UN ACERCAMIENTO AL CAMPO CONCEPTUAL MULTIPLICATIVO

UN ACERCAMIENTO AL CAMPO CONCEPTUAL MULTIPLICATIVO EN NIÑOS DE QUINTO
GRADO DEL CENTRO EDUCATIVO FE Y ALEGRÍA PATIO BONITO
Autor:
CASTRO MIGUEZ LUIS ALEXANDER
E-mail:
juancamca@yahoo.es
Alexander@saberesyescuela.com
País:
COLOMBIA
Centro Educativo:
FE Y ALEGRÍA PALERMO SUR
LICENCIADO EN MATEMÁTICAS de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
Coordinador Pedagógico, además ha sido docente de grados cuartos y quintos en esta
institución.
Ha participado en encuentros pedagógicos y académicos en la modalidad de
asistente y ponente. Actualmente pertenece al programa de maestría en DOCENCIA DE LAS
MATEMÁTICAS de la Universidad Pedagógica Nacional.
RESUMEN
Este trabajo se realizó con estudiantes de quinto grado en una de las instituciones de Fe y
Alegría, con
la intención de diseñar y aplicar una serie de actividades que permitan a los
estudiantes movilizarse por las diferentes categorías que Vergnaud hace de las situaciones que
constituyen el campo conceptual multiplicativo1.
Para el desarrollo de algunas de estas
actividades, se diseñaron algunas herramientas en Word fig.1 baldosas <baldosas.jpg>, sin
embargo su aplicación no pudo realizarse ya que en la institución no se contaba con las
instalaciones apropiadas para la ejecución del mismo, por lo tanto se construyeron algunos
materiales en concreto fig. 2 tabla <tabla.jpg>, fig. 3 casa <casa.jpg>, fig. 4 casa 1 <casa1.jpg>,
para propiciar espacios de trabajo un poco diferentes y atractivos.
Las categorías que se trabajarán del campo conceptual multiplicativo son “Isomorfismo de medidas” y “Producto
de medidas”.
1
NOTA:
A lo largo del documento no aparece explicito el uso computador como herramienta, ya que
desde un principio no se contó con una sala de informática disponible, en la cual se
implementara el proyecto, sin embargo desde el trabajo que se realizó se empleó otro TIPO DE
TECNOLOGÍAS que permitieron el diseño de nuevos ambientes pedagógicos y de esta manera
potenciar en los estudiantes el intercambio que pueden tener con esa nueva sociedad de las
informaciones y comunicaciones.
CONTENIDO
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo muestra el análisis y resultados de la aplicación de una secuencia de
actividades diseñadas con el objetivo de lograr que un grupo de estudiantes de quinto grado
(502) del Centro Educativo Fe y Alegría sede Patio Bonito, solucionara problemas de tipo
multiplicativo de las distintas categorías que Vergnaud hace de las situaciones que constituyen
el Campo Conceptual Multiplicativo (CCM).
Para el desarrollo de las actividades, se trabaja en el aula bajo el enfoque de Resolución de
Problemas desde Charnay2. En primera instancia se diseña y aplica una prueba diagnóstico,
según las categorías que Vergnaud hace de las situaciones que constituyen el CCM, esto con el
fin de hacer una categorización de los procedimientos realizados por los estudiantes. Partiendo
de los conocimientos previos de los estudiantes, vistos en los procedimientos realizados por
ellos para la solución de la prueba, se logró ubicar la problemática a trabajar, y a partir de ésta,
se diseñaron y aplicaron una serie de actividades.
METODOLOGÍA
La metodología empleada durante este proyecto fue la investigación de aula realizada por
profesores.
Ésta es una acción disciplinada por la búsqueda, un intento personal de
comprender, mientras se está comprometido en un proceso de mejora y reforma (Kemmis,
1983).
Durante la ejecución de este proyecto se tuvieron en cuenta algunos principios tales como:
2
Esto implica que el estudiante conjeture, comunique sus resultados ya sea de forma oral o escrita, reflexione acerca
de las estrategias de solución para un problema, valide sus procedimientos y los de sus compañeros. (MESCUD,
2002)

La función principal del profesor es la de enseñar y ningún método de investigación debe
inferir o interrumpir la tarea de enseñar; por el contrario con la investigación de aula el profesor
debe estar preocupado por mejorar su enseñanza y la experiencia de aprendizaje de sus
estudiantes.

El método para la recopilación de datos no debe ocupar al profesor un tiempo excesivo.

La metodología empleada debe permitir a los profesores formular las hipótesis con
seguridad y desarrollar estrategias aplicables a la situación de sus aulas.

El objeto de la investigación emprendida por el profesor debe ser un problema atractivo para
él.
Teniendo en cuenta lo anterior y la experiencia adquirida como profesor, se llevaron a cabo las
siguientes acciones metodológicas:
1. Revisión bibliográfica,
2. Diseño y aplicación de la prueba diagnóstico; estadística de resultados y análisis de los
mismos.
3. Diseño de actividades después del análisis de resultados, según las necesidades
encontradas.
4. Aplicación de las actividades y análisis de resultados.
5. Revisión del rumbo del proyecto en un punto del mismo.
6. Continuación en la aplicación de actividades.
7. Análisis de resultados.
Teniendo en cuenta el segundo principio que sugiere Kemmis, en cada una de las sesiones de
trabajo se llevó un registro escrito “diario de campo” y en algunas de video, en el cual se
relacionarán todos los aspectos relevantes que se dan en cada una de las experiencias, junto
con las preguntas que se realicen y obviamente, la respuesta a éstas, ya que el diario de
campo, es un instrumento útil, que propicia el desarrollo de los niveles descriptivos, analíticos,
explicativos y valorativos del proceso de investigación de la realidad escolar.
MARCO TEÓRICO
Para organizar la clase hay que tener en cuenta muchos elementos, a saber: toda situación
de enseñanza puede verse a través de la relación entre tres polos que son maestro,
estudiante y saber. Dicha relación puede analizarse siguiendo la distribución del papel que
cada uno cumple en una clase (el proyecto de cada uno, las reglas de juego, qué se permite,
qué se espera,)
En el diseño de clase, el docente debe decidirse por una estrategia de aprendizaje que esté
influida por su punto de vista acerca de la disciplina enseñada y de los estudiantes, los
objetivos generales de la enseñanza y los específicos de la matemática, el PEI3 y la demanda
social. Según lo anterior y teniendo en cuenta las relaciones entre los papeles que
desempeñan profesor, estudiantes y saber en las formas de enseñanza como criterio de
clasificación, esas formas pueden clasificarse en tres clases o modelos: Normativo “centro: los
contenidos”; Iniciativo “centro: el estudiante”; Apropiativo “centro: construcción del saber por el
estudiante”.4
Dado que el interés del presente trabajo es que se de la construcción del saber por el
estudiante, se ha tomado el modelo apropiativo; aquí, el profesor plantea situaciones basado
en las dificultades y obstáculos de aprendizaje; el estudiante ensaya, busca soluciones y las
comunica argumentadamente a sus compañeros; el error constituye un punto de partida para
proponer nuevas situaciones que den evidencia al estudiante acerca de otras maneras de
concebir distintas a la suya.
Cada uno de estos modelos, entiende por problema algo distinto y así mismo le da un uso
distinto. Se podría considerar que el primer modelo es una sancionador de conocimiento, que el
segundo discrimina agentes que hacen parte del proceso de enseñanza y aprendizaje, de ahí
que optemos por acogernos al modelo de enseñanza apropiativo, ya que es el estudiante quien
se convierte en agente activo dentro del proceso de enseñanza y aprendizaje, además, se da
un uso distinto a la metodología de resolución de problemas, la cual se describirá más adelante.
Un problema debe ser generador de nuevo conocimiento y no hay conocimiento sin una
pregunta. Separando las participaciones que tienen en una clase profesores y estudiantes
desde el modelo de enseñanza considerado tenemos que el uso que se da a la resolución de
problemas es el siguiente:
Para el profesor:
3
4
Proyecto Educativo Institucional del plantel.
MEN. (1999). Matemáticas, Lineamientos curriculares. Bogotá.

Buscar los enunciados y situaciones a partir de las cuales se pueda trabajar lo que se ha
pensado por medio de un problema que se deriva de la situación planteada.

Introducir y privilegiar nuevos modelos de representación, contribuir con la búsqueda de
contradicciones y ambigüedades en los razonamientos y propuestas de solución al

De
manera
expresa,
hacer
aparecer
en
el
aula
conocimientos,
reflexiones,
argumentaciones... que provienen de alguna(s) actividad(es) previa(s) desplegada(s) por los
estudiantes sobre un enunciado que propone una situación que cuestiona un conocimiento
previo de los estudiantes.

Finalmente, el profesor debe responsabilizarse por el proceso de institucionalización de los
conocimientos disciplinares logrados, de los diferentes métodos de solución presentados y
de las soluciones mostradas a través de las restantes fases.
Para el estudiante:

Participar en la actividad que le propone mediante un enunciado, un reto intelectual

Participar en la actividad de formulación (expresión ordenada de la manera y los recursos
usados en la solución del enunciado, así como las preguntas que procuran obtener mayor
comprensión del procedimiento y de los conocimientos usados por el estudiante que expone
su solución).

Participar en la actividad de argumentación (sostener mediante criterios racionales que
sustenten, frente a las preguntas de los compañeros, por qué es buena su solución, y qué
justifica sus maneras de proceder).

Participar en la actividad de validación (someter a juicio comparativo por qué su solución
debe mantenerse a pesar de otras soluciones posibles).
Participar en esta serie de actividades, es para el estudiante una manera de mantener control y
responsabilidad sobre su propio conocimiento, teniendo siempre como regulador y potenciador
de sus construcciones, las construcciones de los otros. De esta manera, se llevarán a cabo las
clases durante la puesta en marcha del trabajo planeado.
1. Se presenta una actividad, que permita dar cuenta del estado actual de los estudiantes con
respecto al tema que se va a trabajar, y a la vez sirva de pretexto para crear una situación
tanto de reconceptualización del conocimiento circulante, como de construcción de nuevo
conocimiento.
2. La actividad se desarrolla individualmente y se entrega al profesor para su análisis.
3. Se conforman grupos de trabajo que deben preparar uno de los puntos de la actividad para
su exposición en el aula. Estos grupos, debido a la cantidad de estudiantes, serán máximo
de cinco y mínimo de cuatro. Por ningún motivo debe haber estudiantes trabajando solos.
4. Cada grupo elige dos de sus integrantes para que dirijan la exposición; esto no quiere decir
que solamente ellos sean quienes expongan, pues, el resto del grupo puede apoyarlos ya
sea para complementar la exposición o para responder algunas de las preguntas que haga
el grupo R –personas del curso que no están exponiendo-. Se sugiere a cada uno de los
grupos que registren en lo posible todas las inquietudes, acuerdos y desacuerdos,
discusiones y consensos, dificultades, etc.; para que posteriormente las comenten a sus
compañeros.
5. Cada grupo preparará el punto que le correspondió para la exposición ante el curso.
6. Comienzan las exposiciones de los grupos. El grupo expositor, grupo E, presenta ante los
demás del curso, grupo R, la propuesta de solución que han preparado, haciendo uso de los
recursos que crea pertinentes (Carteleras, material concreto, etc.).
7. Se discuten las condiciones de las intervenciones de los estudiantes y se llega a un acuerdo
con todo el grupo. Entre éstas tenemos:

El grupo E hace su exposición intentando explicitar los términos que intervengan en
ella.

El grupo R sigue la exposición sin intervenir, y las preguntas que surjan se harán al
finalizar la exposición; éstas no deben ser opiniones personales, ni deben ser juicios
de valor. Los profesores estarán atentos a tales situaciones y pedir, en tal caso, se
elabore la pregunta correspondiente a cada intervención.

Los profesores se convertirán en unos integrantes más del grupo R, y deben intervenir
con las preguntas que crean convenientes para lograr que el grupo E elabore lo
necesario para el desempeño adecuado de su labor.

Los profesores deben estar atentos a la participación del grupo R, y propiciar la
pregunta.
8. El grupo E responde una a una las preguntas que se formulan. Cuando alguna de las
preguntas no es muy clara se le da la posibilidad a otro integrante del grupo R para que
reformule la pregunta.
9. Al finalizar se evalúa el trabajo realizado, tanto por el grupo E como por el R.
10. En este momento puede iniciar otro grupo, y se aplica la misma metodología.
11. Cada grupo puede continuar su exposición en la medida que se vaya preparando para ello.
SECUENCIA DE ACTIVIDADES
Las actividades se encuentran en el orden que se presentan a partir de los resultados
encontrados en la prueba diagnóstico; el objetivo de este orden es llegar a enfrentar situaciones
multiplicativas en las que la multiplicación tiene una interpretación diferente a la suma reiterada.
<Ver archivo actividades.zip>
ACTIVIDAD N°1 “De paseo al centro vacacional” (prueba diagnóstico)
El diseño de la prueba diagnóstico obedece al deseo de poder observar el estado en que se
encuentran los niños al momento de solucionar problemas de tipo multiplicativo, donde los
problemas tienen distintas estructuras desde la categorización que Vergnaud hace de las
situaciones que constituyen el campo conceptual multiplicativo, es decir, hay problemas de
multiplicación, regla de tres, división partitiva, división cuotitiva y producto de medidas.
ACTIVIDAD N°2 “Construyendo mi parque preferido”
Para el desarrollo de esta actividad los estudiantes contaron con un material diseñado para ello.
Con esta actividad, se empieza a trabajar la subclase (multiplicación) de la categoría Isomorfismo
de medidas. Se trabaja pensamiento multiplicativo desde un ambiente que involucra concepto de
área y de perímetro.
ACTIVIDAD N°3 “Ampliando mi parque”
Esta actividad está diseñada casi en su totalidad para el trabajo de situaciones correspondiente
a la subclase “regla de tres”. Con esto, se pretende avanzar en las interpretaciones de la
multiplicación luego de los resultados que arrojó la actividad anterior, que se pueden encontrar
en la descripción del desarrollo de la misma.
ACTIVIDAD N°4 “Planeando costos”
Dado que el desempeño de los estudiantes en la actividad anterior no respondió a lo que
esperaba que hicieran, es decir, que abordaran acertadamente los problemas de “regla de tres”,
en la presente actividad se retoman situaciones de regla de tres, de multiplicación y para seguir
avanzando, se plantean dos preguntas de división una partitiva y otra cuotitiva. Así, se tienen en
cuenta los resultados de la actividad anterior, y se va avanzando en los tipos de problemas que
constituyen el CCM.
ACTIVIDAD N°5 “Trotando y calculando”
Esta actividad, presenta situaciones que requieren de la división para la solución de los
problemas que surgen en ellas. Se presentan cuatro preguntas donde dos de ellas, llevan a la
utilización de la división partitiva, una a la división cuotitiva y otra, que retoma la regla de tres.
Esta actividad se presenta en este punto, por las dificultades que manifestaron los estudiantes
en el intento de solucionar la actividad anterior (Planeando costos), pues la gran mayoría no
sugirió la división o algún tipo de representación que indujera a la solución de la situación
planteada.
ACTIVIDAD N°6 “A construir se dijo”
Esta actividad, la última de la secuencia planeada, busca reunir lo trabajado hasta ahora en las
demás actividades, es decir, los distintos tipos de problema del Isomorfismo de medidas y el
producto de medidas. A diferencia de las otras actividades, está ligada a la manipulación de
material manipulable para la construcción de una habitación a escala para realizar dicha
construcción con las medidas correctas, requiere poner en práctica lo aprendido hasta el
momento.
REFLEXIÓN
Al querer generar un cambio en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas escolares, no
hay que buscarlo en un sitio distinto al del quehacer en el aula, puesto que en éste se
encuentran los elementos necesarios (estudiantes, saber, profesor) para iniciar un trabajo que
contribuya en el fortalecimiento del proceso educativo que se vive en cada una de las
instituciones, pero para esto, como se nombra en los Estándares Básicos de Matemáticas
(MEN) se debe tener en cuenta que:
Es importante lograr que la comunidad educativa entienda que las matemáticas son
accesibles y aun agradables, si su enseñanza se realiza mediante una adecuada
orientación que implique una permanente interacción entre el profesor y sus
estudiantes y entre éstos y sus compañeros, de modo que sean capaces a través de
la exploración, abstracción, clasificación, medición y estimación, de llegar a
resultados que les permita comunicarse, hacer interpretaciones y representaciones.
Es decir, descubrir que las matemáticas están íntimamente relacionadas con la
realidad y con las situaciones que los rodean, no solamente en su institución
educativa, sino también en la vida fuera de ella.
Por lo tanto la práctica logró cambiar algunas concepciones personales frente a la manera de
ver la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas escolares, a partir de ésta se generan
algunas preguntas tales como: ¿por qué seguir subestimando la capacidad de los niños para
resolver problemas?, ¿por qué no permitir que ellos sean los gestores de las ideas que hacen
posible cada una las clases?, ¿por qué no empezar a brindarles una serie de actividades que
les permita poner en evidencia todas las capacidades que poseen?, estas y algunas otras
preguntas, permiten confirmar una vez más que el papel del profesor, es acompañar y orientar
todo un proceso en el cual ha de proponer algunas tareas de tipo cognitivo, diseñadas desde
las situaciones que vive el niño con el objeto incitar la búsqueda de estrategias cuando intentan
dar respuesta a un determinado problemas.
En un proceso de enseñanza bajo la resolución de problemas, no hay espacio para el profesor
que tiene la última palabra, que subvalora intentos de solución de algún problema, que no
permite un ambiente de construcción a partir de lo que hay; tampoco para el estudiante que
permanece sentado en una silla durante horas de clase sin hacer parte del proceso que se esta
viviendo, que no propone alternativas de solución a determinado problema, que no cuestiona
las intervenciones de sus compañeros ni tampoco lo cuestionan; por tal motivo unos de los
objetivos que se puede inducir a partir de la metodología empleada, es lograr que aquellos
niños que tiene una actitud pasiva
logren ser participes de la construcción de su propio
conocimiento.
Finalmente se puede afirmar que la experiencia adquirida al llevar a cabo determinada acción
permite asumir con responsabilidad el proceso de enseñanza y aprendizaje si se toma
conscientemente cada uno de estos espacios como pretextos de investigación de las maneras
de proceder de cada uno de los niños en la construcción de su conocimiento. En este papel de
investigador, los descubrimientos de dicha investigación son de vital importancia para tener en
cuenta en posteriores experiencias de enseñanza y deben ser compartidos y puestos a la
discusión y al análisis de los demás interesados en la educación matemática.
BIBLIOGRAFÍA
Grupo Matemáticas Escolares – MESCUD. (2002). Aritmética y resolución de problemas en
la formación de profesores. Bogotá: Grupo Editorial GAIA
JIMÉNEZ, E. MARTÍN, N. (1996). ¿Cuándo un contenido académico tiene significado para
el estudiante? Implicaciones didácticas. En: Enseñanza de las ciencias. 14 (3).
KILPATRICK, Jeremy. RICO, Luis. SIERRA, Modesto. (1994). Educación matemática e
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Revisiones en internet. Buscador Google: “Educación matemática”, “La teoría de los campos
conceptuales”, “Investigación Acción”, “Pensamiento Multiplicativo”.
VERGNAUD, Gérard (1991). El niño, las matemáticas y la realidad: problemas de la
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VERGNAUD, Gérard. (1990). La teoría de los campos conceptuales.
FEDERACION INTERNACIONAL DE FE Y ALEGRIA. (2002). Propuesta de integración de
las TICs a los centros de Fe y Alegría