SEGUNDA LEY DE NEWTON

LABORATORIO DE FISICA I
Mediciones y Teoría de Errores
MEDICIONES Y TEORIA DE ERRORES
I. OBJETIVO:
- Comprender y analizar los conceptos fundamentales de medición y teoría de errores
- Aplicar los conceptos de medición y la teoría de errores, utilizado instrumentos de medida en el
laboratorio.
II. PREGUNTAS PREVIAS
1. Definir los conceptos de incertidumbre y exactitud
2. ¿Qué se entiende por región de incerteza?
3. ¿Qué son mediciones directas e indirectas? Cite ejemplos
III. INFORMACION TEÓRICA
A) Medición: el concepto de medición esta relacionada con la acción de comparar una determinada
magnitud física contra un “patrón” preestablecido que reúne determinadas características; el resultado
de la medida se expresa con el valor (magnitud) y su unidad. Por ejemplo, el largo de una mesa L=
250cm.
Algunos instrumentos de medida:
• Regla, vernier, wincha (mide longitud).
• Balanza (mide masa)
• Cronómetro (mide tiempo)
• Probeta (mide volumen)
• Termómetro (mide temperatura)
• Dinamómetro (mide fuerza)
• Transportador (mide ángulos)
• Amperímetro (mide intensidad de corriente)
• Voltímetro ( mide voltaje, tensión)
•
Existen dos formas de realizar mediciones:
A.1. Mediciones directas: cuando hacemos uso de instrumentos de medida y la magnitud física
queda completamente expresa. Ejemplo, altura de una persona h= 1.75m; largo de una mesa
L=250cm.
A.2. Medición indirecta: Son aquellas mediciones físicas que se valen de otras magnitudes medibles
(mediciones directas). Por ejemplo para hallar el área de una pizarra, necesita medir el largo L=2,25m
y ancho a=1,16m, en forma directa y así mediante una relación matemática hallar el área: A=La=
(2,25m)(1,16m)= 2,61m2
Con los instrumentos de medida se requiere determinar el “valor real” de una magnitud física, entre
comillas, porque las medidas nunca permiten obtener el valor real de la magnitud física, esto se debe
a muchas razones. Las más evidentes son: las imperfecciones inevitables en cierto grado de los
aparatos y de nuestros sentidos. Lo que se intenta, es conocer el valor más cercano al valor real, por lo
tanto el valor real no es accesible en la realidad y por ello resulta más propio hablar de medidas y
estimaciones de errores.
B) Aspectos de la medición: Todos los instrumentos de medida dan un grado de Fiabilidad.
B.1. Exactitud: Es la aproximación al valor real utilizando un instrumento de medida.
B.2. Incertidumbre o error (δx ó Δx): es el grado de falla o incerteza con la cual se realiza una
medición.
B.3. Precisión: brinda mayor información. Ejemplo, suponga que un bloque tiene una masa de 50 g.
(valor real) si medimos en una balanza A su valor es 48,9 g. y en una balanza B 47.995 g. entonces la
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medida en A es la más exacta porque se acerca más al valor real y B es más precisa porque posee
mayor información (más dígitos). Además indica la habilidad para reproducir ciertas mediciones con
una exactitud dada.
Como toda medida de una magnitud física no es exacta, posee incertidumbre (error) y generalmente
la incertidumbre es la mínima división o diferencia más pequeña entre dos indicaciones sucesivas del
instrumento de medición, por lo tanto, cuando se exprese el resultado de una magnitud x es necesario
especificar tres elementos: magnitud, incertidumbre y unidad, tal como: x = ( x ± δx ) unidad, la
ausencia de alguna de ellas elimina la información proporcionada. Por ejemplo, el largo de una mesa
L= (250,0± 0,1) cm. se debe tener en cuenta que la lectura y la incertidumbre deben tener las mismas
unidades.
En conclusión el resultado de una medición se indicara siempre con su incertidumbre. Por ejemplo, la
longitud de una caja de fósforos medida con una regla graduada en milímetros es: L=5,4 cm., siendo
su incertidumbre ±0,1 cm. La longitud real se debe encontrar entre la región de incerteza 5,3 cm. Y
5,5 cm. El resultado final será escrito de la siguiente forma: l= (5,4±0,1) cm.
Figura 1
Se puede presentar una magnitud física de dos maneras:
1.
x = ( x ± δx) unidad, donde δx indica la “incertidumbre absoluta” y representa los límites de
2.
confianza dentro de los cuales debe encontrar el valor real. Ej. l= (250,0±0,1) cm.
x = x unidad ± (δx / x ) donde δx / x indica la “incertidumbre relativa o fraccionada”,
también ± (δx / x )100% indica “la incertidumbre relativa porcentual” ó simplemente
“incertidumbre porcentual”.Ej. l = 250cm ± 0.04%
C) Cifras significativas: Cuando se realiza una medición debe incluirse toda la información posible.
La cantidad de dígitos es la manifestación de precisión de una medida, por ello, habrá ciertos números
de dígitos que tendrá significado y trasmita información, el valor depende de la calidad del aparato,
habilidad del experimentador y numero de mediciones realizadas.
Los ceros pueden o no ser cifras significativas:
• Para colocar la coma decimal en números como: 0,05; 0,00015 y 0,00124 estos ceros no son
cifras significativas.
• Si la posición de los ceros viene después de otros dígitos hay la posibilidad de una
interpretación incorrecta. Por ejemplo, suponga que la masa de un objeto es 1500 g este valor
es ambiguo debido a que no sabemos si los dos últimos ceros se utilizan el punto decimal o si
representa cifras significativas en la medición. Con el fin de eliminar esta ambigüedad, es
común utilizar la notación científica para indicar el número de cifras. En este caso, se podría
expresar la masa como 1,5x 103 g si hubiera dos cifras significativas en el valor medido,
1,50x 103 g si hubiera tres y 1,500x103 g si hubiera cuatro cifras.
La longitud de 0,00015 m debe expresarse como 1,5x10-4 m si tuviera dos cifras, como
1,50x10-4 m si tuviera tres cifras.
C.1. Redondeo: La incertidumbre casi siempre se indica con una cifra significativa y el resultado
redondeado en el dígito donde se encuentra el error. Ejemplo: la masa medida es m=(10,45±0,452) g
la incertidumbre tiene tres dígitos pero esta debe tener un dígito, entonces será 0,5 cm, y la lectura es:
m=(10,4±0,4) g.
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Incorrecto
Correcto
L= (250±0,1) cm
m= (250,234 ±0,01) g
t= (24,58±0,1) s
L= (250,0±0,1) cm
m= (250,23±0,01) g
t= (24,6±0,1)s
C.2 Clasificación de Errores
Los errores se clasifican en dos grandes grupos:
C.2.1 Errores Accidentales (o aleatorios): Llamado simplemente error o incertidumbre, se
presentan debido a innumerables causas incontrolables, imprevistas y al azar como: en la lectura
(enfoque, paralaje), condiciones de trabajo (laboratorio). El error accidental se puede minimizar
aumentando el número de mediciones, aunque la presencia de errores accidentales no puede evitarse
si pueden calcularse.
Para estimar errores accidentales existen dos métodos:
1 Estimación externa: Se realiza cuando el numero de mediciones es n<5
•
Cuando se realiza una lectura la incertidumbre viene dado por la mínima división en la
escala del instrumento de medición, Ej. Una regla graduada en milímetros la
incertidumbre es de 1mm. Si la división más pequeña de un termómetro es de 1°C, sin
embargo la longitud de esta división es grande (2mm) de manera que se aprecia
fácilmente la mitad de esta división, entonces el error de la lectura es de 0,5°C.
• Cuando el número de mediciones se repite más de 2 veces para obtener una impresión
rápida de su valor y su error.
Ejemplo:
Las lecturas son:
1,3 m 1,5 m 1,2 m El promedio
1,3333… Residuo
0,0333… 0,1666… 0,1333… Promedio de los resultados de los residuos
0,1111… El resultado final se escribe como:
(1,3±0,1) m 2. Estimación Interna: Se realiza cuando el número de mediciones de una misma magnitud física es
n≥5, esto implica que todas las mediciones realizadas bajo las mismas condiciones dan resultados
distintos, en la proximidad del valor real.
Digamos que las lecturas de la misma magnitud física son. x1, x2, x3, x4,…xi, con i=1, 2, 3,…n donde
n≥5. Se determina la lectura promedio con la definición de promedio aritméticos:
x=
x + x 2 + x3 ... + x n
1 n
xi = 1
∑
n i =1
n
para n≥5
(1)
Para determinar su incertidumbre de la n lectura definimos la “desviación estándar” (δx):
n
δx =
δx =
∑ (x
i =1
i
− x)2
n −1
para n≥5
( x1 − x ) 2 + ( x 2 − x ) 2 + ( x3 − x ) 2 + .........( x n − x ) 2
n −1
3
(2)
(3)
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Finalmente la lectura queda expresada como x = ( x ± δx ) unidad
C.2.2 Errores sistemáticos: estos se repiten constantemente cada vez que se experimente bajo las
mismas condiciones. El error sistemático se puede eliminar si se conoce las causas, pueden surgir por
causa de un instrumento defectuoso (malogrado), calibración del instrumento o usarlo en condiciones
para las que no estaba previsto su uso.
Si al final de una medición se hace referencia al valor real (valor bibliográfico) y se observa que
dicho valor se encuentra dentro de la región de incerteza (figura1), entonces el error es accidental. Si
el valor se encuentra fuera de la región de incerteza, se indica como error sistemático. Por ejemplo: el
resultado con error accidental de la longitud de la caja de fósforo es: l = (5,4 ± 0,1)cm. ;si el valor
real es 4,8 cm entonces existe un error sistemático por que dicho valor se encuentra fuera de la región
de incerteza.
C.3 Incertidumbre en funciones de dos o mas variables
a) Suma y diferencia de dos o mas variables: sea z = x ± y
su incertidumbre es: δz = δx + δy
La incertidumbre de una suma o diferencia es solamente la suma de las incertidumbres individuales
b) Producto: sea z = xy
su incertidumbre es:
δz
z
=
δx
x
+
δy
y
δz δx δy δu δv
xy
c) Producto y cociente:sea z =
su incertidumbre es:
=
+ +
+
z
x
y
u
v
uv
δz
δx
δy
= a
+b
d) Potencia: sea z = cx a y b su incertidumbre es:
z
x
y
x, y, u, v son variables , a, b, c son constantes enteros o fracciones , positivo o negativo.
Ejemplo:
xy
, calcular L y su incertidumbre.
z
x = (200 ± 2)m
Si L =
y = (5,0 ± 0,1)m
z = (10,0 ± 0,5)m
(200m)(5,0m)
= 100m
(10,0m)
δL δx δy δz
=
+ + = 0,01 + 0,02 + 0,05
L
x
y
z
δL = (0,08)(100 m) = 8m
Entonces L =
El resultado final es L= (100±8)m.
BIBLIOGRAFIA SUGERIDA:
• Paul A. Tipler; Fisica, Quinta edicion, Volumen I, Editorial Reverte S.A. España, 1995
• PHYWE Sistems GMRH. Laboratory Experiments. Physics Germany
• MORONE Gregorio. Practicas de Laboratorio De Fisica . Copyrigh. HARLA, S.A. de C.V.
Mexico 1979
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