Introducción a la integración estocástica

Introducción a la integración estocástica
José R. Berrendero
Departamento de Matemáticas
Universidad Autónoma de Madrid
joser.berrendero@uam.es
Abril 2013
Berrendero (UAM)
Cálculo Estocástico
Mayo 2011
1 / 84
Esquema
1
Notación y revisión de algunos conceptos.
2
Motivación y definición de la integral de Itô.
3
La fórmula de Itô.
4
Aplicaciones.
5
Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales estocásticas.
Principales referencias
Higham, D.J. (2001). An algorithmic introduction to numerical
simulation of stochastic differential equations. SIAM Review, 43, 3,
525–546.
Iacus, S.M. (2008). Simulation and Inference for Stochastic
Differential Equations. Springer.
Steele, J.M. (2001). Stochastic Calculus and Financial Applications.
Springer-Verlag.
1. Notación y repaso de algunos conceptos
Movimiento browniano.
Filtraciones.
Martingalas en tiempo continuo.
Espacios L2 y convergencia en media cuadrática.
El movimiento browniano
Se dice que el proceso {Bt : 0 ≤ t ≤ T } es un movimiento browniano
en [0, T ] si
B0 = 0.
Tiene incrementos independientes, es decir, para cualesquiera
0 ≤ t1 < · · · < tn ≤ T , las variables aleatorias
Bt2 − Bt1 , Bt3 − Bt2 , . . . , Btn − Btn−1
son independientes.
La variable aleatoria Bt − Bs tiene distribución normal de media 0 y
varianza t − s, para todo s < t.
La función t → Bt es continua (con probabilidad 1)
La función de covarianzas de Bt es, Cov[Bs , Bt ] = min{s, t}.
0.0
−0.5
−1.0
−1.5
B(t)
0.5
1.0
1.5
Trayectorias
0.0
0.2
0.4
0.6
t
0.8
1.0
0
−1
−2
B(t)
1
2
Trayectorias
0.0
0.2
0.4
0.6
t
0.8
1.0
Filtraciones
Una filtración es una familia de σ-álgebras {Ft : t ≥ 0} tal que Fs ⊂ Ft
si s < t.
Una filtración se suele usar para representar el flujo de información que
vamos obteniendo al observar cómo evoluciona un proceso en tiempo
continuo. En este caso, Ft = σ(Xs : s < t).
Un proceso {Xt : t ≥ 0} está adaptado a una filtración Ft si Xt es una
función (medible) de la información contenida en Ft .
Escribimos Xt ∈ Ft , para denotar que Xt está adaptado a Ft .
Martingalas en tiempo continuo
Un proceso {Mt : t ≥ 0} es una martingala en tiempo continuo respecto
a la filtración Ft si
E|Mt | < ∞, para todo t ≥ 0.
E(Mt |Fs ) = Ms , para todo 0 ≤ s ≤ t.
Como consecuencia Mt ha de estar adaptada a la filtración Ft y, además,
E(Mt ) = E(M0 ) para todo t ≥ 0.
Una martingala es continua si las trayectorias t → Mt son continuas con
probabilidad uno.
Las definiciones de submartingala y supermartingala son similares.
Condiciones usuales: F0 contiene a todos los subconjuntos de conjuntos
de medida 0 y, además, Ft = ∩s:s>t Fs .
Ejemplos
La filtración más importante es la asociada al movimiento browniano:
Ft = σ(Bs : s ≤ t).
Siempre es posible completarla de forma que verifique las condiciones
usuales.
En lo que sigue Ft denota esta filtración (salvo indicación contraria).
Respecto a esta filtración las tres martingalas continuas más importantes
son:
Mt = Bt .
Mt = Bt2 − t.
Mt = exp{αBt − α2 t/2}.
Espacios L2 y convergencia en media cuadrática
Espacio de probabilidad (Ω, F, P).
Una variable aleatoria pertenece al espacio L2 (dP) si
R
ΩX
2 dP
< ∞.
Equivalentemente, E(X 2 ) < ∞, es decir, pedimos que X tenga varianza
finita.
La norma L2 es kX k =
R
ΩX
2 dP 1/2
= [E(X 2 )]1/2 .
Una sucesión Xn ∈ L2 (dP) converge a X ∈ L2 (dP), o en media cuadrática,
si converge en la norma anterior, es decir, si
lim E[(Xn − X )2 ] = 0 ⇔ kXn − X k → 0.
n→∞
El espacio L2 (dP) es completo, todas las sucesiones de Cauchy son
convergentes.
Simulación de trayectorias del movimiento browniano
Para simular el valor de las trayectorias en n puntos del intervalo [0, T ]:
Definimos δt = T /n y Bj = Btj , donde tj = j δt.
B0 = 0
Bj = Bj−1 +
√
δtZj , donde Z1 , Z2 , . . . son i.i.d. N(0, 1).
n = 500
T = 1
dt = T/n
tiempo = seq(0,T,dt)
dB = sqrt(dt) * rnorm(n)
B = cumsum(dB)
B = c(0,B)
plot(tiempo,B,t=’l’)
Ejercicios
Escribe un programa que simule trayectorias de los procesos siguientes
(relacionados con el movimiento browniano):
El puente browniano: Xt = Bt − tB1 , donde t ∈ [0, 1].
El movimiento browniano con deriva y varianza σ 2 > 0:
Xt = µt + σBt .
Movimiento browniano geométrico: Xt = exp{Bt − t/2}.
2. Motivación y definición de la integral de Itô.
Motivación
Condiciones para que se pueda definir
RT
0
f (w , t)dBt .
La integral para procesos simples.
Isometrı́a de Itô para procesos simples.
Los procesos simples aproximan otros más complicados.
La integral para procesos más complicados.
Propiedades más importantes.
Kiyoshi Itô
Nacido en Inabe en 1915
y fallecido en Kyoto en
2008.
En 1945, obtuvo el grado
de doctor tras su trabajo
sobre cálculo estocástico.
Desarrolló su carrera
hasta 1979 en la
Universidad de Kyoto.
Se le concedió el premio
Gauss cuya entrega
inauguró el ICM 2006 de
Madrid.
Motivación
Xt es un proceso estocástico que describe la evolución aleatoria de cierta
magnitud.
El objetivo es precisar el significado de ecuaciones diferenciales
estocásticas de la forma:
dXt = µ(t, Xt )dt + σ(t, Xt )dBt , con X0 = x0 .
Estas ecuaciones descomponen la variación de la magnitud en dos partes:
La tendencia µ(t, Xt )dt.
Variabilidad alrededor de la tendencia σ(t, Xt )dBt .
Motivación
Si µ(t, Xt ) = µ y σ(t, Xt ) = σ son constantes y ∆t ≈ 0,
∆Xt ≈ µ∆t + σ∆Bt .
Como ∆Bt = Bt+∆t − Bt ≡ N(0, ∆t), entonces
Xt+∆t − Xt ≈ µ∆t + σN(0, ∆t).
Xt tiene las siguientes caracterı́sticas:
Tendencia lineal.
Fluctuaciones aleatorias proporcionales a N(0, ∆t).
Incrementos independientes.
En casos más complicados, tanto la tendencia como la variabilidad
dependen del nivel del proceso, o varı́an sistemáticamente con el tiempo.
Modelo de Black-Scholes
Adecuado como modelo para describir el precio Xt de un activo financiero.
Xt+∆t − Xt
≈ µ∆t + σN(0, ∆t).
Xt
La rentabilidad del activo durante un tiempo ∆t, que viene dada por
(Xt+∆t − Xt )/Xt es aproximadamente proporcional a ∆t más una
variación aleatoria normal con media 0 y varianza σ 2 ∆t.
Este modelo se corresponde con la ecuación diferencial estocástica:
dXt = µXt dt + σXt dBt , con X0 = x0 .
En este caso µ(t, x) = µx y σ(t, x) = σx son funciones lineales.
Notación y objetivo
Notación diferencial e integral
La ecuación dXt = µ(t, Xt )dt + σ(t, Xt )dBt , con X0 = x0 es sólo una
notación abreviada para la expresión integral
Z t
Z t
Xt = x0 +
µ(s, Xs )ds +
σ(s, Xs )dBs .
0
0
Esta
dos conceptos de integral diferentes:
R t expresión involucra
Rt
µ(s,
X
)ds
y
σ(s,
X
s
s )dBs .
0
0
Para cada trayectoria de Xt , la integral
la manera habitual.
Rt
0
µ(s, Xs )ds se puede entender de
Nuestro objetivo es definir una integral estocástica de la forma:
Z T
f (w , t)dBt .
0
¿Qué procesos f (w , t) se pueden integrar?
Los procesos f : Ω × [0, T ] → IR deben cumplir tres condiciones:
Medibilidad (respecto de las σ-álgebras B(IR) y FT × B([0, T ]))
Para cada t, el valor de f (·, t) es función medible de la trayectoria del
browniano hasta el instante t.
Técnicamente, se dice que f está adaptado a Ft , es decir,
f (·, t) ∈ Ft , para todo t ∈ [0, T ].
Integrabilidad:
2
Z
kf k = E
T
2
f (w , t)dt < ∞.
0
Aquı́, kf k es una norma en el espacio producto L2 (dt × dP).
Denotamos por H2 al espacio de procesos que verifican estas condiciones.
La integral para el proceso más simple
Para
f (w , t) = I(a,b] (t) =
definimos
Z
1, t ∈ (a, b]
0, t ∈
/ (a, b]
T
f (w , t)dBt := Bb − Ba .
1.0
1.2
0
0.6
0.4
0.2
0.0
●
−0.2
B(t) y f(t)
0.8
●
0.0
0.2
0.4
0.6
t
0.8
1.0
Procesos simples
Consideramos los procesos simples de la forma,
f (w , t) =
n−1
X
Ai (w )I(ti ,ti+1 ] (t),
i=0
0.6
0.4
0.2
0.0
−0.2
B(t) y f(t)
0.8
1.0
1.2
donde 0 = t0 < t1 < · · · < tn = T es una partición de [0, T ].
0.0
0.2
0.4
0.6
t
0.8
1.0
Procesos simples
Para estos procesos, definimos:
Z
T
f (w , t) dBt :=
0
n−1
X
Ai [Bti+1 − Bti ].
i=0
Las variables que definen el proceso deben cumplir:
Ai ∈ Fti .
E(A2i ) < ∞
Por ejemplo, Ai = Bti cumple estas propiedades.
Isometrı́a de Itô para procesos simples
Teorema
Si f (w , t) es un proceso simple,
Z
T
2
"Z
f (w , t) dt = E
E
0
2 #
T
f (w , t) dBt
.
0
El término de la izquierda es la norma (al cuadrado) de f en
L2 (dP × dt).
RT
El término de la derecha es la norma (al cuadrado) de 0 f (w , t) dBt
en L2 (dP).
La integral es un operador que conserva la norma (es una isometrı́a).
1.0
0.6
B(t) y f(t)
−0.2
0.2
0.6
−0.2
0.2
B(t) y f(t)
1.0
Los procesos simples sirven para aproximar
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.8
1.0
0.6
0.8
1.0
1.0
0.6
B(t) y f(t)
−0.2
0.2
0.6
0.2
−0.2
B(t) y f(t)
0.6
t
1.0
t
0.0
0.2
0.4
0.6
t
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
t
Los procesos simples sirven para aproximar
Teorema
Dado cualquier proceso f ∈ H2 , existe una sucesión de procesos simples fn
tal que
lim kfn − f k = 0,
n→∞
donde k · k es la norma en L2 (dP × dt).
Se puede escribir explı́citamente la sucesión fn que se aproxima a f :
fn (w , t) =
n −1
2X
Ai I(ti ,ti+1 ] (t),
i=1
donde ti = iT /2n y Ai =
1
ti −ti−1
R ti
ti−1
f (w , s) ds.
La integral para procesos más complicados
Para cualquier proceso f ∈ H2 , consideramos la sucesión de procesos
simples tal que limn→∞ kfn − f k = 0.
Definimos
Z
T
Z
f (w , t) dBt := lim
0
n→∞ 0
T
fn (w , t) dBt ,
donde el lı́mite se entiende en el sentido de la norma L2 (dP).
La isometrı́a de Itô garantiza que la sucesión
converge en L2 (dP).
RT
0
fn (w , t) dBt
La definición no depende de la sucesión de aproximación que elijamos.
La isometrı́a de Itô para procesos generales
Teorema
Para cualquier proceso f ∈ H2 , se verifica
"Z
Z
T
f 2 (w , t) dt = E
E
0
2 #
T
f (w , t) dBt
0
.
La integral de Itô como proceso estocástico
Tenemos ya la integral definida para un intervalo [0, T ] fijo, pero queremos
utilizar la integral estocástica para representar procesos.
Para t ∈ [0, T ], podemos considerar el proceso
RT
0
f (w , s)I[0,t] (s) dBs .
El teorema que sigue garantiza que se puede construir una martingala
continua Mt que coincide con este proceso con probabilidad 1:
Teorema
Para cualquier f ∈ H2 , existe una martingala continua {Mt : 0 ≤ t ≤ T }
RT
(respecto a Ft ) tal que Mt (w ) = 0 f (w , s)I[0,t] (s) dBs con probabilidad 1
para todo t ∈ [0, T ].
Notación: Mt (w ) =
Rt
0
f (w , s) dBs .
Las dos propiedades más importantes
Esperanza de la integral:
Las propiedades de las martingalas muestran que para todo f ∈ H2 y
0 ≤ t ≤ T se verifica
Z t
f (w , s)dBs = 0.
E
0
Varianza de la integral:
La isometrı́a de Itô y la propiedad anterior implican
Z t
Z t
2
Var
f (w , s)dBs = E
f (w , s)ds , 0 ≤ t ≤ T .
0
0
Cálculo usando la definición
Usando la definición, vamos a demostrar
Z T
B2
T
Bt dBt = T − .
2
2
0
Paso 1. Construimos una sucesión de procesos simples que converge
al movimiento browniano.
Paso 2. Calculamos las integrales de los procesos simples.
Paso 3. La integral es el lı́mite (en media cuadrática) de la sucesión
de integrales.
Observaciones
Comprobación de las propiedades principales de la integral estocástica:
¿Es una martingala?
i
hR
Rt
t
¿Se verifica E[( 0 Bs dBs )2 ] = E 0 Bs2 ds ?
Comparación con la integral no estocástica.
Si Xt = Bt2 , el resultado que hemos obtenido se puede escribir en
notación diferencial:
Z t
Xt = t + 2
Bs dBs ⇔ dXt = dt + 2Bt dBt .
0
Extensión de la definición de integral
La definición de integral se puede extender a procesos que verifican la
condición
Z T
2
P
f (w , t)dt < ∞ = 1.
0
en lugar de la condición más restrictiva
Z T
2
E
f (w , t)dt < ∞.
0
En este caso la integral ya no es necesariamente una martingala.
La fórmula de Itô que vamos a ver sı́ se cumple para esta versión extendida
de la integral.
Representación de Riemann de la integral
Teorema
Si f : IR → IR es una función continua, y definimos la partición de [0, T ]
dada por ti = iT /n para 0 ≤ i ≤ n, entonces
lim
n→∞
n
X
i=1
Z
f (Bti−1 )(Bti − Bti−1 ) =
T
f (Bs )dBs ,
0
donde el lı́mite significa convergencia en probabilidad.
Integrales de funciones no estocásticas
La integral de Itô da procesos gaussianos si el integrando no es estocástico:
Teorema
Si f : [0, T ] → IR es una función continua, entonces el proceso
Z t
Xt =
f (s)dBs , t ∈ [0, T ]
0
es un proceso gaussiano con incrementos idependientes, media 0, y función
de covarianzas
Z min(s,t)
Cov(Xs , Xt ) =
f 2 (s)ds.
0
Ejercicios
Definimos δt = T /n y Bj = Btj , donde tj = j δt.
Sabemos que
Z
T
Bt dBt = lim
0
n→∞
n−1
X
Bi (Bi+1 − Bi )
i=0
Considera los valores T = 1 y T = 10.
Escribe un programa en R que aproxime el valor de la integral
mediante la suma de Riemann anterior.
Compara el valor obtenido con el de (BT2 − T )/2.
Otras integrales estocásticas
En la definición de integral de Itô, es importante evaluar el integrando
en el extremo inferior de cada intervalo de la partición.
Z
T
Bt dBt = lim
n→∞
0
n−1
X
Bti (Bti+1 − Bti )
i=0
Al contrario de lo que ocurre con la integral habitual, este lı́mite no
coincide con
n−1
X
lim
B ti +ti+1 (Bti+1 − Bti ).
n→∞
i=0
2
2.0
Otras integrales estocásticas
0.0
0.5
1.0
1.5
Ito
Stratonovich
−2
−1
0
1
2
3
4
Ejercicios
Definimos δt = T /n y tj = j δt. Demuestra que
lim
n→∞
Calcula la varianza de
n−1
X
B ti +ti+1 (Bti+1 − Bti ) =
i=0
Rt
2
0 (Bs
2
BT2
.
2
+ s) dBs .
Utiliza la isometrı́a de Itô para demostrar:
Z t
Z t
Z t
E
f (w , s) dBs
g (w , s) dBs = E
f (w , s)g (w , s)ds .
0
0
0
3. Fórmula de Itô
Introducción.
Fórmula para funciones suaves del movimiento browniano.
Fórmula para funciones del tiempo y del movimiento browniano.
Fórmula para procesos de Itô.
Fórmula de Itô
Si para obtener una integral de Riemann tuviéramos que usar la
definición (es decir, definir las sumas de Riemann y calcular su lı́mite)
el concepto mismo de integral no serı́a muy útil.
El teorema fundamental del cálculo permite reducir el cálculo de
integrales al cálculo de primitivas, lo que convierte a la integral en un
concepto mucho más fácil de manejar.
Para la integral estocástica que acabamos de definir existe también
una regla, la fórmula de Itô, para facilitar los cálculos necesarios.
En lo que sigue enunciaremos la regla en diferentes versiones, desde la
más sencilla hasta la más general.
Fórmula para funciones suaves del movimiento browniano
Teorema
Si f : IR → IR es una función c 2 (IR), entonces
Z
Z t
1 t 00
f (Bt ) = f (B0 ) +
f 0 (Bs )dBs +
f (Bs )ds.
2 0
0
Alternativamente, si G es una primitiva de g y existe g 0 y es continua, la
fórmula puede reescribirse:
Z t
Z
1 t 0
g (Bs )dBs = G (Bt ) − G (B0 ) −
g (Bs )ds.
2 0
0
Esta expresión permite aproximar integrales estocásticas a través de la
aproximación de integrales convencionales.
Fórmula para funciones suaves del movimiento browniano
Si comparamos la fórmula con la regla de Barrow tradicional, observamos
que aparece
R t 00 un término nuevo relacionado con la segunda derivada,
(1/2) 0 f (Bs )ds.
En el ejemplo que resolvimos aplicando la definición, g (x) = x, g 0 (x) = 1
y G (x) = x 2 /2. Por lo tanto,
Z
0
t
B2 1
Bs dBs = t −
2
2
Z
t
dt =
0
Bt2
t
− .
2
2
¿Por qué aparece el término nuevo?
Para la integral tradicional sobre el intervalo [0, t] tenemos, si ti = it/n,
f (t) − f (0) =
n−1
X
[f (ti+1 ) − f (ti )]
i=0
=
n−1
X
n−1
f 0 (ti )(ti+1 − ti ) +
i=0
1 X 00
f (ti )(ti+1 − ti )2 + Resto.
2
i=0
Rt
El primer término de la suma converge a 0 f 0 (s)ds y el segundo (y por
tanto todos los incluidos en el resto) converge a cero puesto que
n−1
X
n−1
00
f (ti )(ti+1 − ti )2 =
i=0
y
Pn−1
i=0
00
f (ti )(ti+1 − ti ) converge a
t X 00
f (ti )(ti+1 − ti ),
n
i=0
Rt
0
f 00 (s)ds.
¿Por qué aparece el término nuevo?
El mismo argumento para la integral estocástica:
f (Bt ) − f (B0 ) =
=
n−1
X
i=0
n−1
X
[f (Bti+1 ) − f (Bti )]
n
f 0 (Bti )(Bti+1 − Bti ) +
i=0
1 X 00
f (Bti )(Bti+1 − Bti )2
2
i=1
+ Resto.
Es
esperar que el primer término de la suma converja a
R t razonable
0
0 f (Bs )dBs . Hemos demostrado rigurosamente la convergencia para
f 0 (Bs ) = Bs .
La magnitud esperada de los incrementos (Bti − Bti−1 )2 es
E[(Bti − Bti−1 )2 ] = ti − ti−1 , lo que es una diferencia crucial respecto
al caso de la integral habitual.
¿Por qué aparece el término nuevo?
En media, los términos de segundo orden del desarrollo se comportan
como ti − ti−1 en lugar de (ti − ti−1 )2 .
De hecho,
n−1
X
00
f (Bti )(Bti+1 − Bti )2
i=0
=
n−1
X
i=0
00
f (Bti )(ti+1 − ti ) +
n−1
X
00
f (Bti )[(Bti+1 − Bti )2 − (ti+1 − ti )],
i=0
yR puede demostrarse que el primer término de la suma converge a
t 00
0 f (Bs )ds mientras que el segundo converge a cero.
Ejercicio
Consideramos la integral estocástica
Rt
0
Bs e Bs dBs .
Aplica la fórmula de Itô para demostrar:
Z t
Z
1 t Bs
Bs
Bt
Bs e dBs = 1 + e (Bt − 1) −
e (1 + Bs )ds.
2 0
0
Escribe un programa que aproxime el valor de
relación anterior.
Aproxima el valor de
Z
R1
0
0
Bs e Bs dBs usando la
Bs e Bs dBs mediante
t
Bs e
R1
Bs
dBs ≈
0
donde Bi = Bti , ti = iT /n.
n−1
X
i=0
Bi e Bi (Bi+1 − Bi ),
Fórmula para funciones suaves de t y Bt
Teorema
Sea f : IR+ × IR → IR una función c 1,2 (IR+ × IR). Entonces:
Z t
Z t
Z
1 t
fx (s, Bs )dBs +
ft (s, Bs )ds +
f (t, Bt ) − f (0, 0) =
fxx (s, Bs )ds,
2 0
0
0
donde ft y fx representan las derivadas parciales de f .
Si Xt = f (t, Bt ) en notación diferencial la fórmula se escribe como:
1
dXt = fx (t, Bt )dBt + ft (t, Bt )dt + fxx (t, Bt )dt.
2
La tabla de multiplicar de la integración estocástica
La fórmula de Itô corresponde a un desarrollo de Taylor de orden 2 en el
que se aplica la siguiente tabla de multiplicar,
dt
dBt
dt
0
0
dBt
0
dt
La tabla se justifica porque, en términos esperados, (dBt )2 es del mismo
orden que dt.
Aplicación a la obtención de martingalas
Si f (t, x) verifica ft = −fxx /2 y fx cumple la condición de integrabilidad,
entonces el proceso Mt = f (t, Xt ) es una martingala.
1
dMt = fx (t, Bt )dBt + ft (t, Bt )dt + fxx (t, Bt )dt = fx (t, Bt )dBt ,
2
es decir,
Z
t
Mt = M0 +
fx (s, Bs ) dBs .
0
Ejemplos:
Mt = Bt
Mt = Bt2 − t
Mt = exp(αBt − α2 t/2), para cualquier α.
Ejercicios
Se define el proceso Xt = Btn , donde n ≥ 2 y {Bt : t ≥ 0} es el
movimiento browniano.
(a) Aplica la fórmula de Itô para obtener la ecuación diferencial
estocástica que satisface Xt . Escribe la ecuación usando tanto la
notación diferencial como la notación integral.
(b) Sea Z una variable aleatoria con distribución normal estándar. A
partir del resultado del apartado anterior demuestra que
E(Z n ) = (n − 1)E(Z n−2 ), si n ≥ 2.
Encuentra la ecuación diferencial estocástica verificada por los
procesos siguientes:
(a) Xt = Bt /(1 + t).
(b) Xt = sen Bt .
Fórmula de Itô: caso general
Consideramos un proceso que verifica:
dXt = a(w , t)dt + b(w , t)dBt
Si multiplicamos por f (w , t),
f (w , t)dXt = f (w , t)a(w , t)dt + f (w , t)b(w , t)dBt .
Definimos la integral respecto a Xt :
Z t
Z t
Z t
f (w , s)dXs :=
f (w , s)a(w , s)ds +
f (w , s)b(w , s)dBs .
0
0
0
¿Qué ecuación diferencial estocástica cumple Yt = f (t, Xt )?
Fórmula de Itô: caso general
Operando formalmente,
dYt
1
= ft (t, Xt )dt + fx (t, Xt )dXt + fxx (t, Xt )(dXt )2
2
1
= ft (t, Xt )dt + fx (t, Xt )dXt + fxx (t, Xt )b 2 (w , t)dt
2
1
2
= ft (t, Xt ) + fx (t, Xt )a(w , t) + fxx (t, Xt )b (w , t) dt
2
+ fx (t, Xt )b(w , t)dBt .
Hemos usado la tabla de multiplicar anterior.
La fórmula de Itô, en el caso general, es el teorema que garantiza que las
manipulaciones anteriores son correctas.
Teorema
Sea f : IR+ × IR → IR una función c 1,2 (IR+ × IR) y sea {Xt : 0 ≤ t ≤ T }
un proceso estándar. Entonces:
Z t
Z t
f (t, Xt ) − f (0, 0) =
ft (s, Xs )ds +
fx (s, Xs )dXs
0
0
Z t
1
+
fxx (x, Xs )b 2 (w , s)ds.
2 0
4. Aplicaciones
Ecuación diferencial estocástica de Black-Scholes.
La fórmula de Black-Scholes.
Ecuación diferencial estocástica de Ornstein-Uhlenbeck.
La ecuación de Black-Scholes
Elementos que intervienen en la ecuación:
St es el precio de un activo financiero en el instante t.
µ es la rentabilidad media del activo.
σ es la volatilidad (desviación tı́pica) que caracteriza las fluctuaciones
de St alrededor de su media.
Black y Scholes propusieron la siguiente ecuación para St :
dSt = µSt dt + σSt dBt .
Interpretación:
St+∆t − St
≈ µ∆t + σ(Bt+∆t − Bt ).
St
Ejercicios
De acuerdo con el cálculo integral habitual, la función exponencial
f (t) = e t está caracterizada por la propiedad
Z t
f (s)ds.
f (t) − f (0) =
0
Esta propiedad sugiere definir la exponencial de Itô como un proceso
estocástico Xt tal que
Z t
Xt − X0 =
Xs dBs .
(1)
0
(a) Verifica que el proceso Xt = exp(Bt ) no es la exponencial de Itô.
(b) Encuentra un proceso de la forma Xt = f (t, Bt ) que sı́ cumpla la
propiedad (1).
(Una fórmula de integración por partes) Utiliza la fórmula de Itô para
demostrar que si h es una función c 1 (IR+ ), entonces
Z t
Z t
h(s)dBs = h(t)Bt −
h0 (s)Bs ds.
0
0
La fórmula de Black-Scholes
La fórmula para valorar una opción europea, obtenida por Black y Scholes
en 1973, se ha convertido en uno de los resultados más conocidos de la
teorı́a de finanzas.
En 1997, Scholes (nacido en 1941 en la provincia de Ontario, en Canadá)
compartió con el economista estadounidense Robert Merton -quien mostró
cómo aplicar la fórmula en situaciones más generales- el Premio Nobel de
Economı́a.
Fischer Black habı́a muerto en 1995, antes de que su trabajo fuese
reconocido con el Nobel.
Opciones europeas
Una opción europea adquirida en t confiere el derecho, pero no la
obligación, de adquirir acciones a un precio K (strike price) en un instante
T > t (expiration date).
La fórmula de Black-Scholes sirve para determinar el valor Vt (en el
instante t < T ) de una opción de este tipo.
St es el precio de las acciones en t. Si ST > K , el inversor ejercerá la
opción obteniendo un beneficio de ST − K . En el caso ST < K no ejercerá
la opción.
El poseedor de una opción, obtendrá en T un pago
h(ST ) = max{0, ST − K }.
El camino hacia la fórmula
El itinerario que conduce a la fórmula de Black-Scholes es el siguiente:
Un argumento de ausencia de arbitraje da lugar a una ecuación
diferencial estocástica que debe satisfacer Vt .
Utilizando la fórmula de Itô, resolver la ecuación diferencial
estocástica se reduce a resolver una ecuación -no estocástica- en
derivadas parciales.
La solución de la ecuación en derivadas parciales es la fórmula de
Black-Scholes.
Un mundo sencillo
Se dice que hay arbitraje cuando existe la oportunidad de obtener un
beneficio sin ningún riesgo.
Un mundo sencillo:
Sólo hay dos instantes de tiempo, un único tipo de acciones, y la
gente está dispuesta a prestar dinero a tipo de interés cero.
En t0 es posible comprar acciones al precio de 2 euros, meter el dinero
a plazo fijo en el banco al tipo de interés cero, o pedir dinero prestado
al mismo tipo.
En el instante t1 , cada acción puede haber incrementado su valor
hasta 4 euros, o puede haber bajado a 1 euro.
Un mundo sencillo
En t0 , una entidad financiera nos ofrece la posibilidad de comprar un
producto por el que nos pagarán 3 euros en t1 si la acción sube y
nada si la acción baja.
Este producto es equivalente a una opción de compra de la acción en
T = t1 por K = 1 euros. Si la acción sube, ejerceremos la opción y
ganaremos 3 euros, mientras que si baja no ejerceremos la opción.
La pregunta es cuál deberı́a ser el precio x de esta oferta en el
instante t0 .
Un mundo sencillo
La solución se obtiene determinando una cartera formada por α acciones y
β euros en bonos a tipo de interés cero, de forma que el dinero obtenido en
T = t1 por mantener esta cartera sea el mismo que el que tendrı́amos si
compráramos la opción (replicating portfolio). Para que no haya arbitraje,
el valor de la cartera en t0 debe coincidir con el precio de la opción.
Cartera Opción
Valor en t0
2α + β
x
Pago en t1 si la acción sube 4α + β
3
Pago en t1 si la acción baja α + β
0
La ecuación diferencial de Black-Scholes
Evolución del precio de las acciones:
dSt = µSt dt + σSt dBt .
Evolución del precio de los bonos sin riesgo:
dβt = r βt dt.
Pago en T : h(ST ) = max{0, ST − K }.
Valor de una cartera con at acciones y bt bonos:
Vt = at St + bt βt .
Condición de contorno: h(ST ) = VT
Condición de autofinanciación:
dVt = at dSt + bt dβt .
La ecuación diferencial de Black-Scholes
Teniendo en cuenta las ecuaciones de precios:
dVt = [at µSt + bt r βt ]dt + at σSt dBt .
Supongamos que Vt = f (t, St ), si aplicamos la fórmula de Itô,
1
2 2
dVt = ft (t, St ) + fx (t, St )µSt + fxx (t, St )σ St dt+fx (t, St )σSt dBt
2
Igualando los coeficientes de las dos últimas ecuaciones tenemos:
at = fx (t, St ).
y
1
µSt fx (t, St ) + bt r βt = ft (t, St ) + fx (t, St )µSt + fxx (t, St )σ 2 St2 .
2
La ecuación diferencial de Black-Scholes
Simplificando y despejando bt ,
1
1
bt =
ft (t, St ) + fxx (t, St )σ 2 St2 .
r βt
2
Por lo tanto,
f (t, St ) = Vt = at St + bt βt
1
1
2 2
ft (t, St ) + fxx (t, St )σ St βt .
= fx (t, St )St +
r βt
2
La función f (t, x) que resuelve el problema es la solución de la
ecuación diferencial de Black-Scholes:
1
ft (t, x) = − σ 2 x 2 fxx (t, x) − rxfx (t, x) + rf (t, x),
2
con la condición de contorno f (T , x) = h(x), para todo x ∈ IR.
Fórmula de Black-Scholes
Sea Φ la función de distribución de la distribución normal estándar y sea
τ = T − t el tiempo residual.
Fórmula de Black-Scholes
El precio de arbitraje en un instante t en el que la acción vale St de una
opción europea que se puede ejercer en T > t a un precio K es
Vt = St Φ(d1 ) − Ke −r τ Φ(d2 ),
donde ,
d1 =
log(St /K ) + (r + σ 2 /2)τ
√
,
σ τ
d2 =
log(St /K ) + (r − σ 2 /2)τ
√
σ τ
y
0
5
Vt
10
15
Fórmula de Black-Scholes
0
5
10
St
15
20
Ecuación de Ornstein-Uhlenbeck
Supongamos que σ > 0 y α > 0. La ecuación de Ornstein-Uhlenbeck es
dXt = −αXt dt + σdBt .
Introducida por Ornstein y Uhlenbeck en 1931 para estudiar el
comportamiento de los gases. Vasicek lo adoptó como modelo para
describir la evolución de los tipos de interés.
Si ∆t ≈ 0, podemos interpretar la ecuación como:
√
Xt+∆t ≈ (1 − α∆t )Xt + σ ∆tZ .
Versión en tiempo continuo de un modelo AR(1).
Existencia y unicidad de soluciones
Teorema
Si los coeficientes de la EDE
dXt = µ(t, Xt )dt + σ(t, Xt )dBt , X0 = x0 , 0 ≤ t ≤ T ,
verifican
|µ(t, x) − µ(t, y )|2 + |σ(t, x) − σ(t, y )|2 ≤ K |x − y |2
y
|µ(t, x)|2 + |σ(t, x)|2 ≤ K (1 + |x|2 ),
entonces existe una solución de la EDE Xt que es continua, adaptada y uniformemente acotada en L2 (dP) (es decir, sup0≤t≤T E(Xt2 ) < ∞). Además,
si Xt e Yt son dos soluciones continuas y acotadas de la EDE,
P{Xt = Yt , para todo t ∈ [0, T ]} = 1.
5. Métodos numéricos para EDE
Método de Euler-Maruyama.
Método de Milstein.
Orden de convergencia.
Objetivo
Queremos simular trayectorias de procesos que resuelven ecuaciones de la
forma:
dXt = f (Xt ) dt + g (Xt ) dBt , X0 = x0 , 0 ≤ t ≤ T .
Suponemos que las funciones f y g sólo dependen de Xt (y no de t).
Dado un horizonte temporal T y un incremento ∆t = T /n,
simulamos la trayectoria en los n + 1 puntos τj = j(∆t), para
j = 0, 1, 2, · · · , n. Denotamos Xj = Xτj .
Los métodos requieren simular previamente un movimiento browniano
en los mismos puntos. Denotamos Bj = Bτj
Método de Euler-Maruyama
Como Xt resuelve la ecuación,
Z τj
Z
Xj = Xj−1 +
f (Xs )ds +
τj−1
τj
g (Xs )dBs
τj−1
Método de Euler-Maruyama
Xj = Xj−1 + f (Xj−1 )∆t + g (Xj−1 )(Bj − Bj−1 )
Más esquemáticamente podemos escribir
√
∆X = f ∆t + g ∆tZ
Problema:
La primera aproximación es O(∆t), pero la segunda es sólo
√
O( ∆t) (en probabilidad)
Método de Milstein
Se trata de mejorar la segunda aproximación mediante la fórmula de Itô
aplicada al proceso Yt = g (Xt )
dYt = [g 0 (Xt )f (Xt ) + g 00 (Xt )g (Xt )2 /2]dt + g 0 (Xt )g (Xt )dBt
Si s ∈ (τ, τ + ∆t) y eliminamos los términos O(∆t),
g (Xs ) − g (Xτ ) ≈ g 0 (Xτ )g (Xτ )(Bs − Bτ )
Método de Milstein
Z
τj
g (Xs )dBs ≈ g (Xj−1 )(Bj − Bj−1 )
τ
Z j−1
τj
+
g 0 (Xj−1 )g (Xj−1 )(Bs − Bj−1 )dBs
τj−1
0
Z
τj
= g (Xj−1 )(Bj − Bj−1 ) + g (Xj−1 )g (Xj−1 )
(Bs − Bj−1 )dBs
τj−1
= g (Xj−1 )(Bj − Bj−1 ) +
g 0 (Xj−1 )g (Xj−1 )
[(Bj − Bj−1 )2 − ∆t]
2
Método de Milstein
Método de Milstein
Xj
= Xj−1 + f (Xj−1 )∆t + g (Xj−1 )(Bj − Bj−1 )
1 0
+
g (Xj−1 )g (Xj−1 )[(Bj − Bj−1 )2 − ∆t]
2
Se añade un término de orden O(∆t) a la aproximación de
Euler-Maruyama.
Más esquemáticamente podemos escribir
√
∆X = f ∆t + g ∆t Z + 0.5 g 0 g ∆t (Z 2 − 1)
Ejemplo: ecuación de Black-Scholes
Ecuación: dXt = µXt dt + σXt dBt , X0 = x0 .
La solución es el movimiento browniano geométrico:
σ2
t + σBt .
Xt = x0 exp
µ−
2
Euler-Maruyama (en rojo):
Xj+1 = Xj + µXj ∆t + σXj (Bj − Bj−1 ).
Milstein (en azul):
Xj+1 = Xj + µXj ∆t + σXj (Bj − Bj−1 )
1 2
+
σ Xj [(Bj − Bj−1 )2 − ∆t]
2
Implementación en R
# Parámetros
mu = 2
sigma = 1
Xcero = 1
Dt = 2^(-6)
T = 1
n = T/Dt
t = seq(0,T,by=Dt)
# Euler-Maruyama y Milstein
EM = numeric(n+1)
M = numeric(n+1)
EM[1] = Xcero
M[1] = Xcero
for (i in 2:{n+1}){
Z = rnorm(1)
EM[i] = EM[i-1] + mu*EM[i-1]*Dt + sigma*EM[i-1]*sqrt(Dt)*Z
M[i] = M[i-1] + mu*M[i-1]*Dt + sigma*M[i-1]*sqrt(Dt)*Z
M[i] = M[i] + 0.5*sigma^2*M[i-1]*(Dt*Z^2 - Dt)
}
plot(t,M,t=’l’,col=’blue’,lwd=2)
lines(t,EM,lwd=2,col=’red’)
0.5
1.0
1.5
2.0
M
2.5
3.0
3.5
Ejemplo: ecuación de Black-Scholes
0.0
0.2
0.4
0.6
t
0.8
1.0
Comparación de ambos métodos
Para valorar la precisión de los métodos:
Simulamos trayectorias de un movimiento browniano con un alto nivel
de refinamiento (por ejemplo, en puntos ti = i dt, donde dt = T /N).
A partir de estas trayectorias, podemos simular las del movimiento
browniano geométrico (que sabemos que es la solución de la ecuación
de Black-Scholes).
Simulamos trayectorias de Xt en puntos τj = j Dt, donde Dt = R dt,
mediante los métodos de Euler-Maruyama y Milstein.
Comparamos los resultados obtenidos en el instante final T .
Al variar R podemos hacernos una idea de cómo dependen los
métodos numéricos del valor Dt.
Ejemplo: ecuación de Black-Scholes
Vamos a considerar R = 1, 2, 4, 8, 16.
En cada caso, calculamos 1000 trayectorias del movimiento browniano
geométrico y de las aproximaciones de Euler-Maruyama y de Milstein.
Para ambas aproximaciones, calculamos
1000
1 X (i)
(i)
eR =
|X̂T − XT |,
1000
i=1
donde X̂ (i) es la trayectoria aproximada y X (i) es el correspondiente
movimiento browniano geométrico.
Representamos log(R) frente a log(eR )
−3.0 −2.5 −2.0 −1.5 −1.0 −0.5
log(error)
0.0
Ejemplo: ecuación de Black-Scholes
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.0
0.5
1.0
1.5
log(R)
Ajustando por mı́nimos cuadrados:
E-M: log(e) ≈ −1.73 + 0.55 log(R)
M: log(e) ≈ −3.26 + 0.92 log(R)
2.0
2.5
Orden de convergencia fuerte
Una aproximación discreta X̂ de un proceso X , basada en un incremento
de discretización ∆, tiene un orden de convergencia fuerte igual a γ si,
para todo T fijo,
E|X̂T − XT | ≤ C · ∆γ ,
para ∆ < ∆0 , donde C y ∆0 no dependen de ∆.
Si la desigualdad anterior se cumple con igualdad aproximada, entonces
log(e) ≈ log(C ) + γ log(∆)
Los resultados numéricos que hemos obtenido apuntan a que γ ≈ 1/2 para
el método de Euler-Maruyama y γ ≈ 1 para el método de Milstein.
Ejercicio
Simula, mediante los métodos de Euler-Maruyama y Milstein, trayectorias
del proceso que resuelve la ecuación diferencial estocástica:
dXt = rXt (K − Xt )dt + βXt dBt , X0 = x0 .
Utiliza los siguientes valores de los parámetros: K = 1, r = 2, β = 0.25 y
x0 = 0.5.