Boletín 4

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica
Grado en Ingeniería de Organización Industrial
Fı́sica I
Boletı́n 4: Dinámica de la partı́cula
4.1.- Se trata de analizar el efecto de la fricción en la caı́da de un cuerpo pequeño, como
puede ser una gota de lluvia.
1. Inicialmente consideramos despreciable el rozamiento. Si tenemos una gota de agua de
radio 0.50 mm que cae verticalmente, partiendo del reposo desde una altura h = 2 km,
¿cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? ¿Con qué velocidad impacta? Suponga
g = 9.81 m/s2 .
2. Para este mismo caso ideal, determine la energı́a cinética, potencial y mecánica en el
punto inicial y el punto final del movimiento, ası́ como para una altura z arbitraria.
3. Un cuerpo pequeño inmerso en un fluido experimenta una fuerza de fricción viscosa
de la forma Fr = −γv siendo γ una constante de fricción que para una esfera en aire
es de valor γ(kg/s) = 3.4 × 10−4 R(m) con R el radio de la partı́cula. Si se incluye
esta fuerza, ¿qué ecuación diferencial resulta para la velocidad vertical?
4. Razone que, partiendo de la ecuación anterior, se llega a que la velocidad tiende a un
valor lı́mite.
5. Si prácticamente toda la caı́da de la gota se produce a la velocidad lı́mite, ¿Con qué
velocidad llega al suelo? ¿Cuánto tarda en caer? ¿Cuánta energı́a mecánica se pierde
por el camino?
6. Determine la expresión exacta de la velocidad y la altura como funciones del tiempo.
4.2.- Empleando la ley de conservación de la energı́a, determine la velocidad con la que
un péndulo simple de masa m y longitud l0 pasa por su punto más bajo, como función del
ángulo máximo θ0 con el que se separa de la vertical.
Determine la tensión de la cuerda en el punto más bajo y en el punto de máxima separación
de la vertical.
4.3.- Para las siguientes fuerzas, consideradas en una dimensión
• Peso: F = −mg
• Elástica: F = −k(x − l0 )
• Gravitatoria: F = −GM m/x2
1. Determine la energı́a potencial de la que deriva cada una.
2. Para el caso de la fuerza gravitatoria, calcule la velocidad de escape, definida como
aquella que partiendo de la superficie de un planeta, permite llegar al infinito con
velocidad nula.
4.4.- Una masa m = 10 kg cuelga inicialmente de un hilo de 50 cm de longitud sujeto del
techo a una distancia de 80 cm de la pared más cercana. Para evitar que el primer hilo se
rompa, se afianza la masa sujetándola con un hilo adicional de 50 cm atado horizontalmente
a la pared. Determine la tensión de cada hilo. ¿Ha aumentado o disminuido la tensión del
hilo original?
4.5.- Una partı́cula de masa m, realiza un movimiento rectilı́neo sobre la parte positiva
de un eje cartesiano OX. Cuando la distancia entre la partı́cula y el origen O supera
una cierta longitud b conocida, la partı́cula es atraı́da hacia O por una fuerza de módulo
mk/x2 (siendo k una constante); pero, sin embargo, cuando x < b, la partı́cula es repelida
desde O por una fuerza de módulo mbk/x3 .
1. Determine y represente gráficamente la energı́a potencial de la partı́cula en función
de su coordenada x (considerando que dicha función es nula en el infinito y exigiendo
su continuidad en x = b).
2. Sabiendo que la partı́cula inicia su movimiento desde el reposo instantáneo en el punto
P0 de coordenada x = 2b, determine su energı́a mecánica.
3. ¿En qué otro punto alcanzará la partı́cula el reposo instantáneo (punto de retorno)?
¿Cuánto tiempo tardará en llegar desde x = b hasta dicho punto?
4.6.- Una caja de masa m1 = 30 kg desliza entre dos cables verticales con un rozamiento
de 200 N. La caja lleva un dinamómetro cuyo peso está comprendido en los 30 kg citados.
Del dinamómetro se suspende una masa m2 = 25 kg. Sabiendo que la aceleración de la
gravedad es g = 9.81 m/s2 , averiguar lo que marcará el dinamómetro en los siguientes
casos:
1. Cuando se abandona el sistema sin velocidad inicial.
2. Cuando, partiendo del reposo, la caja recibe un empuje hacia abajo de 150 N.
3. Cuando la caja parte del reposo y es empujada hacia arriba con una fuerza de 900 N.
4.7.- Determinar entre qué valores debe estar comprendida m para que el bloque de
M = 100 kg de la figura no deslice, siendo el coeficiente de rozamiento 0.3, y el ángulo
α = 30 ◦ .
k
0
0
1
g
m
a
Problema 7
4.8.- Sea una partı́cula P de masa m cuyo movimiento en el plano OXY se describe
mediante coordenadas polares.
1. Deduzca la expresión de su velocidad areolar respecto al origen de coordenadas O, y
compruebe que la misma es constante en el tiempo si el movimiento transcurre bajo
la acción de una fuerza central en O.
2. Sabiendo que la partı́cula recorre la espiral ρ = ρ0 eϕ sometida a una fuerza central
en O y con condiciones iniciales ϕ(0) = 0 y ϕ̇(0) = ω0 , determine las ecuaciones
horarias ρ = ρ(t) y ϕ = ϕ(t).
4.9.- Una partı́cula de masa m se encuentra contenida en el interior de un tubo estrecho,
el cual gira con velocidad angular ω constante en torno al eje OZ, perpendicular al del
tubo, de forma que la posición de la partı́cula puede escribirse como
x = ρ cos(ωt)
y = ρ sen(ωt)
con ρ = ρ(t) la posición de la partı́cula a lo largo del tubo, función que hay que determinar.
1. Halle la ecuación diferencial para ρ(t) sabiendo que el tubo no puede ejercer fuerza
en la dirección longitudinal.
2. Compruebe que
ρ(t) = Aeωt
es una solución de la ecuación de movimiento anterior.
3. Para esta solución particular
(a) Calcule la fuerza ejercida por el tubo en cada instante.
(b) Halle la potencia desarrollada por el tubo sobre la partı́cula.
(c) Calcule el trabajo realizado sobre la partı́cula durante el tiempo que emplea en
pasar de ρ = b a ρ = 2b.
(d) Evalúe el incremento de energı́a cinética de la partı́cula en el mismo intervalo y
compruebe que se verifica el teorema de las fuerzas vivas o de la energı́a.
4.10.- Una sonda espacial, considerada como un punto material P de masa m, se mueve
en el plano OXY (descrito mediante las coordenadas polares ρ y ϕ de la figura) cuyo
origen O coincide con el centro de un planeta de radio R. Éste ejerce sobre la sonda una
fuerza de atracción gravitatoria conservativa, cuya energı́a potencial asociada viene dada
por la expresión:
γm
(γ es una constante conocida)
U (ρ) = −
ρ
Mediante la acción de sus motores, la sonda es puesta en órbita desde la superficie del
planeta siguiendo la espiral logarı́tmica de ecuaciones horarias:
ρ(t) = R eλωt ;
ϕ(t) = ωt
(λ y ω son constantes conocidas)
Despreciando las posibles fuerzas de fricción sobre la sonda, ası́ como las pérdidas de masa
asociadas al gasto de combustible, se pide:
1. Deducir razonadamente si el movimiento de la sonda es o no es un movimiento central
con centro en O.
2. Comprobar que la energı́a cinética de la sonda responde a la expresión K = Cρ2 ,
determinando el valor de la constante C en función de las constantes conocidas del
problema.
3. Aplicando el teorema de la energı́a, determinar el trabajo (no conservativo) realizado
por los motores sobre la sonda durante el intervalo de tiempo que tarda ésta en
duplicar su distancia inicial al centro del planeta.
Y
r(t)
P
m
f(t)
O
X
R
Problema 10