Razonamiento matemático - Universidad Complutense de Madrid

Taller
matemático
Razonamiento
Cristóbal Pareja Flores
antares.sip.ucm.es/cpareja
Facultad de Estadística
Universidad Complutense de Madrid
1. Razonamiento matemático…
Conocimiento aceptado
Conocimiento nuevo
- Axiomas o postulados
- (Posibles) teoremas nuevos
- Teoremas (…) demostrados
- Conjeturas
- (Definiciones)
Demostración
- Fundamentos, hipótesis
- Razonamiento, procedimiento
- Proposiciones o teoremas, tesis
… y ciencias experimentales
- Observación
- Validación experimental: métodos estadísticos (contraste de hipótesis…)
- Conclusiones validadas empíricamente
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2. Tipos de demostración
Hipótesis
razonamiento
Conclusión
- Demostración directa, hacia adelante o hacia atrás
- Reducción al absurdo
- Inducción, simple o compuesta
- Otros: contraposición, por casos, descenso finito
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3. Demostración directa, hacia adelante
Ejemplo
Demostrar que “El cubo de un número impar es también impar”
𝑛3 es impar
𝑛 es impar
La clave es la definición de “impar”:
- Los números pares
- Los números impares
son los de la forma 2𝑘,
siendo 𝑘 entero.
son los de la forma 2𝑘 + 1, siendo 𝑘 entero.
Hipótesis: 𝑛 es impar + la definición de impar:
∃𝑘. 𝑛 = 2𝑘 + 1
¿Cómo será 𝑛3 ?
Demostración, en resumen:
Si 𝑛 es impar, ∃𝑘. 𝑛 = 2𝑘 + 1.
Por tanto, 𝑛3 = (2𝑘 + 1)3 = 8𝑘 3 + 12𝑛2 + 6𝑘 + 1 = 2(4𝑘 3 + 6𝑛2 + 3𝑘) + 1
El paréntesis verde es también un entero: 𝑘 ′ = 4𝑘 3 + 6𝑛2 + 3𝑘.
Es decir: 𝑛3 = 2𝑘 ′ + 1. Impar.
Q.E.D.
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3. Demostración directa, hacia adelante
Ejemplo
Demostrar que “Si 𝑎 divide a 𝑏 y 𝑏 divide a 𝑐, entonces, 𝑎 divide a 𝑐”
𝑎|𝑏
y
𝑏|𝑐
𝑏|𝑐
La clave es la definición de “divide”:
𝑎|𝑏 significa que 𝑎 ∙ 𝑘 = 𝑏, para algún 𝑘 entero.
Demostración, en resumen:
Hipótesis: 𝑎|𝑏 y 𝑏|𝑐. Esto es, 𝑎 ∙ 𝑘1 = 𝑏 y 𝑏 ∙ 𝑘2 = 𝑐
Por tanto, (𝑎 ∙ 𝑘1 ) ∙ 𝑘2 = 𝑐, es decir, 𝑎 ∙ 𝑘 = 𝑐, es decir, 𝑎|𝑐, con 𝑘 = 𝑘1 𝑘2 ∎
Ejercicio
Demuestra que “La suma de tres enteros consecutivos es múltiplo de 3”.
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4. Demostración directa, hacia atrás
Ejemplo
1
Demostrar que “si 𝑥 > 0, entonces 𝑥 + ≥ 2”
𝑥
𝑥>0
𝑥+
1
≥2
𝑥
Partimos de la conclusión. Al simplificarla, vemos la relación con la hipótesis:
1
𝑥 + ≥ 2 ⇔ 𝑥 2 +1 ≥ 2𝑥 ⇔
𝑥
Demostración, en resumen:
𝑥 2 +1 − 2𝑥 ≥ 0 ⇔ (𝑥 − 1)2 ≥ 0
Gracias a la hipótesis 𝑥 > 0, hemos podido establecer la equivalencia
1
𝑥
(𝑥 − 1)2 ≥ 0 ⇔ ⋯ ⇔ 𝑥 + ≥ 2
1
𝑥
Al ser (𝑥 − 1)2 ≥ 0 cierto, aceptamos también la conclusión: 𝑥 + ≥ 2.
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∎
4. Demostración directa, hacia atrás
Ejemplo
𝑥+𝑦
Demostrar que “Si 𝑥, 𝑦 ∈ 𝓡+ , 𝑥𝑦 ≤
”
2
𝑥+𝑦
𝑥𝑦 ≤
2
𝑥, 𝑦 ≥ 0
Demostración. Partimos de la conclusión:
𝑥𝑦 ≤
𝑥+𝑦
2
⇔ 4𝑥𝑦 ≤ (𝑥 + 𝑦)2 ⇔ 4𝑥𝑦 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥𝑦
⇔ 0 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥𝑦 ⇔ 0 ≤ (𝑥 − 𝑦)2
Esta igualdad siempre es cierta, y equivale a la conclusión deseada.
∎
(La hipótesis importa sólo para
asegurar que el radicando sea positivo.)
Curiosidad
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5. Reducción al absurdo
𝐴
𝐵
Demostrar que 𝐴 ⇒ 𝐵 equivale a demostrar que 𝐴 ∧ ˥𝐵 ⇒ Contradicción
𝐴 ∧ ˥𝐵
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛
𝐴 ∧ ˥𝐵 = 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜 ⇔˥(𝐴 ∧ ˥𝐵) ⇔˥𝐴 ∨ 𝐵.
En la hipótesis de 𝐴, tenemos 𝐴 ∧ (˥𝐴 ∨ 𝐵). Y de aquí, se tiene 𝐵.
Ejemplo. Demostrar que 2 es irracional.
𝑎
𝑏
Suponemos que 2 es racional: 2 = , siendo ésta fracción irreducible.
Entonces,𝑎2 = 2𝑏 2 ⇒ 𝑎 es par ⇒ 𝑎 = 2𝑘 con 𝑘 entero.
Sustituyendo: (2𝑘)2 = 2𝑏 2 ⇒ 4𝑘 2 = 2𝑏 2 ⇒ 2𝑘 2 = 𝑏 2 . ⇒ 𝑏 es par.
"𝑎 es par” y "𝑏 es par”. Contradicción con ”La fracción
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𝑎
𝑏
es irreducible”. ∎
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5. Reducción al absurdo
Variante: contrarrecíproco
𝐴
𝐵
Demostrar que 𝐴 ⇒ 𝐵 equivale a demostrar que˥𝐴 ⇐ ˥𝐵
˥𝐴
˥𝐵
Ejercicio. Demuestra que “Si el cuadrado de un número es impar, ese
número es impar”
𝑛2 es impar
𝑛 es impar
¿…?
¿…?
… … …
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6. Inducción simple
6.1. Un ejemplo
Vamos a demostrar la propiedad 𝑃(𝑛):
𝑛 ∙ (𝑛+1)
1 + 2 + 3+ ⋯+ 𝑛 =
2
(a) Caso(s) base: demostrar que se cumple la propiedad 𝑃(1).
1 ∙ (1+1)
Para 𝑛 = 1:
1 =
=1

2
(b) Paso inductivo: partiendo de 𝑃(𝑛 − 1), demostrar 𝑃(𝑛).
(𝑛−1) ∙𝑛
Asumimos: 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 − 1 =
(hip. ind.)
2
Calculamos
1 + 2 + 3 + ⋯+ 𝑛 = 1 + 2 + 3 + ⋯+ 𝑛 − 1 + 𝑛
=
(𝑛−1) ∙𝑛
2
+𝑛 =
𝑛−1 ∙ 𝑛+2𝑛
2
=
𝑛 ∙ (𝑛+1)
2

6.2. Ejercicios
1. Demuestra la fórmula de la suma en sucesiones cuadráticas:
𝑛 ∙ (𝑛 + 1) ∙ (2𝑛 + 1)
2
2
2
1 + 2 + ⋯+ 𝑛 =
6
2. Demuestra la fórmula de la suma en sucesiones cúbicas:
13
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+
23
+ ⋯+
𝑛3
=
𝑛2 (𝑛+1)2
4
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6. Ejercicios sobre inducción
Inducción
2. Demuestra lo siguiente:
3.
(el ajedrez y los granos de trigo)
Si 𝑎0 = 1 y 𝑎𝑛 = 2 𝑎𝑛−1 , se tiene que 𝑎𝑛 = 2𝑛−1 .
𝑚
= 1, 𝑠𝑖 𝑚 = 𝑛 𝑜 𝑛 = 0
𝑛
𝑚
𝑚−1
𝑚−1
=
+
, 𝑠𝑖 0 < 𝑛 < 𝑚
𝑛
𝑛
𝑛−1
𝑚
𝑚!
Demuestra que
=
.
𝑚−𝑛 !𝑛!
𝑛
4. Definimos un número par así:
def
“n es par”
∃k entero, tal que n = 2k.
(a) Escribe una definición similar, para los números impares, y pon
un ejemplo de ambas.
(b) Demuestra que, si el cuadrado de un número es par, el del
siguiente es impar.
(c) Demuestra que el cubo de un número tiene su misma paridad.
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Agradecimientos
Estas diapositivas están basadas parcialmente en las siguientes fuentes:
• Miguel de Guzmán, José Manuel Gamboa, Cómo hablar, demostrar y
resolver en Matemáticas, ed. Anaya 2003.
Aunque, obviamente, el responsable de cualquier defecto es mío por
completo.
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