1.8. ESTIMACIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA Tamaño de muestra para estimar una media. N conocida n N no se conoce N * z * N 1 * E 2 z 2 * 2 2 2 n z 2 * 2 E2 Tamaño de muestra para estimar proporción poblacional. N conocida n N * z * P * 1 P N 1 * E 2 z 2 * P * 1 p 2 N no se conoce n z 2 * P * 1 P E2 donde: : Es la desviación estándar poblacional. Si no se conoce se puede tomar de estudios anteriores o bien estimar con la desviación estándar de una muestra piloto. z:. Es un valor que depende del nivel de confianza. Lo usual es un nivel de confianza del 95, con lo cual z = 1.96 (Si es de 90. z = 1.645) P: Es la proporción poblacional que obviamente no se conoce. Lo que se puede hacer entonces es considerar algún valor de algún estudio anterior, tomar una muestra piloto y de ahí tomar el valor de P o bien ponerse en el peor de los casos y considerar P = 0,5 E: Es el error máximo de estimación que se está dispuesto aceptar (por ejemplo en el caso de proporciones: 0,05; 0,04; 0,03;.....) Ejemplo 1. Consideremos el estudio que se quiere realizar para estimar el porcentaje o proporción de alumnos fumadores en la Universidad. Supongamos que la población tiene 4.000 alumnos, que el nivel de confianza con el que se quiere trabajar es del 95% y el error máximo de estimación es de 5% (0,05). Solución. El tamaño de muestra es: 47 n 4.000 *1,96 2 * 0,5 * 0,5 3.841,6 350,58 351 2 2 4.000 1 * 0,05 1,96 * 0,5 * 0,5 10.9579 Ejemplo 2. Se desea estimar el peso promedio de todos los empleados de una empresa. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra si se desea tener una confianza del 95% y si desea tener un error máximo de estimación de 3 unidades. En una muestra piloto se ha obtenido una varianza de 60. Solución. El tamaño de muestra es: n 1,96 2 60 25,6 26 32 TAREA. ESTIMACIÓN DEL TAMAÑO DE MUESTRA 1. En Cost Engineering (octubre de 1988) se informa de un estudio sobre el porcentaje de diferencia entre la licitación baja y la estimación que hace el ingeniero del costo de los contratos de construcción. En el caso de contratos con cuatro licitadores, el porcentaje medio de error es µ=7.02 y la desviación estándar es = 24.66. Suponga que desea estimar el porcentaje de error medio para contratos de construcción con cinco licitadores. ¿Cuántos contratos de cinco licitadores deberá muestrear para estimar la media con una confianza de 90% y una exactitud de 5 puntos porcentuales respecto de su valor verdadero? Suponga que la desviación estándar para contratos de cinco licitadores es aproximadamente igual a la desviación estándar para contratos de cuatro licitadores. R. 66 2. El gobierno federal de Estados Unidos obliga a los estados a certificar que están haciendo cumplir el ,límite de velocidad de 55 millas por hora y que los conductores de vehículos de motor están circulando a esa velocidad. Un estado se arriesga a perder millones de dólares en fondos federales para carreteras si más 60% de los vehículos que circulan en las autopistas en las que el límite de velocidad es de 55 millas por hora están excediendo ese límite. La patrulla de caminos estatal realiza 70 reconocimientos al año en 50 sitios a fin de estimar la proporción p de los vehículos que exceden las 55 millas por hora . En cada reconocimiento de muestra intervienen por lo menos 400 vehículos. 48 a) Qué tamaño de muestra se escogería en un punto en particular si se desea estimar p con una exactituud de 3% y una confianza de 90%? El año anterior aproximadamente 60% de los vehículos las 55 millas por hora. b). La patrulla de caminos también estima µ ,la velocidad media de los vehículos que circulan en autopistas estatales. Por tanto, desea saber si el tamaño de muestra determinado en el inciso a es suficiente para estimar también µ con una exactitud de 0.25 millas por hora y una confianza de 90%. Suponga que la desviación estándar de las velocidades de los vehículos es de aproximadamente 2 millas por hora. ¿Cuál deberá ser el tamaño de la muestra que se tome en un sitio particular para estimar µ con la confiabilidad deseada? R. a) 722 , b) 174 3.Una agencia de protección de consumidores quiere comparar el trabajo de dos contratistas eléctricos a fin de evaluar sus antecedentes de seguridad. La agencia planea inspeccionar residencias en las que alguno de estos dos contratistas ha instalado el cableado a fin de estimar la diferencia en las proporciones de residencias que son deficientes desde el punto de vista eléctrico. Suponga que se espera que las proporciones de trabajos deficientes sean de alrededor de .10 para ambos contratistas.¿ Cuántos hogares se deberán inspeccionar si se desea estimar la diferencia en las proporciones con exactitud de .05 y una confianza de 90 por ciento? R. n1=n2= 195 49