ocurra un fenómeno desconocido. Este fenómeno desconocido podrá ser observado en el futuro, es decir luego
de haber realizado la predicción, y en ese caso la teoría que lo predijo recibe un fuerte apoyo de la comunidad
científica.
Para ejemplificar lo que estamos diciendo en forma muy general vamos a referirnos a un caso histórico real. Durante
el siglo XVII se había alcanzado un conocimiento bastante preciso acerca del movimiento de los planetas 1. Se sabía
por ejemplo que los planetas se trasladaban en órbitas elípticas alrededor del Sol. Se conocía cuánto tardaba cada
planeta en completar su órbita y la distancia de cada uno hasta el Sol. Utilizando estos y otros conocimientos Isaac
Newton elaboró la Teoría de Gravitación Universal.
En dicha teoría se establecen leyes matemáticas generales que se deben cumplir siempre que un cuerpo celeste está en
órbita alrededor de otro. Con esta teoría Newton pudo explicar por qué los planetas describen órbitas elípticas
alrededor del Sol. Nuevamente, ¿qué significa explicar algo que ya se sabía? Lo que se pudo hacer utilizando la Teoría
de Newton es construir un razonamiento, una deducción matemática a partir de ciertas leyes fundamentales, en el que
se llegaba a la conclusión que una órbita posible es la elíptica. Pero también se pudo calcular, a partir del tiempo que
un planeta tarda en completar su órbita, a qué distancia del Sol se encuentra. Como estos resultados realizados sobre la
base de cálculos teóricos coincidieron con lo que habían observado los astrónomos, se dice que la Teoría de
Gravitación Universal explica los movimientos de los planetas. No sólo existen planetas girando en órbitas alrededor
del Sol sino que existen también otros cuerpos, los satélites, que giran alrededor de los planetas. La teoría de Newton
funciona perfectamente también en este caso.
Pero si esta función explicativa fuera la única finalidad de la Física, no tendría el enorme status, como Ciencia, que
todos conocemos. Y esto también lo sabía Newton en su época: explicar con elegancia formal, y con precisión en los
cálculos, fenómenos que ya eran bien conocidos no es una empresa demasiado relevante. En la época de Newton no
se conocían las órbitas de los Cometas. Newton aplicó su teoría al movimiento de éstos y utilizó los datos
experimentales de los cuales disponía. Sus deducciones lo llevaron a la conclusión de que cierto cometa que había sido
observado en cierta época en ciertas posiciones del cielo debía tener un período de cierta cantidad de años. Por lo tanto
realizó la predicción que ese mismo cometa se podría observar nuevamente y determinó cuándo y dónde. Este hecho
ocurrió y por lo tanto la teoría de Newton fue aceptada por los demás científicos.
Hasta aquí, si nos basamos en el ejemplo anterior, parece que la Física es una ciencia teórica con muy poca aplicación
práctica y que sólo puede interesar para aquellos que quieren comprender los fenómenos. Es decir, ¿qué tiene que ver
Las leyes de Kepler son leyes matemáticas que “describen” con bastante precisión el movimiento de los planetas alrededor del
Sol. Constituyen la cinemática del movimiento planetario ya que no explican las causas de dicho movimiento.
1
2
Física 1
2013
este ejemplo con la Ingeniería? Bueno, durante el siglo XX, ciertos adelantos técnicos permitieron que el hombre
produjera artificialmente los movimientos que habían sido explicados y predichos por Newton. El hombre se encontró
en condiciones de construir objetos y de ponerlos en órbita alrededor de la Tierra, de otros planetas y del mismo Sol.
Estos objetos son los satélites y las sondas artificiales que describen sus movimientos verificando las leyes que
enunció Newton varios siglos atrás.
Otro ejemplo de explicación y predicción (mucho más sencillo)
Vamos a desarrollar ahora un ejemplo tan simple y de aplicación cotidiana que incluso parecerá que la Física le
“queda grande”. Un tren realiza el viaje entre dos estaciones con cierta velocidad que se mantiene constante durante la
mayor parte del trayecto. Por supuesto la velocidad no puede ser constante cuando arranca ni cuando se detiene.
Supongamos que la distancia entre ambas estaciones es de 330 km y la velocidad del tren es de 120 km/h. El tren sale
de A a las 12:00 y se dirige hacia B. Podríamos querer saber a qué hora pasará por un punto determinado del
trayecto. Por ejemplo, ¿a qué hora el tren estará a 30 km de distancia de su destino? También nos podemos preguntar:
¿A qué distancia del punto de partida se encontrará a las 13:45?
Comencemos por la segunda pregunta. A las 13:45 habrán transcurrido 1 hora y 45 minutos desde la partida del tren.
Sabemos que éste se moverá2 durante ese tiempo a cierta velocidad constante. En nuestro caso 120 km/h. Dicho de
otra manera durante una hora recorrerá3 120 km. Entonces en 1 hora y 45 minutos recorrerá 210 km y por lo tanto el
tren se encontrará a esta distancia de la estación A. Toda nuestra predicción está fundamentada en suponer que la
velocidad se mantendrá constante durante el viaje (ésta es la “ley”) y en el conocimiento de la hora de partida y el
valor de la velocidad del tren.
Como ya habíamos anunciado este ejemplo es muy simple porque se basa en la proporcionalidad directa entre dos
magnitudes: el desplazamiento (o distancia recorrida) y el tiempo transcurrido. Pero su simplicidad no minimiza el
hecho de que hemos realizado una predicción y esto es lo que queremos enfatizar. Sabemos dónde está el tren a las
12:00 y conocemos su velocidad. Podemos averiguar dónde estará a las 13:45. ¿Por qué? Porque si la velocidad es
constante el desplazamiento es proporcional al tiempo transcurrido. Es decir, lo más importante que conocemos es la
“ley”.
A partir del ejemplo que hemos desarrollado, vamos a formalizar el procedimiento. Lo primero que hemos calculado
es cuánto dura el viaje. A esto lo llamaremos intervalo o lapso de tiempo. En nuestro ejemplo:
13: 45 12 : 00  1: 45 ...o... 13,75 h 12 h  1,75 h
t  t  to
La fórmula expresa que el intervalo de tiempo es la diferencia entre dos instantes de tiempo: El instante t para el cuál
queremos conocer la posición menos el instante to para el cual ya conocemos la posición, nos da la duración, es decir
el lapso, t. Luego hemos calculado la distancia recorrida, o desplazamiento:
120
km
1, 75 h  210 km
h
...o...
x  v  t
Esta segunda fórmula expresa que la velocidad v, si es constante, multiplicada por el intervalo de tiempo t, da el
desplazamiento x. Este desplazamiento es la diferencia entre la posición x, correspondiente al tiempo t, y la posición
inicial conocida xo, correspondiente al instante to. Es decir, si conocemos la posición de la estación A, podemos
calcular la futura posición del tren a las 13:45. La estación A podría estar ubicada digamos, en el km 50 de la línea.
Generalmente se toma como 0 la posición de la estación cabecera. Entonces a las 12:00 sabemos que el tren está en xo
= 50 km. ¿Adónde estará a las 13:45? Como suponemos que durante todo ese tiempo la velocidad no variará, entonces
predecimos que recorrerá 210 km. Conclusión: A las 13:45 estará en x = 260 km.
x  x  xo
x  50 km  210 km
x  260 km
2
Esto es una suposición. El tren puede tener un desperfecto o por algún otro motivo puede tener que detenerse o disminuir la
velocidad.
3
Esto es cierto sólo si la velocidad es constante.
3
Física 1
2013
Ahora vamos a resumir todo el procedimiento pero utilizando solamente los símbolos sin tener en cuenta los datos
numéricos:
x  xo  x
x  xo  v  t
x  xo  v   t  to 
La última expresión a la que hemos llegado incluye en forma simbólica todos los pasos necesarios para realizar
nuestra predicción: El cálculo del intervalo de tiempo, t  to; el cálculo del desplazamiento, vt; y finalmente el
cálculo de la posición esperada: x = xo + x.
La fórmula x  xo  v  t  to  se denomina ecuación HORARIA del movimiento rectilíneo uniforme (MRU). Este
movimiento se caracteriza porque la trayectoria es una recta y porque la velocidad se mantiene constante. En estas
condiciones es válida la ecuación horaria que contiene 2 valores fijos que constituyen las condiciones iniciales
(instante inicial to y posición inicial xo), una “constante” (la velocidad v) y dos variables: el tiempo t y la posición x.
Por lo tanto la posición x es función del tiempo t. Es decir x = x(t). Sólo en el caso del MRU esta función es lineal
(polinomio de 1er grado) porque v es constante.
Durante el curso de Física I, estudiaremos otros movimientos rectilíneos para los cuales la función x = x(t) puede
adoptar otras formas (por ejemplo, cuadrática o trigonométrica).
Problemas:
1) La distancia entre dos estaciones A y B es de 330 km. El tren 1 recorre ese trayecto a una velocidad de 120 km/h.
El tren 1 pasa por A, ubicada en el km50, a las 12:00 y se dirige hacia B, ubicada en el km380.
a) ¿A qué hora el tren estará a 30 km de distancia de su destino?
b) Escribir la ecuación horaria de posición en función del tiempo, especificando los valores de to , xo y v
c) Graficar la posición x en función del tiempo t, a escala, indicando unidades y algunos valores numéricos.
d) Otro tren 2 pasa por la estación B a las 12:30 y llega a la estación A a las 15:00. Calcular su velocidad.
e) Escribir la ecuación horaria de posición para el segundo tren en función del tiempo, especificando los valores de to ,
xo y v.
f) Graficar la posición x en función del tiempo t, para el tren 2, sobre el mismo gráfico realizado en (c)
g) ¿A qué hora y a qué distancia de cada estación se cruzan ambos trenes?
2) Un automovilista circula por una avenida recta a 15 m/s, cuando percibe la luz roja de un semáforo que está 60 m
más adelante. Decide frenar, y comienza a hacerlo (con aceleración constante) 0.8 segundos después de haber visto la
luz. El coche se detiene 3 m antes de llegar el semáforo. Adoptar e indicar claramente un sistema de referencia, y
luego:
a) Calcular la aceleración de frenado del coche;
b) Calcular el tiempo que tardó en detenerse desde que el conductor vio la señal;
c) Trazar los gráficos de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo
d) Calcular la velocidad media del automóvil para los siguientes intervalos de tiempo:
(i) desde t = 0 hasta t = 0,8 seg
(ii) desde t = 0,8 seg hasta el instante en que se detiene
(iii) desde t = 0 hasta el instante en que se detiene.
3) Un automóvil que avanza a razón de 108 km/h por una recta donde la máxima velocidad permitida es 90 km/h, pasa
frente a un policía en motocicleta que se encuentra a un costado de la ruta. El policía sale inmediatamente en su
persecución acelerando durante 12 seg. a razón de 3 m/s2 y continuando luego a velocidad constante.
a) Plantear las ecuaciones horarias de posición y velocidad en función del tiempo para cada uno de los móviles
indicando el sistema de referencia utilizado.
4
Física 1
2013
b) Calcular cuánto tardará el policía en alcanzar el automóvil y a qué distancia del primer punto de encuentro lo
conseguirá.
c) Realizar los gráficos de posición y velocidad en función del tiempo para ambos móviles e interpretar gráficamente
la solución hallada en (b)
4) Un tren A se mueve sobre una vía rectilínea a 108 km/h. Por la misma vía y en sentido opuesto se acerca otro tren B
a 144 km/h. Cuando los dos trenes están separados por una distancia de 800 metros los dos conductores aplican los
frenos. Éstos le provocan una aceleración de módulo 1 m/s2 al tren A y de 2 m/s2 al tren B.
a) ¿Podrán evitar el choque? (Responder Sí o No). Si el choque se puede evitar, determinar qué distancia separa a
ambos trenes cuando quedan detenidos. Si es inevitable, determinar la velocidad de ambos trenes en el instante del
choque.
b) Realizar el gráfico de velocidad en función del tiempo para ambos trenes en un mismo par de ejes cartesianos.
c) Realizar el gráfico de posición en función del tiempo para ambos trenes en un mismo par de ejes cartesianos e
interpretar gráficamente la solución hallada en (a)
5) En la figura se muestra el gráfico de velocidad en función del tiempo para
un auto que se mueve en línea recta.
a) Realizar el gráfico de posición en función del tiempo a escala e indicando
valores numéricos*. Expresar x en metros y t en segundos. Considerar que
para to = 0 es xo = 0. ( * Por lo menos para t = 10, 20, 30 y 40 segundos)
b) Calcular la velocidad media del vehículo para el intervalo desde t = 0
hasta t = 40 seg.
6) El gráfico representa la velocidad en función del tiempo para el nuevo
tren bala Buenos Aires – Rosario. Sale de la estación Buenos Aires a las
10:00 y llega a la estación Rosario a las 11:45.
a) Determinar la distancia entre las estaciones cabeceras del recorrido.
b) Realizar el gráfico de posición en función del tiempo
c) Calcular la velocidad media del tren para todo el viaje.
7) En la siguiente figura se ha
graficado la posición de un vehículo,
que se desplaza en línea recta, en
función del tiempo:
a) Describa cualitativamente el
movimiento del móvil.
b) ¿En qué instantes se encuentra en
la posición inicial?
c) ¿En qué instantes la velocidad
instantánea es nula?
Posición (km)
60k
m
50k
m
5km
10k
m
25k
m
30k
m
5h
0,5h
2,5 3h 3,5h 4,5h
h
6h
t
(horas)
5
Física 1
2013
d) Indicar los intervalos de tiempo durante los cuales la velocidad se mantiene constante y determinar la velocidad en
dichos lapsos.¿En qué instante (o lapso) el vehículo tiene su máxima velocidad?.
e) Indique en que tramos el móvil se acelera o desacelera. Indique el signo de la aceleración.
f) Dibuje esquemáticamente un gráfico de velocidad en función del tiempo.
g) Dibuje esquemáticamente un gráfico de aceleración en función del tiempo.
8) El conductor de un automóvil que marcha a 30 m/s por una ruta rectilínea, avista delante de él a un camión que
avanza en su mismo sentido, con velocidad constante de 10 m/s. Cuando la distancia entre ambos vehículos es 150 m,
el automovilista aplica los frenos, reduciendo su velocidad con una aceleración de 2 m/s2.
a) ¿A qué distancia del camión quedará el automóvil cuando su velocidad iguale a la del camión? En caso de chocar
antes, hallar qué distancia habrá recorrido el automóvil desde que aplicó los frenos.
b) Trazar los gráficos de velocidad y de posición en función del tiempo para ambos móviles, a escala y con valores
numéricos.
9)Un hombre situado en la azotea de un edificio lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de
12,25m/s.. La pelota llega al suelo, en la vereda, 4,25 s después.
a) ¿Cuál es la altura del edificio?
b) Graficar la posición, la velocidad y la aceleración de la pelota en función del tiempo
10) Indicar, subrayando, cuál de las siguientes afirmaciones es la única correcta y desarrollar una justificación
completa de la misma:
a) Cuando en un tiro vertical hacia arriba, el proyectil alcanza la altura máxima, su aceleración es nula.
b) Si se lanza hacia arriba un proyectil con una velocidad inicial de magnitud v0, cuando llega a la mitad de su
altura máxima su velocidad es la mitad de v0
c) Si se lanza hacia arriba un proyectil con una velocidad inicial de magnitud v0 y llega a una altura máxima H
entonces cuando tenga la mitad de esa velocidad habrá alcanzado las ¾ partes de H
d) Si se lanza verticalmente hacia arriba un proyectil y llega a una altura máxima H en un tiempo t, entonces en
la mitad de ese tiempo llega a la mitad de H.
e) En un tiro vertical cuando el proyectil alcanza su altura máxima la aceleración cambia de sentido
11) Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde el piso con una velocidad inicial de 30 m/s. En el mismo
instante y desde un punto situado a 120 metros de altura, se deja caer un ladrillo.
a) ¿A qué altura, respecto del piso, se cruzan ambos objetos?
b) ¿Cuánto tardan en cruzarse?
c) ¿Qué velocidad tiene cada uno en ese instante? ¿Se están moviendo en el mismo sentido o con sentidos opuestos?
d) Realizar los gráficos que representen la posición y la velocidad en función del tiempo para ambos objetos.
e) ¿Cuál llegará en primer lugar al piso?
f) Cuando el ladrillo llega al piso, ¿a qué altura está la piedra?
12) Una piedra se deja caer en un pozo. Algunos segundos después se escucha el sonido del golpe de la piedra contra
el fondo del pozo.
a) Diseñar un procedimiento para calcular la profundidad del pozo conociendo el tiempo desde que se suelta la piedra
hasta que se escucha el sonido, la aceleración de la gravedad (g = 10 m/s 2) y la velocidad del sonido en el aire (vs =
340 m/s).
b) Aplicar el método suponiendo que se ha realizado el experimento en distintos pozos y los tiempos medidos en cada
caso han sido: i) 3 segundos ii) 5 segundos iii) 7 segundos
13) Se lanza un cuerpo hacia arriba con velocidad inicial v0 =15 m/s. Un segundo después se deja caer otro cuerpo
desde una altura de 15 m, sin velocidad inicial.
6
Física 1
2013
a) Calcular el tiempo que tardan en encontrarse.
b) Calcular a que distancia del piso se encuentran.
c) Calcular la velocidad de ambos cuerpos en el instante del encuentro.
d) Graficar la posición y la velocidad en función del tiempo para ambos cuerpos e interpretar gráficamente los
resultados hallados en (a) (b) y (c)
14) Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial vo. Cuando llega a la mitad de su altura
máxima su velocidad es:
a) menor que vo /2
b)igual a vo /2 c)mayor que vo /2
15) Se lanza desde el suelo un cuerpo A verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial vo = 40 m/s. En el mismo
instante se deja caer otro cuerpo B desde una altura de Ho = 80 metros, sin velocidad inicial.
a) Determinar en qué instante y a qué altura se encuentran ambos cuerpos, en forma analítica y gráfica (aproximada).
b) ¿Existe la posibilidad de que para cierto par de datos vo y Ho se produzcan dos encuentros? ¿Existe la posibilidad
de que para cierto par de datos vo y Ho no se produzca ningún encuentro?
16) Se lanza un cuerpo A verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial vo = 40 m/s. Desde una altura de Ho =
80 metros, respecto al punto de partida de A, se deja caer otro cuerpo B, 2 segundos después, sin velocidad inicial.
a) Determinar en qué instante y a qué altura, respecto al punto de partida de A, se encuentran ambos cuerpos, en
forma analítica y gráfica (aproximada).
b) Cuando el cuerpo A llega a su altura máxima, a qué altura se encuentra el cuerpo B. ¿Qué velocidades tienen ambos
móviles en ese instante?
17) Desde la terraza de un edificio de altura h = 50 m se lanza un proyectil con una velocidad de módulo 12,5 m/s
formando un ángulo de 37 º con la horizontal.
a) Adoptar un sistema de referencia y plantear las ecuaciones de posición y velocidad en función del tiempo.
b) Calcular el módulo de la velocidad final del proyectil justo antes de tocar el suelo, en la calle.
c) Calcular a qué distancia del edificio el proyectil toca el suelo
d) Deducir la ecuación de la trayectoria, y = y (x), y graficarla a escala.
e) Determinar el valor del radio de curvatura de la trayectoria en el punto más alto.
18) Un auto fue encontrado a cierta distancia de un barranco y se
supone que cayó desde lo alto de éste. ¿Qué magnitudes habría que
medir en el lugar del hecho para determinar a qué velocidad se estaba
moviendo el auto cuando se desbarrancó? Con dichos datos, ¿cómo se
determinaría esta velocidad?
19) Una pulga está parada en el piso. Salta y cae a 5 centímetros de
distancia. La pulga permanece “en el aire” durante ½ segundo. ¿Qué
altura máxima alcanzó?
20) a) ¿Con qué velocidad mínima debe llegar el auto al extremo superior de
la rampa para no caer en el pozo?
b) ¿Cuánto tiempo durará el salto?
Datos: D = 12 m
h=4m
 = 18o
7
Física 1
2013
21) Desde una altura H respecto al piso se lanzan, en to = 0, horizontalmente dos proyectiles 1 y 2 con velocidades
iniciales vo1 = 10 m/s y vo2 = 1 m/s respectivamente. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles
falsas? (JUSTIFICAR en todos los casos)
¿V o F?
i) El proyectil 2 llega al piso antes que el proyectil 1
ii) El proyectil 1 tiene menor alcance horizontal que el proyectil 2
iii) Ambos proyectiles llegan al piso simultáneamente
iv) La aceleración de ambos proyectiles es en todo instante perpendicular al vector velocidad
v) La velocidad final del proyectil 1 es mayor que la velocidad final del proyectil 2 (justo antes de
llegar al piso)
22) Un albañil situado en el tejado de una casa deja caer involuntariamente su martillo, y este resbala por el tejado con
velocidad constante de 4 m/s. El tejado forma un ángulo de 30º con la horizontal y su punto más bajo está a 10 m de
altura sobre el suelo.
a) Realice un esquema indicando el sistema de referencia que utiliza y escriba las ecuaciones de movimiento.
b) ¿Qué distancia horizontal recorrerá el martillo después de abandonar el tejado de la casa antes de que choque contra
el suelo?
c) Calcule la velocidad con que llegará el martillo al suelo.
23) Dos proyectiles A y B se disparan simultáneamente desde el origen de coordenadas con distintas velocidades
iniciales que forman con el eje x ángulos  = 76º y  = 45º respectivamente. Ambos tienen el mismo alcance
horizontal.
a) ¿Llegan juntos nuevamente al suelo? Si ocurre esto, justificar. Si no: ¿Cuál de ellos llegan antes nuevamente al
suelo? En este caso: ¿qué relación hay entre sus tiempos de “vuelo”?
b) ¿Qué relación existe entre las alturas máximas alcanzadas por cada uno?
24) En un movimiento de una partícula en un plano, se comienza a medir el tiempo (cronómetro en t = 0s) cuando la
posición de la partícula es
r0  4 i  3 j . Se sabe que la velocidad de la partícula varía como
v   2t  4  i   t 2  3  j , donde los tiempos se miden en segundos y las posiciones en metros.
a) Calcular v0
b) Encontrar la expresión de la posición de la partícula en función del tiempo.
c) Encontrar la expresión de la aceleración de la partícula en función del tiempo
d) Graficar la trayectoria para el intervalo de tiempo entre t = 0 y t = 4 segundos. Elegir tres puntos de la misma y en
ellos graficar los vectores velocidad y aceleración.
25) Un bloque desliza, de sur a norte, sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una velocidad vo  1
Cuando llega al origen de coordenadas comienza a actuar una fuerza que le provoca una aceleración a  0,5
mˆ
j.
s
mˆ
i de
s2
oeste a este. Esta fuerza actúa sólo durante 4 segundos, al cabo de los cuales la fuerza resultante sobre el bloque
vuelve a ser nula y por lo tanto la velocidad se mantiene constante.
a) Determinar el vector posición y el vector velocidad del bloque para el instante t = 4 segundos y para el instante t = 8
segundos
b) Graficar, a escala y con valores numéricos, la trayectoria del móvil sobre un sistema cartesiano xy desde t = 0 hasta
t = 8 segundos
8
Física 1
2013
26) Las coordenadas de un ave que vuela en el plano horizontal xy están dadas por las expresiones:
x = 2,0 m – 3,6 m/s. t y = 1,8 m/s2. t2
a) Dibujar la trayectoria del ave.
b) Determinar los vectores velocidad y aceleración en función del tiempo.
c) Determinar el módulo, dirección y sentido de la velocidad y de la aceleración en el instante t = 3 s.
d) Dibujar los vectores velocidad y aceleración para t = 3 s sobre la trayectoria. En ese instante, ¿el ave está
acelerando, frenando o su rapidez no está cambiando? ¿El ave está girando? De ser así ¿en qué dirección?
27) Se conocen algunos datos acerca de un movimiento en el plano:
vx = 2 t - 4 ;
ay = 2 t ;
v0 = 5 m/s ;
x0 = 4 m ;
y0 =  3 m
Considere que t se mide en segundos, x e y en metros.
a) Complete la información faltante.
b) Dibuje las dos trayectorias compatibles con los datos iniciales. Dado que son complicadas, se espera que realicen
un trazado tentativo, ayudándose con los vectores velocidad y aceleración para establecer concavidades.
c) Dibuje en la trayectoria los vectores velocidad y aceleración para t = 2 s y t = 3 s.
d) Calcule en dichos instantes el radio de curvatura.
28) Responder las siguientes preguntas desarrollando una explicación que justifique la respuesta:
a) ¿Puede un cuerpo tener velocidad cero y sin embargo estar acelerado?
b) ¿Puede un cuerpo tener rapidez* constante y sin embargo tener una velocidad variable?
c) ¿Puede un cuerpo tener velocidad constante y sin embargo tener rapidez variable?
d) Para las siguientes situaciones indicar si el ángulo que forman el vector velocidad y el vector aceleración es 0º,
menor que 90º, 90º, mayor que 90º o 180º
I. Un auto que se mueve en línea recta y está frenando
II. Una piedra fue arrojada horizontalmente desde un balcón y está cayendo
III. Una camioneta está bajando por una pendiente curva con
rapidez constante(B)
IV. Una camioneta está subiendo por una pendiente curva y su
rapidez está disminuyendo(S)
29) Un muchacho revolea alrededor de su cabeza una piedra atada a una cuerda describiendo una circunferencia
horizontal. El radio de la circunferencia es 0.96 m, y el tiempo de una revolución es 1.1 s . Calcular
a) el módulo de la velocidad de la piedra
b) el módulo de su aceleración
v
30) Un cuerpo puntual recorre una circunferencia horizontal, de radio 2,5 m. En cierto
instante to = 0 el vector aceleración, cuyo módulo es de 15m/s2, forma un ángulo de 30° con
30° a
el radio de la circunferencia. Hallar, para ese instante:
a) Las componentes tangencial y centrípeta de la aceleración
b) La rapidez de la partícula
c) ¿Tiene sentido físico la definición de período para este movimiento? Si tiene sentido calcular su valor. Si no tiene
sentido, calcular cuánto tarda la partícula en dar la primera vuelta, la segunda vuelta y la tercera vuelta.
31) Dos automóviles que se mueven a lo largo de carreteras perpendiculares se desplazan hacia el norte y hacia el este,
respectivamente.
(a) Si sus velocidades con respecto al suelo son de 60 km/h y 80 km/h, calcule sus velocidades relativas en forma
vectorial.
*
rapidez = módulo de la velocidad
9
Física 1
2013
(b) ¿La velocidad relativa, en este caso, depende de la posición de los coches en sus respectivas carreteras? Justifique
la respuesta.
(c) Si en el instante to = 0 ambos autos pasan por el cruce de las carreteras, hallar la distancia D que los separa en
función del tiempo t. Es decir D = f(t)
32) Un bote se mueve en dirección NO, 600 medidos del Norte al 0este, a 40 km/h en relación con el agua. La
corriente se encuentra en dirección y sentido tales que el movimiento resultante con relación a la tierra es hacia el
Oeste a 50 km/h. Calcule la velocidad y el sentido de la corriente con respecto a tierra.
EN LOS SIGUIENTES PROBLEMAS MARCAR LA OPCIÓN CORRECTA Y DESARROLLAR UNA EXPLICACIÓN QUE LA
JUSTIFIQUE
33) Una persona arroja verticalmente y hacia arriba una piedra. La piedra está inicialmente en reposo y recorre
1 metro en contacto con la mano de la persona con una aceleración a1 (supuesta constante). Luego la suelta y en
consecuencia ésta sigue subiendo libremente con aceleración a2 , recorriendo 5 metros más para luego caer. Si g es la
aceleración de la gravedad, ¿cuál es la relación vectorial correcta?
 a1 = a2 = g
 a1 = – g y a2 = g
g
y a2 = g
5
 a1 no se puede calcular y a2 = g
 a1 = – 5 g y a2 = g
 a1 + a2 = 0 pero no se pueden determinar sus valores
 a1 = –
34) Una lancha realiza un viaje a velocidad constante respecto del agua, entre dos puntos que distan 5 km a lo largo
de un río. A la ida, con la corriente a favor, tarda 5 minutos. Al regresar, con la corriente en contra, recorre la misma
distancia en 20 minutos. ¿Cuánto tiempo (en minutos) duraría el viaje total, de ida y vuelta, si el agua estuviera
inmóvil?
 32  25  16  12,5  8  20
35) ¿Cuáles de los siguientes gráficos pueden corresponder al movimiento de
una partícula que se está desplazando a lo largo del eje x?
AyB
ByC
AyD
CyD
 TODOS
 NINGUNO
36) Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba con cierta velocidad
inicial que le permite alcanzar una altura máxima H. En el instante en que su
velocidad sea la mitad de la velocidad inicial, ¿qué altura h habrá alcanzado?
h=½H
h=¼H
h = 3/4 H
 h = 1/3 H  h = 4/5 H  h = 7/8 H
37) El área comprendida debajo de la gráfica velocidad–tiempo correspondiente a un objeto en movimiento rectilíneo,
entre dos instantes dados, representa:
 su velocidad media
 su posición final
 su desplazamiento
 su velocidad instantánea
 su variación de velocidad  su aceleración media
38) Una avioneta desarrolla una velocidad de 200 km/h con respecto al aire. Necesita desplazarse exactamente hacia
el Norte en un día en que sopla viento del Este a 75 km/h con respecto a Tierra. Para conseguirlo, el piloto debe
desviar su rumbo un ángulo  de la dirección Sur–Norte, de modo que:
  = 22º, hacia el Este
  = 20,5º, hacia el Este
  = 68º, hacia el Este
  = 22º, hacia el Oeste   = 20,5º, hacia el Oeste   = 68º, hacia el Oeste
39) En un tren que se mueve en línea recta y con una velocidad constante, una persona en reposo respecto al tren,
arroja una moneda verticalmente hacia arriba que luego de 1 segundo vuelve a caer en su mano. ¿Cuál de las
siguientes afirmaciones es correcta?
10
Física 1
2013
 La trayectoria de la moneda en un sistema de referencia fijo al tren es un arco de parábola
 Para un sistema de referencia fijo al tren la velocidad de la moneda nunca es cero.
 Para un sistema de referencia fijo a las vías la velocidad de la moneda nunca es cero.
 Para un sistema de referencia fijo al tren la aceleración de la moneda tiene componentes vertical y horizontal.
 Para un sistema de referencia fijo a las vías la velocidad de la moneda cuando regresa a la mano de la persona es
vertical y hacia abajo
 Para un sistema de referencia fijo a las vías el desplazamiento de la moneda en 1 segundo es nulo.
40) En una calesita que gira con velocidad angular constante hay caballitos de madera fijos ubicados a diferentes
distancias r del centro de la calesita. Entonces, para los caballitos se cumple:
 Todos tienen aceleración de igual módulo a  0
 Todos tienen aceleración igual a cero
 El módulo de la aceleración es directamente proporcional al radio
 El módulo de la aceleración es inversamente proporcional al radio
 Todos tienen velocidades de igual módulo.
 Los vectores velocidad y la aceleración tienen igual dirección y sentido
41) Un cometa describe una órbita elíptica alrededor del Sol. En A el cometa se
está acercando al Sol. En B se está alejando. En todo instante la aceleración del
cometa está dirigida hacia el Sol.
a) Si designamos con  al ángulo que forma el vector velocidad con el vector
aceleración en A y con  al ángulo en B, dichos ángulos verifican:
  = 90º  = 90º
  < 90º  > 90º
  = 0º  = 0º
 = 45º  = 45º
  > 90º  < 90º
  = 0º  = 180º
b) El módulo de la velocidad del cometa en A, ¿está aumentando o disminuyendo? ¿Y en B? Justificar
42) Un proyectil se arroja oblicuamente y describe la trayectoria que se indica. En los
puntos A, B y C de la trayectoria el vector velocidad y el vector aceleración forman los
ángulos ,  y .
a) Cuál de las siguientes relaciones se verifican:
  = 90º
 = 90º
 = 90º
  < 90º
 = 0º
 > 90º
  = 0º
 = 0º
 = 0º
 = 45º
 = 90º
 = 0º

  = 180º
 = 90º
 = 0º
b) El módulo de la velocidad del proyectil en A, ¿está aumentando o disminuyendo?
¿Y en C? Justificar y relacionar con la respuesta del ítem (a)
c) Supongamos que el proyectil alcanza el punto B en el instante t*. Comparar los módulos de la velocidad del
proyectil en los instantes t*t y t*+t, considerando que t  0. Relacionar el resultado de esta comparación con la
respuesta dada en (a)
PROBLEMAS ADICIONALES
43) Las ecuaciones paramétricas correspondientes al movimiento de una partícula son.
x (t )  20  20t
y (t )  20t  5 t 2
En estas expresiones t está en segundos y las coordenadas en metros.
a) Escribir la expresión del vector posición en función del tiempo.
b) Determinar las expresiones de los vectores velocidad y aceleración en función del tiempo.
c) Determinar la ecuación de la trayectoria y = y(x). Graficarla a escala.
11
Física 1
2013
44) Un partícula se mueve de manera tal que el vector posición en función del tiempo está dado por:
r (t )  40 t iˆ  (80  30 t  5 t 2 ) ˆj
En esta expresión t está en segundos y las componentes del vector en metros.
a) Determinar la ecuación y = y(x) de la trayectoria. Graficarla a escala.
b) Determinar la velocidad y la aceleración para t = 0 segundos y para t = 3 segundos. Graficar estos vectores sobre la
trayectoria en las posiciones correspondientes.
45) Las ecuaciones paramétricas del movimiento de un ciclista en un velódromo son las siguientes:
x(t )  0,1cos (6 t )
y (t )  0,1 sen(6 t )
El tiempo está expresado en minutos y las posiciones en kilómetros.
a) Escribir las expresiones del vector posición, del vector velocidad y del vector aceleración en función del tiempo.
Calcular el módulo de cada uno de estos vectores. ¿Son dependientes del tiempo o se mantienen constantes?
b) Determinar la ecuación de la trayectoria y graficarla a escala.
c) Elegir 4 posiciones del ciclista en esa trayectoria. Determinar en qué instante de tiempo el ciclista se encuentra en
dichas posiciones. Graficar el vector velocidad y el vector aceleración en las posiciones elegidas.
d) ¿Tiene sentido físico la definición de período para este movimiento? Si tiene sentido calcular su valor. Si no tiene
sentido, calcular cuánto tarda el ciclista en dar la primera vuelta, la segunda vuelta y la tercera vuelta.
46) Un disco fonográfico (“vinilo”) gira a razón de 33 1/3 r.p.m.
a) ¿Cuánto segundos tarda en completar una vuelta?
b) ¿Cuánto vale el módulo de la velocidad tangencial de un punto de la periferia (r = 15 cm)?
c) ¿Cuánto vale el módulo de la velocidad tangencial de un punto del borde de la etiqueta (r = 5 cm)?
47) La aguja horaria y el minutero de un reloj coinciden a las 0:00 (ambas señalan el 12).
a) ¿A qué hora se volverán a encontrar?
b) Si la aguja horaria mide 1 cm, ¿cuánto vale el módulo de la velocidad tangencial de su extremo en mm/seg?
c) Si el minutero mide 2 cm, ¿cuánto vale el módulo de la velocidad tangencial de su extremo en mm/seg?
d) Una partícula con la velocidad calculada en (c) moviéndose en línea recta, ¿cuánto tardaría aproximadamente en
recorrer una distancia de 12 cm?¿ 1 minuto, 1 hora, 1día…?
48) Un cuerpo puntual tiene un movimiento rectilíneo cuya ecuación horaria es x  0,5 m  sen(0, 7
rad
t) .
seg
a) Determinar la posición del móvil para t1 = 2,244 seg y para t2 =6,732 seg.
b) Determinar las expresiones de la velocidad y de la aceleración en función del tiempo.
c) Calcular la velocidad y la aceleración para los instantes indicados en (a)
d) Determinar la expresión de la aceleración en función de la posición. ¿Cuánto vale la aceleración para las siguientes
posiciones? x = 0
0,25 0,5
0,25 0,5 metros.
e) Basándonos en las respuestas anteriores analizar las siguientes afirmaciones:
¿V o F?
i) Cuando la velocidad es cero, la aceleración también es cero
ii) El movimiento es periódico y su período es T 8,976 seg.
iii) Cuando el módulo de x es máximo la aceleración es cero
iv) Cuando x = 0, el módulo de la velocidad es máximo
v) Cuando x > 0, la aceleración es negativa
12
Física 1
2013
Respuestas:
b) x1  50km  120
1) a) 14,5 h = 14:30
e) x1  380km  132
km
(t  12,5h)
h
2) a) 2,5m/s2
b) 6,8 seg
km
(t  12h)
h
d) 132 km/h
g) 13:34
188,6 km
141,4 km
d) 15 m/s
7,5 m/s
8,38 m/s
3) a) Adoptando to = 0 y xo = 0 correspondientes al 1er encuentro:
m
t
t 0
s
1 m
m
xM   3 2 t 2 vM  3 2 t
2 s
s
m
xM  216m  36  t  12s 
s
xA  30
0  t  12s
t  12s
b) 1080 m
4) a) El choque se produce para t = 20 s. El tren A tiene una velocidad de 36 km/h y el tren B justo se detiene (v = 0)
5) b) 31,5 km/h
6) a) 297 km
b) 169,7 km/h
7) b) 0 h
4,5 h
otro t > 6 h
d) 0,5 < t < 2,5 h v = 22,5 km/h
c) 0 h
3h
5,25 h
otro t > 6 h
3,5 < t < 5 hv =  33,93 km/h (máx) 5,5 < t < 6 hv = 30 km/h
e) 0 < t < 0,5 h  a > 0 2,5 < t < 3,5 h  a < 0 5 < t <5,5 ha > 0
2,5 < t < 3 h desacelera
5 < t < 5,25 h desacelera
3 < t < 3,5 h acelera
5,25 h < t < 5,5 h acelera
8) a) 50 m
9) a) 38,25 m
10) Ayudas: La altura es una función cuadrática del tiempo y la velocidad es una función lineal del tiempo. La
aceleración es un vector que para todo el movimiento tiene dirección vertical y sentido hacia abajo. La velocidad es
un vector con dirección vertical, sentido hacia arriba cuando el cuerpo sube, sentido hacia abajo cuando el cuerpo
desciende
11) a) 40 m
b) 4 seg
c) vpiedra = 10 m/s vladrillo = 40 m/s e) ladrillo
13
Física 1
2013
12) Ayuda: Obviamente en este problema no podemos dar la respuesta a la parte (a). Pero daremos algunos resultados
de la parte b. Si el tiempo total es 3 segundos, la caída de la piedra duró 2,878 segundos y el sonido sube en 0,122
segundos. Esto da una profundidad de 41,4 metros. Si el tiempo total es 5 segundos, los resultados son 4,678
segundos, 0,322 segundos y 109,4 metros.
13)
14) Ayuda 1: v es función lineal de t y h es función cuadrática de t. ¿Cómo se relacionan h y v?
Ayuda 2: Graficar v función de t y h función de t. Determinar v para h= H/2
15) a) 2 segundos
60 metros
16) a) 3 segundos
75 metros
b) 0
 20 m/s
17) b) 11,2 m/s
d) 25 metros
e) 10 metros
18) Para pensar…
19) 31,25 cm
20) a) 10 m/s b) 1,26 segundos
21)
F
F
V
F
V
22) b) 4,255 m
c) v f  3, 464 ms iˆ  14, 283 ms ˆj
v f  14, 697 ms
 76,36º
23) a) NO. Llega 1ro B. B llega en la mitad del tiempo que A. b) A llega 4 veces más alto que B
24)
a ) vo  4 iˆ  3 ˆj
1 

b) r (t )   4  4t  t 2  iˆ   3  3t  t 3  ˆj
3 

c) a (t )  2 iˆ  2t ˆj
25)
t  4 s r  (4iˆ  4 ˆj ) m v  (2iˆ  1 ˆj ) m
s
m
t  8 s r  (12iˆ  8 ˆj ) m v  (2iˆ  1 ˆj )
s
26) Está explicado en forma completa en un archivo aparte
27)
14
Física 1
2013
x  4  4t  t 2
y  3  3t 
vx  4  2t
vy  3  t 2
ax  2
a y  2t
t3
3
29) a) 5,48 m/s
b) 31,32 m/s2
2
2
30) a) 7,5 m/s 13 m/s
b) 5,7 m/s
c) 1,423 s; 0,809 s; 0,633 s
31) a) auto1: el que va hacia el norte auto2: el que va hacia el este
v12  80 iˆ  60 ˆj
v21  80 iˆ  60 ˆj
km
t
h
32) Explicado en archivo aparte
c) D(t )  100
b) NO
33) a1 = – 5 g y a2 = g
34) 16 minutos
35) A y D
36) h = 3/4 H
37) su desplazamiento
38)  = 22º, hacia el Este
39) Para un sistema de referencia fijo a las vías la velocidad de la moneda nunca es cero.
40) El módulo de la aceleración es directamente proporcional al radio
41)  < 90º  > 90º; en A aumentando; en B disminuyendo
42)  > 90º
 = 90º
 < 90º


43) a) r(t )   20  20t  iˆ  20t  5t 2 ˆj
b)
v(t )  20 iˆ   20  10t  ˆj
a(t )  0 iˆ  10 ˆj
c) y  
1 2 3
x  x  25
80
2
46) a) 1,8 segundos
b) 52,36 cm/s
c) 17,45 cm/s
47) Resultados aproximados
a) 1:05:27
b) 0,000145 mm/s
c) 0,034906 mm/s
48) a) x1 = 0,5 m
x2 =  0,5 m
c) v1 = 0
a1 =  0,245 m/s2
v2 = 0 a2 = 0,245 m/s2
d) a  
e) F
0, 49
x
s2
V
F
V
V
d) 1 hora
15
Física 1
2013
Problemas sobre mediciones y errores:
1) Un vaso lleno de líquido se coloca sobre una balanza digital y en ésta se lee el valor de una masa M = 453,8
gramos. Luego se coloca el vaso vacío y la indicación es m = 199,3 gramos. La menor división de la escala de la
balanza es de 0,1 gramos. Determinar entre qué valores se encuentra el “verdadero” valor de la masa del líquido.
2) El conductor de un automóvil observa el tablero de instrumentos y el kilometraje en cierto instante es 49999 km.
Piensa: “Cuando recorra, a partir de ahora 1 km más, el tablero cambiará a 50000 km”.
a) ¿Es correcto lo que piensa? ¿Puede predecir en qué momento el instrumento cambiará a 50000 km?
b) Si luego de 45 minutos de viaje el contador marca 50038 km, ¿entre qué valores se encuentra el “verdadero” valor
de la velocidad media del auto?
3) La longitud de una mesa se mide con una regla milimetrada de 30 cm. Como la longitud a medir es mayor a 30 cm
hay que utilizar la regla varias veces. Se obtienen los siguientes resultados: 30 cm; 30 cm; 38,5 cm.
a) ¿Cuál es el valor más probable, o representativo, de la longitud de la mesa?
b) ¿Cuánto vale el error absoluto de la medición?
c) ¿Cuáles de las siguientes expresiones son las que más se adecuan al resultado de la medición con sentido físico?
i) 98,5cm ± 0,1 cm
ii) 98,65 cm ± 0,15 cm
iii) 98,5 cm ± 0,3 cm iv) 98,5 cm ± 0,05 cm
4) Se miden los lados de un “cubo” macizo de madera con una regla que está dividida en medios centímetros. Se
obtienen los siguientes resultados:
a = 85,50 cm ± 0,25 cm
b = 84,00 cm ± 0,25 cm
c = 86,5 cm ± 0,25 cm
a) Calcular el volumen del cuerpo y expresar el resultado con sentido físico
b) Calcular el error relativo en la medición de cada lado y en el volumen.
c) La masa del cuerpo se determina con una balanza rudimentaria cuya escala está dividida en kg. Se obtiene 491 kg.
Calcular la densidad de la madera en gramos/cm3 o en kg/dm3 y expresar el resultado con sentido físico.
Respuestas:
Atención: Las respuestas a estos problemas pueden diferir según los criterios utilizados para determinar el error
absoluto de cada medición y los criterios para redondear.
1) 254,3 g < mL < 254,7 g
2) b) 49,565 km/h < VM < 45,545km/h
3) c) ii) 98,65 cm ± 0,15 cm
4) a) V = (621200 ± 5500) cm3
c) δ = (0,791 ± 0,008) g/ cm3
mL = (254,5 ± 0,2) g
VM =(52,06 ± 2,5) km/h
iii) 98,5 cm ± 0,3 cm
b) 0,00292
0,00298
0,00289
0,00879
16
Física 1
2013
Unidad 2: Dinámica de la partícula
Concepto de interacción. Primera ley de Newton. Masa. Fuerza. Segunda y tercera ley del movimiento. Unidades de
fuerza y masa. Diagrama del cuerpo libre. Descomposición de fuerzas. Distintos tipos de interacciones: Peso, Fuerzas
de vínculo, fuerzas de rozamiento estática y dinámica(cinética), fuerza elástica, ley de Hooke, fuerza gravitatoria, ley
de gravitación universal (Newton), fuerzas viscosas.
Movimiento armónico simple. Período, frecuencia, amplitud. Posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.
Sistema masa-resorte y péndulo simple: Justificación de la solución de las ecuaciones diferenciales del movimiento
para pequeñas amplitudes. Fórmulas del período. Medición de la aceleración de la gravedad.
Movimiento de planetas y satélites. Órbitas. Período de revolución. Leyes de Kepler.
Sistemas de referencia inerciales y no inerciales. Fuerzas de inercia (ficticias o seudofuerzas): fuerza centrifuga y
fuerza de Coriolis