Parámetro de impacto y sección transversal

Capítulo 6
Colisiones de partículas cargadas
Las interacciones de una partícula cargada en movimiento con cualquier materia circundante están
gobernadas por las propiedades de las colisiones. Generalmente, denominaremos “proyectil” a la
partícula incidente y “partículas objetivo”, o simplemente “objetivos”, a los componentes de la
materia con la que interactúa. La situación más simple imaginable es que la materia consta de
partículas de carga libre, electrones y núcleos. Esta situación es exactamente la que se aplica si la
materia con la que la partícula interactúa es un plasma. En tal caso, es posible pensar que la
interacción mutua de las propias partículas objetivo podría ignorarse y que todas las colisiones
podrían tratarse como simples colisiones de dos cuerpos. Esto no es del todo cierto debido a la
naturaleza de larga distancia de la fuerza electromagnética, como veremos, pero, sin embargo, es
posible tratar las colisiones como colisiones de dos cuerpos, y corregir en caso de influencia de las
otras partículas objetivo en este proceso.
En las interacciones con los átomos de sólidos, líquidos o gases (neutrales), al final, el hecho de que
los electrones objetivo estén unidos a los núcleos de sus átomos es evidentemente importante para el
proceso de interacción. Por lo general, los átomos se pueden tratar ignorando las interacciones entre
ellos, al menos para los proyectiles con energía cinética sustancial. El análisis aproximado más
sencillo va más allá y comienza por la visión sumamente simplificada de que, inicialmente, los
electrones se pueden tratar ignorando la fuerza que los une a los átomos. Naturalmente, las
correcciones de este enfoque son sustanciales y el tratamiento no puede dar siempre resultados
precisos. Sin embargo, representa un tipo de línea de base con la que comparar los cálculos y
mediciones más precisos.
Los núcleos de los objetivos son importantes en las colisiones con plasmas. No obstante, en las
interacciones con átomos neutrales, la interacción electromagnética directa con el núcleo requiere
que el proyectil penetre el blindaje de los electrones que están en órbita en el átomo. Esto sólo
pueden hacerlo las partículas con un momento muy alto. Por lo tanto, los electrones del objetivo son,
generalmente, los más importantes a tener en consideración y tienden a dominar la pérdida de
energía.
El tema de las colisiones atómicas es inmenso y complejo y en él, naturalmente, juega un papel
crucial la mecánica cuántica. Tratar de facilitar una introducción adecuada a este tema sobrepasaría
nuestras intenciones presentes. No obstante, dos factores de simplificación nos permiten desarrollar
este aspecto de interacciones electromagnéticas en suficiente detalle para muchos propósitos
prácticos. El primer factor es que los detalles de la estructura atómica se vuelven menos influyentes
en las colisiones a energías mucho mayores que las de unión de los átomos (que es aproximadamente
diez electrón voltios). El segundo factor es que incluso cuando los efectos cuánticos son importantes
en las colisiones, se pueden obtener fórmulas aproximadas con amplia aplicabilidad, pero ignorando
los detalles de especies atómicas concretas, mediante argumentos semi clásicos. Las correcciones
cuánticas se aplican, por tanto, de manera que parezca que tiene algún fin específico, pero que a
menudo representan la forma en la que se hicieron los primeros cálculos y proporcionan fórmulas
analíticas sencillas.
6.1 Colisiones elásticas
6.1.1 Marcos de referencia y ángulos de colisión
Considere una colisión no relativista idealizada de dos partícula que interactúan, subíndices 1 y 2,
con posiciones r1,2 y velocidades v1,2, que no se ven afectadas por ninguna fuerza excepto sus
interacciones mutuas, y que no experimentan cambios en la energía interna, por lo que la colisión es
elástica. El momento total (combinado) de las partículas, m1v1 + m2v2, es constante, por lo que su
centro de masa:
se mueve a una velocidad constante, la velocidad del centro de masa:
Resulta útil también introducir la notación siguiente:
para lo que se conoce como “masa reducida”. En términos de esta cantidad y de la posición relativa
del vector r ≡ r1 – r2, las posiciones de las partículas se pueden escribir de la forma siguiente:
y sus velocidades como se indica:
donde v ≡ r corresponde a la velocidad relativa.
Algunos de nuestros cálculos es necesario realizarlos en el marco de referencia del centro de masa,
en el que R es estacionario, y otros en el marco de laboratorio, o en otros marcos de referencia, como
por ejemplo, en el que una u otra partícula es inicialmente estacionaria. Los ángulos de los vectores
de estos marcos son importantes. Las direcciones de todos los vectores de posición y de todas las
diferencias de velocidad son los mismos en los marcos inerciales. Sin embargo, las direcciones de
las velocidades no son las mismas en marcos distintos.
Por ejemplo, considere la colisión de la figura 6.1. Las colisiones se pueden considerar en un único
plano de dispersión perpendicular al momento angular del sistema, que es constante. El ángulo de
dispersión, que indicamos como χ es simplemente el ángulo entre la dirección inicial de la
velocidad relativa v y su dirección final v´. Este ángulo es distinto en los diferentes marcos de
referencia. Denomine al ángulo en el marco del centro de masa χ c. Según la conservación de
energía, la velocidad final relativa v´ tiene una magnitud absoluta igual a la de la velocidad inicial
relativa, v0. Por lo tanto, la velocidad final se puede escribir en la forma componente, en el marco del
centro de masa, de la forma siguiente:
donde hemos elegido la dirección de la velocidad inicial relativa para el eje x.
Figura 6.1. Colisiones en los marcos del centro de masa y de laboratorio.
Si sustituimos en la ecuación (6.5), hallamos que las velocidades finales en el marco de laboratorio
vienen dadas por:
Por lo tanto, en el marco de laboratorio, el ángulo de la velocidad final de la partícula 1 a su
velocidad inicial (que está en la dirección x), digamos χ 1, simplemente viene dado por la relación de
los componentes de la velocidad final:
para el caso concreto en el que la partícula 2 es un objetivo estacionario, con velocidad inicial de
marco de laboratorio cero. La velocidad del centro de masa es V = m1v0/(m1 + m2) = (mr/m2)v0, por lo
que:
A menudo, deseamos conocer la cantidad de energía o momento que se transfiere desde un proyectil
incidente, (partícula 1) hasta un objetivo inicialmente estacionario (partícula 2). Evidentemente,
podemos obtener estas cantidades de la ecuación (6.8) en términos del ángulo de dispersión χ c. Por
lo tanto, el cambio en el momento x de la partícula 1 es simplemente:
y la energía final de retroceso de la partícula 2 (que es la pérdida de energía de la partícula 1) es:
Observe que la transferencia máxima posible de energía que ocurre cuando χ c = 180º es:
Todas estas relaciones son totalmente independientes de la naturaleza de las interacciones entre las
partículas, ya que solamente hemos recurrido a la conservación de momento y de energía.
Parámetro de impacto y sección transversal
Por definición, la sección transversal σ para cualquier proceso concreto de colisión, cuando una
partícula atraviesa una densidad n2 de objetivos, es aquella cantidad que hace que el número de
colisiones por unidad de longitud de trayectoria sea igual a n2 σ 1 . A veces, se tiene en cuenta un
continuo de tipos de colisión. Por ejemplo, podemos considerar que aquellas colisiones que dan
lugar a distintos ángulos de dispersión ( χ ) son distintas. En ese caso, hablamos en términos de
secciones transversales diferenciales, y definimos la sección transversal diferencial
dσ
dχ
(por
ejemplo) como esa cantidad tal que el número de colisiones dentro del elemento de un ángulo d χ
por unidad de longitud de trayectoria es:
En ocasiones, otros autores utilizan diferentes notaciones para referirse a la sección transversal
diferencial, como por ejemplo σ ( χ ). Sin embargo, nuestra notación, con la que nos hemos
familiarizado a partir del cálculo, es bastante sugerente y las secciones transversales obedecen a
reglas naturales para los diferenciales que implica la notación.
En las colisiones clásicas, el parámetro de impacto b que se muestra en la figura 6.1 es un
parámetro conveniente con el que caracterizar la colisión. La distancia al enfoque más cercano será
lo que encuentren las partículas colisionantes que han seguido las trayectorias iniciales en línea
recta. De otra forma, se puede considerar el parámetro de impacto como una medida del momento
angular del sistema en el marco del centro de masa, que es mrv0b.
________________________________
1
Se puede recurrir a una definición alternativa que sea equivalente a esta primera definición, pero en el marco de
referencia en el que la partícula simple (1) es estacionaria y las partículas de densidad n2 están en movimiento.
Figura 6.2. Volumen diferencial para contabilizar el número de colisiones en longitud d
parámetro de impacto b.
con el
La sección transversal diferencial respecto al parámetro de impacto se define por geometría pura. Tal
y como se ilustra en la figura 6.2, se puede considerar que el proyectil (partícula 1) arrastra consigo
un anillo de radio b y grosor db a medida que se desplaza una distancia d de su longitud de
trayectoria. Este anillo arrastra un volumen d 2π bdb , y el número de objetivos que se encuentran
en este volumen, y que se han encontrado en el elemento del parámetro de impacto db en b en esta
longitud de trayectoria, es n2 d 2π bdb . Por consiguiente, a partir de nuestra definición, la sección
transversal diferencial para la dispersión en el parámetro de impacto b es:
Observe que la integral de esta cantidad sobre todos los parámetros de impacto (es decir, 0 < b < ∞ )
sin duda divergirá, ya que considera que el proyectil colisiona con todas las partículas objetivo por
delante de las que pasa, sin importar la distancia a la que se encuentren. Por consiguiente, el número
total de “colisiones” de todos los tipos posibles por unidad de longitud en un medio de objetivo
infinito es infinito. Esta singularidad matemática en la “sección transversal total” indica la necesidad
de definir más atentamente lo que constituye una colisión y para alertarnos del hecho de que en el
caso de las colisiones gobernadas por interacciones de rango infinito, tales como las fuerzas entre las
partículas cargadas, deberíamos definir éstas de tal forma que justificasen algunas terminaciones
efectivas de la integración del parámetro de impacto 2 . Esta terminación, que a menudo se expresa de
forma aproximada como un valor límite de la integración del parámetro de impacto en bmax máximo,
estará gobernada por la consideración del parámetro de la partícula, cuyo cambio debido a las
colisiones tratamos de calcular. Por ejemplo, el cambio de momento o de energía en la colisión
puede ser insignificante para b > bmax. Generalmente, existe una relación de uno a uno entre el
parámetro de impacto y el ángulo de dispersión y, por tanto, con la transferencia de energía, Q, dada
por la ecuación (6.12). Por consiguiente, la sección transversal diferencial, la transferencia de
energía, el ángulo de dispersión y el parámetro de impacto están todos relacionados, de modo que:
Si nos preocupa una cantidad como la energía del proyectil, que cambia debido a las colisiones, y el
cambio en cada colisión es una cantidad Q(b) que depende del parámetro de impacto, entonces la
tasa total de cambio por unidad de longitud debida a posibles tipos de colisiones, se obtiene de la
forma siguiente:
___________________________
2
También demuestra la incoherencia fundamental de la noción del número total de colisiones por unidad de longitud y
los conceptos que dependen de ésta, tales como el cambio medio en algún parámetro debido a la colisión, que algunos
autores emplean con muy poco acierto.
6.1.2 Colisiones clásicas de Coulomb
La relación exacta entre le parámetro de impacto, b, y el ángulo de dispersión viene determinada por
el campo de fuerza que existe entre las partículas colisionantes. En el caso de las interacciones
electromagnéticas de partículas cargadas, la fuerza fundamental es la interacción de Coulomb entre
las fuerzas, una ley de cuadrado inverso. Como demostró Isaac Newton, la órbita de una partícula en
movimiento bajo una fuerza de cuadrado inverso es una sección cónica, es decir, una elipse para
órbitas cerradas o una hipérbola para órbitas abiertas relacionadas con las colisiones.
El análisis elemental muestra que el ángulo de dispersión resultante, χ c, para una colisión con
parámetro de impacto b, viene dado por:
donde la cantidad b90, en el caso de las partículas de carga q1 y q2 y velocidad de colisión inicial v0,
viene dada por:
Es evidente, a partir de la ecuación (6.17), que b90 es el parámetro de impacto en el que el ángulo de
dispersión en el marco del centro de masa es de 90º. Las identidades trigonométricas nos permiten
deducir inmediatamente, a partir de la ecuación (6.17), que:
De forma que la transferencia de energía en una colisión es: (véase la ecuación (6.12))
y la tasa de transferencia de energía por unidad de longitud para una partícula de energía K ≡
1
m1v02
2
en colisión con objetivos estacionarios es:
En breve se analizará el límite superior de la integración b, bmax, que evita que la integral diverja.
Una forma de imaginarse esta ecuación es considerar la cantidad π b902
4mr2
ln 1 + (bmax b90 ) 2 
m1m2
como la sección transversal de una colisión efectiva para la pérdida total de energía. Al multiplicarla
por la densidad n2 de los objetivos nos da la longitud de escala inversa para la pérdida de energía,
d ln K d .
Figura 6.3. Esquema del ángulo de dispersión y del parámetro de impacto para distintas colisiones de
Coulomb.
La integral sobre los parámetros de impacto diverge si la ampliamos a b infinito, ya que la ley del
cuadrado inverso tiene un rango principalmente infinito. Como resultado, la contribución dominante
a la sección transversal de pérdida de energía procede de colisiones distantes, en las que b b90 y, de
ahí que el ángulo de dispersión sea pequeño. Se pueden introducir numerosos efectos físicos
diferentes en los parámetros grandes de impacto para modificar la ley de fuerza efectiva y prevenir la
divergencia. Abordaremos estos efectos por separado en posteriores secciones, pero en la mayoría de
los casos, el valor exacto del límite superior no es un efecto cuantitativo muy fuerte en la sección
transversal, ya que bmax/b90 es grande y aparece dentro de un término logarítmico que se puede
escribir aproximadamente ln(bmax/b90), que, por tanto, varía muy lentamente con bmax. Muchos
tratamientos adoptan antes aproximaciones de ángulos pequeños para la sección transversal
diferencial en la desviación que conducen a la expresión Q α 1 b 2 y una integral que divergen en b
pequeño y b grande. Es por tanto que con dichos tratamientos sea necesario recurrir a un límite bmin
de la integración, justificándolo en base a un fallo de la aproximación y, naturalmente, adoptar b90
como ese límite en este caso clásico. Por tanto, la expresión que resulta es, principalmente, idéntica a
la nuestra, obtenida de manera más rigurosa. En algunas circunstancias, existen importantes efectos
físicos que requieren que limitemos la integración en b pequeño antes incluso de que se alcance b90.
En esos casos, simplemente sustituimos el término ln[1 + (bmax/b90)2] por 2ln(bmax/bmin).
6.2 Colisiones inelásticas
Los efectos que dan lugar a la eliminación del logaritmo de Coulomb se asocian principalmente con
la presencia de otras partículas y fuerzas en el sistema. Si las partículas objetivo experimentan el
campo de fuerza de otra partícula cercana, como será el caso si los objetivos son electrones unidos a
los núcleos para formar los átomos del material de un objetivo, entonces, la dinámica de sus uniones
da origen a un valor límite. Una forma de abordar este efecto es considerar que los electrones se
comportan como libres solamente en colisiones en las que la transferencia de energía del proyectil es
mayor que su energía de enlace en el átomo. Las colisiones distantes de ángulo pequeño transfieren
menos energía.
Se debería aplicar un valor límite bmax en el parámetro de impacto en el que la transferencia de
energía es aproximadamente igual a la energía de enlace.
Otra posibilidad, más física, es considerar estas colisiones como parte de un sistema de objetivo
compuesto, el átomo, en el que existe una transferencia de energía inelásticamente con el sistema, y
esta energía se recoge parcialmente en la energía de ionización o excitación del átomo. Obviamente,
un cálculo completamente riguroso de dichas colisiones requiere que se considere la estructura
cuántica del átomo, lo que por lo tanto es, intrínsecamente, mecánica cuántica. No obstante, los
cálculos semi clásicos, teniendo en cuenta los efectos cuánticos de una forma un tanto ad hoc,
proporcionan una comprensión sustancial de los principios de gobierno y, de hecho, pueden
proporcionar formas cuantitativamente correctas para la sección transversal y la pérdida de energía.
Figura 6.4. Las colisiones con un sistema atómico pueden excitar o expulsar electrones del átomo.
6.2.1 Transferencia de energía a una partícula oscilante
Un enfoque del problema de las colisiones con partículas ligadas, que se puede tratar de forma
clásica y que llega a ser la base para una descripción cuántica, es aproximar el sistema como una
carga ligada en un pozo armónico potencial sencillo. Puesto que nos interesa más en parámetros de
impacto grandes, consideramos el campo eléctrico del proyectil uniforme en el átomo y, a
continuación, cuando el proyectil se encuentra con este electrón oscilante, planteamos la siguiente
pregunta: ¿qué cantidad de energía obtiene el oscilador como resultado del campo eléctrico
fluctuante del proyectil que pasaba?
De este modo, considere una partícula oscilante sencilla en un campo eléctrico uniforme, E(t). Su
posición x está gobernada por la ecuación:
Resolvemos la ecuación en el intervalo de tiempo (t1, t2), con alguna condición inicial supuesta en t1,
para así determinar la ganancia de energía de la partícula en el tiempo t2. Esta solución se obtiene
fácilmente utilizando lo que se denomina “función unilateral de Green”, como se indica a
continuación. Las soluciones de este problema homogéneo (la ecuación con lado derecho cero) son
sin ωt y cos ωt . La función de Green se construye de la siguiente forma:
y, por tanto, la solución general es:
donde A y B son constantes determinadas por las condiciones iniciales. En realidad, no es necesario
que resolvamos para A y B, ya que cuando calculamos la energía del oscilador, promediada sobre el
periodo de un oscilador, A y B realizan exactamente la misma contribución al final de la integración
que al comienzo y el promedio de cualquier término cruzado entre ellos y H es cero. [La cuestión
sobre los términos cruzamos no es realmente obvia, pero por razones de tiempo no lo probaremos].
Por lo tanto, el término integral sólo determina la ganancia de energía y simplemente podemos
establecer A = B = 0. Por tanto, en el tiempo t2 la solución se puede escribir:
Cuando esta expresión se diferencia, los términos que surgen de los diferenciales de los límites se
cancelan y obtenemos:
De esta manera, la energía (cinética más el potencial) total en el oscilador se puede evaluar
fácilmente de la forma siguiente:
escribiendo la transformada de Fourier del campo eléctrico como:
Realizamos esta integración sobre un tiempo finito, lo que evita algunas dificultades matemáticas,
pero ahora podemos permitir fácilmente que t1 → −∞ y t2 → ∞ y obtener el dominio completo de la
integral de Fourier. Hemos obtenido un resultado general importante en el que la energía transferida
a un oscilador armónico es proporcional a la transformada de Fourier del campo eléctrico evaluado
en la frecuencia resonante del oscilador, ecuación (6.27).
6.2.2 Colisión en línea recta
Principalmente, nos interesan las colisiones de ángulo pequeño, ya que, como hemos indicado
anteriormente, dominan el comportamiento, especialmente en el valor límite, bmax. En este caso,
aproximamos la órbita del proyectil como una línea recta. Entonces, tal y como se ilustra en la figura
6.5, el campo eléctrico en el átomo es precisamente ese debido a una carga en movimiento que pasa
por un parámetro de impacto b y a una velocidad constante.
Figura 6.5. La aproximación de una órbita recta proporciona una expresión simple para el campo
eléctrico en función del tiempo.
Por lo tanto, para una velocidad no relativista v, los componentes del campo eléctrico en función del
tiempo son:
Las formas relativistas son cuantitativamente similares y se calcularon anteriormente en la sección
4.2. Véase la ecuación (4.40)
donde γ es el factor relativista (1 − v 2 c 2 ) −1 2 . En la figura 6.6 se trazan los componentes de campo
en función del tiempo. Evidentemente, si se revisan la figura 6.6 y la ecuación (6.28) habrá un
cambio cualitativo en el comportamiento de la transformada de Fourier de E(t) y, por lo tanto, la
transferencia de energía para ωb γ v 1 comparada con ωb γ v 1 . La duración de tiempo
característica de las colisiones es ∼ b γ v . Si este tiempo es mucho más corto que el tiempo
característico del oscilador, 1 ω , podemos tomar ω ≈ 0 y obtener lo siguiente mediante integración
elemental:
Puesto que Ex(t) es antisimétrico, Ex( ω ) = 0 en este límite pequeño de parámetro de impacto
pequeño. En el límite contrario, es decir, aquel para colisiones en las que b es tan grande que
ωb γ v 1 , E( ω ) será pequeño ya que en la ecuación (6.28) existen muchas oscilaciones del factor
exp(–i ω t) dentro de la variación suave de E(t). De este modo, vemos que en las colisiones con un
oscilador armónico simple de frecuencia ω , existe un valor límite natural para la transferencia de
energía a un parámetro de impacto máximo:
Si sustituimos la ecuación (6.31) en la ecuación (6.27), y restauramos nuestra notación de subíndices
2 para el objetivo y 0 para la velocidad incidente, obtenemos la transferencia de energía en una
colisión en línea recta de la forma siguiente:
Figura 6.6. Componentes del campo eléctrico en una colisión en línea recta..
Observe que, básicamente, es la misma expresión que en la ecuación (6.20) para la transferencia de
energía a un electrón libre, excepto que aquí no está presente el valor límite del parámetro de
impacto inferior, debido al supuesto de que se de una órbita en línea recta para el proyectil, algo
injustificado en parámetros de impacto pequeños. Por tanto, la tasa de pérdida de energía se obtiene,
al igual que anteriormente, mediante la integración sobre los parámetros de impacto desde el mínimo
al máximo correspondiente a los límites de aplicabilidad de la ecuación (6.31)
6.2.3 Fórmula clásica de la tasa de pérdida de energía
Es necesaria una consideración final antes de conseguir una fórmula útil de pérdida de energía para
objetivos prácticos. Debemos tener alguna forma de aplicar el cálculo del oscilador armónico
idealizado a los átomos reales. En general, un átomo tiene, digamos, un número Z de electrones
ligados al núcleo. Cada electrón puede actuar como un oscilador objetivo para la transferencia de
energía y, en realidad, actuar como uno de una serie infinita de osciladores, correspondiente a cada
una de sus posibles transiciones cuánticas. Por supuesto, las transiciones de energía de magnitud ε i
corresponden a los osciladores de frecuencia ωi = ε i . Es posible asignar una fuerza de oscilador,
fi, hasta la transición i, definida como el radio de la tasa real de absorción de energía de esa
transición energía a la de un oscilador armónico correspondiente. Por tanto, el argumento semi
clásico es que cada electrón dedica alguna fracción de tiempo a comportarse como si fuese cada uno
de los posibles osciladores y, por consiguiente, ∑ fi = Z . Existe un teorema más riguroso de física
cuántica denominado la regla de la suma f de Thomas-Reiche- Kuhn, que afirma que la suma de
todas las fuerzas posibles de transición del oscilador desde un nivel específico es igual al número de
electrones en ese nivel. Si se aplicase esto a ciegas a todos los electrones del átomo, se obtendría la
misma ecuación.
Para obtener la tasa total de pérdida de energía de las colisiones con una densidad de átomos na,
cuyo número atómico es Z, añadimos las contribuciones de todas las transiciones posibles
compensadas por la fuerza del oscilador de esa transición. Por lo tanto, obtenemos lo siguiente para
el término logarítmico:
donde hemos definido un tipo de frecuencia media del oscilador ω mediante la ecuación:
la tasa total clásica de pérdida de energía es, por tanto:
donde hemos sustituido la carga y masa del electrón y, para mayor brevedad, hemos indicado el
argumento del logaritmo mediante:
En realidad, resulta posible evaluar las transformadas de Fourier de los campos relativistas de la
ecuación (6.30) en forma cerrada y llevar a cabo la integración de las funciones modificadas de
Bessel obtenidas de esta forma [ref. 6.2.3]. Una vez realizado eso, aparecen dos correcciones muy
pequeñas en nuestra fórmula. El argumento del logaritmo se multiplica por el factor 1,123 y se añade
un término relativista adicional equivalente a la sustitución.
Ninguna de estas correcciones es significativa desde el punto de vista cuantitativo. Bohr fue el
primero en obtener el resultado en 1913, antes del desarrollo de la mecánica cuántica. Tal y como
están las cosas, apenas está completa, ya que se tiene que calcular el promedio ω . Sin embargo,
dado que ω solamente aparece en el logaritmo, incluso un cálculo aproximado, como por ejemplo
establecer
ω
igual al potencial de ionización del átomo, nos proporcionará una fórmula
cuantitativa útil para la pérdida de energía.
6.2.4 Efectos cuánticos en colisiones cerradas
Para que se aplique el parámetro clásico de impacto mínimo b90 es necesario que las partículas de las
colisiones se comporten como partículas puntuales hasta ese parámetro de impacto. Sin embargo, la
mecánica cuántica nos enseña que las partículas no se comportan como puntos perfectos. El
principio de incertidumbre de Heizenberg declara que la partícula se ubica solamente dentro de la
incertidumbre de una posición ∆ x si la incertidumbre de su momento es ∆ p, tal que ∆ x ∆ p ≈ . Por
otra parte, se puede decir que una partícula con momento p = γ mv se comporta como una onda con
vector de onda k = p . O, de nuevo, se puede afirmar que el momento angular orbital se cuantiza
en unidades indivisibles de . Todas estas son formas de indicar que en las colisiones la posición
efectiva de una partícula se extiende sobre una distancia de orden p . Por consiguiente, los efectos
cuánticos evitan que extendamos la integración clásica sobre los parámetros de impacto por debajo
de un valor de:
El valor límite inferior del parámetro clásico de impacto b90 se aplicará únicamente si:
donde α es la constante de la estructura fina, aproximadamente 1/137. Este criterio es un requisito
por el que la velocidad de colisión con los objetivos electrón debería ser inferior a Z1c/137.
En la práctica, esto quiere decir que los electrones con energía superior a 1,9 keV, los protones con
energía superior a 3,5 MeV, o las partículas alfa con energía superior a 55 MeV no se tratarán de
forma adecuada si se utiliza el valor límite clásico inferior de parámetro de impacto. En su lugar, se
puede obtener una aproximación al resultado mecánico-cuántico simplemente eliminando la
integración del parámetro de impacto en bq en lugar de b90. Si seleccionamos 3 bq = 2γ me v , en las
colisiones de partículas pesadas con átomos, para las que mr = me:
____________________________
3
Aquí, el factor de 2 único artífice real que proporciona el argumento del logaritmo igual al que se obtuvo mediante el
cálculo total cuántico.
Por tanto, este valor es consistente con el que se obtuvo para el caso relativista utilizando un
tratamiento de dispersión cuántico y la primera aproximación de Born, por Bethe (1930),
donde de nuevo, el término final, v02 c 2 , que no hemos derivado, es a lo sumo una pequeña
corrección.
Si el proyectil es un electrón o un positrón, el valor límite cuántico debe calcularse en el marco del
centro de masa y la expresión se transforma en:
6.2.5 Valores de la potencia de frenado
Hasta ahora hemos dejado pendiente el asunto sobre el valor que se debe tomar para
ω . Bloch
(1933) demostró, a partir del análisis del modelo de Thomas-Fermi de la distribución de carga del
electrón en un átomo, que se puede esperar que ω α Z . En reconocimiento al trabajo de Bethe y
Bloch, la ecuación 6.43 se conoce a menudo como la fórmula de Bethe-Bloch, que normalmente se
escribe:
correspondiendo la cantidad B, denominada “número atómico de frenado”, al factor:
Además, B/Z se denomina la “potencia de frenado” por electrón (atómico), reconociendo que un
átomo tiene Z electrones. La potencia de frenado se determina a partir de los experimentos, y el valor
adecuado que se debe utilizar para ω se determina a partir de esas mediciones.
No hemos analizado una complicación que surge como consecuencia de que nuestro tratamiento ha
supuesto que la velocidad orbital de los electrones en el átomo se puede ignorar en relación a la
velocidad de la partícula incidente. Este no es el caso cuando tratamos con electrones de shell
interno de átomos de Z alto o con proyectiles de energía incidente muy baja. Entonces se produce
una reducción en el número de frenado, ya que, por ejemplo, los electrones K-shell internos no son
efectivos a la hora de retirar la energía del proyectil. Este efecto queda compensado numéricamente
sustrayendo un término de corrección CK, de tal forma que:
En esta forma, se determina que empíricamente el valor de
ω es aproximadamente 11,5 × Z eV,
y que CK es una función de la cantidad ξ ≡ (c 2 v02 )( Z − 0,3) 2 α 2 (que representa la proporción
cuadrada de la velocidad del K-shell con la velocidad del proyectil). Una forma simple aproximada
para CK sería:
correcta dentro del 10% desde ξ = 0 hasta ξ = 2. Tiende a cero a una energía de proyectil alta y
alcanza el punto máximo aproximadamente en la unidad a velocidad baja, donde ξ ≈ 1 . Evans
(1955) revisó estos y otros detalles.
6.2.6 Efectos de las partículas circundantes en colisiones distantes
Volvamos a nuestro cálculo primitivo de la tasa de pérdida de energía, la ecuación 6.34, que puede
considerarse en la forma siguiente:
En las secciones anteriores hemos analizado las elecciones adecuadas del valor de bmin basadas en
los efectos clásicos de ángulos grandes de dispersión (dado b90) o los efectos mecánico-cuánticos de
la longitud de onda de Broglie de la combinación proyectil-objetivo. Además, hemos analizado la
elección adecuada del valor de bmax basada en los efectos de las vinculaciones de los objetivos del
electrón a sus núcleos. Sin embargo, en ocasiones puede existir otro efecto más importante que la
estructura atómica de enlace a la hora de determinar el valor de bmax, en concreto, la influencia de las
partículas circundantes.
Hasta ahora hemos supuesto de forma tácita que la interacción del proyectil y cualquier objetivo
específico se puede abordar ignorando los efectos de otros objetivos cercanos. Hemos calculado la
interacción proyectil-objetivo por separado y supuesto que podemos añadir los efectos de todos los
distintos objetivos a través de una integración simple de parámetro de impacto. Es posible que no sea
este el caso. Por ejemplo, definitivamente no es el caso cuando los electrones del objetivo no están
enlazados, o en otras palabras, para un objetivo de plasma. En ese caso, no existe un límite
intrínseco a la integral de colisión que surja de los efectos del oscilador presentados en la sección
6.2.1 y el efecto de las partículas cercanas básicamente siempre determina el valor de bmax. Incluso
en las colisiones con la materia atómica, especialmente para los electrones relativistas, el efecto de
partículas cercanas puede reducir de forma significativa la tasa de transferencia de energía. En el
contexto de la colisión atómica, las correcciones son referidas a menudo como el “efecto de
densidad”, ya que son más significativas para la materia de alta densidad.
Se sigue dando el caso de que la transferencia de energía al objetivo surge del campo eléctrico
producido por el proyectil incidente. Sin embargo, lo que necesitamos es justificar la influencia de
las otras partículas en el medio del objetivo en el campo eléctrico que el proyectil produce en un
objetivo concreto. Expresado de esta forma, queda claro de inmediato que es necesario que tengamos
en cuenta las propiedades dieléctricas del medio del objetivo. Las partículas individuales del medio
responden a la influencia de la carga (en este caso, el proyectil), para de esta forma alterar el campo
eléctrico en el medio al que hubiese pertenecido. Esto es exactamente los que queremos decir con la
respuesta dieléctrica del medio.
Aunque, por supuesto, no es la respuesta dieléctrica de estado estacionario que necesitamos sino la
respuesta a frecuencias alta que interesa en las colisiones. Además, cuando pensamos en el medio de
un objetivo, consistente en la densidad de osciladores idealizado, como hicimos anteriormente, son
las propiedades mismas de esos osciladores las que determinan la respuesta dieléctrica a frecuencias
cercanas a sus frecuencias resonantes. Por consiguiente, la respuesta dieléctrica y la respuesta
colisional de pérdida de energía no son dos propiedades distintas del medio, sino que están
íntimamente conectadas.
El modelo de oscilador idealizado se puede generalizar para analizar un medio en el que cualquier
permitividad dieléctrica relativa ( ω ) tenga una forma resonante ( – 1 α ( ω – ω i)–1), y, por tanto,
se pueda obtener una expresión para la tasa de pérdida de energía de un proyectil incidente a esta
resonancia. Fermi (1940) fue el primero en proporcionar la siguiente fórmula, la cual nos llevaría
demasiado tiempo volver a derivar, para la pérdida de energía atribuible a las colisiones con
parámetro de impacto mayor que a:
donde ℜ indica la parte real, β = v0 c , K1 y K2 son funciones modificadas de Bessel y su
argumento es s, tal que:
Se puede demostrar, pero no de forma trivial, [Jackson] que este dK d se reduce a la expresión de
Bohr (ecuación 6.39) si se omite el término β 2ε (ω ) en s.
En lugar de buscar el tema para el caso atómico, consideremos un argumento sencillo para un
plasma. La constante dieléctrica para un plasma (magnético de campo libre) a frecuencia alta es:
donde:
se denomina la frecuencia de plasma. Por lo tanto, cuando la frecuencia de campo que nos interesa
es inferior a ω p, la constante dieléctrica es negativa y los campos eléctricos de onda dejan de
propagarse en el medio y, en su lugar, se deterioran exponencialmente a medida que se distancian
de su fuente. Como ya hemos visto anteriormente, en las colisiones, la frecuencia del campo
eléctrico de interacción es aproximadamente v0 b . Por consiguiente, para un parámetro de impacto,
b, mayor que v0 ω p , supondríamos que la efectividad de las colisiones disminuyese debido a los
efectos dieléctricos. Si aplicamos este valor para bmax obtenemos una expresión de tasa de pérdida de
energía correspondiente a la ecuación 6.37:
pero con Λ dada aproximadamente por:
Por tanto, lo que en efecto hemos hecho ha sido sustituir el valor bmax = γ v0 ω en la definición de
Λ en la ecuación (6.38) por:
El factor por el que se multiplica el argumento logarítmico Λ de la fórmula de Bethe-Bloch es, por lo
tanto, γω p ω . Pero el efecto de densidad solamente puede reducir la tasa de absorción, por lo que
deberíamos haber utilizado de forma más adecuada bmax = min(v0 ω p , γ v0 ω ) . Los electrones se
comportan como libres cuando ω > ωij ∼ ω . De ahí que el comportamiento similar al plasma, es
decir de electrón libre, se de solamente cuando ω p > ω , que es cuando se aplica la expresión de
plasma para bmax, ya que es la más pequeña.
Se puede obtener un cálculo aproximado de la razón de ω p ω tomando que la densidad de los
átomos en un sólido es aproximadamente 1030 m–3, y la densidad del electrón Z veces esa cantidad.
Por lo tanto:
Para elementos sólidos de peso medio,
ω ∼ 11Z eV, por lo que esperamos que el efecto del
plasma sea ligeramente más perceptible ya que en base a esto ω p ω > 1 . No obstante, la cuestión
es algo más complicada ya que no todos los electrones se van a comportar como si fuesen libres, por
lo que de alguna manera hemos sobrestimado la densidad de los electrones que se comportan como
libres. En casos relativistas extremos, γ 1 dominará siempre el efecto de densidad del plasma.
6.3 Dispersión angular desde el núcleo
Hasta ahora hemos analizado la pérdida de energía del proyectil y nos hemos centrado en sus
interacciones con los electrones. Esta concentración en objetivos de electrón es completamente
adecuado para el cálculo de la pérdida de energía ya que, como se ilustra en la ecuación (6.21) o en
la (6.34), la tasa de pérdida de energía es, tradicionalmente, inversamente proporcional a la masa de
la partícula del objetivo 4 . Por lo tanto, de hecho, la pérdida de energía se da, predominantemente en
las partículas ligeras y los electrones, y este predominio depende únicamente de la dinámica
elemental de las colisiones. Sin embargo, además de perder energía, el proyectil también
experimenta normalmente una dispersión angular en la dirección de su velocidad. Si nos interesa
esta dispersión angular, al igual que interesó en los experimentos originales de Rutherford sobre este
tipo de dispersión de las partículas alfa, que establecía que el núcleo es mucho más pequeño que el
átomo, entonces las colisiones con las partículas pesadas de nuestro medio de dispersión, el núcleo
de los átomos o los iones de un plasma, son importantes. Este proceso, ilustrado en la figura 6.7, se
denomina a menudo “dispersión elástica”, aunque esta expresión puede considerarse a veces
engañosa si se tiene en cuenta que el proyectil pierde cierta energía durante la colisión y que el
proceso no es más elástico que una colisión con un electrón libre. Por ejemplo:
Figura 6.7. La dispersión angular desde el núcleo sólo se da si el parámetro de impacto es inferior al
tamaño de la nube de electrón.
Desde el punto de vista cualitativo, la relativa importancia de la pérdida de energía y de la dispersión
angular se puede entender imaginando la diferencia entre el choque de una bola de ping-pong con
una disposición aleatoria de bolas de billar, o viceversa. En el primer caso, el proyectil ligero
rebotará alrededor modificando su dirección de movimiento muchas veces antes de perder su
energía, mientras que en el segundo caso, el proyectil pesado (la bola de billar), se abrirá camino a
través de los objetivos ligeros (las bolas de ping-pong), perdiendo la energía con mayor rapidez que
desvía su dirección.
_________________________
4
Se puede hacer un seguimiento de esta proporcionalidad hasta la dependencia inversa de la transferencia de energía en
una colisión en m2, pero únicamente debido a que se da la cancelación de los factores de masa reducida en el producto
Qb902 .
La dispersión angular de una partícula en una colisión clásica de Coulomb está gobernada por la
fórmula de Rutherford para la sección transversal de dispersión diferencial por unidad de ángulo
sólido en un ángulo de dispersión en el marco del centro de masa, χ c,
Esta fórmula, que se puede derivar fácilmente a partir de las consideraciones de la sección 6.1.1,
muestra que la dispersión predominante tiene lugar a través de ángulos pequeños, los cuales surgen
de parámetros de impacto grandes. Por supuesto, existen algunas colisiones que surgen de
parámetros de impacto pequeños, cercanos a b90, que dan lugar a ángulos de dispersión grandes,
aunque son inferiores en número a las colisiones de ángulo pequeño. Por lo tanto, para cuando la
probabilidad de dispersión por un ángulo grande sea significativa, dispersiones múltiples de ángulos
pequeños habrán provocado un tipo de difusión de la dirección de las partículas en velocidad
perpendicular. En la figura 6.8 se ilustra una situación idealizada, en la que la pérdida de energía del
proyectil se toma como cero, por lo que su vector velocidad tiene una magnitud constante y se
mueve formando una esfera. Tomando como dirección inicial la orientada a lo largo del eje z, cada
colisión de ángulo pequeño da lugar a que se tome un escalón aleatorio en el plano (vx, vy).
Figura 6.8. Múltiples colisiones de Coulomb de ángulo pequeño provocan una “andadura aleatoria”
difusa del ángulo de la velocidad del proyectil, o de forma equivalente, de sus componentes
perpendiculares.
Dejando momentáneamente a un lado las colisiones de ángulo grande, podemos tratar la dispersión
angular total que experimenta un proyectil que pasa por una longitud finita de trayectoria de
dispersión como resultado de muchas dispersiones, cada una de las cuales tiene una dirección y
magnitud aleatorias, gobernadas por el hecho de que cot ( χ c 2) = b b90 (ecuación 6.17). Aunque no
podemos calcular cuál será el ángulo final de cualquier proyectil individual, podemos tratar todo el
proceso de forma estadística suponiendo que habrá muchas dispersiones de ángulos pequeños. En
realidad, para este cálculo no es necesaria la sección transversal diferencial por unidad de ángulo
sólido de Rutherford sino la sección transversal diferencial por unidad de ángulo de dispersión χ c ,
cuyo resultado se obtiene inmediatamente a partir de nuestras fórmulas anteriores.
El ángulo de dispersión medio que experimentan los proyectil es siempre cero, ya existe la misma
probabilidad de que se de una dispersión en ángulos positivos que negativos. La dispersión es
isótropa en el plano (vx, vy). La propagación de los ángulos de dispersión de cuantifica mediante la
media cuadrada del ángulo dispersión, que es distinto de cero, y que se puede evaluar de la forma
siguiente. Las colisiones sucesivas son estadísticamente independientes las unas de las otras. El valor
final de vx viene dado por la suma de los escalones en vx en cada una de las colisiones individuales.
(Igualmente para vy). Por lo tanto, utilizamos el teorema básico estadístico que indica que la varianza
– que es el valor de la media cuadrada para una variable aleatoria de media cero – de la suma de
variables independientes aleatorias, es la suma de las varianzas.
Realizamos esta suma dividiendo las colisiones en rangos adecuados de ángulos de dispersión d χ c y
ángulos acimutales do/ . El número de escalones por unidad de longitud de trayectoria perteneciente
a estos rangos es:
y el cambio que dichas colisiones provocan en vx es:
Aquí, la cantidad ( mr m1 )v0 es la velocidad inicial y final de la partícula incidente (1) en el marco
de centro de masa. Por consiguiente, la varianza total de vx por unidad de longitud de la trayectoria
que surge de todos los posibles tipos de colisiones es:
Realizando la integración sobre el ángulo acimutal, o/ , y sustituyendo por la sección transversal
diferencial de la ecuación (6.56), obtenemos:
La integral final se puede transformar utilizando identidades trigonométricas, transformándose en:
El límite superior de la integral es s = 1. La singularidad de esta expresión en el límite inferior cero
de s muestra de nuevo la necesidad, ya familiar, de un valor límite de la integral de la colisión en
parámetros de impacto grandes ( χ c pequeño o s). Ese valor límite, junto con la ecuación(6.19),
1
forman el valor de la integral 8(ln bmax b90 − ) , donde bmax es el parámetro de impacto máximo y el
2
término
1
2
debería eliminarse, ya que es un artefacto de la aproximación que implica nuestro uso de
la ecuación (6.58). En el caso de dispersión por un plasma, el valor límite del parámetro de impacto
relevante es la longitud más allá de la cual las interacciones colectivas en el plasma eliminan el
campo eléctrico de los núcleos individuales. Esta distancia se denomina la longitud de Debye.
Cuando la dispersión procede de átomos neutrales, la longitud del valor límite relevante corresponde
al tamaño del átomo, ya que para los parámetros de impacto mayores que el átomo, el proyectil
observa todo el átomo, y es neutral debido a sus electrones más que a un simple núcleo.
El componente y, vy, está gobernado por un tratamiento similar y, por consiguiente el cuadrado de la
velocidad transversal total v⊥2 = vx2 + v y2 se desarrolla de la siguiente forma:
siendo bmax aproximadamente del tamaño del átomo. Para ángulos pequeños θ ≈ v⊥ v , por lo que
esta ecuación se puede escribir en términos del ángulo de la dirección de la velocidad dispersa:
Después de la longitud de una trayectoria finita , existe una distribución de v ⊥ con varianza:
que suponemos sigue siendo pequeño comparado con v02 , por lo que esas aproximaciones de ángulo
pequeño siguen siendo válidas. Puesto que esta distribución surge de numerosas dispersiones
independientes, se transforma en aproximación gaussiana (siguiendo el teorema estadístico del límite
central):
con vx2
dado por la ecuación (6.64). Por otro lado, podemos considerar que la forma gaussiana
surge como consecuencia de que la distribución partícula experimenta una difusión de velocidad
desde una distribución inicial localizada (función delta) a v ⊥ = 0 . En este caso la solución de la
ecuación de difusión es esta forma gaussiana.
El blindaje del núcleo y sus electrones atómicos determinan el parámetro de impacto máximo
(mínimo χ c ). El proyectil verá un núcleo desnudo solamente en el caso de parámetros de impacto de
tamaño pequeño en comparación con el átomo, ya que entonces penetra en lo más profundo de la
nube de blindaje del electrón. Por lo tanto, bmax es aproximadamente el radio de la nube de electrón
que rodea al núcleo. Normalmente, se requiere que tenga un tamaño característico de
aproximadamente 5 a0 Z 1 3 .
No existe ninguna necesidad matemática de suprimir el límite superior de la integral χ c a un valor
inferior a χ c = π , es decir s = 1. Sin embargo, si están implicadas partículas muy energéticas, el
valor de b90, que es inversamente proporcional a la energía de partículas, se vuelve muy pequeño, y
finalmente llega a ser inferior al tamaño del núcleo. En ese caso, la dispersión de ángulo grande se
ve afectada por la estructura del propio núcleo y así también el límite superior. Por supuesto, esta es
la base para las investigaciones de física experimental de alta energía de la estructura nuclear por la
dispersión de electrones, pero necesita de energías de electrones superiores a aproximadamente
Ze 2 (4πε 0 rπ ) (≈ Z MeV) , donde rn es el radio nuclear de orden 10–15 m, y Z su carga nuclear.
6.4 Resumen
La fuerza de Coulomb a larga distancia gobierna las colisiones de partículas cargadas. El alcance de
esa fuerza está limitado por uno de los muchos procesos diferentes, dependiendo de la situación
física exacta a un parámetro de impacto máximo bmax. Se necesita también un parámetro de impacto
mínimo para el proceso en el caso de que se realicen aproximaciones tales como que las colisiones
tengan una trayectoria de línea recta, o si los efectos cuánticos son importantes. En la tabla 6.1 se
resumen las situaciones analizadas.
__________________________
5
Véase M.Born, Atomic Physics (Física Atómica), 8ª ed., Blackie pág. 199, para más información sobre la derivación de
la distribución de Thomas-Fermi de la densidad del electrón alrededor de un átomo, basada en el principio de exclusión
de Pauli y en una aproximación continua.
Tabla 6.1. Resumen de los cálculos de las colisiones.
En las colisiones de la partícula 1 del proyectil, la velocidad inicial v0, con partículas del tipo 2,
densidad n2, la tasa de pérdida de energía cinética K por unidad de longitud de trayectoria viene
dada por:
y la dispersión angular de los núcleos viene dada por:
estando indicados los valores ln Λ . Para otras definiciones véanse las ecuaciones (6.18) y (6.3).