Integración numérica de orden arbitrario

INTRODUCCION
Aqui examinamos un procedimiento para obtener una fórmula de integración numérica de orden arbitrario. La
técnica de cuadrátura Gaussiana que produce fórmulas de alto grado utilizando puntos distribuidos en el
intervalo de integración en forma no uniforme.
Integración Numérica
Cuadratura gaussiana:
Las fórmulas de Trapecios y Simpson utilizan nodos equidistantes y dan valores exactos para polinomios de
grado menor o igual que n (n = 1 en el caso de Trapecios y n = 2 en el caso de Simpson).La elección de
puntos equidistantes no es la mejor. Puede seleccionarse los puntos de manera que mejore la aproximación.
La cuadratura gaussiana selecciona los puntos de manera óptima.
El método consiste en seleccionar los nodos x1, x2,. . ., xn en [a, b] y los coeficientes c1, c2,. . ., cn que
minimicen el error de la aproximación
Reglas de Cuadrátura Gaussiana: Consideramos por el momento integrales de la forma
Note que si el integral esta dado en un intervalo arbitrario [a,b] entonces mediante el cambio de variables
tenemos que
lo cual nos da una integral en [−1,1]. Asi que sin perdida de generalidad podemos asumir que el integral es en
[−1,1].
Sean x1,x2,,xn puntos (no necesariamente uniformemente distribuidos) en [−1,1] y w1,w2,,wn números
llamados pesos ("weights"). Los puntos xj's y los pesos wj's se determinan de modo que la fórmula de
integración numérica
1
sea exacta para polinomios de grado a lo más 2n−1, i.e., In(p)=I(p) para todo polinomio p de grado a lo más
2n−1. Como In é I son operadores lineales, basta verificar que
Caso n=1: Aqui I1(f)=w1f(x1) y requerimos que I1(1)=I(1), I1(x)=I(x). Pero I(1)=2 y I1(1)=w1 de modo que
w1=2. Además I(x)=0 y I1(x)=2x1, de donde obtenemos que x1=0. Tenemos pues la fómula numérica
I1(f)=2f(0) lo cúal se conoce como la fórmula del punto medio.
Caso n=2: Tenemos ahora que I2(f)= w1f(x1)+ w2f(x2) y se requiere que I2(xi)=I(xi) para i=0,1,2,3. Esto nos
lleva al siguiente sistema nolineal para x1,x2,w1,w2:
Suponiendo que x1, x2 son conocidas, resolvemos la tercera y cuarta ecuación (que son lineales en los w's)
mediante la regla de Cramer para w1, w2 obteniendo asi que
Sustituyendo estas expresiones en la primera y segunda ecuación y resolviendo para x1, x2 obtenemos que
Asi que nuestra fórmula numérica en el caso n=2 lee como sigue:
Caso n>2: Al aplicar las condiciones
se obtiene un sistema nolineal de 2n ecuaciones en 2n desconocidas (las x's y las w's). Este sistema se puede
resolver numéricamente usando el método de Newton para sistemas nolineales. Pero en lugar de proceder de
esta forma se utiliza el hecho de que se puede demostrar que los xi's son los ceros del n−esimo polinomio de
Legendre Ln(x). Estos polinomios se definen por la recursión
En particular tenemos que L2(x)=(3/2)x2−(1/2) cuyos ceros son ððððð que fueron los x's que determinamos
en el caso n=2. También
2
de donde podemos obtener los x's para las fórmulas de los casos n=3,4 respectivamente. Teniendo los x's
podemos ahora calcular los w's resolviendo un sistema lineal de ecuaciones.
Ejemplo 2: Aproximamos
usando la regla de cuadrátura con n=2. Primero hacemos un cambio de variables de modo que el integral sea
en el intervalo de [−1,1]. Para esto usamos el cambio de variables discutido al principio de esta sección lo que
resulta en:
Tenemos ahora que
Hay 2n parámetros que elegir. Si los coeficientes de un polinomio se consideran parámetros, un polinomio de
grado 2n − 1 también tiene 2n parámetros. Este es el tipo de polinomios de mayor grado para el cual se puede
esperar que la solución sea exacta.
• Caso n = 2 e intervalo [−1, 1]
Queremos determinar x1, x2, c1 y c2 para que la fórmula
de un resultado exacto siempre que f(x) sea un
polinomio de grado 2 · 2 − 1 = 3 o menor
3
Hay que demostrar que la fórmula produce resultados exactos cuando f(x) es 1, x, x2 y x3.
Este sistema de ecuaciones tiene solución única
La siguiente fórmula da resultados exactos para polinomios de grado _ 3
_ Caso general Para n _ 2 e intervalo [−1, 1] el cálculo de los xi y ci se realizan utilizando los polinomios de
Legendre y sus raíces.
Las constantes ci y las raíces de los polinomios de Legendre están tabuladas
4
Así:
Para el caso general de un intervalo cualquiera [a, b] se realiza un cambio de variable en la integral:
5
6