Práctica Cadenas de MArkov - proyectosfacultad

Prof. Lic. Grispino Cataldo Ricardo
Lic. Marcelo Grispino
Ing. Paula A. Zanetti
Lic. Gabriel Grispino
CAPITULO NRO. 11: CADENAS DE MARKOV
Ejerc. 1): Cierta máquina de calcular sólo usa los dígitos 0 y1. Se supone que transmite uno de
estos dígitos a través de varias etapas. Sin embargo cambia cuando la abandona, y una
probabilidad q=1-p de que sea transmitido sin cambio. Si se forma una cadena de Markov para
representar el proceso de transmisión tomando como estados los dígitos 0 y 1.
a) Cuál es la matriz de transición?
Construya un árbol y asigne probabilidades, suponiendo que el proceso comienza en el
estado 0 y se desplaza a través de tres etapas de transmisión.
b) Cuál es la probabilidad de que al cabo de las tres etapas la máquina dé el dígito
correcto, ó sea el 0?
c) Cuál es la probabilidad de que nunca cambie el dígito 0?
Ejerc. 2): Supongamos que se clasifican las ocupaciones en profesionales, trabajos calificados y
trabajos no calificados. Supongamos que el 80 % de los hijos de profesionales son profesionales,
el 10 % trabajadores calificados y el 10 % trabajadores no calificados. En el caso de los hijos de
trabajadores calificados los % son: 20, 60, y 20. Finalamente, en el caso de los hijos de
trabajadores no calificados, el 50 % de sus hijos hace lo mismo que sus padres y el 50 %
restante se reparte por parte iguales entre las otras dos categorías.Supongamos que todo
hombre tiene un hijo y formemos una cadena de Markov siguiendo una familia determinada a
través de varias generaciones.
a) Forme la matriz de transición
b) Halle la probabilidad de que el nieto de un trabajador no calificado sea un profesional.
Ejerc. 3): Determine si las siguientes matrices son estásticas. De serlo, clasifíquelas y realice el
análisis de clases.
a) 0.2
0
1
0.3
0
0
d) 1
0.21
g) 0
0.5
1
j) 1 0
0 0.5
0 0
0 0.3
0.5
1
0
0
0.79
0
0.3
0
0
0
1
0
1
0.2
0
0
0.5
0
0.7
b) ¼
1
e) 0.5
0.5
0
h) 0.1
0.9
0.2
¾
0
0.3
0.5
0
c) ¼
0
0.2
0
0
f) 1
0
0
0.8 0.1
0
0.1
0.2 0.6
k) 0 0.5
0.2 0
0.8 0
0 0.5
0.5
0
0
0.5
¾
1
0
-1
0
0
0
-1
i) 1
0
0.21 0.79
0.17 0.35
0
0.8
0.2
0
l) 0
1
0
0
0
0
1
1
¼
0
0
0
0
0
0.48
¾
0
0
0
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Lic. Marcelo Grispino
Ing. Paula A. Zanetti
Lic. Gabriel Grispino
m) 1
0
0
½
0
½
½
0
0
½
½
0
0
0
0
½
n)
1
0
0
1
ñ) 0
1
1
0
Ejerc. 4): Supóngase que la probabilidad de que llueva mañana es 0.7 si está lloviendo hoy, y
que la probabilidad de tener un día despejado mañana es 0.9 si está despejado hoy.
a) Determinar la matriz de transición en un paso de la cadena de Markov.
b) Hallar las probabilidades de estado estacionario.
Ejerc. 5): El fabricante del dentífrico B controla actualmente 60 % del mercado de una ciudad.
Datos del año anterior muestran que 88 % de consumidores de B continúan usándolo, mientras
que el 12 % cambian a otras marcas. Además 85 % de los usuarios de la competencia
permanecieron leales, mientras que el 15 % restante cambio a B. Considerando que estas
tendencias continúan, determinar la parte del mercado que corresponde a B:
a) en cinco años
b) a largo plazo
Suponga que el dentífrico B controla el 90 % del mercado.
c) conteste nuevamente a y b.
Ejerc. 6): Un cuerpo de gendarmes tiene a su cargo un fuerte cuadrado provisto de un puesto de
guardia en cada esquina. Se ha dado orden a los centinelas de hacer la ronda del siguiente
modo:
- vigilar 5 minutos en uno de los cuatro puestos designado a último momento,
- después tirar una moneda:
 si sale cruz ir al primer puesto de guardia que esté a su izquierda,
 si sale cara ir al primer puesto de guardia que esté a su derecha.
-
vigilar 5 minutos y repetir el proceso.
a) confeccione el diagrama y la matriz de transición de la cadena de Markov
correspondiente a los movimientos de un centinela,
b) Indique si la cadena es ergódica y en caso afirmativo, si es regular ó periódica.
Justifique.
c) Qué porcentaje de tiempo, en promedio, pasará el centinela en cada puesto de guardia?
d) Cuánto tiempo, en promedio, estará de guardia un centinela que comienza su turno en el
puesto 4 y lo termina al llegar al puesto 2?
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Ejerc. 7): Un ladrón está en una prisión que tiene tres puertas. Una puerta conduce a la libertad,
mientras que las otras dos conducen a túneles que regresan a la celda. El viaje a través de un
túnel dura tres días y a través del otro un día. Suponga que cada mañana a las ocho el ladrón
decide cuál puerta abre para escapar. El tiene pésima memoria y no puede recordar cuál fue la
puerta que abrió la última vez, de modo que la probabilidad de escoger cada puerta es 1/3.
a) Encuentre la matriz de transición.
b) Calcule el tiempo promedio que el ladrón permanecerá en la celda.