Flujo compresible

Flujo de fluidos compresibles
La variación de la densidad debe ser considerada
en las ecuaciones que representan los sistemas en
los que se transportan fluidos compresibles.
En el área de la ingeniería química se presentan
pocos casos de los muy variados que existen en el
área de estudio de los fluidos compresibles.
1
Flujo de fluidos compresibles
Dos parámetros importantes son el número de
Mach y el número de Reynolds.
A bajas densidades, cuando la trayectoria media
libre de las moléculas es apreciable en
comparación con las dimensiones de los sólidos o
las partículas en contacto se deben involucrar
otras ecuaciones que no se presentan en este
contexto.
2
Flujo de fluidos compresibles / Definiciones
y
ecuaciones básicas
Consideraciones para analizar
correspondientes al curso:
los
sistemas
1. Estado estacionario
2. Flujo en una dimensión
3. Gradientes de velocidad despreciables
4. Fricción únicamente en la pared
5. Sin trabajo de eje
6. Energía potencial despreciable
7. Gas ideal con Cp constante
3
Flujo de fluidos compresibles / Definiciones
y
ecuaciones básicas
Ecuaciones utilizadas:
1. Ecuación de continuidad
2. Balance total de energía
3. Balance de energía mecánica
4. Ecuación de velocidad del sonido
5. Ecuación de estado del gas ideal
4
Flujo de fluidos compresibles
/ Definiciones y ecuaciones básicas /
Ecuación de continuidad
dm  udS
ln r + ln S+ lnu = constante
dr
dS du
+ + =0
r S u
5
Flujo de fluidos compresibles
/ Definiciones y ecuaciones básicas /
Balance total de energía
2
b
2
a
Q
u u
= Hb - Ha + m
2 2
2ö
æ
dQ
u
= dH + d ç ÷
m
è2ø
Análisis de unidades
6
Flujo de fluidos compresibles
/ Definiciones y ecuaciones básicas /
Balance de energía mecánica
2ö
æ
dp
u
+ d ç ÷ + dhf = 0
r
è2ø
2
u fdL
dhf =
2 rH
D = 4rH
7
Flujo de fluidos compresibles
/ Definiciones y ecuaciones básicas /
Balance de energía mecánica
D = 4rH
Area de Flujo
D=4
Perímetro Mojado
8
Flujo de fluidos compresibles
/ Definiciones y ecuaciones básicas /
Balance de energía mecánica
2ö
2
æ
dp
u
u fdL
+ dç ÷ +
=0
r
è 2 ø 2 rH
9
Flujo de fluidos compresibles
/ Definiciones y ecuaciones básicas /
Velocidad del sonido
æ dp ö
a= ç ÷
è dr øS
10
Flujo de fluidos compresibles
/ Definiciones y ecuaciones básicas /
Velocidad del sonido
Es la velocidad de una onda de compresión rarefacción moviéndose adiabáticamente y sin
fricción.
Termodinámicamente, el movimiento de una onda
de sonido es un proceso isentrópico.
11
Flujo de fluidos compresibles
/ Definiciones y ecuaciones básicas /
Ecuaciones del gas ideal
P=
r
RT
M
H  H 0  Cp( T  T0 )
𝑈 = 𝐻 + 𝑃𝑉 = 𝑈0 + 𝑐𝑣 (𝑇 − 𝑇0 )
P

 cte
TP ( 11 /  )  cte
Cp
Cp


Cv Cp  R / M
12
Flujo de fluidos compresibles
/ Definiciones y ecuaciones básicas /
Ecuaciones del gas ideal
𝑅𝛾
𝑐𝑝 =
𝛾−1
𝑅
𝑐𝑣 =
𝛾−1
𝑇
𝜌0
𝑆 = 𝑆0 + 𝑐𝑣 ln + 𝑅 ln
𝑇0
𝜌
𝑇
𝑝
𝑆 = 𝑆0 + 𝑐𝑝 ln − 𝑅 ln
𝑇0
𝑝0
RT
p
a

 RT
M

Flujo de fluidos compresibles
/ Definiciones y ecuaciones básicas /
Ecuaciones del gas ideal
2
2
r
u
u
2
Ma =
=
g p g TR M
Fluye aire en estado estable entre dos secciones de un tubo largo recto de 4
in de diámetro. Las temperaturas y presiones son T1=540ºR, p1=100 psia y
T2=453ºR, p2=18.4 psia. Calcule (a) el cambio en energía interna entre la
sección 1 y 2; (b) el cambio en entalpía entre las secciones y (c) el cambio en
densidad entre las secciones.
Calcule ahora el cambio en entropía entre ambas secciones.
15
• Calcule la velocidad del sonido a 0ºC, si
R=286.9 J/(kg K).
16
Flujo de fluidos compresibles
/ Definiciones y ecuaciones básicas /
Condición asterisco
La condición a la que u = a, Ma = 1, es conocida
como la condición asterisco, la presión, la
temperatura , la densidad y la entalpía se denotan
como: p*, T*, *, H*.
17
18
Flujo de fluidos compresibles
/ Definiciones y ecuaciones básicas /
Temperatura de estancamiento
Se define para un fluido con alta velocidad, como
la temperatura de reposo después de un proceso
adiabático y sin trabajo de eje.
El estado de estancamiento se asocia con
velocidad cero y un valor de entropía que
corresponde a la del flujo de fluido. Se usa el
subíndice 0.
19
Flujo de fluidos compresibles / Procesos
de flujo
compresible
Puede suceder:
1. Expansión isentrópica
2. Flujo adiabático
3. Flujo isotérmico
(Uno de los tres)
20
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Flujo
isentrópico en boquillas
Una boquilla consiste de una sección convergente
y una sección divergente unidas por una garganta.
La garganta es de longitud corta y con paredes
paralelas al eje de viaje del fluido.
𝑑𝑉
𝑑𝐴
1
=−
𝑉
𝐴 1 − 𝑀𝑎2
21
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Flujo
isentrópico en boquillas
La configuración de la boquilla es manipulada
por el diseñador al fijar la relación entre el área
de flujo y la longitud axial.
22
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Flujo
isentrópico en boquillas
El propósito de la sección convergente es
incrementar la velocidad y disminuir la
presión del gas.
23
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Flujo
isentrópico en boquillas
En la sección convergente siempre existe flujo
subsónico. NO es posible que se genere flujo
supersónico en esa región.
24
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Flujo
isentrópico en boquillas
En la garganta puede presentarse flujo sónico.
25
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Flujo
isentrópico en boquillas
En la sección divergente puede presentarse flujo
subsónico o supersónico.
26
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Flujo
isentrópico en boquillas
En flujo subsónico se reduce la velocidad y se
incrementa la presión. (Medición de flujo)
En el flujo supersónico se generan jets, spray,
túneles, condensación
27
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Flujo
isentrópico en boquillas
El flujo a través de una boquilla está controlado
por las presiones en el reservorio y en el destino
del fluido.
28
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Flujo
isentrópico en boquillas
Si pr = p0 no existe flujo: Línea aa’
29
Flujo de fluidos compresibles / Flujo
isentrópico en
boquillas
Si la presión en el destino es menor que en el
reservorio entonces se presenta flujo con un perfil
como el descrito en la línea abc. Obsérvese que
en la región de convergencia se recobra la
presión.
30
Flujo de fluidos compresibles / Flujo
isentrópico en
boquillas
Si la presión en el destino disminuye puede
presentarse flujo sónico en la garganta. Según
línea ade. Ma = 1. p*/p0 se conoce como razón
crítica de presión.
31
Flujo de fluidos compresibles / Flujo
isentrópico en boquillas /
Relaciones de flujo isentrópico
Para cambio en las propiedades del gas durante el
flujo.
P
r
g
=
P0
r0
g
T
T0
=
1-1 g
1-1 g
p
p0
32
Flujo de fluidos compresibles / Flujo
isentrópico en boquillas /
Relaciones de flujo isentrópico
El balance de energía puede aplicarse, primero en
forma diferencial:
æ 2ö
dP
u
= -d ç ÷
r
è2ø
Puede integrarse desde el reservorio hasta cierto
punto, antes utilizando la relación de estado
mostrada.
1g
æ 2ö
u
P0
ò 0 d çè 2 ÷ø = - r
0
u
dP
ò P0 P1 g
P
33
Flujo de fluidos compresibles / Flujo
isentrópico en boquillas /
Relaciones de flujo isentrópico
Integrando y despejando para la velocidad:
é æ ö1-1 g ù
2g P0 ê
P
2
u =
1- ç ÷ ú
(g -1) r0 êë è P0 ø úû
34
Flujo de fluidos compresibles / Flujo
isentrópico en boquillas /
Relaciones de flujo isentrópico
La anterior expresión de velocidad puede
ru2
u2
insertarse en la expresión
2
Ma =
=
gp
g TR M
1-1 g ù
é
Resultando
2g P0 r ê æ P ö ú
2
Ma =
1- ç ÷
(g -1) Pr0 êë è P0 ø úû
o
1-1 g
é
ù
æ
ö
2
P
2
Ma =
êç 0 ÷ -1ú
úû
(g -1) êëè P ø
35
Flujo de fluidos compresibles / Flujo
isentrópico en boquillas /
Relaciones de flujo isentrópico
Explícitamente para la presión:
P
1
=
1 (1-1 g )
2
P0 {1+ é(g -1) 2ù Ma }
ë
û
Si se sustituye Ma =1, se puede conocer la
presión crítica para un fluido de interés:
1 (1-1 g )
P æ 2 ö
rc =
=ç
÷
P0 è g +1 ø
*
Para aire, esta relación es 0.528
36
Flujo de fluidos compresibles / Flujo
isentrópico en boquillas /
Relaciones de flujo isentrópico
Finalmente para el flux másico:
1g
2gr0 p0 æ p ö
G = ur =
ç ÷
g -1 è p0 ø
1-1 g
æ pö
1- ç ÷
è p0 ø
37
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Flujo
isotérmico
Se presenta si se transfiere calor por el conducto
(paredes) por donde fluye el fluido y si no hay
efectos de la fricción que causen un cambio en la
temperatura.
Además si el conducto no está aislado y existe la
misma temperatura dentro y fuera del mismo y el
gas fluye a bajas velocidades.
38
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Flujo
isotérmico
Aun en grandes conductos pueden aplicarse estas
deducciones y consideraciones.
dp
vdv  gdz 
 dF  0
Ecuación de Energía:

2 fv 2 dL
Si dz = 0, entonces:
vdv  Vdp 
0
D

El gasto másico:
v m
G  v  
V A
39
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Flujo
isotérmico
2
dV dp 2 fG
Sustituyendo v por GV: G


dL  0
V
V
D
2
Usando la ecuación de estado:
1
pV 
RT
M
Sustituyendo por la presión e integrando:
G
2 V2
V 1
dV
M

V
2 RT
P2
P1
2
G
pdp  2 f
D
L2
L1 dL  0
40
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Flujo
isotérmico
Integrando y reacomodando:


2
V
M
G
G 2 ln 2 
p 22  p12  2 f
L  0
V1 2 RT
D
p1 V2

p 2 V1

4 fLG RT 2G RT
p1
p p 

ln
DM
M
p2
2
2
1
2
2
41
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Flujo
isotérmico
El Balance de Energía queda como:
2
2G RT
p p 
M
2
1
2
2

L
p1 
2 f D  ln p 
2

Análisis de unidades
Ecuación 3.21. Levenspiel O., Engineering Flow and Heat Exchange. Plenum Press. New York (Fanning)
Ecuación 6.49. Mc Cabe, W. L., Unit Operations of Chemical Engineering 7th Ed. McGraw-Hill’s. New York 2005 (Fanning)
Ecuación 20-30 d. Foust, A. S., Principles of Unit Operations 2nd Ed., JWS, 1987, New York, (Darcy)
42
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Flujo
isotérmico
Sistema 1 - Ejemplo. Se transporta aire a 20 C en
una tubería de acero comercial de diámetro interno
0.1524 m, la presión de entrada es 500 kPa y de
salida es 300 kPa. La longitud de la tubería es 168
m. Calcular el gasto másico.
43
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Flujo
adiabático
El proceso de flujo es adiabático y sin fricción.
Es un fenómeno que ocurre si el flujo es “muy
rápido”, de tal forma que no tiene oportunidad
para la transferencia de calor con los alrededores.
El análisis isentrópico puede aplicarse a flujos de
alta velocidad sobre cortas distancias en las que la
transferencia de calor y la fricción pueden
despreciarse.
44
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Flujo
adiabático
Aplicando relaciones termodinámicas para
procesos adiabáticos en gases ideales a la
ecuación del balance de energía:
 1


2
2

v2  v1 P1    p2  

1   

2
1   1
p1  



ó
 1


2
2

v2  v1 P2   p1 
   1


2
 2   1  p2 


45
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Flujo
adiabático
v = velocidad
g = gravedad
p = presión
 = Cp/Cv
 = densidad
46
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Flujo
adiabático
Considere que se transporta aire adiabáticamente,
con velocidades respectivas en los puntos de
entrada y salida: V1 = 30.5 m s-1, V2 = 150 m s-1,
la presión en la entrada del sistema: P1 = 350x 103
Pa, con peso específico = 0.028x103 N m-3
Calcular P2
47
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Flujo
adiabático
Resolución:
 1


2
2

v2  v1 P1    P2  

1   
2
1   1   P1  


 P2 
1   
 P1 
 1

 v22  v12  v1   1

 
 2  P1 
48
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Flujo
adiabático
 P2 
 
 P1 
 1


2
2
 1
v  v 1   1


v

v



1
2
1
1
 1
*
P

P
1

2
1

2
P1 
2
P

1


2
2
1
1
2
2
3




 1.4  1 
150

30
.
5
0
.
028
x
10
3


P2  350 x10 1  

3 
2
 9.8 * 350 x10  1.4 
 
1.4
1.4 1
P2 = 320x103 Pa
49
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Ventiladores y Compresores
Los equipos para mover gases y vapores a
traves de otros equipos y ductos reciben el
nombre de compresores, ventiladores o
sopladores, dependiendo de la caída de
presión o presión de trabajo.
Los ventiladores tienen presiones de descarga
de 0.01 a 0.15 atm. (centrífugos o axiales)
50
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Ventiladores y Compresores
Los sopladores (son de 1 etapa) con presiones de
descarga de 0.15 atm a 1 atm. Las relaciones de
compresión son de 4.
Los compresores manejan presiones de salida hasta
de 55 atm.
51
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Ventiladores y Compresores
Ventiladores
Un ventilador es esencialmente una bomba para gas;
la diferencia es el grado de compresibilidad respecto
a los líquidos. Su aplicaron es en secadores, hornos,
quemadores, acondicionamiento de aire, eliminación
de humo.
52
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Ventiladores y Compresores
Cálculo de trabajo y potencia
v12 P1
v 22 P2
 W 

2 
2

El comportamiento de un ventilador centrífugo varía
con la temperatura, el número de revoluciones por
minuto y la densidad del gas. Es necesario tener esto
en consideración, ya que los catálogos de los
fabricantes toman como base 20 ªC y 1 atm de presión.
53
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Ventiladores y Compresores
Un compresor es una bomba para un gas, con
Psalida/ Pentrada significativamente mayor a 1.0. Si
la presión cambia en menor proporción la bomba es
llamada soplador o ventilador. Los ventiladores y
sopladores trabajan como las bombas centrífugas y
su comportamiento se predice como el de esas
bombas.
54
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Ventiladores y Compresores
El trabajo de un pistón simple es
W=
ò F dx = ò PAdx = ò PdV = ò
^
dP
r
En términos de la Primera Ley de la
Termodinámica (ecuación del Balance de Energía):
W=
ò
Pb
dp
Pa
r
55
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Ventiladores y Compresores
Si la compresión es adiabática, se utilizan las
relaciones de procesos adiabáticos, resultando:
éæ ö1-1 g ù
Pag ê Pb
W=
ç ÷ -1ú
úû
(g -1) ra êëè Pa ø
56
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Ventiladores y Compresores
Si la compresión es isotérmica:
W = ò V dP
Pb ^
Pa
Usando las relaciones de estado del gas ideal
W= ò
Pb
Pa
dP RT
=
r M
ò
Pb
Pa
dP RT Pb
= In
P M Pa
57
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Ventiladores y Compresores
EJEMPLO:
Un compresor con 100% de eficiencia se requiere
para comprimir aire de 1 a 3 atm. La temperatura
de entrada 68º F. Calcular el trabajo por libra mol
para un compresor isotérmico y para un compresor
adiabático.
58
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Ventiladores y Compresores
Compresor Isotérmico:
P2
Btu
W = RTIn =1.987
x528º RIn3
P1
lbmol º R
Btu
kJ
kJ
W =1,153
= 2.68
= 92.36
lbmol
mol
kg
59
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Ventiladores y Compresores
Compresor adiabático:
0.4
æ
æ 1.4 ö 1.4 ö
Btu
W =1.987
x528º Rç ÷ç 3 -1÷
è 0.4 øè
lbmol º R
ø
Btu
kJ
kJ
W =1, 354
= 3.146
=108.5
lbmol
mol
kg
60
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Ventiladores y Compresores
La diferencia entre las dos respuestas es debida al
incremento en la temperatura del gas en el
compresor adiabático. De
g
1-g
1
T1 P
g
1-g
2
= T2 P
Se obtiene que T2 = 722.7 ºR
61
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Ventiladores y Compresores
Para el caso de la compresión isotérmica se
incrementó la densidad 3 veces, y en el caso de la
compresión adiabática se incrementó 2.192 veces.
En el segundo caso no se requiere servicio de
enfriamiento.
62
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Ventiladores y Compresores
Otro ejemplo.
Se comprime aire de 1 a 10 atm. La temperatura de
entrada es 68ºF
¿Cuánto es el trabajo por mol para:
a) Un compresor isotérmico
b) Un compresor adiabático
c) Un compresor adiabático de dos etapas en el cual el
gas se comprime adiabáticamente a 3 atm y luego es
enfriado a 68ºF y posteriormente se comprime de 3 a
10 atm.
63
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Ventiladores y Compresores
a) Compresor Isotérmico
Btu
Btu
W =1.987
x528º RIn10 = 2, 416
lbmol º R
lbmol
kJ
W = 5.614
mol
64
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Ventiladores y Compresores
b) Compresor Adiabático
0.4
æ
ö
æ
ö
Btu
1.4
W =1.987
x528º Rç ÷ç10 1.4 -1÷
è 0.4 øè
lbmol º R
ø
Btu
kJ
W = 3, 418
= 7.96
lbmol
mol
65
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Ventiladores y Compresores
c) Compresión por etapas:
0.4
é 0.4
ù
æ 1.4 öê 1.4
æ 10 ö1.4 ú
Btu
W =1.987
x528º Rç
÷ê3 -1+ ç ÷ -1ú
è3ø
lbmol º R
è 0, 4 ø
ë
û
Btu
kJ
W = 2,862
= 6.6
lbmol
mol
66
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Ventiladores y Compresores
Ejemplo
Se debe comprimir aire a 70 F y presión
atmosférica a 4000 psig, el flujo es de 125 ft3 min-1
(STD), ¿Cuál es la potencia del compresor o de los
compresores con etapas de enfriamiento?
 1 / 


nRT1  P2 
 
W
 1
  1  P1 


67
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Ventiladores y Compresores


PV 1atm  0.05899m / s
n 

 2.6319mol / s
8.314273.15K 
RT
3
1.41 / 1.4
7



2.6319mol / s 8.314294.2611K 1.40  2.768035 x10 Pa 


W
 1
1.40  1
 101325Pa 

W = 89 410.27 Watts = 119.9011 hp
68
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Ventiladores y Compresores
T
P
11 / 

T0
11 / 
P0
294.2611K
711/ 1.4
T
2.7680 x10
Pa  1461.715K
11/ 1.4
101325
Pa


N =1
69
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Ventiladores y Compresores
P2
rc 
 273.1839
P1
(Relación de compresión)
N=2
P1 = 14.61 psia
P2 =
P3 = 4014.69 psia
70
Flujo de fluidos compresibles
/ Procesos de flujo compresible /
Ventiladores y Compresores
 Pn 1 

r  
 P1 
1/ n
 4014.69 
r 

 14.69 
1/ 2
 16.53
P2 = 242.825 psia.
71