Una igualdad es una oración matemática que contiene signo de igual

UNIDAD I
1.1 Números Reales
Los números reales se definen de manera axiomática como el conjunto de números que
se encuentran en correspondencia biunívoca con los puntos de una recta infinita: la recta
numérica. El conjunto de los números reales se simboliza con la letra . El nombre de
número real se propuso como antónimo de número imaginario.
Número real
El concepto de número real se originó cuando se constató la existencia de los números
irracionales. Así, el conjunto de los números reales se define como la unión del conjunto de los
números racionales y el conjunto de los irracionales.
Debido a que el conjunto de números reales contiene al conjunto de números racionales, y éste
a su vez contiene a los enteros que a su vez contiene los números naturales, se sugiere que el
conjunto de los números reales contiene también a los números enteros y a los números
naturales. Asimismo, el conjunto de números reales contiene al de los números irracionales.
Por tanto, los números reales pueden ser racionales o irracionales, algebraicos o
trascendentes; y positivos, negativos, o cero.
Puede definirse un número real, en estos términos, como un número positivo o negativo que
puede o no tener cifras de decimal finito o infinito y puede representarse mediante un punto en
la recta de números reales. En este sentido, el teorema fundamental de la geometría analítica
establece que a cada número real le corresponde un punto en la recta de los números reales y
viceversa.
1.2 Intervalos, desigualdades y valor absoluto
Una igualdad es una oración matemática que contiene signo de igual. Por ejemplo:
6 + 4 = 10
x + 6 = 10
Una igualdad que tiene variable ( valor desconocido o incógnita) se llama ecuación. Por
ejemplo:
x + 6 = 10
Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad. Los
signos de desigualdad son:
no es igual
< menor que
> mayor que
menor o igual que
mayor o igual que
Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación. Por ejemplo:
x+3<7
(La punta del signo < siempre señala el menor)
Ej. 3 < 4,
4 >3
Inecuaciones lineales:
Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado de la
inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal. Resolver una inecuación es encontrar
los valores de la incónita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una
inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El
método para resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero
teniendo presente las propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de
una inecuación con una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica
representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no incluye el
extremo, lo representamos mediante un círculo blanco (transparente).
Propiedades de las desigualdades
Teorema1-Propiedad transitiva:
Ejemplo ilustrativo:
Teorema2-Suma:
Ejemplo ilustrativo:
Teorema3-Multiplicación por un número positivo:
Ejemplo ilustrativo:
Teorema4:
Ejemplo ilustrativo:
Los Teoremas 1 a 4 también son válidos si se cambia ">" por "<"
Teorema5:
Teorema6:
"Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad, se cambia el sentido de la
desigualdad".
Teorema7:
Teorema8:
Teorema9:
Teorema10:
Teorema11:
Ejemplo ilusrativo1:
Inecuaciones lineales que comprenden valores absolutos:
Ejemplo:
Resolver la inecuación
4x + 6 > 2x -7
Réstese 2x de cada miembro:
4x -2x + 6 > 2x -2x -7
Réstese 6 de cada miembro:
2x +6 -6 > -7 -6
Finalmente:
x > (-13 ÷ 2)
Por tanto, todo valor de x mayor que -7.5 verifica la inecuación.
Ejemplo:
Resolver la inecuación
Multiplíquese por 15 cada miembro
(6 + x)÷ 3 < (5x - 7)÷ 5
30 + 5x < 15x -21
Réstese 15x de cada miembro:
30 + 5x -15x < 15x -21 -15x
Réstese 30 de cada miembro:
30 -10x -30 < -21 -30
Divídase entre -10 cada miembro
(-10x)÷-10 > (-51)÷-10
Finalmente: x > 5.1
Por tanto, todo valor de x superior a 5.1 satisface la inecuación propuesta
Ejemplo 1:
x+4<7
x<7+-4
Hay que resolver la inecuación
Combinar los términos semejantes.
Encontrar los valores de x.
x<3
Quiere decir, que x es menor que 3. Algunas soluciones son 2, 2.5, 2.7, 1, 0, etc. Todos
los números menores que 3 son soluciones de esta inecuación. Quiere decir que el
conjunto de soluciones de esta inecuación es un conjunto infinito.
Ejemplo 2:
x-9 8
x 9+8
x 17
x es mayor o igual a 17 es la solución.
Ejemplo 3:
3x < 5
Para deshacer la multiplicación de la x por 3,
3x/3 < 12/3
dividimos por 3 en ambos lados de la inecuación
x<4
Entonces, x es menor que 4 es la solución.
Ejemplo 4:
-2x
-6
Para deshacer la multiplicación de x por -2, se
-2x/-2
-6/-2
divide ambos lados de la inecuación por -2.
x
3
Como el número dividido era negativo, se invierte el signo.
Ejemplo 5:
3x - 1
2x + 4
3x + -2x
1+4
x 5
Ejemplo 6:
4x + 9
4x + 9
4x + -6x
-2x/-2
x
Hay que combinar términos semejantes.
Resolver.
6x - 9
6x + - 9
-9 + -9
-18/-2
9
Problemas que involucran igualdades con valor absoluto
1.
x  2 . Solución : x = 2 o x = - 2
2.
x  2 . Solución x = 2 o x= - 2.
3.
x  0 . Solución: x = 0
4.
x  3 . No hay solución posible. No existen valores absolutos negativos.
3x  4  2 . Solución: 3x  4  2 o
2
o x  2.
 x
3
3x  4  2
5.

3x  2 o 3x  6
Problemas que involucran desigualdades con valor absoluto.
6.
x  5 . Esta expresión es equivalente a: -5 < x < 5. O sea que el conjunto solución es el
intervalo abierto
7.
 5,5 .
x  3  6 . Esta expresión o condición es equivalente a  6  x  3  6 . Luego
 6  3  x  6  3  3  x  9 . El conjunto solución es el intervalo cerrado  3,9 .
8.
x  5 . Esta expresión es equivalente a x <- 5 o x > 5. El conjunto solución es la unión de
dos intervalos disjuntos:
 ,5  5,  .
x  3  6 . A diferencia del ejercicio 7 ( x  3  6 ), y tal como se sugiere en el ejercicio 8,
x3  6 
esta expresión es equivalente a: x  3  6 o
 x  3 o x  9 . El conjunto solución, como en el ejercicio 8, es la unión de dos
9.
intervalos disjuntos: (-∞, -3) U (9, ∞ ).
3x  1  2 . Esta expresión es equivalente a: 3x  1  2 o 3x  1  2 
1
 3x  3 o 3x  1  x  1 o x  .
3
1 
El conjunto solución es el conjunto (-∞, -1) U  ,   .
3 
10.
Tenga en cuenta que los ejercicios en los que aparecen los símbolos < o > implican
conjuntos solución con intervalos abiertos tales como (-5, 5) en el ejercicio 6, o (-  , -5) U (5,
 ) en el ejercicio 8 o (-∞, -3) U (9, ∞ ) como en el ejercicio 9.
Los ejercicios con  o  implican conjuntos solución con intervalos cerrados tales como
 3,9 en el ejercicio 7, o semi-cerrados
como (-∞, -1) U
1 
 3 ,   como en el ejercicio 10.


Nota: Infinito, denotado por  , o menos infinito denotado por -  , no es un número si no un
concepto, por ello los intervalos siempre estarán abiertos en  y -  .
11.
x  3 o 3x  2  4 ,etc. , no tienen solución o su solución es el conjunto vacío (Ø)
ya que el valor absoluto de toda expresión es siempre no – negativo (no puede ser negativo).
ACTIVIDAD 1
A. Verificar si el número dado hace cierta o falsa la ecuación
1. x > 3 ; 5
2. x + 7 2 ; -8
3. 2x + 3 7x + 1 ; 2
4. 3x - 2
x+7 ;1
5. 6x 18 ; 3
B. Resuelva
1.
x+7>9
2. 2x + 3 x + 6
3. -6x + 7 x + 9
4. -6x
-72
5. 1/3x - 9 > 2/3 x + 6
6. -6x + 9 < -2x + 8
7. -2x + 8 12
Soluciones:
A.
1. Esto hace cierta la ecuación
2 Esto no hace cierta la ecuación
3. Esto no hace cierta la ecuación
4. Esto hace cierta la ecuación
5. Esto no hace cierta la ecuación.
B.
1. x > 2
2. x 3
3. x
- 2/7
4. x
12
5. x < -45
6. x > ¼
7. x -2
C. Resuelva las siguientes desigualdades :
1) │3x + 2│ > 14
2) │ 4 − 3x│ ≤ 13
3) 1+ │ 1/7x+ 1│ ≤ 1
4) − 2 │3x − 4│ < 16
Soluciones:
1) (- ∞ ,− 16 /3) U(4,∞)
2) [-3, 17/3]
3) [-7, -7]
4) ( -∞, ∞)
1.3 FUNCIONES Y SUS GRAFICAS
Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas, sin embargo algunas de las expresiones
que mas nos interesa dentro del cálculo son las funciones.
Una función es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos entre si;
generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una
regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también
dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no permite
relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio.
Figura 1. Definición de función que se ampara bajo una regla de asociación de elementos del
dominio con elementos del codominio, imponiendo la restricción de relacionar un elemento del
dominio con uno del codominio, sin importar si los elementos del codominio puedan estar
relacionados con dos o mas del codominio.
Donde se dice que f : A  B (f es una función de A en B, o f es una función que toma
elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado codominio B)
Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del
dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente
cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las
X´s y que nos generan una asociación en el eje de las Y´s.
El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o rango de
la función, en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede
tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función o
valores en el eje de las Y´s.
También, cuando se grafica en el plano cartesiano se tiene una relación de dos variables,
considerando como variable aquella literal que esta sujeta a los valores que puede tomar la
otra.
VARIABLES DEPENDIENTES.
Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras
variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a los
valores que se le subministre a x.
VARIABLE INDEPENDIENTE.
Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la
variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x.
VARIABLE CONSTANTE.
Es aquella que no esta en función de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor ejemplo:
Y=2, la constante gravitacional, entre otras.
Se debe de tener especial cuidado en distinguir entre ecuación y
función; este es un error que muy frecuentemente los estudiantes
llegan a cometer, y que puede repercutir cuando se hace uso del
cálculo diferencial e integral. (9.8 MB)
Ejemplos de funciones y de ecuaciones :
La siguiente gráfica define una función, línea recta con pendiente (m = 1) que pasa por el
origen, la cual es función debido a no existe un elemento del dominio que relaciones dos
elementos del codominio. El dominio es (-, ) o lo que equivale a decir que el dominio toma
todos los valores sobre la línea recta. El rango de la función o codominio es también el mismo,
ya que toma todos los valores en el eje de las Y´s (-, ).
La expresión mediante la cual puede representarse esta ecuación es la siguiente:
Y(x)= x (otra forma de expresar este resultado también es la expresión f(x)=x)
Gráfica
Esta ecuación no tiene asociado dos elementos del codominio con uno del dominio, sin
embargo la definición de función no impone ninguna restricción al respecto.
Podemos analizar que en este caso el domino es (-, ). Sin embargo, sabemos que el hecho
de que la función sea f(x)=x2 conduce a que solo el recorrido de la función mande a valores
positivos, y por tanto el rango de la función es [0, )
La siguiente ecuación no es función y2 = x
Su gráfico es el siguiente:
Como es fácil identificar los elementos del dominio (x>0) tienen asociados dos elementos del
codominio y por tanto no es función.
Funciones pares e impares
Se dice que una función es par si f(x) = f(-x), en el caso de que f(x) = -f(-x) se
dice que la función es impar.
Ejemplos 1:
La función y(x)=x es impar ya que:
f(-x) = -x
pero como f(x) = x entonces:
f(-x) = - f(x).
Ejemplo 2:
Otra función impar es y = 1/x
Cuando f(x) = -f(-x)
Ejemplo 3:
La función f(x)=x2 es par ya que f(-x) = (-x)2 =x2
Una función consiste en dos conjuntos, dominio y rango, y una regla que asigna a cada
miembro del dominio exactamente un miembro del rango. A cada miembro del rango
debe serle asignado por lo menos un miembro del dominio. Si la relación entre dos
variables x y y es una en la que para cada valor de y hay exactamente un valor de x, se
dice que y es una función de x.
Ejemplo:
y = 7x + 1
y = 7(2) + 1 = 15
y = 7(4) + 1 = 29
y = 7(6) + 1 = 43
El dominio D es {2, 4, 6} y el rango R es {15, 29, 43}.
La Gráfica de una Función
Para hacer la gráfica de una función como f(x) = x + 2, lo hacemos igual que si
hiciéramos la gráfica de una ecuación
y = x + 2. Buscamos los pares ordenados (x, f(x)), se localizan los puntos en la
recta numérica y se conectan.
Por ejemplo:
f(x) = x + 2
ACTIVIDAD 2
RELACIÓN EJERCICIOS DE FUNCIONES
1.
Dada la función f (x)  x2  x  2 , hallar: f(-3), f(a-5) y f(f(-1)).
Solución: 10, 2a2 -11a +28, -2
2.
Dada la función f(x) = x2 -7x +7, se pide:


2 1
a)
Imagen de
b)
Antiimagen de 1
Solución: 5 2  3 , {1,6}
3.
4.
En la función afín f(x) = 3x – 1 se pide:
a)
Calcular las imágenes por f de 3,2 ; -1,5; 5/3;
b)
Representa gráficamente la función f.
f es una función afín en la que la imagen de x es 0,75 x + 2. Calcula f(0,4);
f(4/3); f(-3); f( 4 3 )
5.
5
3
Sol: 2,3; 3; -0,25; 3 3  2
Representa gráficamente la recta r de ecuación y = 3x – 5
6 Determina el dominio de las siguientes funciones
4
a. f ( x) 
x
3
b. f ( x) 
x
1
c. f ( x) 
x2
500
d. f ( x) 
x
1
e. f ( x)  2 
x
1
f. f ( x ) 
x 1
22.
Asocia cada función con su gráfica:
a) y = -x + 5;b) y = 3/2x + 3;
c) y = 1/2x; d) y = 2x2;
f) y = - x2 + 1;
d) y = -3/2
1.
g) y = -2/x;
2.
3.
4.
5.
7.
8.
6.
e) y = x2 + 2
Álgebra de funciones
El desarrollo de las funciones nos lleva a generar una serie de reglas que permiten tomar
decisiones acerca de los dominios y codominios, entre otros, esta combinación de
operaciones algebraicas de las funciones:
Sean f y g dos funciones, definimos las siguientes operaciones:
Suma:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
Diferencia:
(f - g)(x) = f(x) - g(x)
Producto:
(fg)(x) = f(x)g(x)
Cociente:
(f/g)(x) = f(x)/g(x)
Los resultados de las operaciones entre funciones f,g nos conduce a analizar
el dominio de las funciones, así para f + g, f - g y fg el dominio es la
intersección del dominio de f con el dominio de g. En el caso del cociente
entre funciones el dominio de f / g es la intersección del dominio de f con el
dominio de g, para los que g(x) = 0.
Ejemplos: Tomemos las siguientes funciones:
f(x)= x2
g(x)= x
Las operaciones estarían definidas
Suma
(f+g)(x) = x2 + x
(f-g)(x) = x2 - x
Diferencia
Producto
(f g)(x) = (x2) (x) = x3
Cociente
(f/g)(x) = x2 / x = x para x0
Nótese que en el caso de cociente el caso de x0, en este caso no existe este
valor debido a las raíces de la función g(x)
COMPOSICION DE FUNCIONES
Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las
funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f)(x) = g[
f(x)] .
La función (g o f)(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».
R
f
-- 
R
g
-- 
R
x  f(x)  g.[f(x)]
Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).
Cálculo de la imagen de un elemento
mediante una función compuesta
Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos
pasos:
1. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x).
2. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al
resultado obtenido anteriormente.
Ejercicio: composición de funciones
Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x ².
Calcular g o f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3.
Resolución:
- (g o f)(x) = g.[f(x)] = g.[(x + 3)] = (x + 3) ²
R
f
-- 
R
g
-- 
R
x  f(x) = x + 3  g.[f(x)] = g.(x + 3) = (x + 3) ²
- La imagen de dos números 1, 0, -3, mediante la función g o f es:
(g o f)(1) = g.[f(1)] = g.(1 + 3) = g.(4) = 4 ² = 16
(g o f)(0) = g.[f(0)] = g.(0 + 3) = g.(3) = 3 ² = 9
(g o f)(-3) = g.[f(-3)] = g.(-3 + 3) = g.(0) = 0 ² = 0
Dadas las funciones f(x) = x ² + 1, y g(x) = 3x - 2, calcular:
a) (g o f) (x)
b) (f o g) (x)
c) (g o f) (1) y (f o g) (-1)
d) El original de 49 para la función g o f.
Resolución:
a) La función g o f está definida por:
R
f
-- 
R
g
-- 
R
x  f(x) = x ² + 1  g.[f(x)] = g.(x ² + 1) = 3.(x ² + 1) - 2 = 3.x ² + 3 - 2 = 3.x ² + 1
b) La función f o g está definida por:
R
g
-- 
R
f
-- 
R
x  g(x) = 3.x - 2  f.[g(x)] = (3.x - 2) ² + 1 = 9.x ² + 4 - 12.x + 1 = 9.x ² - 12.x + 5
Obsérvese que g o f ≠ f o g.
c) Aplicando los resultados de los apartados anteriores:
(g o f)(1) = 9.1 ² - 12.1 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2
(g o f)(-1) = 9.(-1) ² - 12.(-1) + 5 = 9 + 12 + 5 = 26
d) El original de 49 para la función g o f será un número x, tal que (g o f)(x) = 49.
(g o f) (x) = 3 x ² + 1 = 49. Basta con resolver esta ecuación.
3.x ² + 1 = 49  x ² = 16  x = ±4
ACTIVIDAD 3
OPERACIONES CON FUNCIONES
I) Para f(x) = 3x2 + 5x + 2 ; y g(x) = x2 + x, obtener:
a) ( f + g ) ( x ) =
b) ( f – g ) ( x ) =
c) ( f * g ) ( x ) =
f ( x)
d)
=
g ( x)
e) ( f  g ) =
x
II) Para f ( x ) 
; y g ( x)  1  x 2 , encuentre:
x 1
a) ( f + g )(x) =
g
b)  x  =
f
c)  fg x  =
d)  f  g x  =
1) Sea f(x) = x2 y g(x) = x - 1. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las
funciones f y g. Señala el dominio para cada una de ellas.
2) Sea:
Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones. Indica cuál es el
dominio para cada una de ellas.
Ejercicio de práctica: Sea f(x) = 3x y g(x) = x + 2. Halla la suma, resta, multiplicación
y cociente de las funciones. ¿Cuál es el dominio en cada una de ellas?
Ejemplos para discusión: Halla f(g(x)) y g(f(x)) para cada par de funciones y su
dominio.
1.4 Límites y continuidad
LÍMITES
El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo
infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el
valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número
determinado o al infinito.
Definición de límite
Antes de establecer la definición formal del límite de una función en general vamos
a observar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente
tiende (se aproxima) a un valor determinado.
Ejemplo:
En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el
entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función f (x):
x
f (x)
Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la
derecha, tomando valores menores o mayores que 2, f (x) se
1.9
2.61
aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más cerca está x
1.99
2.9601
de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor
1.999
2.996001
absoluto entre x y 2 es más pequeña asimismo la diferencia, en
1.9999
2.99960001
valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cada vez más pequeña.
2.0001
3.00040001
(Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha).
2.001
3.004001
Osea, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando la
2.01
3.0401
variable independiente se aproxima también a un valor
2.1
3.41
constante.
|x  2|
| f (x)  3|
|1.9-2| = 0.1
|1.99-2| = 0.01
|1.999-2| = 0.001
|1.9999-2| = 0.0001
|2.0001-2| = 0.0001
|2.001-2| = 0.001
|2.01-2| = 0.01
|2.1-2| = 0.1
|2.61-3| = 0.39
|2.9601-3| = 0.0399
|2.996001-3| = 0.003999
|2.99960001-3| = 0.00039999
|3.00040001-3| = 0.00040001
|3.004001-3| = 0.004001
|3.0401-3| = 0.0401
|3.41-3| = 0.41
De lo anterior se deduce intuitivamente que el límite de la función f (x) cuando x tiende
a 2, es 3.
Ahora, pasamos a dar la definición formal de límite:
Definición épsilon-delta
Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a. El límite de f
(x) cuando x tiende a a es L, y se escribe
Nota: no es necesario que f este definida en a para que el límite exista.
Ejercicios resueltos (aplicando la definición epsilón-delta)
En los ejercicios 1 a 4, demuestre que el límite es el número indicado aplicando la
definición Epsilón-delta:
Leithold
Ejercicios 2.1
Soluciones
1. Solución:
2. Solución:
3. Solución:
4. Solución:
Teoremas de límites
Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a
la definición Epsilón-Delta se establecen los siguientes teoremas.
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.
Nota: los teoremas se presentan sin demostración, pero quien quiera verla puede hacer clic en el vínculo
correspondiente.
Teorema de límite1:
Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces
Teorema de límite2:
Para cualquier número dado a,
Teorema de límite3:
Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces
Teorema de límite4:
Teorema de límite5:
Teorema de límite6:
Si f es un polinomio y a es un número real, entonces
Teorema de límite7:
Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces
Teorema de límite8:
Procedimiento para calcular límites
Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el límite se calcula
directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier
polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4 implican funciones polinómicas es indistinto que nos
refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando
calculamos el límite de una función polinómica. Lo mismo, la propiedad 7 se aplica a una
función racional y la propiedad 4 (III) también.
Cuando al sustituir la a por x en la función nos da la forma indeterminada 0/0 es posible
calcular el límite pero, previamente, hay que transformar la fórmula de la función de tal modo
que, una vez hecha la simplificación pertinente, se pueda evitar la división por cero: para
lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorización, la
conjugada, etc.
Ejercicios resueltos
Evalué los siguientes límites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en
cada paso:
Soluciones
1. Solución
2. Solución:
3. Solución:
4. Solución:
5. Solución:
6. Solución:
No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada
0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión, se obtiene fácilmente el
límite aplicando el TL1:
7. Solución:
No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada
0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión se obtiene fácilmente el
límite aplicando el TL7 o el TL4(III):
8. Solución:
Si pretendiéramos aplicar el límite directamente a partir del TL7, nos daría la forma
indeterminada 0/0;
por lo que, se debe factoriazar y luego simplificar la expresión antes de poder hacer uso
del TL6:
9. Solución:
No se puede aplicar el límite directamente, daría la forma indeterminada 0/0; no
obstante, luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la
conjugada de la expresión en el numerador y luego reduciendo y simplificando, se
puede aplicar el TL para hallar el límite:
10. Solución:
Luego de la transformación de la expresión se aplican los TL7 y TL8:
11. Solución:
El límite no se puede aplicar directamente, resultaría la forma indeterminada 0/0; no
obstante, una vez factorizando y simplificando, la expresión queda expedita para hallar
el límite mediante los TL7 y TL6:
12. Solución:
ACTIVIDAD 4
1.- Resolver el limite:
Respuesta : 1
2.- Resolver el limite
Respuesta: 8/3
3.- Resolver el siguiente limite:
4.- Encontrar el
5.
Respuesta: 2
Respuesta: ½
Soluciones
Resuelve
1)
2)
3)