ARITMÉTICA COMERCIAL ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN

I I.P.F.A.
CÁDIZ – Departamento de Matemáticas
Acceso Universidad (Estadística)
Hoja 8
ARITMÉTICA COMERCIAL
Elementos fundamentales para el cálculo de la Capitalización
C0 = Capital inicial .
I = Interés total, suma de los intereses de cada año o de cada período.
n = número de períodos ( años generalmente ) que dura la operación.
r = tipo de interés. Tanto por ciento.
i = Tanto por uno anual, rendimiento por cada unidad invertida en un periodo. ( i = r/100)
Cn = Capital final. La suma del capital inicial más los intereses.
Interés simple: La característica fundamental de la Capitalización Simple es que los intereses
que se generan a lo largo de un período de tiempo dado no se agregan al Capital para el
cálculo de los intereses del siguiente periodo. Una consecuencia elemental es que los intereses
generados en cada uno de los periodos iguales son también iguales. En definitiva, la Ley de
Capitalización Simple no es Acumulativa.
El capital final se obtiene Cn = Co (1+i·n)
Interés compuesto: Régimen de Capitalización Compuesta o del Interés compuesto. Se
conoce como tal al proceso mediante el cual los intereses se acumulan al capital para producir
conjuntamente nuevos intereses al final de cada periodo de tiempo. Así sucesivamente, tiene
lugar la capitalización periódica de los intereses.
Esto en la práctica se traduce por ejemplo en el acuerdo entre las partes para que al final de
cada período los intereses producidos por un préstamo en lugar de liquidarse al prestamista se
incorporen al capital para que la suma de ambos produzca intereses en el período siguiente.
El capital final se obtiene: Cn = C0 ( 1 + i )
n
ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN
Anualidades de capitalización son cantidades fijas que se entregan al principio
de cada año para su colocación a interés compuesto con objeto de llegar a
constituir un capital al cabo de un determinado número de años.
Si al principio de cada año se entrega una cantidad A para su colocación a interés
compuesto al i por uno, al cabo de n años se habrá formado un capital C que vamos a
calcular.
La 1ª anualidad A está colocada n años y se convierte en.....................................A(1+i)n
La 2ª anualidad está colocada n–1 años y se convierte en...................................A(1+i)n-1
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La 3ª anualidad está colocada n–2 años y se convierte en...................................A(1+i)n-2
...........................................................................................................................................
La t-ésima anualidad está colocada 1 año y se convierte en...................................A(1+i)
El capital C que se ha formado estará dado por la siguiente suma:
C = A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3+…+ A(1+i)n-1+ A(1+i)n
El segundo miembro de esta igualdad es la suma de n términos de una progresión
geométrica de razón r = (1+i) y cuyo primer término es A(1+i). Luego, aplicando la
fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica, se tiene:
A(1 + i )[(1 + i ) n 1]
C=
(1 + i) 1
Es decir:
C=A
(1 + i ) n +1 (1 + i )
i
ANUALIDADES DE AMORTIZACIÓN
Anualidades de amortización son pagos fijos que se entregan al final de cada
año para su colocación a interés compuesto, con objeto de llegar a extinguir o
amortizar una deuda juntamente con sus intereses, en un determinado número de
años.
Si se ha contraído una deuda D que debe pagarse en n años, ésta se habrá convertido
al cabo de ese tiempo en
D(1+i)n
y, por consiguiente, ésa será la suma que tendremos que alcanzar por medio de n
anualidades.
La primera anualidad A, que se entrega al finalizar el primer año, está en poder del
acreedor n–1 años y se convierte en....................................................................A(1+i)n–1
La segunda anualidad, satisfecha n–2 años antes de extinguirse la deuda, se convierte
en......................................................................................................................... A(1+i)n–2
La tercera anualidad se convierte en....................................................................A(1+i)n–3
...........................................................................................................................................
La penúltima anualidad se convierte en.................................................................. A(1+i)
Con la última anualidad se extingue la deuda, y su valor será.......................................A
Si sumamos todos los valores obtenidos, comenzando por el último, se tiene:
A + A(1+i) + A(1+i)2 +...+ A(1+i)n–2 + A(1+i)n–1
que es la suma de n términos de una progresión geométrica de razón r=(1+i) y cuyo
primer término es A. Luego la suma de todos los valores que se han amortizado durante
los n años es:
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S=
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A[(1 + i ) n 1] A[(1 + i ) n
=
(1 + i ) 1
i
1]
;
Como la cantidad amortizada tiene que ser igual a la deuda contraída con todos sus
intereses, obtendremos la igualdad:
(1 + i ) n
D(1 + i ) = A
i
n
es decir:
A=
1
D(1 + i ) n i
(1 + i ) n 1
EJERCICIOS PROPUESTOS:
1.
Se deposita en un banco 3000 € al 6 % de interés simple. ¿En qué capital se habrá
convertido al cabo de 10 años? Solución: 4800 €.
2.
Abrimos una cuenta con 1500 € en un banco a un rédito anual del 3%, y los
intereses que general al final de cada año se reinvierten en dicha cuenta. Si
al final del segundo año cancelamos la cuenta, ¿cuánto dinero nos deben
dar? (Convocatoria 2004) (0,5 puntos) Solución: 1591,35 €
3. Un capital de 600 € ha producido, al 5 % de interés compuesto, 694,57 euros.
¿Cuánto tiempo ha estado en el banco? Solución: 3 años.
4. Se sabe que al cabo de 5 años un capital depositado al 3,5 % de interés compuesto
se ha convertido en 902,64 €. Halla el capital inicial ingresado. Solución: 760 €.
5. Determina el tanto por ciento de interés compuesto a que se ha de colocar un capital
de 100 000 €, durante dos años, para que produzca una ganancia de 18 810 €.
Solución: 9 %.
6. Halla el capital conseguido si se depositan 12000 € durante 15 años al tipo de interés
compuesto anual del 8 % pagadero por semestres.
7. Un empleado desea conocer qué cantidad recibirá después de 20 años si al principio
de cada uno de ellos entrega 2000 € para ser colocados a interés compuesto al 8 %.
Halla la cantidad que percibirá al cabo de ese tiempo. Solución: 98.846 €.
8. El ayuntamiento de una ciudad ha emitido un empréstito de 300.000 €, que abona al 6
% de interés compuesto y que desea amortizar en 30 plazos anuales iguales. ¿Qué
anualidad habrá de pagar? Solución: 21.795 €.