FI-UBA FISICA 1 6201 www.fi.uba.ar/materias/6201/modelosintegradoras.htm Página 1 de 5 . RESOLUCION PROPUESTA : TEMA 1 DEL 03.08.04 EJERCICIO #1 ampliada con introducción teórica SISTEMA DE COORDENADAS INTRÍNSECO ( EN EL PLANO ) normal Y tangencial uN uT (ecuación # 1) V vu .T es la relación fundamental del sistema intrínseco que se V expresa en términos del vector velocidad. j O Si relacionamos este sistema con el sistema cartesiano fijo de origen “O”, de la figura: i X (versor tangente) uT cos .i sin . j (versor normal) uN sin .i cos . j (ecuaciones # 2 ) Para hallar la aceleración, derivamos la ecuación # 1: dV dv du .uT v. T dt dt dt (ecuación # 3 ) El versor tangente tiene módulo constante pero su dirección varía en cada punto de la trayectoria curvilínea. Asumamos que el ángulo ““ nos informa de su orientación respecto del eje “X”. Calculemos la derivada temporal del versor tangente: Partimos de la ecuación # 2: duT dt sin . d i cos . d j d ( sin .i cos . j ) .uN dt donde hemos considerado a la velocidad angular: dt dt d dt Reemplazando en la ecuación # 3: a dv .uT v. .u N a atan genteuT anormal u N dt (ecuación # 4) SISTEMA DE COORDENADAS POLAR (O CILÍNDRICO EN EL PLANO) arco de trayectoria ds Y versor transv. “” r j “” (ecuación # 5) r r. vector posición arco de circunferencia; módulo de r constante es la relación fundamental del sistema polar que se expresa en términos del vector posición. i O X Si relacionamos este sistema con el sistema cartesiano fijo de origen “O”, de la figura: cos .i sin . j (versor circunferencial) sin .i cos . j (versor radial) (ecuaciones # 6 ) FI-UBA FISICA 1 6201 www.fi.uba.ar/materias/6201/modelosintegradoras.htm Página 2 de 5 Para hallar la velocidad, derivamos la ecuación # 5: dr dr d . r. dt dt dt El versor radial tiene módulo constante pero su dirección varía en cada punto de la trayectoria curvilínea. Asumamos que el ángulo ““ nos informa de su orientación respecto del eje “X”. Calculemos la derivada temporal del versor radial: d dt sin . d i cos . d j d ( sin .i Reemplazando: dt dt dt V dr dr . r. . dt dt cos . j ) . (ecuación # 7) (Velocidad expresada en sus componentes radial y circunferencial) Para hallar la aceleración, derivamos la ecuación # 7: a dV d 2r dr d dr d d 2 . . . . r. r. . dt dt dt dt dt dt dt Calculemos la derivada temporal del versor circunferencial: d dt cos . d i sin . d j d ( cos .i sin . j ) . dt dt dt Reemplacemos: dV d 2r d a 2 . v. . v. . r. r. 2. dt dt dt 2 a d 2r . r. 2. 2v. . .r. ( ecuación # 8 ) dt En esta ecuación los términos del segundo miembro establecen las componentes radial, centrípeta, coriolis y tangencial; respectivamente; de la aceleración de la partícula. Los dos primeros términos son radiales y los dos últimos circunferenciales. [ver enunciado] Para el caso del ejercicio: 1 a) FS-T El par de interacción gravitatoria tiene la dirección del versor radial Y satélite VA mA VA= pA perigeo “A” a apogeo “C” VC Tierra f b X FT-S “B” VB . FI-UBA FISICA 1 6201 www.fi.uba.ar/materias/6201/modelosintegradoras.htm Página 3 de 5 . La fuerza de atracción gravitatoria que la Tierra ejerce sobre el satélite (FS-T) es de dirección radial en el sistema polar con centro en el centro de la Tierra ( si suponemos que la masa del satélite es mucho menor que la masa terrestre). Sino podemos considerar la masa reducida del satélite, para el sistema aislado Tierra-satélite. El par de interacción correspondiente es central (fuerzas centrales). Entonces para m << M , respecto del centro de la Tierra, vemos que los torques de las fuerzas externas sobre el satélite son nulos. Por lo tanto se debe conservar el momento cinético o angular del satélite respecto del centro de la Tierra. O O 0 dL 0 LO cte.en toda la o´rbita dt Calculemos para los puntos “A”; “B”; “C”: LOA rAT pA (a f )i mVA j m(a f )VAk LOB rBT pB ( f .i bi. ) mVBi mbV . Bk LOC rC T pC (a f )i (mVC ) j m(a f )VC k En una elipse se pueden relacionar los semiejes “a” ; “b”; con la distancia al foco “f”: Y -b +a (punto “2”) -f +b (punto “1”) +f X -a La cónica llamada elipse se define como: lugar geométrico de los puntos donde las distancias sumadas a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Entonces: Punto1:(b f ) (b f ) D D 2b D2 4b2 de la igualación sacamos: Punto2: 2 (a f ) D D 4(a f ) 2 2 2 2 2 a 2 f 2 b2 f 2 b2 a 2 f b2 a 2 Vamos a expresar los módulos de momentos cinéticos o angulares expresados anteriormente, en función de los semiejes de la elipse y de allí calcularemos las velocidades en los puntos correspondientes: LOA m(a b2 a 2 )VA LOB m.bVB LOC m(a b2 a 2 )VC Como los tres momentos son iguales podemos calcular las velocidades FI-UBA FISICA 1 6201 www.fi.uba.ar/materias/6201/modelosintegradoras.htm Página 4 de 5 (a LOB VB m.b b2 a2 )VA LOC (a b2 a2 )VA m(a b2 a2 ) b VC vector VB (a b 2 a 2 ) (a b2 a2 )VA b . i (a b2 a2 )2VA (a b2 a2 )2VA VC VC (a 2 b 2 a 2 ) 2a 2 b2 vector VC (a b2 a2 )2VA j 2a 2 b2 1b) La aceleración total tiene una única componente radial en un sistema de coordenadas polares con origen en la Tierra, (. Debido a que la única fuerza sobre el satélite “s” es la interacción gravitatoria, que es una fuerza central y tiene la dirección radial “” a d 2r . r. 2. dt 2 Entonces por la segunda ley de Newton y su ley de gravitación universal: FST mS ( d 2r r. 2 ). dt 2 Gm m FST S2 T r GmT d 2r igualamos: a 2 . ( 2 r. 2 ). r dt Gm a 2 T . (ecuación # 9) r Si lo expresamos en coordenadas intrínsecas para el punto “B” y el punto “C”: Y apogeo “C” uN Tierra uN uT “B” sin .uT cos .uT X uT (ecuación # 10) La aceleración es radial y varía con la inversa del cuadrado del radio “r”, sus componentes intrínsecas serán variables según la orientación de los versores respecto del foco de la elipse. En la dirección del versor normal “UN” se encontrará siempre el centro de curvatura de la trayectoria elíptica, pero no necesariamente el foco de ésta. Si la trayectoria fuese circular, entonces coincidirían el foco y el centro de curvatura; la circunferencia es un caso particular de elipse. En el apogeo “C”, la dirección del versor “UN” coincide con el versor radial “” pero el sentido es opuesto, en ese punto la aceleración tangencial es nula y el módulo de la velocidad es constante en ese instante (mínima en este caso). Algo similar ocurre en el perigeo “A” ( la velocidad es máxima en este caso). La componente tangencial de la aceleración tiene sentido coincidente con la velocidad, durante una porción de la trayectoria y en ella el módulo de la velocidad aumenta. Análogamente durante la otra porción el módulo disminuye porque la aceleración tangencial es opuesta a la velocidad. FI-UBA FISICA 1 6201 www.fi.uba.ar/materias/6201/modelosintegradoras.htm Página 5 de 5 . Componentes intrínsecas de la aceleración en el punto “B”: sin b r ; cos f r ; y las ecuaciones #9 #10: GmT b f ( uT u N ) 2 r r r GmT a B 3 (buT fu N ) entonces recordamos que estamos aplicando en “B”: r aB GmT aB (2b a ) 2 2 3 2 (buT b2 a 2 uN ) Componentes intrínsecas de la aceleración en el punto “C”: sin 0 ; cos 1 ; y las ecuaciones #9 #10: aC GmT (0uT u N ) r2 aC análogamente: GmT 1 2b(b (b2 a2 ) 2 ) a2 uN 1 c) En el sistema {Tierra; satélite} que se considera aislado, se mantiene constante el momento angular o cinético respecto de la Tierra. Pues la fuerza central realiza torque nulo respecto de la Tierra. El satélite se considera de masa pequeña y la Tierra se considera homogénea. En caso contrario habría que tomar como punto de reducción al centro de masa del sistema. Se verifica que la fuerza de atracción gravitatoria es una fuerza conservativa, y no hay trabajo de ninguna fuerza no conservativa ( por ejemplo fuerzas tidales o que provocan las mareas, actividad atmosférica y actividades sobre la Tierra se consideran despreciables). Entonces se conserva la energía mecánica de este sistema aislado. [volver a resol, MODELO 2]