“A Tensorial Form of the Theory of Functions”.

INGENIERÍA Investigación y Tecnología VI. 1. 1-11, 2005
(artículo arbitrado)
“A Tensorial Form of the Theory of Functions”. An
Engineering Application to: Polynomial Interpolation
J.L. Urrutia-Galicia
Coordinación de Mecánica Aplicada
Instituto de Ingeniería, UNAM
(recibido: febrero de 2004; aceptado: agosto de 2004)
Abstract
From basicconcepts such as: ten sor cal cu lus (Flügge, 1972); func tional anal y sis (Mikhlin, 1964) and solid
me chan ics (Soedel, 1972) the ob jec tive of yhis objetive is to show that be sides the “n” covariant func tions (of
func tional anal y sis), lin early in de pend ent and not nec es sar ily or thogo nal, there is another group of “n”
contravariant func tions that are biorthogonal to the for mer group. The pre sen ta tion of these two fam i lies
gives rise to a new for mu la tion of func tional anal y sis in skew co or di nates. We will see that the con cept of skew
man i folds finds im me di ate ap pli ca bil ity to the prob lem of in ter po la tion of ar bi trary func tions via the use of
the new con cept of covariant and contravariant poly no mi als. The the ory and the ex am ples demon strate that
the prob lems of in ter po la tion and Fou rier anal y sis can be grouped into one sin gle the ory.
Keywords: In ter po la tion, in dex no ta tion, covariant and contravariant poly no mi als, gen eral skew
man i folds (Ten sor cal cu lus), tensorial the ory of func tions, con ver gence.
Resumen
A partir de conceptos básicos de cálculo tensorial (Flügge, 1972), análisis funcional
(Mikhlin, 1964) y de mecánica de sólidos (Soedel, 1972), el objetivo de este artículo es
demostrar que además de las “n” funciones covariantes (de análisis funcional),
linealmente independientes pero no necesariamente ortogonales, existe otro grupo de
“n” funciones contravariantes que son biortogonales al grupo ante rior. La presentación
de estas dos familias de funciones da origen a una nueva formulación de análisis
funcional en coordenadas oblicuas. Veremos que el concepto de espacios coordenados
oblicuos encuentra aplicación inmediata al problema de interpolación de funciones
arbitrarias vía el uso del nuevo concepto de polinomios covariantes y contravariantes. La
teoría y los ejemplos demuestran que los problemas de interpolación y análisis de
Fourier se pueden agrupar y tratar dentro de una sola y única teoría.
Descriptores: Interpolación, notación índice, polinomios covariantes y contravariantes, espacios gener ales oblicuos (cálculo tensorial), teoría tensorial de funciones,
convergencia.
Intro duc tion
One of the most controversial topics in numerical
analysis is the problem of interpolation and a great
variety of approximate methods can be found. However, when we ex am ine “Why and in what sense are
those methods ac curate" we find a disenchan- ting
panorama since there are no answers to those
ques tions (Carnaham et al., 1969) and (Forsythe
et al., 1977). When try ing to ap prox i mate a given
ar bi trary func tionf(x) with some poly no mial
f (x) =
N
∑a x
n= 0
n
n
,
“A Tensorial Form of the Theory of Func tions”. An Engi neering Appli ca tion to: Poly no mial Inte rpolation
it is a common procedure to se lect n + 1 points
and to ob tain the an co ef fi cients from the so lu tion
of the follow ing n + 1 equa tions
1
2
3
n
3
n
a0 + a1 x 0 + a2 x0 + a 3 x 0 +... + an x0 = f (x 0 )
1
2
a0 + a1 x 1 + a2 x1 + a 3 x 1 +... + a n x1 = f (x1 )
............
a0 + a1 x 1n + a2 x2n + a 3 x 3n +... + a n x nn = f (x n )
(1)
It is clear that the choice of the n + 1 points is
not unique, and de fin ing which group is the best is
a tremendous task. There are a great number of
possible sets of points to be selected. However,
we can not decide conclusively from which group
of points we can get our best ap prox i ma tion tof(x).
Quite easily we come across statements like
(Forsythe et al., 1977) “The cri te rion of rea son able ness (of a given polynomial ap proximation to a
func tion f(x)) may vary from problem to problem
and may never be sat is fac to rily un der stood”. When
we deal with measured or tabulated values of a
func tion f(x) that depends on x, one possible ap proach could be the method of di vided dif fer ences
of Newton. Unfortunately, the same doubts arise
with re spect to the ap prox i ma tion and the sense of
con ver gence of the pro posed in ter po la tions.
In experimental analysis, it is usual to cull ex per i men tal val ues fi (x) and val ues of the ex per i mental vari able xi . The problem is to find (Fraleigh and
Beauregard, 1990) some func tion f(x) = r0 + r 1 x
with certain values of r 0 and r1 that fits accurately
our ex per i ments. How ever, no men tion is made of
the sense and rate of con ver gence of the func tion
f(x) ob tained. We only note that some how our func tion ap proaches very closely our data points f i(x).
Maybe one of the most pop u lar meth ods is the
one pro posed by Lagrange. It of fers the pos si bil ity
of getting one spe cial poly no mial that re pro duces
exactly each and every data. However the same
doubt arises regarding ex actness of our ap prox ima tion. At this point it has to be noted that, one
major drawback of other methods is the handling
of se quences like, (1, x, x2 , x3,..., x n) not or thogo nal
among them
by using the Gram-Schmidt
2
INGENIERIA Investigación y Tecnología
orthogonalization procedure in an attempt to get
sim plic ity. In view of this, it is not sur pris ing that in
many prob lems of interpolation we resort to or thogonal polynomials like those of Laguerre,
Chebyshev or Legendre among many others. The
reason for this choice is, ap par ently, a better con ver gence. How ever, no clear def i ni tions of con ver gence are pro vided.
Searching for some clues to the con ver gence of
some in ter po lat ing polynomial we find the following Faber’s The o rem (Forsythe et al ., 1977):
“For any in ter po lat ing array there ex ists a con tin uous func tion g and an x in [a, b] such that Pn(g)(x)
does not con verge to g(x), as n → ∞ ”.
An exam ple of this problem of divergence is
Runge’s Func tion pre sented in ref er ence (Forsythe
et al., 1977).
Up to this point we have been speak ing of in terpolation with orthogonal (Legendre) and with
nonorthogonal functions via different methods
with out men tion ing that the prob lem of in ter po la tion of data or functions can be gathered in the
same math e mat i cal scheme when we develop the
concept of functional analysis with covariant and
~
~
con- travariant man i folds φ n and φ n. This kind of
manifold re cently found and ap plied in the field of
dynamics (Urrutia, 1992a and 1992b) sets up the
basis for a generalized functional analysis with
skew manifolds. We note that in some references
(Urrutia, 1998) and (Bowen et al., 1976) at ten tion is
fo cused on one man i fold un and one dual man i fold
v n which are biorthogonal and are as so ci ated to a
nonsymmetric trans for ma tion ma trix A. For a sym met ric ma trix both spaces are equal and no new in for ma tion is given. In fact in a pre vi ous paper it has
been seen that if the ma trix trans for ma tion is sym met ric we can still be able to cal cu late both man i folds which are identified now as un un =φ n
(covariant man i fold) and γ n=φn contravariant manifold). Be sides, we will not be only con cen trated in
the problem of existence, al ready tackled in
(Urrutia, 1992a and 1992b), but rather in the di rect
FI-UNAM
J.L. Urrutia-Galicia
use of these mathematical tools in the solution
and ap pli ca tion of real prob lems.
Theory
f n= fn. Thus from equa tion (4) the norm of the func~
tion F is equal to
F =
~
Given a set of covariant func tions φ n lin early in de pend ent (not nec es sar ily or thogo nal) in a given domain Ω, there is an other set ~
φ n of contravariant
functions biorthogonal to the for mer ones. There~
fore, given an ar bi trary func tion F in the same do~
main Ω with norm F, can be de com posed in the
fol low ing man ner
∞
∑f
~
F=
∑f
~
φn
n
n =1
nents fn (sca lars) or in the form
~ ∞ ~
F = f n φn
∑
in contravariant basis ~
φ n and covariant components
fn (sca lars). There fore if equa tions (2) and (3) are available we can calculate the norm of the function (or
vec tor, Urrutia, 2003) F~ in the following way
F 2=
∞
∑f
n
fn
n= 1
(4)
 F=
∞
∑f
n =1
n
(5)
n=1
∞
∑f
n
fn
(6a)
∑f
n
(6b)
n= 1
F≥
N
n= 1
fn
Which are the Parseval and Bessel conditions
re spec tively for skew co or di nates.
(3)
n= 1
2
n
for orthogonal lin ear man ifolds. For the general
case of skew coordinates, if the covariant and
contravariant approximations are complete and
convergent we must respect the following two
equations
(2)
~
In covariant basis φn and contravariant com po-
∞
∑f
fn =
n= 1
F=
∞
n
fn
which for skew coordinate functions is the coun ter part and con sti tutes a gen er al iza tion of the Pythag o rean the o rem used in rect an gu lar sys tems in
the the ory of vec tors.
~
A par tic u lar case oc curs, when the man i fold φ n
Norms of Skew Vectors and
Contin uous Func tions
Be fore em bark ing on fur ther de vel op ments, we will
define sev eral op erations used for discrete (vec tors, Urrutia, 2003) and continuous functions in
order to cover both cases in one pre sen ta tion.
~
~
The sca lar prod uct of two vec tors φ n and φ n (or
~n
φ ) and the en ergy norm of the same vec tors with
respect to the op er a tor Kmn are defined by the
following two equa tions
~ ~
~Τ~
< φ n, φm, >= φn φ m
(7)
N M
~
~
~Τ
~
< φ n, K nm φ m >= ∑ ∑ φ n K nmφ m
(8)
n=1 m= 1
is or thogo nal or orthonormal. In this case all mem~
bers of the covariant man i fold φ n are both lin early
~
~
where φ n stands for a column vector, φnΤ is a row
~
vector which is the transpose of φ n and Knm is a
independent and orthogonal. The contravariant
~
~
basis φ n are collinear to the func tions φn and
n
~
therefore, ~
φ is identical to φ n . In the same way
trans for ma tion ma trix.
~
~
The scalar prod uct of two func tions φ n and φ n
m
(or ~
φ ) and the en ergy norm of the same func tions
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“A Tensorial Form of the Theory of Func tions”. An Engi neering Appli ca tion to: Poly no mial Inte rpolation
with re spect to the op er a tor K nm are de fined by the
fol low ing two equa tions
~~
~ ~
< φn, φ m, >= ∫ Ωφn (x ) φ m ( x)dx
m
~
φn = ~
φnm~
φ
(9)
N M
~
~
~
~
< φ n, K nm φ m > = ∑ ∑ ∫ Ωφ n(x)K nmφ m( x)dx
1
In tensor nota tion
(10)
1
Recall that ~
φ 1 ⋅~
φn = ~
φ n ⋅~
φ1 and φ mn = φ nm . In the
same fashion the fol lowing decomposition is
possible
~n
nm ~
φ = φ φm
Despite their different aspect, equations (7) to
(10) stand for an in te gra tion pro cess.
Covariant and Contravariant Basis for
Contin uous Mani folds
We de fine a man i fold in a do main Ω by a set of
n
contravariant func tions ~
φ lin early in de pend ent. A
~
sec ond group of covariant base func tions φ n is defined in the same do main Ω in such a way that the
sca lar prod uct be tween these two kinds of co or din
nates leads us to the Kronecker sym bol δ n as
follows
1m = n
~
m~
~
~
m
m
(11)
∫ Ω φ φn dΩ =< φ n , φ ≥ δ n =
0m ≠ n
~ ~m
φn ⋅ φ = δ mn
~
~
< φ ns φ s ,φ m t φt >= δ mn
φ ns φ m t δts = δ mn
(12)
(13)
n =1
Where C n and C n stand for, the contravariant
and the covariant components of ~
F. Any continuous function can be decomposed in covariant
~n
and contravariant basis ~
φ n and φ . So, it can be
shown that when we attempt to resolve the
covariant base function ~
φ n in covariant com po-
4
(14)
INGENIERIA Investigación y Tecnología
(18)
φ nsφ ms = δ mn
When we fix the value of m and we perform the
sum ma tions over the re peated index s, the following set of m met ric com po nents φmn is obtained
φ1 1φ
ml
+ φ1 2φ
m2
+ φ 13φ
m3
+ φ 14 φ
m4
+ ... + = δ 1
φ2 1φ
ml
+ φ2 2φ
m2
+ φ 23φ
m3
+ φ 24 φ
m4
+ ... + = δ 2 (19)
m
m
φ3 1φ ml + φ3 2φ m2 + φ 33φ m3 + φ 34 φ m4 + ... + = δ 3m
etc
nents the fol low ing re sult is ob tained
~
φn = ~
φ n1 ~
φ 1 +~
φ n2 ~
φ 2 +~
φ n3 ~
φ 3 + ...
(17)
Using the re sults (15) and (16) we find
n=1
~= ∞ n~
F ∑ c φn
(16)
In the last two equa tions φnm and φnm are the
covariant and contravariant met ric ten sors of ten sor cal cu lus. Usually, it is easy to choose an ar bi trary and com plete set of covariant base func tions.
The difficult part had been to find the contravariant base functions, to overcome this difficulty we continue as follows. By hy pothesis we
know that the Kronecker delta func tion is ob tained
when the fol low ing prod uct is per formed (Urrutia,
2003) (now an in te gral)
~
An ar bi trary func tionF can be re solved in these
two man i folds as fol lows
~= ∞ ~n
F ∑ c nφ
(15)
To illustrate the use of equation (19) let us
φm and ~
φ m have
assume that the linear man i folds ~
FI-UNAM
J.L. Urrutia-Galicia
only three components. Then equation (19) will
pro vide us with three sys tems of equa tions. If in
equa tion (19) we set the value of m = 1 one set of
equa tions is ob tained as fol lows with φ mn known
φ 11φ 11 + φ 12 φ 12 + φ 13 φ 13 =1
φ 21 φ 11 + φ 22 φ 12 + φ 23 φ 13 = 0
φ 31φ 11 + φ 32φ 12 + φ 33 φ 13 =0
≤+1. Odd powers (x, x3 , x5, etc) do not intervene
be cause in a later ex am ple the cos (x) func tion (an
even func tion) will be an a lyzed.
First, we have to find the elements of the
covariant met rics as fol lows
1 ~~ dx
~ ~
< φn , φm >= ∫ φ nφ m = φnm
−1
1 2
∴φ 00 = ∫ (1) dx = 2
−1
1
2
φ 02 = ∫ (1)x dx = 2 / 3
−1
(20)
That in ma trix form leads to
 φ11

 φ21
 φ31

φ12
φ22
φ 12
φ 23
φ32
φ 33
11
φ
 12
φ
φ 13

 1 
 = 0 
  
 0 
(21)
In similar fashion we find the rest of the ele ments to ob tain
In sim i lar fash ion
 φ11

 φ21
 φ31

φ12
φ22
φ32
21
φ 12 φ

φ 23 φ 22
 23
φ 33 φ
 0 
 = 1 
  
 0 
φmn
(22)
From equation (19) we find the following
equation
And fi nally,
 φ11 φ12

 φ21 φ22
 φ31 φ32

00
 2 2 / 3 2 / 5  φ   1 

  02   
 2 / 3 2 / 5 2 / 7  φ  =  0 
 2 / 5 2 / 7 2 / 9  φ 0 4   0 


  
31
φ  0 
 32   
φ  = 0 
33
φ33 φ  1 
φ12
φ23
(23)
From this the elements (φmn ) of the contravariant metric tensor (3 × 3 tensor) are calculated.
With the covariant and contravariant metrics φmn
and φmn available we can cal cu late the contravariant base func tions as fol lows
~n
~
φ = φ m n φm
 2 2 / 3 2 / 5


=  2 / 3 2 / 5 2 / 7
 2 / 5 2 / 7 2 / 9


(24)
We can now con tinue with any fur ther anal y sis.
Example 1
~
Given a set of three skew covariant func tions φ 0 =
~
1, ~
φ 2 = x 2 and φ 4 = x4 find the cor re spond ing set
of contravariant functions in the domain – 1≤ x
From where, we ob tain the first row of the metrics ma trix φ mn. With a similar procedure we get
two more equa tions and the rest of the elements
of φmn
φ
mn
.
−8 .2031
73828
.
 17578



=  −8.2031 68 .9063 −738281
.

 7382

.
8
−
738281
.
861328
.


~
With the metric el e ments φ mn we can get the
~
contravariant basis φ n from equa tion (16)
~0
φ = 17578
.
− 82031
.
(x2 ) + 73828
.
(x 4 )
~0
2
4
φ = 17578
.
− 82031
.
x + 7 .3828 4 x
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“A Tensorial Form of the Theory of Func tions”. An Engi neering Appli ca tion to: Poly no mial Inte rpolation
2
2
4
~
φ = −82031
.
+ 68.9063x − 738281
.
x
When the integral is evaluated we see that c0=
0.999958197. If we now per form the sca lar prod uct
of equa tion (24) ~
φ 2 we will get the fol low ing
4
2
4
and ~
φ =7.3828 − 738281
.
x + 86 .1328 x
~2
~2 0 ~
2~
4 ~
< φ ,cos(x) >=< φ ,(c φ0 + c φ4 + c φ4 ) >
The reader can ver ify that the fol low ing equation holds true
From where it is clear that the coefficient c2 is
equal to
Similarly,
m
<~
φn , ~
φ >= ∫
2
1~
2
∫ −1 φ cos(x)dx = c
m
m
~
φ (x)~
φ (x )dx = δ n
−1 n
1
Example 2, an Appli ca tion to
Inter po la tion
Find a poly no mial ap prox i ma tion in three terms to
the func tion cos ( x) in the do main [–1, 1] with the
fol low ing form
Where ~
φ 2=– 8.2031+68.9063 x2– 73.8281 x4.
When the in tegral is performed we see that c2=
–.4999309946. In similar fashion we find c 4 =
0.039793817. Therefore, we have that within the
interval – 1≤ x ≤ 1 the best approximation to the
func tion cos (x) is the fol low ing
cos (x) = c0 + c2 x2 + c 4 x 4
cos (x) = 0999958197
.
− 0499309946
.
x2
cos(x) = c0 φ0 + c2 φ 2 + c4 φ4
Use the covariant func tions ~
φ n and the con~n
travariant func tions φ from example 1. Ac cord ing to
ref er ence (Carnaham et al., 1969) that uses Chebyshev
poly no mi als the so lu tion to this problem is
+0.039793817 x
4
~
~
In the basis ~
φ 0 = 1, φ 2 = x2 and φ 4 = x4 . Ho-
cos( x) = 099995795
.
− 049924045
.
x 2 + 003962674
.
x4
wever, this ap prox i ma tion to cos(x) is not unique as
~ ~
we can re sort to the contravariant func tions φ 0, φ2
and ~
φ 4 from the first ex am ple. To make this fact
clearer, we re quire the fol low ing ap prox i ma tion
Solu tion
cos(x ) = c0 ~
φ 0 + c2 ~
φ 2 + c4 ~
φ4
When we dot mul ti ply equa tion (23) by the co or di~
nate func tion φ 0 we get the fol low ing
~
~
~
~
~
< φ0 , cos( x) >=< φ 0 , (c0 φ0 + c2 φ2 + c4 φ4 ) >
~ ~
If we remember that <φ n, φ m>=δ nm , it is clear
that the co ef fi cient c0 is obtained from the following equa tion, writ ten now in form of an in te gral
1 ~0
∫ − 1φ
co s(x )dx = c0
~
With φ 0 = 1.7578 – 8.2031 x2 + 7.3828 x4.
6
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This is now dot mul ti plied by ~
φ 0 = 1 as fol lows
0
2
4
<~
φ0 , cos (x) > =< ~
φ0 ,( c0 ~
φ + c 2~
φ + c 4~
φ )>
From where the fol low ing re sult is ob tained
1~
0 cos(x) dx = c 0
∫ −1 φ
When the inte gral is done we see that c0=
~
~
~
1.682941973. When φ 0 is re placed by φ 2 and by φ4
we ob tain c 2=0.478267241 and the last co ef fi cient
FI-UNAM
J.L. Urrutia-Galicia
c4 = 0.266153329. Therefore, the func tion cos (x)
can be equally rep re sented by
value we in turn obtain the norm cos(x)=
1.20608774. When the coefficients of columns
three and four are equally multiplied we find that
the norm of our func tion is cos(x)= 1.206088186.
When we find the differences of these two norms
with respect to the exact value cos (x)=
1.206088187 (cal cu lated at the bot tom of table 1)
is 0.00000045 and 0.000000001 respectively, for
the Chebyshev and the covariant approximations
in the sense of norm. From this we conclude that
the error of the covariant representation is 450
times smaller that the Chebyshev ap prox i ma tion.
~0
~2
cos(x) = 1682941973
.
φ + 0478267241
.
φ
~
+0.266153329 φ 4
(26)
~ ~ ~
With φ 0, φ 2 y φ 4 given by the fol low ing func tions
~0
φ = 17578
.
− 82031
.
X 2 + 7 .38284 X 4
~
φ 2 = _ 8.2031 + 689063
.
x 2 − 738281
.
x4
As we can ob serve nei ther the Chebyshev nor
the Contravariant approximations overshoot the
exact norm cos ( x)= 1.206088187. There fore we
can now confirm that both solutions satisfy the
Bessel’s inequality (6b). Up to this point we have
accomplished sev eral goals. First, we have ob tained the best approximation to cos (x), in
covariant basis, sec ond, we have found a new ap prox i ma tion the contravariant that al lows us to re cover the sim plic ity of the Pythagorean theorem,
with equa tion (5), for the han dling of the con cepts
of NORM and CONVERGENCE in skew manifolds.
In addition we knew (Carnaham et al., 1969) that
the Chebyshev ap prox i ma tion had an error smaller
than 4.234x10 – 5 and now we have a new ap prox imation the covariant with an error 450 times
smaller and with a rate of convergence that sat isfies the convergence laws of Parseval and Bessel.
This in turn allows us to focus our attention on
polynomials with powers higher than four and to
ap pre ci ate other prob lems of nu mer i cal anal y sis.
~
φ4 = 73828
.
− 738281
.
x2 + 861328
.
x4
Equa tions (25) and (26) some how fall very close
to the so lu tion (24) given in ref er ence (Carnaham et
al ., 1969). At this point we note that from the three
pos si ble ap prox i ma tions (24) to (26), the so lu tions
(24) and (25) that use the same covariant basis ~
φn
are comparable. The problem now is to decide
which of the so lu tions (24) and (25) is the best and
in what sense. Any approach with given cn and cn
must satisfy equations (6a) and (6b) of Parseval
and Bessel for skew man i folds. In this con nec tion,
Table 1 pres ents the co ef fi cients of the three approximations (24) to (26) to the function cos (x). In
col umns 2, 3 and 4 are lo cated the co ef fi cients calculated ac cording to the methods of Chebyshev
and those of the pres ent paper. When for mula (6b)
is applied using the coefficients of col umns two
and four we obtain the squared norm cos(x)2 =
1.45464763 and we get the squared root of this
Table 1
Chebyshev 4
Contravariant
Covariant
a0
0.99995795
0.999970781
1.68294197
a2
–0.49924045
–0.499384548
0.478267252
a4
0.03962674
0.038408595
0.266153368
cos (x)
1.20608774
1.206088186
error
0.00000045
0.000000001
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
7
“A Tensorial Form of the Theory of Func tions”. An Engi neering Appli ca tion to: Poly no mial Inte rpolation
Higher Order Poly no mial approx i ma tions to cos(x) for –1≤ x ≤1
According to what we have seen in this paper, in
principle, we can obtain a covariant and a contravariant polynomials that tend to cos (x) in all
points in the do main, i.e. we can ob tain
tenth order poly no mial and this warns us that from
this point on –for some reason– we start having
numerical instability. From ref erence (Forsythe et
al., 1977) we might con clude that this di ver gence
may be the re sult of the Faber’s The o rem, shown in
the in tro duc tion. How ever we can not ac cept it be cause we know that the fol low ing ex pan sion ex ists
0~
2~
4~
n~
cos(x ) = c φ 0 + c φ 2 + c φ 4 + ...+ c φ n
~0
~2
~4
~n
cos( x) = c0 φ + c2 φ + c4 φ + ...+ cn φ
and the norm of cos (x) would be equal to c0 c 0
+ c2 c2 + c 4 c4 + ....+ cn cn when n→∞ . How ever, as
we in crease the order of the ma tri ces φ mn and φ mn
we note that the ma trix φ m n has very small elements
of the order of 2/( 2( i + j)–3) that tend to zero
when i and j tend to in fi nite. The vari ables i and j
stand for the i–th row and the j–th column. This
prob lem will lead us to the han dling of very ill–condi tioned ma tri ces of the kind of the fa mous ma trices of Hilbert with el e ments of the type 1/(i + j),
see ref er ence (Fraleigh and Beauregard, 1990). As it
is in di cated in (Fraleigh and Beauregard, 1990), for
ma tri ces of order greater than 10×10 to day’s com put ers ac cu racy give rise to contravariant ma tri ces
(when they are cal cu lated) φmn with ex tremely large
num bers that will lead us to di ver gent re sults.
When we add the re sults of poly no mi als up to 10th
order to the results of the polynomial of fourth
order we obtain the coefficients shown in table 2.
At this point some doubts arise with re spect to the
values to which the co ef fi cients a n tend when n→
∞. We immediately note that a 0 is contained be tween 0.999970781 and 1.000000538, a2 changes
between –0.499384548 and –0.500019533, a4 between 0.039808595 and 0.41778820, a 6 be tween
–0.001342159 and –0.001585556 but now we see
that the coefficient of the tenth polynomial does
not con verge any more and it even changes its sign.
Besides, the alternating sign of the co ef fi cients of
the poly no mial of order fourth to eight is lost in the
8
INGENIERIA Investigación y Tecnología
cos(x) =10
. −
1 2 1 4 1 6
x + x − x + etc
2!
4!
6!
and whose coefficients exactly fall between the
lim it ing val ues in which the co ef fi cients of poly no mi als of fourth to eighth de gree. The tenth de gree
poly no mial starts to di verge from ex pan sion (27) in
view of the ill con di tion ing of the ma trix φmn as it
can be seen in equa tion (21). Working with dou ble
or higher pre ci sion we re cover some ex act ness but
soon we confront divergent approximations for
higher val ues of n again. In table 3 we pres ent the
exact first eleven sig nif i cant con- travariant co ef fi cients ob tained from equa tion (27), that our in tu ition suggests must be the coefficients that we
should ob tain in table 2 if we will in crease the pre ci sion of our cal cu la tions. Fol low ing a sim i lar pro cedure to the one used to calculate the
contravariant poly no mial (26) the covariant co ef fi cients cn were cal cu lated and are pre sented in the
third col umn of table 3. If the co ef fi cients an and a n
of table 3 are certainly the contravariant and the
covariant co ef fi cients ofcos x be tween –1≤ x≤1then
if we calculate the norm of this function using
equation (4) we must satisfy Bessel’s inequa- lity
(6b) when n → ∞. In this sense it is readily ob served that in the fourth col umn of table 3 we present the ac cu mu lated norm of cos (x) when we use
equation 4. When n=10 the squared norm is
cos(x)2=1.454648715 (smaller than 1.454648716)
and it is not af fected any more for the in clu sion of
the rest of the elements. From this we conclude
that the poly no mial (27) con verges to cos (x) ev ery where in the do main –1≤ x ≤1 and con verges to the
norm of cos (x) ac cord ing to the Bessel’s in equal ity
(6b). In order to ob serve one more ef fect of the di vergence of the different approx i ma tions to cos (x)
FI-UNAM
J.L. Urrutia-Galicia
we obtained the norms of contravariant co ef ficients of table 2 and the covariant co ef fi cients of
the third column of table 3. The different approx ima tions to the norm of cos (x) are shown in the last
row of table 2.
As it can be seen, the norm of the poly no mial of
fourth order is 1.454648713, the polynomial of
sixth de gree has a norm of 1.454648692 (ac tu ally it
starts to diverge) and up to this point there is no
major objection. However, the last two columns
show norms that are greater than the exact value
of 1.454648716 and this is a clear vi o la tion of the
Bessel’s in equal ity (6b) and a proof of di ver gence.
Table 2
CONTRAVARIANT COEFFICIENTS OF POWERS 4, 6, 8 AND 10
a
n
4
6
8
10
a
0
0.999970781
0.999999835
1.000000538
0.999997793
a2
–0.499384548
–0.499994769
–0.50001953
–0.49987840
a4
0.039808595
0.041638979
0.041778820
0.040454756
a6
------
–0.001342159
–0.00158556
0.002279407
a8
------
------
0.000129896
–0.00450388
a1 0
------
------
------
0.002038310
1.454648713
1.454648692
1.454648824
1.454650073
NORM
Table 3
n
an eq (28)
Covariant coeffic. an
Norm of cos (x ) cumulative sum a n an
0
+1.00
+1.682941970
1.682941970
2
–0.50
0.478267252
1.443808344
4
+1/4!
0.266153368
1.454898068
6
–1/6!
0.181968530
1.454645334
8
+1/8!
0.137541095
1.454648745
10
–1/10!
0.110289862
1.454648715
12
+1/12!
0.091937628
1.454648715
14
–1/14!
0.078765706
1.454648715
16
+1/16!
0.068865056
1.454648715
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
9
“A Tensorial Form of the Theory of Func tions”. An Engi neering Appli ca tion to: Poly no mial Inte rpolation
Conclu sions
From ex am ple 1 it is concluded that given a se ~
quence of covariant func tions (com plete) φ n there
~
exists another set of contravariant func tions φ n
which is biorthogonal to the for mer one and that
~
satisfies the Kronecker Delta function<~
φ m , φ n>=
m
δ n . From example 2 we saw that any polynomial
approximation to any function f (x) can now be
tack led by using the con cept of man i fold the ory in
skew co or di nates. We must be only care ful with the
con ver gence anal y sis that is di rectly re lated to the
precision of the computing device available. As it
was ob served, the the o rem of Faber that de nies
the existence of a poly no mial Pn (x) that approaches f(x), everywhere, as n → ∞ is not valid.
The problem of divergence shown in reference
(Forsythe et al., 1977) is due to the lack of pre cision rather than to ques tions re lated with the ex istence or non existence of a poly no mial Pn(x) that
ap proaches f(x) as n∞. The prob lem of in ter po la tion
can now be seen as analysis in skew manifolds
where equations (6a) and (6b) of Parseval and
Bessel can be used to guar an tee con ver gence of our
ap prox i mat ing poly no mi als. To avoid du pli ca tion of
work the in ter ested reader should re view ref er ences
(Urrutia, 1992a and 1992b), to get a deeper in sight
in the me chan i cal and phys i cal mean ing of the manifold the ory pre sented in this paper.
Future Work
As a fol low up to the find ings of ref er ences (Urrutia,
1992a, 1992b and 1998), and of the present paper
we will use the same the ory now fo cused on the solution of non lin ear dif fer en tial equa tions. As we will
see, using covariant and contravariant manifolds
will al lows us to ob tain an easy and novel method of
so lu tion for this kind of non lin ear prob lems.
Refer ences
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10
INGENIERIA Investigación y Tecnología
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solución cerrada de este problema. Revista, Ingeniería Investigación y Tecnología, Vol. IV- No. 1- enero-marzo, Facultad
de Ingeniería UNAM, ISSN 1405-7743.
FI-UNAM
J.L. Urrutia-Galicia
Semblanza del autor
José Luis Urrutia-Galicia. Obtuvo el grado de ingeniero civil en la Facultad de Ingeniería, UNAM en 1975; asimismo, los grados de
maestría (1979) y doctorado (1984) en la Universidad de Waterloo, en Ontario, Canadá. Es investigador del Instituto de
Ingeniería, UNAM en la Coordinación de Mecánica Aplicada. Sus áreas de interés cubren: matemáticas aplicadas y
mecánica teórica, análisis tensorial, estabilidad y vibraciones de sistemas discretos, vigas, placas y cascarones. Ha
recibido reconocimientos como el “Premio al Mejor Artículo” de las Transacciones Canadienses de Ingeniería Mecánica
(CSME) (Montreal, Canadá 1987) por el artículo “The Stability of Fluid Filled, Circular Cylin drical Pipes, part II Exper imental”, también le fue otorgada la “Medalla Duggan”, que es la más alta distinción de la CSME (en la universidad de
Toronto, Canadá, 1990) por el artículo “On the Natural Frequencies of Thin Simply Supported Cylin d rical Shells.
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
11
INGENIERÍA Investigación y Tecnología VI. 1. 13-17, 2005
(artículo arbitrado)
Análisis de eficiencia de la distribución Bi-Gumbel
C.A. Escalante-Sandoval
División de Estudios de Posgrado
Facultad de Ingeniería, UNAM
E-mail: caes@servidor.unam.mx
(recibido: mayo de 2003; aceptado: diciembre de 2003)
Resumen
La mayoría de los estudios sobre eventos hidrológicos extremos se han llevado a cabo
utilizando distribuciones univariadas. La gran variabilidad de los eventos estimados para
ciertos períodos de retorno ha promovido la exploración de modelos de estimación
conjunta, tal como la distribución bivariada con marginales de valores extremos tipo I,
llamada Bi-Gumbel. Se emplea la técnica de muestreo distribucional con el propósito de
determinar si los eventos estimados mediante el ajuste de la distribución bivariada son
mejores que aquellos obtenidos en forma univariada. Se concluye que los eventos
obtenidos en forma bivariada son menos sesgados que su contraparte univariada.
Descriptores: Distribución multivariada de valores extremos, distribución Gumbel,
estimados de máxima verosimilitud, técnica de muestreo distribucional.
Abstract
Most hy dro log i cal ex treme stud ies in the past have been an a lyzed through use of univariate dis tri butions. The large vari abil ity of the T-year flood es ti mates has prompted ex plo ra tion of joint es ti ma tion
mod els, such as the bivariate dis tri bu tion with ex treme value type I marginals, named Bi-Gumbel distri bu tion. To in ves ti gate whether the es ti mates of the quantiles based on bivariate dis tribu tion are better
than those on univariate pro ce dures a dis tri bu tion sam pling tech nique was used. A sig nif icant im provement oc curs when the pa ram e ters are es ti mated us ing the bivariate dis tri bu tion in stead of univariate
form and such again is more sig nif i cant in re la tion to the shorter sam ples.
Keywords:Multivariate ex treme value dis tri bu tion, Gumbel dis tri bu tion, max i mum like li hood es timates, dis tri bu tion sam pling tech nique.
Introducción
El objetivo del análisis de frecuencias es la estimación, a través de distribuciones de probabilidad
de la magnitud del gasto máximo anual de cierto
período de retorno. Con frecuencia, la información
que se requiere para realizar esta estimación no se
encuentra disponible. En otras ocasiones los datos
existen, pero no con la longitud suficiente para
proveer estimadores confiables de los parámetros y
el error del evento asociado al período de re torno es grande e ineficiente para propósitos de
diseño.
La gran variabilidad de estos estimadores ha
promovido la exploración de modelos de estimación conjunta, donde los datos de sitios
vecinos en la región se combinan con el registro
de longitud inadecuada para incrementar la
información y proveer un estimador re gional del
evento de diseño.
Análisis de eficiencia de la distribución Bi-Gumbel
Hay varias técnicas disponibles de estimación re gional hidrológica (Cunnane, 1988), algunas de
ellas requieren de la normalización de los datos, ya
que están basadas en la distribución normal. Sin
embargo, se han obtenido mejoras significativas al
emplear procedimientos multivariados a vari ables
no-normales (Raynal, 1985).
En este trabajo se presenta el modelo logístico
bivariado con marginales de valores extremos tipo
I, llamado Bi-Gumbel (Raynal, 1985).
Características de la distribución
bivariada
{
m
m 1/ m
F(s) = exp
}
Con el fin de considerar todas las posibles combinaciones de los datos (Figura 1) se propone la
siguiente función de verosimilitud:
I1
n
parámetro de asociación bivariada (m>1).
distribución mar ginal de x tipo Gumbel.
distribución mar ginal de y tipo Gumbel.
Conjunto de parámetros a estimarse( ?1, a1,
?2, a2, m) para la distribución Bi-Gumbel.
gastos máximos anuales en dos estaciones
vecinas.
F (x)F(y) < F(x,y)<mi n[ F (x), F( y)]
(2)
n
 n3

f (ri , θ3 ) 
∏
 i =I

I2
I3
(5)
Donde:
n1
n3
n2
p
x,y
r
longitud de registro antes del registro común.
longitud de registro después del registro
común.
longitud de registro en el período común.
vari able con longitud n1.
vari ables con longitud n2.
vari able con longitud n3.
Estación 1
x1 ,..., x n1 , x n 1 + 1,...,x n 1 + n 2
Estación 2
yn1 +1, ..., y n1 + n2 + 1,..., yn1 +n2 + n3
Figura 1. Máximo arreglo muestral
INGENIERIA Investigación y Tecnología
(4)
i =I
 1
  2

L(x, y, θ) =  ∏ f ( pi , θ 1 )  ∏ f ( x i, y i θ 2 )
 i=I
  i=I

La ecuación (1) debe satisfacer:
14
(3)
L(x , y, θ) = ∏ f (x i , yi ,θ)
Donde:
x,y
s−υ 
− 

 a 
El procedimiento de estimación de parámetros
de la distribución bivariada se desarrolló para
permitir el caso de muestras con diferentes lon gitudes de registro (Figura 1).
Si (X1,Y 1),...,(X n ,Yn ) es una muestra aleatoria de
una densidad bivariada, la correspondiente función de verosimilitud es (Mood et al., 1974):
(1)
m
F(x)
F(y)
?
e xp
n
La forma general del modelo logístico para las
distribuciones bivariadas de valores extremos es
(Gumbel, 1960):
F( x , y, θ) = e xp −[( − 1nF(x) ) + (−1n F (y)) ]
La distribución mar ginal Gumbel tiene la forma:
FI-UNAM
C.A. Escalante-Sandoval
Ii
indicador tal que Ii=1 si n i>0 o Ii =0 si
n i= 0
Dada la propiedad de que el máximo de una
función y su logaritmo ocurren en el mismo punto
y debido al hecho de que las expresiones
obtenidas por el logaritmo de la ecuación (5) son
más fáciles de manipular que su forma nat u ral, se
propone la siguiente función logarítmica de
verosimilitud:
 n1

n2

1n L( x, y, θ ) = I1 ∑1n f (p i θ 1 )  + I2 ∑1n f (x i , yi, θ 2 )
 i =I

 i= I

n
 3

+ I 3 ∑1n f (ri ,θ 3 )
i
=
I


(6)
Debido a que la solución del sistema de
ecuaciones resultantes al derivar parcialmente la
ecuación (6) con respecto a ? 1, a 1,?2,a 2 y m resulta
muy complejo, se propone para el cálculo de los
parámetros el algoritmo de optimación multivariado restringido de Rosenbrok (Kuester y Mize,
1973), el cual implica la directa maximización de
dicha ecuación.
Confiabilidad de los eventos
estimados para diferentes períodos
de retorno
Una nueva aproximación para el análisis de
frecuencias debe mostrar que los estimadores de
los eventos asociados a cierto período de retorno
son más confiables que aquellos que se obtienen
con los métodos ya existentes. Esta confiabilidad
se puede cuantificar a través de medir el sesgo,
varianza y la raíz del error medio cuadrático. En
este trabajo se realizó un estudio experimental
basado en la generación de datos con el fin de
comparar el sesgo de los eventos estimados
mediante la distribución univariada Gumbel, con
aquellos obtenidos al ajustar los datos a la
distribución Bi-Gumbel. Con este propósito se
generaron 99,000 números con distribución
poblacional Gumbel y parámetros ? 1=14 y a 1= 1.4
(estación base), y fueron agrupados en muestras
de tamaño 9, 19 y 49. Por lo que el número de
muestras para cada tamaño es igual a 11000, 5210
y 2020, respectivamente. Tal número de muestras
asegura una desviación máxima absoluta entre la
distribución real y la empírica de menos de 0.016
para el tamaño más grande y de 0.036 para el más
pequeño, con una probabilidad del 99%
(Gnedenko, 1967).
Para el caso de la distribución Bi-Gumbel, los
eventos se estimaron combinando cada muestra
generada para la estación base con otra del mismo
tamaño o mayor (Figura 2), así, los casos explorados tienen longitudes 9–9, 9–19, 9–49,
19–19, 19–49 y 49–49. Los números Gumbel
generados para la llamada estación vecina tienen
parámetros poblacionales ? 2= 12 y a 2= 1.2.
Sea θ el evento a estimarse, θ$ i, i=1 ,...,n los
eventos obtenidos de cada muestra, y n el número
de muestras, las cuales varían de 11,000 a 2020, de
acuerdo con lo explicado anteriormente. Entonces, el sesgo del estimador se obtiene como:
sesgo = m(θ$ ) − θ
(7)
$ es la media de la serie θi,
$ i=1,...,n
Donde m(θ)
Estación Base 1
x1 ,..., x n2
Estación Vecina 2
y1 ,..., y n2 , y n2 + 1,...,y n2 +n3
Figura 2. Arreglo muestral propuesto para obtener los eventos de diferente período de retorno
con la distribución Bi-Gumbel.
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
15
Análisis de eficiencia de la distribución Bi-Gumbel
n
m(θ$ ) = (1 / n)∑ θ$i
obtenidos con el procedimiento bivariado son más
pequeños que los de origen univariado. De hecho,
conforme la longitud asociada en la combinación
bivariada se incrementa, el sesgo de la estación base
disminuye a través del rango 0.5 ≤ F ≤ 0.9999.
Esto significa que hay una ganancia en información cuando se estiman los parámetros de una serie
de corta longitud con otra de igual o mayor tamaño.
También se observa que para que una muestra
de 9 datos tenga la misma precisión de una de 19
(8)
i =I
La comparación se llevó a acabo para eventos
estimados con probabilidades de no excedencia
de 0.50, 0.80, 0.90, 0.95, 0.999 y 0.9999, las cuales
abarcan probabilidades de no excedencia por 2 a
10 000 años.
En la tabla 1 se presentan los sesgos de los eventos de
diferente período de retorno, obtenidos con las
expresiones (7) y (8). Se puede observar que los sesgos
Tabla 1. Sesgo de eventos de diferente período de retorno, obtenidos para la estación base considera ndo la estimación
univariada y bivariada.
Distribución
16
Probabilidad
Gumbel 9
9–9
Bi-Gumbel 9 – 19
9–49
0.9999
–1.1056
–1.0708
–1.0243
–0.4824
0.9990
–0.8132
–0.8374
–0.8001
–0.3766
0.9900
–0.5204
–0.6035
–0.5754
–0.2706
0.9500
–0.3134
–0.4383
–0.4167
–0.1957
0.9000
–0.2221
–0.3653
–0.3466
–0.1626
0.8000
–0.1268
–0.2892
–0.2735
–0.1281
0.5000
0.0171
–0.1744
–0.1632
–0.0761
19
19–19
19–49
0.9999
–0.4865
–0.3863
0.1127
0.9990
–0.3577
–0.2964
0.0921
0.9900
–0.2287
–0.2064
0.0714
0.9500
–0.1375
–0.1428
0.0568
0.9000
–0.0973
–0.1147
0.0503
0.8000
–0.0553
–0.0854
0.0436
0.5000
0.0081
–0.0411
0.0334
49
49–49
0.9999
–0.2096
0.0277
0.9990
–0.1542
0.0246
0.9900
–0.0986
0.0214
0.9500
–0.0594
0.0192
0.9000
–0.0420
0.0182
0.8000
–0.0240
0.0172
0.5000
0.0033
0.0157
INGENIERIA Investigación y Tecnología
FI-UNAM
C.A. Escalante-Sandoval
se requiere asociarla a otra que al menos cuente
con 49 años de registro.
Conclusiones
El objetivo del estudio fue el de investigar el grado
de mejora en la estimación de eventos de diseño
cuando se emplea la distribución bivariada de
valores extremos con marginales Gumbel.
El análisis de resultados sugieren que el efecto de
la muestra adicional dentro del proceso de estimación de parámetros y eventos de diseño es más
importante conforme su tamaño se incrementa, lo
que implica una sustancial ganancia en información.
Se puede concluir que para los casos en que se
requiera obtener eventos de diseño en sitios con
escasa información, y se disponga de un sitio
vecino, dentro de la misma región homogénea, es
conveniente utilizar una distribución de probabilidad bivariada para llevar a cabo el análisis de
frecuencia.
El modelo logístico bivariado permite no solo
utilizar como marginales a la distribución Gumbel,
sino también a distribuciones como la General de
Valores Extremos (GVE), la Gumbel de dos
poblaciones (Gumix) y la de Valores Extremos de
dos Componentes (TCEV), lo que lo hace muy
versátil dentro del análisis de frecuencias de
eventos extremos hidrológicos.
Referencias
Cunnane C. (1988). Methods and merits of
regional flood frequency análisis. Journal of
Hydrology. 100, pp. 269-290.
Gnedenko B.V. (1967). The Theory of Prob a bility.
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Gumbel E.J. (1960). Multivariate extremal
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Kuester J.L. y Mize J.H. (1973). Opti mi za tion
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Mood A., Graybill F. y Boes D. (1974). Intro duc tion to the Theory of Statics.
McGraw-Hill.
Raynal J.A. (1985). Bivariate Extreme Value
Distri bu tions Applied to Flood Frequency
Análisis Ph.D Disser ta tion. Civil Engi neering Depart ment, Colo rado State
Univer sity.
Semblanza del autor
Carlos Agustin Escalante-Sandoval. Egresado como ingeniero civil en 1985 de la Universidad Autónoma de Puebla, obtuvo el grado
de maestro en ingeniería en aprovechamientos hidráulicos en 1988 y el doctorado en ingeniería hidrá ulica en 1991, ambos
en la Facultad de Ingeniería de la UNAM. Sus trabajos de hidrología, los cuales destacan los campos de fenómenos
extremos (lluvias, inundaciones y sequías) le han valido el reconocimiento en el ámbito nacional e internacional. Cuenta
con diversas publicaciones y ha participado en 12 proyectos de investigación, destacando al análisis hidrológico de la
Costa de Chiapas con motivo de la inundaciones de 1998 (CNA), el MIA del proyecto hidroeléctrico La Parota (CFE) y el
análisis nacional del fenómeno de la sequía. Ha recibido distinciones como la medalla Gabino Barreda por sus estudios de
doctorado, el premio Distinción Universidad Nacional para Jóvenes Académicos en Docencia en Ciencias Exactas 1999,
otorgada por la UNAM y el premio Nacional Enzo Levi a la “Investigación y Docencia en Hidráulica 20 02”, por la Asociación
Mexicana de Hidráulica. Actualmente imparte cátedra y es jefe del Departamento de Ingeniería Hidráulica de la Facultad de
Ingeniería, UNAM.
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
17
INGENIERÍA Investigación y Tecnología VI. 1. 19-45, 2005
(artículo arbitrado)
Neotectónica y facies sedimentarias cuaternarias en el
suroeste del Golfo de México, dentro del marco
tectono-estratigráfico regional evolutivo del Sur de México
J.E. Aguayo-Camargo
Facultad de Ingeniería, UNAM
(recibido: mayo de 2004; aceptado: septiembre de 2004)
Resumen
El área de estudio se ubica en la porción Sur-Occidental del Golfo de México y en el
margen externo de la llanura costera del Sureste de México, con una extensión de unos
150 000 km2. Esta provincia geológica es resultado de los movimientos tectónicos
intermitentes, espacio-temporales, de cinco placas tectónicas mayores: la de
Norteamérica (1); las circum-pacíficas: Kula (2), Farallón (3) y Cocos (4), así como la del
Caribe (5). Debido a los movimientos corticales referidos, en el prisma acrecional
marginal conti nental del Golfo de México se acumularon intermitentemente, entre 12 y
14 km de espesores máximos de sedimentos en ambientes, desde continentales hasta
marinos profundos durante el Triásico Tardío al Reciente. En el Sur de México y en el
Suroccidente del Golfo de México se interpretaron las megasecuencias estratigráficas
siguientes: (1) transgresión durante el Mesozoico; (2) regresión durante el Paleógeno; (3)
regresión durante el Neógeno; (4) regresión y transgresión durante el PleistocenoHoloceno tardío y (5) estabilidad eustática actual a partir del Holoceno tardío, con base
en la información geológica-geofísica del subsuelo marino y conti nental proporcionada
por PEMEX-IMP, e integrada con aquella previamente establecida por diversos autores
sobre las secuencias estratigráficas que afloran en la Sierra de Chiapas, y verificadas en
localidades selectas durante este estudio, así como con los datos del Cuaternario
aportados en este trabajo.
En el área de estudio, se elaboró el mapa morfobatimétrico mediante un barrido
continuo, utilizando las ecosondas hidro-acústicas del buque oceanográfico “Justo
Sierra” de la UNAM, destacándose los sistemas de fallas más prominentes y las
intrusiones salinas que afloran en el piso marino; la información geológica-marina de
este estudio se complementó con los datos estratigráficos de pozos y con los perfiles
sísmo-estratigráficos del subsuelo marino profundo, proporcionados por PEMEX-IMP.
Con esta información integrada, se interpreta en este trabajo el movimiento dextrógiro
del bloque de Yucatán que se desplaza en su porción Sur en Centro América, a lo largo
de la provincia geológica del Arco de la Libertad y del sistema de fallas Polochic, con
desplazamiento lateral-izquierdo. Los movimientos tectónicos dextrógiros de la
microplaca de Yucatán fueron especialmente importantes durante el Mioceno
tardío–Plioceno temprano, porque se reactivaron subsidentemente las cuencas Terciarias distensivas de Macuspana, Comalcalco y Salina del Istmo en el Sureste de
México.
Descriptores: Suroeste del Golfo de México, tectónica, sedimentación, estratigrafía.
Abstract
Neotectónica y facies sedimentarias cuaternarias en el suroeste del Golfo de México,..
The stud ied area com prises the south west ern Gulf of Mex ico and the ex ter nal mar gin of the south eastern coastal plain of Mex ico, with an extensión of 150 000 km2 . The geo log i cal prov ince re sulted from
the in ter mit tent move ments of five ma jor tec tonic plates through space and time: Northamerica plate
(1); the circum-pacific plates: Kula (2), Farallon (3) and Cocos (5), and the Ca rib bean plate (5). Due to
these cor ti cal move ments, 12 to 14 km of sed i men tary col umn were de pos ited in the mar ginal con ti nental accretionary prism in en vi ron ments which var ied from con ti nen tal to deep marin, since Late Tri as sic
trough Re cent. Based on the geo log i cal and geo phys i cal data from the ma rine and con ti nental
subsurface facilited by Pemex-IMP; such in for ma tion was intergrated with the one pre vi ously es tablished by sev eral au thors, from the out crop ping strati graphic se quences of the Si erra de Chiapas, which
were ver i fied at se lected lo cal i ties, and also with the Qua ter nary data ob tained dur ing this re search,
with all these data it is herein in ter preted the fol low ing strati graphic megasequences at southeastern
Mex ico and south west ern Gulf of Mex ico: 1) Me so zoic trans gres sion, 2) Paleogene re gres sion, 3) Neogene re gres sion, 4) Pleis to cene-late Ho lo cene re gres sion and trans gres sion, and 5) eustatic sta bil ity
since late Ho lo cene.
At the stud ied area morpho-bathymetry map of the sea floor by means of a con tin u ous lin ear hy dro-acoustic sounder of the R/V “Justo Si erra” owned by UNAM. In this map, most prom i nent fault
sys tems and salt diapirs out crop ping on the sea floor make con spic u ous, this data was com plemented
with that from the strati graphic wells and seis mic-stratigraphy pro files from the subsurface marine
prov inces pro vided by Pemex-IMP. It is herein in ter preted with the in te grated in for ma tion, the clock wise
ro ta tion of the Yucatan block which moves in its south ern por tion in Cen tral Amer ica, along t he geo logi cal prov ince of the Libertad Arch and of the Polochic left-lateral fault ing sys tem. The clockwise tec tonic
move ments of the Yucatan microplate were spe cially im por tant dur ing late Mio cene-early Plio c ene, because it caused the re ac ti va tion and sub si dence of the Ter tiary ten sional bas ins of Macusp ana,
Comalcalco and Sa lina del Istmo at south east ern Mex ico.
Keywords: South west ern Gulf of Mex ico, tec ton ics, sed i men ta tion, stra tig ra phy
Introducción
El origen del Golfo de México ha sido motivo de
controversias, ya que los procesos tectónicos
distensivos y evolutivos de la cuenca circumatlántica marginal, a partir del Triásico TardíoJurásico Temprano, se les han asociado con los
movimientos geodinámicos del bloque de Yucatán
ocurridos con relación en el cratón de Norte
América durante el Jurásico Tardío y que en síntesis se mencionan los siguientes modelos, entre
otros: (1) Movimiento del bloque de Yucatán,
paralelamente a la dirección de expansión de la
placa del Atlántico del Norte (Buffler et al., 1980;
Dickinson y Coney, 1980; Klitgord y Schouten,
1986); (2) Movimiento del bloque de Yucatán en
forma oblicua a la dirección de expansión de la
placa del Atlántico del Norte: por el Norte (Sal vador y Green, 1980; Salvador, 1987); por el
Occidente (Pilger, 1978 y Walper, 1980); (3)
20
INGENIERIA Investigación y Tecnología
Movimiento dextrógiro del bloque de Yucatán (Hall
et al., 1982); (4) Movimiento siniextrógiro del
bloque de Yucatán (Humphris, 1978 y Pindell,
1985); (5) Inmovilidad del bloque de Yucatán
(Van-Sinclen, 1984).
Winker y Buffler (1988) sugieren que el modelo
del movimiento siniextrógiro del bloque de
Yucatán (4), propuesto por Humphris (op.cit.) y
Pindell (op.cit.), es el que más corresponde con la
geometría del borde norte del cratón de América
del Sur, du rante el rompimiento cor ti cal y antes del
desplazamiento de los bloques tectónicos
continentales.
En el área de estudio y posteriormente a los
movimientos tectónicos regionales precursores, du rante el Paleógeno y como consecuencia de los
desplazamientos tectónicos simultáneos e intermitentes de las placas oceánicas de Cocos y del
Caribe, el bloque de Yucatán también se reactivó,
originándose las cuencas tectónicas distensivas del
FI-UNAM
J.E. Aguayo-Camargo
Sureste de México, las cuales se reactivaron y
subsidieron rápidamente du rante el Mioceno TardíoPlioceno Temprano. La dirección del movimiento en
el Neógeno del bloque de Yucatán, es controvertido:
Viniegra (1971) sugiere que su desplazamiento
ocurrió hacia el norte; Charleston et al. (1984),
proponen que el movimiento del bloque tectónico
fue en sentido dextrógiro sin interpretar los
mecanismos que lo originaron; Aguayo y Marín
(1987), Aguayo y Carranza-Edwards (1990), Aguayo et
al. (1999 y 2001), sugieren que el bloque de Yucatán
se desplazó inicialmente hacia el Norte y posteriormente en sentido dextrógiro, como una
microplaca tectónica asociada a sistemas de fallas
con movimiento lat eral-izquierdo y otros en sentido
dextral, también interpretan que su margen Oc ci dental es el Cañón de Campeche, el cual se prolonga
hacia el Sureste hasta incidir en la fosa geológica del
Arco de la Libertad y en el sistema de fallas con
desplazamiento lateral-izquierdo Polochic en Centro-América. Los sistemas de fallamiento lateralizquierdo son evidentes en la llanura costera del
Sureste de México y se han estudiado en el complejo
fluvio-deltáico Grijalva-Usumacinta (Aguayo et al.,
1999 y 2001); y para corroborar la extensión de éstos
hacia el Golfo de México, se desarrolló el estudio
oceanográfico del “Proyecto de investigación
geodinámica marina del Suroeste del Golfo de
México, del Neógeno al Reciente” (FIES-IMP-UNAM96-17-1, 2001).
coordenadas geográficas: 21º 00´ y 18º 00´ de
latitud Norte, 94º 50´ y 90º 30´ de longitud Oeste;
comprende una superficie aproximada de 150 000
km 2 (Figura 1).
Objetivos:
1. Establecer e interpretar las megasecuencias
paleo-sedimentarias mayores en la provincia ma rina, que son el resultado del dinamismo tectónico
y eustático, con base en la interpretación de la
información geológica-marina aportada en este
trabajo y complementada con datos previos,
regionales y locales, oceanográficos, geológicos
superficiales y geológico-geofísicos del subsuelo
sub-superficial y pro fun do.
2. Con base en las exploraciones oceanográficas de este estudio, cartografiar las
estructuras morfobatimétricas del fondo marino
para identificar los rasgos geológico- estructurales
mayores de la Bahía de Campeche del Suroeste del
Golfo de México y de su prolongación hacia el Sur
en la llanura costera continental contigua del
Sureste de México.
3. Proponer un modelo conceptual geodinámico de la provincia marina, enmarcado
regionalmente con el movimiento tectónico de la
microplaca del Bloque de Yucatán.
Localidad:
El área de estudio se ubica en la Bahía de
Campeche, en el Suroeste del Golfo de México; el
límite Norte del área es el frente externo de la
bahía hacia el Golfo y el Suroccidente del escarpe
de Campeche; al Sur, comprende el borde mar ginal
externo de la llanura costera continental del Sur
del Estado de Veracruz y la de los estados de
Tabasco y Campeche; al Occidente, incluye al Cañón de Veracruz y su limite Oriental, corresponde
al Cañón de Campeche y a la franja litoral de los
estados de Campeche y del Noroccidente del
Estado de Yucatán. El área se enmarca entre las
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
21
Neotectónica y facies sedimentarias cuaternarias en el suroeste del Golfo de México,..
22
INGENIERIA Investigación y Tecnología
FI-UNAM
J.E. Aguayo-Camargo
Métodos de trabajo:
1. Compilación y análisis de la información
previa, geológica, geofísica y oceanográfica, en
artículos científicos, informes técnicos, mapas y
cartas geo-referenciadas.
2. Elaboración del mapa geo-referenciado,
utilizando el programa computacional “Geographic In for ma tion Sys tem”, con base en la carta
de la Secretaría de Marina (México-Costa Este,
1977; proyección Mercartor, esc., 1 : 1 023 400).
oceanográficas, se apoyó con la de algunos pozos
profundos y con perfiles sísmicos de reflexión con tinua, proporcionados por PEMEX y consultados
del proyecto C.I.C.A.R. (USGS-GD-72-001) de la
US. Geological Survey, Secretaría de Marina y
UNAM de 1972, con el objetivo de identificar la
continuidad de los sistemas de fallamiento más
conspicuos que afloran en el piso marino y su
prolongación ver ti cal hacia el subsuelo pro fun do y
ho ri zontalmente hacia la llanura costera con ti nen tal adyacente.
Trabajos previos:
3. Verificación de campo con observaciones
geológico-estructurales a lo largo de la llanura
costera marginal continental del Sureste de
México y en la Si erra de Chiapas.
4. Para la elaboración del mapa morfobatimétrico se llevaron a cabo dos expediciones
oceanográficas a bordo del B/O “ Justo Si erra “ de la
UNAM; la primera (SGMA-1) del 28 de febrero al 3
de marzo de 1998, en el Cañón de Campeche, en el
margen Suroccidental del Banco de Campeche y en
el Suroriental de la Bahía de Campeche, siendo esta
área la de los campos gigantes de PEMEX. La
segunda expedición (FIES) se efectuó del 6 al 16 de
julio de 1999, frente a los estados del Sur de
Veracruz, Tabasco, Campeche y Noroccidente del
de Yucatán, desde la isóbata de 16 m, en la franja
litoral, hasta la isóbata de 3 240 m, hacia el talud
continental del Golfo de México. En ambas expediciones, uno de los objetivos fue cartografiar
morfo-batimétricamente la superficie del fondo y
del subsuelo marino hasta 50 metros de profundidad, por medio del perfilaje fisiográfico con tinuo, con la ecosonda hidro-acústica modelo ORE
y el Sonar SIMRAD- ST, con frecuencias entre 3.5 a
1.5 Khz, en un recorrido total de 3743.74 km (2057
millas náuticas) y con 397 sitios de control batimétrico y geográfico, utilizando el posicionador GPS
multicanal, modelo Magnavox, instalado en el buque.
del
5. La información recabada del fondo ma rino y
subsuelo somero en las expediciones
Los trabajos de investigación geológica- geofísica
terrestre desde las provincias de ChiapasTabasco-Campeche y su continuidad hacia el
Golfo de México, los cuales se han desarrollado
con diversos objetivos tectónicos, estructurales,
estratigráficos, pale-sedimentarios y geoquímicos,
que han sido reportados por diversos autores
desde hace varias décadas, aquí solamente se
destacan algunos de ellos. (1) Tectónicoestructurales: Dengo y Bohnenberger (1969);
Viniegra (1971); Sánchez-Montes de Oca (1978);
Burkart (1978); Meneses de Gyves (1980); Meneses-Rocha (1986 y 1987); Burkart et al. (1987);
Bartok (1989 y 1993); Vélez-Scholvink (1990);
Ángeles-Aquino et al.(1994); entre otros. (2) Estratigráficos y paleo-sedimentarios: Aguayo (1966);
Weyl (1974); Olivas-Ramírez (1975); Cas tro-Mora et
al.(1975); Flores-Vargas y Baro-Santos (1977);
Aguayo et al. (1985a y 1985 b); Basañez y Brito
(1987); Ángeles-Aquino (1988); Alencáster y
Michaud (1990); Herrera y Estavillo (1991). (3)
Geoquímicos: Holguín (1985); Guzmán y Mello
(1999); entre otros relacionados con el origen y la
caracterización geoquímica de los hidrocarburos.
Los proyectos de investigación geofísica han
sido fundamentales para definir geométricamente
a las estructuras geológicas y a las secuencias
sismo-estratigráficas en el subsuelo pro fun do de la
región; Camargo y Quezada (1991) reportan que
Petróleos Mexicanos exploró en 1948 y 1949 la
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23
Neotectónica y facies sedimentarias cuaternarias en el suroeste del Golfo de México,..
zona costera marina del Sur del estado de
Veracruz y la de Tabasco, configurando gravimétricamente los domos salinos y delimitándolos
detalladamente con sísmica de reflexión con tinua.
Desde 1950 a 1971, se perforaron los pozos
exploratorios: Tortuguero-1, Rabón Grande-1,
Santa-Ana-239 y Marbella-1, estableciéndose la
columna estratigráfica del Terciario-Cuaternario de
la región costera. Desde la década de los 60´s,
Gumersindo Cantarell, pescador campechano,
reportó a PEMEX las emanaciones de hidrocarburos en la superficie del mar a unos 70
kilómetros al Noreste de Ciudad del Carmen,
Campeche. A partir de 1971, se intensificaron los
estudios de geofísica marina con apoyo de la
información geológica-geofísica terrestre, identificándose los sistemas estructurales mayores en la
región del Cañón de Campeche; y entre 1974 y
1976, se perforó el pozo Chac-1 y otros más en el
campo Cantarell, definiéndose la columna estratigráfica y los atributos paleo-sedimentarios de la
provincia marina. Entre 1974 y 1983, continuó el
estudio sísmico hasta la isóbata de 500 metros;
desde 1979 a la fecha, se enmarcan las estructuras
geológicas del subsuelo marino con métodos
sísmicos tridimensionales de alta resolución, la
estratigrafía y los paleo-ambientes sedimentarios
se interpretan con sismoestratigrafía de secuencias y con el estudio de las muestras colectadas de
los pozos que se perforan, lo cual permite
interpretar la evolución tectono-sedimentaria y
eustática en la provincia geológica.
En la planicie costera del Sureste de México y su
extensión hacia el Golfo de México los estudios de
investigación tectónica-estructural y estratigráficasedimentológica del Cuaternario en la región de
estudio son escasos, comparativamente con los
del Mesozoico y del Terciario que son estratégicos
para la exploración petrolera. Aguayo y CarranzaEd wards (1990), destacan los lineamientos estructurales de fallamientos transcurrentes con movimiento siniestro en los sistemas fluvio-deltáicos
Grijalva-Usumacinta, dentro del marco tectónico
24
INGENIERIA Investigación y Tecnología
regional; Sandoval-Ochoa et al.(1999), proponen
un modelo de bloques corticales del basamento,
con relación a su morfología y a la tectónica del
Suroeste del Golfo de México; Aguayo et al.(1999),
estudian la velocidad de progradación sedimentaria holocénica en la llanura costera del sistema
flu vial-deltáico Grijalva-Usumacinta, con relación a
los sistemas neotectónicos de fallamiento
latal-izquierdo; Aguayo et al. (2001), enfatizan
sobre los procesos oceanográficos y tectónicos y
los relacionan con el tipo y distribución de los
sedimentos del fondo marino, asociados con el
diapirismo salino marino superficial y sub-superficial, con implicaciones en la exploración petrolera en el subsuelo del Suroeste del Golfo de
México.
Marco geológico regional
La Cuenca del Golfo de México ancestral es el
marco geológico re gional del Golfo de México en el
que se ubica el área de estudio, en su porción
Suroccidental y en la llanura costera continental
marginal del Sureste de México. El diámetro de la
Cuenca del Golfo México es del orden de 2 200 km
y es casi circular, con una superficie de unos 2.7
millones de km 2 de los cuales, 1.2 millones comprenden a la superficie continental expuesta y 1.5
millones al ac tual Golfo de México, que es ovoide y
cuyo diámetro mayor es del orden de 1 800 km,
desde la costa de Veracruz hasta la Occidental de
la Península de Florida con un diámetro menor de
1 100 km, desde la costa Noroccidental de la Pen in sula de Yucatán hasta la de Texas-Louisiana; la
parte más profunda del Golfo es la Zona Sigsbee,
cuya planicie abisal está a 3 750 m bajo el nivel del
mar (Figura 2).
FI-UNAM
J.E. Aguayo-Camargo
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
25
Neotectónica y facies sedimentarias cuaternarias en el suroeste del Golfo de México,..
La paleo-provincia marina corresponde a una
cuenca circum-atlántica continental, marginal y
divergente, relacionada con la apertura del
Océano Atlántico (Dickinson, 1979), y evolucionó
du rante el rompimiento de la Pangea a partir del
Triásico Tardío-Jurásico Temprano (Winker y
Buffler, 1988). Los autores explican el origen de la
cuenca como consecuencia del rompimiento que
deriva de las masas corticales en forma distensiva,
por lo tanto, asociadas éstas a fallamientos
transcurrentes regionales y seguido por la expansión y subsidencia del fondo oceánico du rante
el enfriamiento de sus márgenes pasivos con el
consecuente fracturamiento y fallamiento normal
y lístrico de los bordes continentales, delineándose bloques sintéticos, antitéticos y rotacionales; lo cual ha sido ampliamente documentado por: Pilger (1981), Nunn et al. (1984), Buffler y
Sawyer (1985), Winker y Buffler (1988) y Salvador
(1991), entre otros autores.
Los sistemas estructurales descritos son
característicos en el subsuelo de la planicie
costera con ti nen tal del margen de la Cuenca del
Golfo de México y en el de la plataforma y talud
continentales del borde del Golfo de México; que
en conjunto, ambas provincias geológicas, limitan al prisma acrecional continental circumatlántico de la Cuenca del Golfo de México como
producto de su evolución tectono-sedimentaria,
con espesores estratigráficos máximos que varían
entre 12 a 14 km, desde el Triásico Tardío al
Reciente.
Marco geológico local
Con base en la historia geodinámica evolutiva
del marco geológico re gional, localmente en el
área de estudio del Suroeste del Golfo de
México y en la planicie costera del Sureste de
México, se interpretan los eventos tectonosedimentarios que están representados, cuando menos, por cinco mega-secuencias estratigráficas y que en resumen son las
siguientes (Figura 3):
26
INGENIERIA Investigación y Tecnología
1.Transgresión durante el Mesozoico
A partir del Triásico Su pe rior, el basamento con ti nental Pre-Triásico-Superior ígneo y metamórfico
del Macizo Granítico de Chiapas, se fragmentó en
sistemas de bloques distensivos, depositándose
los sedimentos aluviales y fluvio-aluviales continentales (lechos rojos) y en el Jurásico Medio
(Calloviano); sucesivamente, pero en forma intermitente, se depositó una secuencia de sedimentos
evaporíticos que infrayacen a sedimentos limoarcillosos y areno-limosos de ambientes de
planicie fluvial y litoral, intercalados con calizas y
margas de ambientes marinos someros del Jurásico Superior; esta secuencia, a su vez, subyace a
depósitos de calizas y margas dolomitizadas con
brechas y conglomerados intraformacionales, calcáreos y dolomitizados del Cretácico In fe rior. Du rante el Cretácico Medio y Superior, los procesos
transgresivos marinos dominaron en el área, lo que
es evidente por los depósitos sucesivos de calizas
masivas y dolomias con bancos biógenos que
infrayacen a calizas limo-arcillosas, limolitas y
lutitas del Cretácico Tardío. Hacia el Golfo de
México, las fa cies litorales y de plataforma somera
de la región de Chiapas-Tabasco cambian a
sedimentos pelágicos, calcáreos y arcillosos de
ambientes de plataforma externa, talud y de
cuenca, cuyo rango estratigráfico comprende
desde el Jurásico Su pe rior al Cretácico Su pe rior. La
secuencia estratigráfica mesozoica de la Cuenca
del Golfo de México, fue deformada estructuralmente por los esfuerzos compresivos de la
Orogenia Lara mide, con vergencia hacia el NorteNoreste, generados durante la subducción de la
placa tectónica Farallón en el margen circumpacífico (Coney, 1976, 1979 y 1983; Dickinson,
1979).
FI-UNAM
J.E. Aguayo-Camargo
Figura 3. Columna estratigráfica y facies sedimentarias generalizadas del Suroeste del Golfo de México, interpretada y
complementada en megasecuencias por: Aguayo et al. (2001) y después de J. Meneses de Gyves (1980); M.A.
Basañez-Loyola; M.A. Brito (1987); y F.J. Ángeles-Aquino (1988)
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Neotectónica y facies sedimentarias cuaternarias en el suroeste del Golfo de México,..
2. Regresión durante el Paleógeno
Al emerger la provincia geológica por los esfuerzos
de deformación compresiva laramídica NorteNoreste, durante el Cretácico Tardío-Paleoceno
Temprano; otro evento tectónico ocurrió en el
cinturón orogénico de Chiapas por esfuerzos
tectónicos distensivos durante el PaleocenoEoceno Temprano, con la formación de fosas y
pilares de piamonte, pararelas y marginales al
frente orogénico; en las fosas se depositaron
sedimentos aluviales y fluvio-aluviales compuestos por gravas y brechas calcáreas y calcáreo-arcillosas, productos de la erosión y
transporte de las secuencias estratigráficas mesozoicas. La megasecuencia sedimentaria del
Paleógeno se caracteriza por sus ciclos oscilantes,
regresivos y transgresivos, pero con franca
tendencia regresiva. Du rante el Eoceno Temprano
ocurrió un ciclo breve transgresivo, depositándose
terrígenos texturalmente finos (limo-arcillosos,
limo-calcáreos y calcáreo-arcillosos) de ambientes
litoral y marino somero; posteriormente, durante
el Eoceno Medio-Superior ocurrieron otros dos
eventos sedimentarios consecutivos; el primero
regresivo, con el depósito de sedimentos terrígenos de textura areno-limosa y arcillosa de
ambientes de planicie fluvio-deltáica, y el segundo,
transgresivo, caracterizado por la secuencia de
areno-limosa y calcáreo-arcillosa de ambientes
litoral y marino somero. En contraste con esta
provincia terrígena, la secuencia estratigráfica
eocénica del margen occidental de la Plataforma
de Yucatán es calcárea y predominan calcarenitas
de biógenos y oolítas, también depositadas en
ambientes litorales y marinos someros.
Du rante el Oligoceno continuó el depósito de la
secuencia terrígena areno-arcillosa en las fosas y
de bancos calcáreos de moluscos y corales en los
pilares estructurales en ambientes marinos someros, como resultado de eventos regresivos; las
fosas y pilares subsidian y basculaban diferencialmente hacia la parte profunda del Golfo de
México. Hacia el Sur, en las provincias geológicas
28
INGENIERIA Investigación y Tecnología
de los estados Sur-Oriental de Campeche y en el
de Tabasco, los sedimentos terrígenos se depositaron en ambientes someros, desde planicies
fluviales, lagunares litorales, hasta fluvio-deltáicos
y de plataforma marina somera; hacia el margen
Occidental de la Plataforma de Yucatán, los
sedimentos eran lodos calcáreos de ambientes de
plataforma abierta; las provincias sedimentarias
progradaron hacia el Golfo, como fa cies calcáreoarcillosas y arcillosas pelágicas en ambientes ma rino pro fun do, talud y cuenca. Los eventos tectónicos distensivos y compresivos, asociados con
los depósitos sedimentarios progradantes du rante
el Paleógeno Inferior, fueron interrumpidos por
una extensa emersión del basamento a fines del
Oligoceno, conformándose fosas y pilares distensivos que se interpretan como consecuencia del
desplazamiento de la placa proto-caribeña hacia el
Noreste, durante el Eoceno-Oligoceno Su pe rior y
atenuada du rante el Mioceno Temprano.
3. Regresión durante el Neógeno
En el Mioceno In fe rior, los sedimentos terrígenos y
evaporíticos de la provincia geológica del Sureste
de México y los calcáreos del margen Occidental
de la Plataforma de Yucatán, en franca etapa
regresiva, progradaron intermitentemente hacia
las zonas profundas del Golfo de México; lo que es
evidente, ya que se presentan regionalmente
horizontes discordantes, tanto en el subsuelo de la
planicie costera del Golfo, como en la plataforma
calcárea de Yucatán; lo que fue ampliamente
documentado por Meneses de Gyves (1980) y
Ángeles-Aquino (1988), entre otros autores. A
partir del Mioceno Medio, se definió la placa del
Caribe que se desplazó hacia el oriente franco,
como consecuencia del movimiento de la placa de
Norteamérica que se separaba de la de Sudamérica y simultáneamente y en forma transtensiva,
el bloque tectónico Chortis (Hon du ras-Nicaragua),
también se desplazaba desde el margen Suroccidental de México, hacia su posición actual
(Malfait y Dinkelman, 1972). El margen Occidental
de la placa de Norteamérica traslapó a la dorsal
FI-UNAM
J.E. Aguayo-Camargo
oceánica del Pacífico Oriental; el arco magmático
de Panamá cerró la trayectoria de la corriente
ecuatorial oceánica que comunicaba a los océanos
Atlántico y Pacífico, por lo que, la corriente
ecuatorial siguió su curso hacia el Nor-Poniente, o
sea, hacia el Mar Caribe y al Golfo de México,
generándose el sistema complejo de corrientes de
Lazo dentro del mismo, con manifestaciones en
sus márgenes de elevación del nivel del mar por
eustatismo, lo que fue ampliamente documentado
por Mul lins et al.(1987).
A la vez, la provincia del Istmo de Tehuantepec
alcanzó su máxima actividad tectónica manifestándose con el rápido hundimiento de los bloques
tectónicos que aceleraron la conformación del
Golfo de Tehuantepec; asociados estos movimientos tectónicos con intensa actividad volcánica
(Sánchez-Barreda, 1981 y Pedrazzini et al., 1982);
debido a esta actividad tectónica, las secuencias
areno-arcillosas terrígenas de la región del Istmo y
las calcáreas de la Plataforma de Yucatán,
progradaron hacia la cuenca del Golfo de México.
La placa de Cocos inició su actividad geodinámica en subducción con el continente, también durante el Mioceno Medio, generándose
esfuerzos tectónicos transtensivos y transpresivos
con vergencia hacia el Norte-Noreste, que activaron también a la falla regional del Istmo o Sa lina Cruz con desplazamientos laterales-izquierdos; conjugándose estos esfuerzos con los
movimientos del bloque de Yucatán durante su
desplazamiento dextrógiro, con movimiento lateral-izquierdo en su porción Sur en Centro
América, a lo largo del Arco de la Libertad y del
sistema del fallamiento Polochic; durante el
Neógeno y debido al movimiento dextrógiro del
bloque de Yucatán se reactivaron las cuencas
sedimentarias distensivas de Macuspana, Comalcalco y Sa lina del Istmo, que subsidieron rápidamente en el Mioceno Tardío-Plioceno Temprano.
La acumulación de secuencias terrígenas repetitivas y regresivas, es de unos 10 km de máximo
espesor; las facies sedimentarias progradantes se
depositaron en ambientes fluvio-deltáicos, litorales-lagunares y de plataforma interna somera
con cambios laterales hacia el Golfo de México, a
facies sedimentarias pelágicas depositadas en
ambientes marinos profundos. En este evento
tectónico también se activaron las fallas transcurrentes y transpresivas orientadas NoroesteSureste en la provincia geológica de la Sierra de
Chiapas, adquiriendo su actual conformación
estructural que ha continuado modificándose du rante el Cuaternario por los esfuerzos compresivos con vergencia hacia el Noreste de la placa
circum-pacífica de Cocos, que genera sistemas
conjugados de fallas transcurrentes y fracturas con
orientación Noroeste-Sureste y Noreste-Suroeste,
siendo estas últimas las de mayor tendencia, ya
que coinciden con la dirección de los esfuerzos
compresivos de la placa circum-pacífica Cocos.
4. Regresión y transgresión durante el
Pleistoceno-Holoceno Tardío
En el Plioceno Tardío-Cuaternario Temprano,
continuaron los procesos marinos regresivos,
interrumpidos por ciclos cortos de sedimentación
transgresiva y retrogradante, causados por las
fluctuaciones eustáticas de origen climático que
ocurrieron durante los períodos glaciales e
interglaciales del Pleistoceno (Logan et al., 1969;
Putsy, 1965 y 1966).
Las secuencias sedimentarias progradaron
rápidamente hacia el Golfo de México con breves
etapas retrogradantes durante el eustatismo,
debido a los cambios climáticos globales que
ocurrieron en los períodos glaciales e interglaciales
del Pleistoceno Temprano. A partir del Pleistoceno
Tardío, du rante el evento post-glacial del Wisconsiano (18 000 años, antes del presente, a.p.), hasta
el Holoceno Tardío (6 000-5 000 años, a.p.),
ocurrió el evento transgresivo con ciclos breves
regresivos, lo que es evidente en el talud con ti nen tal y en el borde Norte y Occidental de la plataforma de Yucatán, en donde se han registrado
las fluctuaciones eustáticas ocurridas du rante este
período de tiempo. Logan et al. (1969),
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
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Neotectónica y facies sedimentarias cuaternarias en el suroeste del Golfo de México,..
determinaron la edad de los sedimentos calcáreos
en varias terrazas submarinas, fechándolas con
carbono radioactivo: (1) estabilidad del nivel del
mar entre 140 a 100 met ros (b.n.m.), 18 000 años,
a.p.; entre 70 y 56 metros (b.n.m.), 12 500 años,
a.p.; entre 40 y 30 met ros (b.n.m.), 9 000 años, a.p.
También Ayala-Castañares y Gutiérrez-Estrada
(1990) y Gutiérrez-Estrada et al. (1998), en el Banco
de Campeche, registraron las evidencias morfobatimétricas, debidas a las variaciones eustáticas
transgresivas del Pleistoceno Tardío al Holoceno
Tardío, por medio del perfilaje hidroacústico y el
muestreo sistemático de los sedimentos calcáreos
a diferentes profundidades (b.n.m.): 140, 90, 80,
70, 60, 36 y 18 metros. Los datos que se
mencionan del área de estudio, son correlativos
con los reportados en otros sitios geográficos del
Golfo de México por Fisk y McFarlan (1955),
Shepard (1960) y McFarlan (1961), y en las costas
del Pacífico en México (Curray, 1961), entre otros
autores.
5. Estabilidad eustática actual desde el
Holoceno Tardío
A partir del Holoceno Tardío (6 000-5 000 años,
a.p.), la planicie costera del Sureste de México
progradó del Sur-Sureste al Nor-Noroeste, hacia el
Golfo de México, con el depósito sucesivo de
sedimentos fluvio-deltáicos, a razón de 6 a 10 metros por año (Aguayo et al., 1999). Esta información
es congruente con lo reportado en la misma área
de estudio por Putsy (1965 y 1966) y Tanner y
Stapor (1971), quienes describen las evidencias
morfobatimétricas y sedimentológicas debidas a
las fluctuaciones del nivel del mar ocurridas du rante el Pleistoceno Tardío al Holoceno, hasta la
transgresión ma rina y su estabilidad eustática actual, desde el Holoceno Tardío. Los autores
también explican las causas del evento de progradación sedimentaria en la franja costera-litoral sin
variaciones significativas en la posición actual del
nivel del mar por el aporte de sedimentos fluviodeltáicos de los sistemas Mezcalapa, Grijalva-
30
INGENIERIA Investigación y Tecnología
Usumacinta y de otros sistemas fluviales menores
asociados.
La tendencia reciente a nivel global,
aparentemente, es la elevación del nivel del mar
por el deshielo de los casquetes polares, lo que es
controvertido a nivel científico, aunque no im probable, puesto que existen evidencias del
sobre-calentamiento del planeta por causas
naturales e inducidas por acciones antropogénicas
desde la era industrial en el siglo XIX, con el
aumento del CO 2 en la atmósfera y el consecuente
incremento de la temperatura global de 0.5ºC du rante el siglo pasado por el uso de combustibles
fósiles (Speranza et al., 1995).
Discusión
Siendo uno de los objetivos de este proyecto la
cartografía morfobatimetrica del fondo marino
para destacar las estructuras geológicas mayores
del Suroeste del Golfo de México (Figura 4) y
definir su extensión hacia el Sur, en la llanura
costera continental adyacente del Sureste de
México, información que es fundamental como
criterio en la interpretación geodinámica regional
del Suroeste del Golfo de México, se programaron
dos expediciones oceanográficas con el B/0 “Justo
Sierra” de la UNAM, utilizando ecosondas hidroacústicas con frecuencias entre 3.5 y 1.5 Khz, en
un recorrido con tinuo de 3743.74 km (2057 millas
náuticas), con con trol geográfico y batimétrico en
397 sitios de con trol, con distanciamiento promedio entre los mismos de aproximadamente 5 km
(2.75 millas náuticas). En estos transectos, el
registro hidro-acústico destaca los perfiles geológico-estructurales y estratigráficos del subsuelo
sub-superficial hasta 50 m de profundidad, bajo el
piso ma rino, y en la interfase agua-sedimento se
cartografió el perfilaje continuo de sus rasgos
fisiográficos y morfobatimétricos del fondo ma rino
en toda la superficie del área estudiada.
FI-UNAM
J.E. Aguayo-Camargo
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
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Neotectónica y facies sedimentarias cuaternarias en el suroeste del Golfo de México,..
La zona de estudio comprende a la Bahía de
Campeche, en el Suroeste del Golfo de México (a
la Bahía de Campeche también se le denomina en
la literatura “Golfo” ó “Sonda” de Campeche). La
bahía fisiográficamente comprende de oriente a
poniente, hacia la porción Occidental del Banco
de Campeche, que es un extenso banco calcáreo,
somero, casi plano y de baja pendiente (0o 04´ a 0o
02´); en este estudio fue notoria la presencia de
antiguas líneas de playas asociadas con estructuras arrecifales formando montículos y pináculos,
bancos de biocalcarenitas y cordones litorales.
Los depósitos que se describen, en general, son
paralelos a la línea de costa Occidental ac tual de la
Península de Yucatán y al margen de la plataforma
continental; estos depósitos calcáreos fueron
evidentes en esta investigación a diferentes
profundidades, en la isóbata de 16 m y a 36, 60 y
90 m (b.n.m); y es significativa la presencia de
disoluciones kársticas, debidas a las oscilaciones
eustáticas del Pleistoceno, lo que fue ampliamente
documentado por Ayala-Castañares y GutiérrezEstrada (1990) y Gutiérrez-Estrada et al. (1998). Los
depósitos calcáreos que se localizaron durante
este estudio y las zonas kársticas están asociados
con sistemas de fracturas locales y fallas
regionales, que en conjunto, forman un patrón
estructural paralelo al borde externo del Banco de
Campeche, desde el Sur-Suroeste del Escarpe de
Campeche, prolongándose hacia el Suroeste del
banco calcáreo y en el extremo Noreste de Laguna
de Términos y de la Isla del Carmen, Campeche;
este sistema estructural continúa hacia el Sur, en
el subsuelo de la llanura costera del Sureste de
México, que en el subsuelo corresponde a la
provincia geológica calcárea de la Plataforma de
Yucatán, según datos reportados por PEMEX-IMP.
A este sistema de fallas y fracturas, en conjunto,
en este trabajo se propone como sistema de la
“Falla Candelaria” (Figura 5).
La Falla Candelaria en la llanura costera con tinental del Sureste de México y su extensión hacia
el Golfo de México, es el borde Occidental del
Banco de Campeche, aproximadamente en la
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isóbata de 200 m, que a la vez, corresponde al
extremo Oriental del Cañón de Campeche. Este
cañón submarino tiene una orientación del
Noroeste hacia el Sureste y estructuralmente es
una fosa tectónica, cuyo piso abisal hacia el Golfo
de México alcanza profundidades máximas cercanas a los 3 000 m (b.n.m.). El cañón se
caracteriza por contener sistemas de fracturas y
fallas lo cales y regionales transtensivas con desplazamientos dextral y lateral-izquierdo, paralelas
y escalonadas, desde el borde Noroeste del Banco
de Campeche hasta la isóbata de más de 2 000 m,
hacia el in te rior del mismo. El cañón se prolonga
hacia el Sureste y el sistema de fracturas y fallas se
manifiestan en la superficie del piso marino en la
isóbata de 16 m; hacia el subsuelo profundo, el
sistema estructural es más complejo y está
formado también por fallamientos transpresivos y
transtensivos con movimientos laterales dextrales
y siniestrales, afectados por el diapirismo salino en
el área petrolera de Cantarell, según datos
proporcionados por PEMEX-IMP.
El límite Occidental del Cañón de Campeche
corresponde al margen Oriental de la Zona de
Diapiros Salinos de la parte cen tral de la Bahía de
Campeche; este margen, también está caracterizado por sus sistemas complejos de fallas
transtensivas con movimiento lat eral-izquierdo y
presencia de diapiros salinos, de los cuales,
algunos afloran en la superficie del piso ma rino; el
sistema de fallas también está escalonado hacia el
fondo del Cañón de Campeche, aunque la densidad de las mismas, en este margen, es menor que
en su margen Oriental. Este sistema estructural se
prologa hacia el Sureste e incide en la zona
Suroccidental de la Laguna de Términos en Punta
Xicalango y de la Isla del Carmen, Campeche En
este sitio, en la isla, las fallas son evidentes y se
asocian con emanaciones activas de hidrocarburos que impregnan a los bancos de moluscos,
expuestos en la superficie del terreno. A este
sistema de fallas y fracturas la denominan Aguayo
et al.(1999), “Falla Xicalango”, y se prolonga hacia
el Sur- Sureste en la planicie costera del Sureste de
México.
FI-UNAM
J.E. Aguayo-Camargo
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
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Neotectónica y facies sedimentarias cuaternarias en el suroeste del Golfo de México,..
Por otro lado, el Cañón de Campeche es una
provincia geológica de transición de sedimentos
calcáreos hacia el Banco de Campeche, hacia el
Oriente del cañón; y de terrígenos siliciclásticos de
origen fluvio-deltáicos en el sector Occidental de
la Bahía de Campeche, desde la Zona de Diapiros
Salinos y en el Cañón de Veracruz, hacia la costa
Noroccidental de Golfo de México externa al área
de estudio.
En la zona de diapiros salinos de la parte cen tral de la Bahía de Campeche fue manifiesto en los
ecogramas durante el registro continuo hidroacústico, que la superficie del fondo ma rino es irregular, debido a la presencia de sistemas
complejos de fracturas y de fallas transtensivas
con movimiento lateral-izquierdo, comúnmente
asociados con diapirismos salinos y que frecuentemente sobresalen del fondo marino. Hacia el
Noreste, en la parte profunda del Golfo de México,
el diapirismo salino se prolonga hasta la Zona
Sigsbee a 3750 m (b.n.m.). Estos sistemas estructurales complejos se prolongan hacia el Sur, o sea,
hacia la planicie costera con ti nen tal de los estados
del Sur de Veracruz, Tabasco y Campeche, lo que
se evidencia en los sistemas fluvio-deltáicos de los
ríos Coatzacoalcos, Tonalá-Mezcalapa y GrijalvaUsumacinta (San Pedro-San Pablo). En el subsuelo
profundo de la costa ma rina y en el con ti nen tal,
los sistemas estructurales se prolongan hacia las
cuencas Salina del Istmo, Comalcalco y Macuspana; y a éstas en conjunto, las denominan
González y Holguín (1992) como, Cuenca del
Sureste de México.
Las irregularidades del fondo ma rino obedecen
a patrones geométricos definidos de los intrusivos
salinos, según lo interpretado en este trabajo con
la información oceanográfica aportada durante
este estudio e integrada con los datos geofísicos
sobre la presencia y la distribución de los domos
salinos superficiales y del subsuelo ma rino pro fundo que reportan Bryant et al.(1984), así como con
la de prospección sísmo-estratigráfica de reflexión
continua de PEMEX y de otros datos geofísicos,
34
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gravimétricos y magnetométricos, acerca del estudio de emplazamiento de la superficie del manto
su pe rior en el Golfo de México (Comínguez, et al.,
1977; Sandoval-Ochoa et al., 1999).
Los datos morfobatimétricos del piso marino
en esta investigación, destacan principalmente a
los sistemas mayores de fallamiento regional y
local, así como la presencia de los domos más
superficiales, ya que los ecogramas de la ecosonda
hidro-acústica, como ya se mencionó, solamente
registran perfiles estratigráficos y estructurales
hasta 50 m de profundidad del subsuelo
sub-superficial, a partir del piso marino. Por tal
razón, el emplazamiento de los domos salinos
profundos y su distribución espacial, solamente se
pueden reg is trar por medio de métodos geofísicos
de exploración profunda y verificación directa con
la perforación de pozos.
Bryant et al.(1984), registraron la presencia de
domos salinos superficiales y del subsuelo pro fun do de la Bahía de Campeche en el Golfo de
México, así también hacia el Sur, en la llanura
costera con ti nen tal del Sureste de México, en las
cuencas del Terciario. Con base en la información
cartográfica reportada en ese trabajo, aquí se
distinguen e interpretan en la zona de diapiros
salinos de la Bahía de Campeche tres sub-zonas
sa linas, de acuerdo a su posición geográfica y a sus
características geométricas, las cuales son
distintivas en cada una de ellas:
1. En la sub-zona Norte de la Bahía de
Campeche, hacia el Golfo, la morfología de los
diapiros salinos tiende a ser elongada y de forma
abanicada, con sistemas conjugados y orientados
Nor-Noroeste y Noreste, pero con fuerte tendencia hacia el Noreste, o sea, hacia la planicie abisal
de la Zona Sigsbee, siguiendo la trayectoria del
movimiento dextrógiro del bloque de Yucatán.
2. En la sub-zona central de la Bahía, los
domos salinos, morfológicamente tienen una
expresión grumosa, sin orientaciones preferen-
FI-UNAM
J.E. Aguayo-Camargo
ciales; la forma geométrica de este dominio tiende
a ser circular, con un diámetro cercano a los 200
km, que es coincidente con la ubicación del alto
del manto superior en el subsuelo profundo,
emplazado entre 15 y 16 km de profundidad
(b.n.m.), según lo reportado por Comínguez et al.
(op.cit.) y por Sandoval Ochoa et al. (op.cit.); por otro
lado, en esta subzona, también se manifiesta una
corriente oceánica con movimiento anticiclónico
(dextrógiro), cuyo diámetro es de unos 200 km y
que se sobrepone al dominio de los domos salinos
grumosos que, como ya se mencionó, también
reflejan la ubicación del alto del manto su pe rior en
el subsuelo pro fun do (F igura 6).
En la provincia geológica del prisma acrecional
marginal continental, la columna estratigráfica
tiene espesores entre 10 y 12 km, según la
información geofísica del subsuelo reportada por
PEMEX-IMP y en el proyecto C.I.C.A.R. (1972).
En la superficie del mar, la corriente marina fue
reportada por Welsh y Walker (1997), con base en sus
variaciones térmicas superficiales, a través de
imágenes satelitales para estudios ambientales de la
NOAA-GOES (octubre 12, 1997), aunque corrientes
de esta naturaleza en el Golfo de México alcanzan al
fondo marino a profundidades que varían entre los
800 y 1 000 m (Vidal et al., 1992 y 1999).
3. En la sub-zona Sur de los domos
salinos de la Bahía de Campeche la orientación
morfológica de los diapiros no es uniforme,
localmente y en forma aislada; esta sub-zona se
prolonga hacia la llanura costera continental del
Sureste de México, debido a que su presencia
obedece al patrón estructural del prisma acrecional marginal continental, cuya orientación re gional es del Noreste al Suroeste, e incluye a las
cuencas del Terciario del Sureste de México; que
en conjunto, se caracterizan por sus sistemas de
fracturas y fallas distensivas paralelas al borde de
la plataforma continental, siguiendo al sector cir cular del limite Sur de la sub-zona central de
domos salinos, con concavidad hacia el Norte,
formando bloques sintéticos, antitéticos y rotacionales que en forma escalonada y durante su
evolución tectónica han manifestado una franca
subsidencia hacia el Golfo de México.
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Neotectónica y facies sedimentarias cuaternarias en el suroeste del Golfo de México,..
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J.E. Aguayo-Camargo
Por medio del método hidro-acústico continuo en
la zona de los domos salinos de la Bahía de
Campeche, se registraron diversos patrones de
fallas y fracturas con orientación re gional hacia el
Nor-Noreste. Los sistemas estructurales son transtensivos con movimiento lateral-izquierdo; las
trayectorias de algunos se interrumpen con otros
sistemas cuya orientación es Noreste-Suroeste,
paralelos al borde de la plataforma con ti nen tal y a
la franja litoral. En el sector central del dominio
salino de la Bahía de Campeche con orientación
Norte a Sur, se cartografiaron sistemas de fallas y
bloques distensivos orientados regionalmente
hacia el Nor-Noreste, extendiéndose hacia el sur e
incidiendo en el complejo fluvio-deltáico del río
Mezcalapa, siendo evidentes en las bocas de las
rías litorales de Tupilco, Dos Bocas y Chiltepec, en
el estado de Tabasco; los sistemas estructurales se
proyectan hacia el subsuelo profundo, formando
parte del complejo estructural de la cuenca
terciaria de Comalcalco. Este complejo estructural
distensivo bisecta en dos sectores a la zona de
domos salinos de la Bahía de Campeche, el Oc ciden tal y el Oriental; el límite del sec tor Oc ci den tal
es el Cañón de Veracruz y el del sec tor Oriental es
el Cañón de Campeche. Los sistemas estructurales
en estos dos sectores, respectivamente, se
prolongan y bifurcan hacia el Suroeste y hacia el
Sureste, internándose en la franja litoral de la
llanura costera del Sureste de México. Los rasgos
estructurales del sector Suroccidental inciden en
las desembocaduras de los complejos fluviodeltáicos de los ríos Coatzacoalcos, en el Sur de
Veracruz, en el del río Tonalá y en la laguna El
Carmen, en el estado de Tabasco; los cuales son
parte del complejo estructural en el subsuelo de la
cuenca terciaria Sa lina del Istmo. El patrón estructural que se menciona, también es evidente en la
laguna La Machona y en la ría de Tupilco en el
Estado de Tabasco; en el subsuelo, estos sistemas
estructurales se manifiestan en la cuenca terciaria
de Comalcalco; la laguna Pajonal se ubica entre las
lagunas El Carmen y La Machona y es el umbral en
el subsuelo de las cuencas terciarias Salina del
Istmo y Comalcalco. Por otro lado, el sector
Oriental estructural con bifurcación hacia el
Sureste se evidencia en la llanura costera expuesta
en las bocas de las rías de Dos Bocas y Chiltepec y
en las planicies de los sistemas fluvio-deltáicos
Grijalva- Usumacinta (San Pedro-San Pablo), en el
Estado de Tabasco; el extremo Oriental de este
sector está en Punta Xicalango, que es la zona
Suroccidental de la laguna de Términos en el
Estado de Campeche. El complejo estructural
neotectónico del sistema Grijalva-Usumacinta y de
Punta Xicalango con orientación NoroesteSureste, se sobreponen al alto tectónico ReformaAkal, del Mesozoico y a la cuenca Macuspana del
Terciario, cuya orientación es Noreste-Suroeste,
paralelamente al margen calcáreo occidental de la
Plataforma de Yucatán en el subsuelo (Figuras 5 y 6).
Entre los patrones estructurales que se
describen, Aguayo, et al. (1999 ), estudiaron los del
sistema Grijalva-Usumacinta y los de Punta
Xicalango, reportándose desplazamientos Neotectónicos entre 7 y 15 km con movimientos lateralesizquierdos; las trazas de las fallas están orientadas
Noroeste-Sureste y los diferentes depósitos
sedimentarios asociados a las mismas se dataron
con carbono radioactivo en conchas de moluscos
contenidos en los sedimentos, cuyo rango de edad
varía entre 5 600 hasta menos de 200 años antes
del presente; por lo cual, se interpreta que la zona
de estudio sigue siendo tectónicamente activa.
Los sistemas estructurales descritos que son
evidentes en la llanura costera continental
expuesta y en el subsuelo pro fun do del Sureste de
México también manifiestan su continuidad hacia
la plataforma con ti nen tal del Golfo de México, en
diferentes regiones marinas, frente a los estados
del Sur de Veracruz, Tabasco y Campeche. Las
prolongaciones hacia el Golfo de las desembocaduras de los ríos Coatzacoalcos y Tonalá se
presentan como canales erosivos desde la zona
litoral hasta más de 200 m de profundidad; en
ambos casos, estos mismos siguen su trayectoria
hacia el Norte y se desvían hacia el Occidente,
siguiendo los lineamientos fisiográficos del prisma
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
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Neotectónica y facies sedimentarias cuaternarias en el suroeste del Golfo de México,..
acrecional mar ginal con ti nen tal, hasta incidir en el
Cañón de Veracruz, al Noreste de los Tuxtlas, Ver.
Frente a las lagunas El Carmen, Pajonal y Machona
se colectaron depósitos fluviales asociados a
terrazas litorales escalonadas hacia el Golfo y a canales erosivos someros entre 20 y 40 m (b.n.m.).
Hacia el Norte del río Tupilco, de la laguna Dos
Bocas y de los complejos fluvio-deltáicos GrijalvaUsumacinta (San Pedro-San Pablo), las trayectorias de los cauces erosivos formados du rante las
épocas interglaciales del Pleistoceno son las
mismas que la de los sistemas sedimentarios
costeros ac- tuales, cartografiándose desde la
isóbata de 16 m en la plataforma continental en
donde algunos de ellos se prolongan a más de 200
m (b.n.m.) en el talud con ti nen tal su pe rior.
investigación, evidencian su continuidad regional
en la Bahía de Campeche, y hacia el Sur, inciden
hacia la llanura costera contigua hacia las cuencas
terciarias en el subsuelo profundo del Sureste de
México; esto último se documentó con la
información proporcionada por PEMEX-IMP, en
sus informes técnicos inéditos y de otros trabajos
publicados ya referidos en incisos anteriores. Con
base en la información geológica-estructural y
estratigráfica mencionada en esta investigación, se
propone un modelo con cep tual geodinámico de la
provincia ma rina, enmarcado regionalmente con el
movimiento geodinámico de la microplaca de
Yucatán durante el Neógeno y el Reciente (Figura
6), y que en síntesis se resume su evolución
geológica en lo siguiente:
El límite Oc ci den tal de la Bahía de Campeche es
el Cañón de Veracruz que es una sub-provincia
fisiográfica oceánica, orientada ligeramente hacia
el Noreste, desde la planicie abisal del Golfo de
México y hacia el alto volcánico de los Túxtlas,
Veracruz. La formación del cañón se debe al deslizamiento y plegamiento por gravedad de las
secuencias estratigráficas del Terciario y del Cuaternario que conforman el frente Sur de la Franja
Plegada Mexicana, de la porción Centro- Oc ci dental del Golfo de México; este complejo estratigráfico-estructural es el límite Occidental del
Cañón de Veracruz, su límite Ori en tal es el margen
Occidental de la zona diapirica salina de la Bahía
de Campeche (Figura 5). Durante esta investigación, los sistemas hidro-acústicos registraron
que los sedimentos en el fondo del cañón no están
perturbados, y que éste es casi llano; en la margen
Occidental del mismo, se manifiestan plegamientos tectónicos abruptos con vergencia hacia el
Oriente de la Franja Plegada Mexicana; y en su
margen Ori en tal, los sistemas plegados del cañón
son menos pronunciados, son angostos y rítmicos,
asociados con diapirismo salino que se presenta en
forma columnar, intensificándose estos mismos
hacia el Oriente, o sea, en la zona de domos salinos.
Los rasgos tectónicos que se detectaron du rante las campañas oceanográficas en esta
Du rante el Mioceno Medio la placa de Cocos en
subducción, generó esfuerzos tectónicos transcurrentes con desplazamiento lateral-izquierdo,
plegando a la secuencia estratigráfica con vergencia hacia el Nor-Noreste y activándose contemporáneamente la falla regional siniestra del
Istmo ó Salina Cruz; estos movimientos tectónicos, a la vez, se conjugaron con los desplazamientos dextrógiros del bloque de Yucatán,
cuando la placa tectónica del Caribe se desplazó
hacia el Oriente franco. En el Mioceno Su perior-Plioceno In fe rior, el movimiento dextrógiro del
bloque de Yucatán se reactivó y la provincia ma rina del Suroeste del Golfo de México fue afectada
por sistemas estructurales distensivos, cuyas
tendencias hacia el Noreste siguen la trayectoria
dextrógira del bloque tectónico. En el Sureste de
México, las cuencas terciarias también se reactivaron (Guzmán y Mello, op.cit.) y los sistemas
estructurales de fallas transcurrentes y transpresivas orientadas Noroeste-Sureste en la provincia
geológica de la Sierra de Chiapas adquirieron su
actual conformación estructural (Sánchez-Montes
de Oca, 1978; Meneses-Rocha, 1986; Vélez
Scholvink, 1990). El extremo Sur del bloque de la
microplaca de Yucatán se desplazó durante este
tiempo a lo largo del Arco de la Libertad, siguiendo
la trayectoria del sistema transtensivo Polochic
38
INGENIERIA Investigación y Tecnología
FI-UNAM
J.E. Aguayo-Camargo
con movimiento lateral-izquierdo (Dengo y
Bohnenberger, 1969; Burkart, 1978 y Burkart, et al.,
1987). El límite Norte del Arco de la Libertad en
superficie son las Montañas Maya en Belice y en el
Sur es la Zona del Petén en Guatemala; la fosa
tectónica del Arco de la Libertad en México se
prolonga desde la provincia geológica chiapaneca
hacia el Noroeste en el Cañón de Campeche, que
según se interpreta en este trabajo está afectado
en su margen Ori en tal, por los sistemas complejos
de fallas transtensivas y transpresivas del borde
Oc ci den tal de la plataforma calcárea de Yucatán, y
por el diapirismo salino hacia su porción
Suroriental en la zona petrolera de los campos de
Cantarell. El margen Occidental del Cañón de
Campeche colinda con la zona de diapiros salinos
de la Bahía de Campeche referida en incisos
anteriores.
En síntesis, la provincia ma rina del Suroeste del
Golfo de México y la continental del Sureste de
México, regionalmente han estado relacionadas
tectónicamente desde el Neógeno hasta el
Reciente, durante las interacciones geodinámicas
de dos placas tectónicas oceánicas mayores; la
circumpacífica de Cocos en subducción con el
continente, con dirección hacia el Nororiente y la
del Caribe, con franco movimiento hacia el Oriente
franco. Como consecuencia de los movimientos
corticales, simultáneos e intermitentes de ambas
placas tectónicas, también se reactivó el bloque
de la microplaca de Yucatán, desplazándose en
sentido dextrógiro a lo largo de la provincia
geológica del Arco de la Libertad y del sistema
estructural Polochic, en Centroamérica. Los movimientos tectónicos descritos, aunado con las fluctuaciones eustáticas ocurridas durante el Cuaternario por
cambios climáticos, gobernaron la configuración
fisiográfica actual de la provincia oceánica del
Suroeste del Golfo de México y de la llanura costera
con ti nen tal contigua del Sureste de México.
Conclusiones
1. La Cuenca del Golfo de México an cestral es el marco geológico regional del Golfo de
México, el cual enmarca al área de estudio en su
porción Sur-Occidental y en la planicie costera
adyacente del Sureste de México.
2. Regionalmente, la provincia geológica
de la zona de estudio es consecuencia en tiempo y
espacio de los movimientos geodinámicos regionales de cinco placas tectónicas mayores: la de
Norteamérica (1), las circum-pacíficas Kula (2),
Farallón (3) y Cocos (4); y la del Caribe (5).
3. Los
movimientos
continentales
y
oceánicos aquí referidos, dieron como consecuencia que en el prisma acrecional mar ginal con tinental del Golfo de México se acumularan
intermitentemente, pero en franca subsidencia,
entre 12 y 14 kilómetros de espesor sedimentos de
origen continental hasta marinos profundos,
desde el Triásico Su pe rior al Reciente.
4. La evolución tectono-sedimentaria en
el área de estudio se interpreta en este trabajo con
base en la integración de la información geológica-geofísica re gional y local, las megasecuencias
siguientes: transgresión durante el Mesozoico; (2)
regresión durante el Paleógeno; (3) regresión du rante el Neógeno; (4) regresión y transgresión du rante el Pleistoceno-Holoceno Tardío, y (5)
estabilidad eustática actual desde el Holoceno
Tardío.
5. Durante el Mioceno Superior-Plioceno
In fe rior, el bloque de Yucatán se desplazó hacia el
Norte y en sentido dextrógiro hasta su posición ac tual, con la reactivación subsidente de las cuencas
distensivas del Sureste de México, como son las
de Macuspana, Comalcalco y Sa lina del Istmo.
6. Los desplazamiento dextrógiros del
bloque de Yucatán son evidentes en la Bahía de
Campeche en el Suroeste del Golfo de México con
la presencia de sistemas tectónicos distensivos,
asociados con bloques sintéticos, antitéticos y
rotacionales, paralelos al margen con ti nen tal y en
franca subsidencia hacia el Golfo de México, que
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
39
Neotectónica y facies sedimentarias cuaternarias en el suroeste del Golfo de México,..
se manifiestan en el subsuelo dentro del prisma
acrecional mar ginal con ti nen tal.
7. Los sistemas de fallamiento transtensivo paralelos al borde Occidental del banco
calcáreo de Campeche, también manifiestan el
desplazamiento dextrógiro del bloque de Yucatán; lo
que fue evidente du rante este estudio con los rasgos
morfobatimétricos cartografiados de fallas y fracturas distensivas, comúnmente asociadas a diapirismo salino que intrusiona y aflora en el piso ma rino.
8. Los sistemas estructurales distensivos,
conforman a la fosa tectónica del Cañón de
Campeche en el extremo Oriental de la Bahía de
Campeche; éstos también son consistentes en la
zona de domos salinos, en la parte central de la
bahía y en su margen occidental, en colindancia
con el Cañón de Veracruz. En este cañón no se
manifiestan deformaciones superficiales en el
fondo abisal.
9. Las estructuras geológicas distensivas
aquí referidas se prolongan hacia el Sur de la Bahía
de Campeche y en el piso marino se manifiestan
como paleocanales erosivos de origen fluvial y
hacia el litoral inciden en las bocas de los cauces
de los ríos y lagunas de la zona costera del Sureste
de México; estos sistemas estructurales se
proyectan hacia el subsuelo profundo en las
cuencas del Terciario.
10. En el extremo Norte de la zona de
domos salinos, aquí denominado sub-zona Norte,
el patrón geológico transtensivo se flexiona hacia
el Noreste, hacia la Zona Sigsbee, siguiendo la
trayectoria dextrógira del bloque de Yucatán; en la
sub-zona cen tral del dominio salino, la orientación
de los domos es errática y coincidente con la
proyección del alto del manto su pe rior, emplazado
en el subsuelo pro fun do entre 15 y 16 km (b.n.m);
en el piso marino de esta sub-zona también es
coincidente la trayectoria de una corriente ma rina
con movimiento anticiclónico (dextrógiro) y cuyo
diámetro es de unos 200 km; en la sub-zona Sur de
40
INGENIERIA Investigación y Tecnología
la bahía y hacia el in te rior de la llanura costera del
Sureste de México, los diapiros salinos comprenden una franja orientada Noreste-Suroeste,
paralela al borde continental y dentro de la
provincia tectónica del prisma acrecional marginal
con ti nen tal del Suroeste del Golfo de México.
11. El modelo geodinámico conceptual que
se propone, se basa en los datos geológicomarinos y litorales de este trabajo, integrados con
informaciones geológico-geofísica previas; y se
interpreta que, la provincia ma rina del Suroeste del
Golfo de México y la Continental del Sureste de
México, tectónicamente han estado relacionadas
desde el Neógeno al Reciente, con el movimiento
dextrógiro de la microplaca tectónica del bloque
de Yucatán, que se desplaza a lo largo de la
provincia geológica del Arco de la Libertad y del
sistema estructural Polochic en Centroamérica y
en el Cañón de Campeche en México, que es la
prolongación hacia el Noroeste del Arco de la
Libertad.
Agradecimientos
Este artículo corresponde a un capítulo del
proyecto de investigación referido FIES, que fue
sustentado por el autor en el Palacio de Minería
ante la Academia de Ingeniería el 6 de noviembre
del 2003; por lo que se agradece a la A.I. su
aceptación para ser publicado.
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Semblanza del autor
Joaquín Eduardo Aguayo-Camargo. En 1966, obtuvo la licenciatura en ingeniería geológica en la Facultad de Ingeniería, UNAM. En
1971, se graduó como maestro en ciencias geológicas en la Universidad de Baylor, Texas, y como doctor (PhD) en 1976 en
la Universidad de Texas, Dallas. Sus especialidades académicas y profesionales son la geología marina, sedimentología,
estratigrafía y la exploración geológica petrolera. De 1964 a 1968, laboró en el área de exploración petrolera de PEMEX; de
1969 a 1987, colaboró como investigador, jefe de departamento y de división en la Subdirección de Tecnología de
Exploración en el IMP. A partir de 1987 a 1998, se incorporó como investigador en el Departamento de Oceanografía
Geológica del Instituto de Ciencias del Mar y Limnología de la UNAM, siendo director del mismo durante el período
1991-1995. A partir de 1998 se incorporó a la División de Ingeniería en Ciencias de la Tierra en el área de Geología como
investigador y profesor de tiempo completo. Es autor de más de 100 artículos científicos nacionale s e internaciones con
arbitraje y de trabajos técnicos de divulgación. Como ponente ha participado en más de 160 foros académicos y
profesionales nacionales y extranjeros; se le ha distinguido, entre otros reconocimientos, con el Premio Martillo de
Plata-2001 por su labor como investigador científico, galardón otorgado por el Colegio de Ingenieros Geólogos de México.
Es investigador nacional desde 1990; miembro de la Academia Mexicana de Ciencias desde 1989 y académico titular de la
Academia de Ingeniería desde el 2003.
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
45
INGENIERÍA Investigación y Tecnología VI. 1. 47-58, 2005
(artículo arbitrado)
Introducción suave a ideas fundamentales para resolver
problemas de programación lineal en enteros por medio de
matemáticas recreativas
M.A. Murray-Lasso
Unidad de Enseñanza Auxiliada por Computadora
Departamento de Ingeniería de Sistemas. División de Estudios de Posgrado
Facultad de Ingeniería, UNAM
E-mail: mamurray@servidor.unam.mx
(recibido: noviembre de 2003; aceptado: marzo de 2004)
Resumen
Los algoritmos de corte de Gomory para resolver programas lineales en enteros tienen
que encontrar una solución entera a un programa lineal obtenido del orig inal al que se le
hicieron unos “cortes.” La presentacion en los textos de dichos algoritmos,
generalmente son muy abstractas y difíciles de seguir, máxime que pocos textos
presentan ejemplos en todo detalle donde se vea exactamente qué hace cada corte. En
este artículo, se muestran varios ejemplos con soluciones detalladas y con una
complejidad creciente de problemas, cuyas soluciones deben ser enteras y positivas
utilizando matemáticas recreativas (acertijos matemáticos). Los problemas se resuelven
mostrando la utilidad de algunas ideas sencillas para obligar a las soluciones a ser
enteras. Como esta idea es nueva y funda mental acerca de los algoritmos de Gomory, ya
que las demás son las del algoritmo simplex, el artículo sirve para entender mejor los
algoritmos de cortes evitando el misterio que genera la excesiva abstracción y la
compleja notación de los textos en la materia.
Descriptores: Ecuaciones diofantinas, programación lineal entera, algoritmos de corte,
matemáticas recreativas, Gomory.
Abstract
The cut ting al go rithms of Gomory for solv ing lin ear in te ger pro grams find an in te ger so l u tion to a linear pro gram ob tained from the orig i nal prob lem to which some “cuts” have been added. The pre s en tations given in the text books that in tro duce these al go rithms are gen er ally ab stract and dif fi cult to visual ise, of ten be cause the texts do not pro vide de tailed ex am ples in which the reader can see clearly what
each cut does. In this ar ti cle we use rec re ational math e mat ics (math puz zles) and give several ex am ples
of in creas ing com plex ity to gether with their de tailed so lu tions for prob lems in which posi tive in te ger solu tions are re quired, as means to ex plain ing what is go ing on with the cuts. The ex am ple prob lems are
solved by show ing the use ful ness of some sim ple ideas that force the so lu tions to be in te gers. Since this
is the fun da men tal new idea of Gomory’s cut ting al go rithms, given that the other ideas are those al ready in use by the sim plex al go rithm, the ar ti cle should be use ful to help stu dents un derstand better
the cut ting al go rithms by elim i nat ing the mys tery gen er ated by the ex ces sive ab strac tion and the complex no ta tion of the cor re spond ing text books.
Keywords: Diophantine equa tions, in te ger lin ear pro gram ming, cut ting al go rithms, rec re ational
math e mat ics, Gomory.
Introducción suave a ideas fundamentales para resolver problemas de programación lineal ...
Introducción
Una de las principales tareas de la impartición de
la ingeniería es enseñar al estudiante a plantear y
re solver problemas. Dada la enorme variedad de
posibles clases de problemas que se le pueden
presentar al fu turo ingeniero y dado que no se ha
encontrado la manera de englobarlos todos en un
marco y teoría general, no parece haber más
remedio que tratar de coleccionar buenos problemas paradigmáticos que sirvan de modelo a las
principales familias de problemas típicos que se
presentan en la práctica. En la solución de dichos
problemas aparecen conceptos y métodos de
aplicabilidad más o menos general que conviene
que los estudiantes incorporen a su herramental
profesional. Algunos de ellos son: el establecimiento de ecuaciones matemáticas para describir
las condiciones que se le imponen a las cantidades
que intervienen en un problema; el análisis de un
elemento típico variable (por ejemplo, un elemento de volumen) para el cual se escriben
ecuaciones correspondientes a leyes de conservación y otras que al hacer ten der las dimensiones
a cero dan lugar a ecuaciones diferenciales, integrales o integro-diferenciales que debe satisfacer
todo el fenómeno; el método de aproximaciones
sucesivas para re solver una o varias ecuaciones, ya
sean algebraicas o diferenciales; el uso de simulación en la computadora para explorar el espacio
de posibilidades y contestar preguntas: ¿qué tal
si...?; el uso de técnicas de “trepar colinas” (hill
climbing) para determinar parámetros en diseños; la
simplificación de modelos ignorando algunas de
las condiciones, resolviendo y volviendo a imponer
las condiciones ignoradas; etc.
Por la limitación de tiempo en las carreras de
ingeniería, en muchos casos no es posible re solver
en clase problemas realistas en detalle, pues el
sim ple planteamiento del problema y el acopio de
datos llevaría mucho más tiempo que el disponible. Debido a ello, es necesario en muchos casos
re solver problemas “de juguete,” altamente simplificados para dar a los estudiantes “una probadita”
de lo que se trata. Así, se resuelven circuitos
48
INGENIERIA Investigación y Tecnología
eléctricos con 5 o 6 elementos; armaduras con 7 a 9
barras; redes de transporte con 2 orígenes y 3
destinos; planes de producción con 3 productos; etc.
La computadora ha venido a enriquecer la
educación de los estudiantes en forma impresionante, pues cuando se cuenta con el software y
equipo adecuados se pueden realizar proyectos
realistas; sin em bargo, al estar formando profesionales, no basta con enseñarles cómo operar un
programa en forma de receta; es necesario que los
estudiantes comprendan los principios, conceptos
y procesos detrás de los programas y que
adquieran el criterio suficiente para utilizarlos
crítica y creativamente. Para lograr esto, es
necesario que los estudiantes de verdad sepan re solver problemas.
En este artículo se presenta una introducción
muy ligera e informal de algunas ideas fundamentales que son utilizadas para resolver problemas de programación lin eal en enteros usando
como paradigma una fa milia de acertijos populares
en la literatura de las matemáticas recreativas. Se
presenta en detalle una técnica muy simple, que
sin embargo, no es ampliamente conocida entre
estudiantes de ingeniería ni de otras disciplinas
como economía, administración, física y ni siquiera matemáticas, excepto los especialistas en teoría
de números. La intención de más largo alcance es
proponer que los profesores de ingeniería coleccionen problemas similares junto con los conceptos y métodos de solución asociados para integrar
una “caja de herramientas” para los estudiantes de
ingeniería que les será de utilidad en su vida
profesional.
Al estudiar algoritmos como los de Gomory
para re solver programas lineales enteros, en gen eral los estudiantes ya estudiaron el al- goritmo
simplex, y por lo tanto, conocen los trucos
utilizados para convertir desigualdades en igualdades, ir cambiando de base sin que las variables
se vuelvan negativas e ir aumentando la función
objetivo con cada iteración. La verdadera novedad
en programación en enteros es obligar a las
soluciones a que sean enteras y no fraccionarias.
FI-UNAM
M.A. Murray-Lasso
Es en esta circunstancia en la que se concentra
este artículo. Una vez que el estudiante do mina la
idea fundamental, le será mucho más fácil entender los algoritmos de cortes de Gomory. (Hu,
1969); (Dantzig, 1963).
Los acertijos como fuente de
materiales para enseñar la resolución
de problemas
No cabe duda que una de las características de la
especie humana es su gusto por el juego. La
popularidad de los deportes competitivos, juegos
de azar, juegos electrónicos, juegos de salón,
magia, juguetes para niños y adultos, acertijos,
crucigramas, y otros pasatiempos lo demuestra.
La pasión con la que los niños juegan Nintendo
y la cantidad de tiempo que están dispuestos a
dedicarle nos indican el bien que haríamos en
incorporarlos al proceso de enseñanza-aprendizaje. Buenas fuentes de temas para practicar el
arte de resolver problemas son los acertijos,
particularmente los acertijos matemáticos. Existe
una rica literatura, tanto en libros como en revistas
populares sobre el tema (Dudeney, 1967),
(Gardner, 1961) y (Perelman, 1983). Casi todos los
libros proporcionan respuestas, pero adolecen de
la falta de explicación detallada sobre los métodos
organizados y confiables de solución, así como los
conceptos y procesos asociados que pueden
servir para re solver problemas similares.
Una razón válida de su ausencia es que
ocuparían una gran cantidad de espacio. La
propuesta es seleccionar aquellos problemas de
los cuales más se puede aprender y proporcionar
métodos de solución en detalle para así convertir
los libros de acertijos matemáticos en materiales
educativos útiles en el aprendizaje del arte de
resolución de problemas.
La familia de problemas lineales
diofantinos
Diofantes, un matemático que vivió en Alejandría
alrededor del año 250 de nuestra era, del cual se
sabe muy poco por referencias indirectas, es probablemente el algebrista más distinguido de la
Grecia de su época. Su libro Aritmética que en
realidad es un libro rudimentario de álgebra, nos
ha llegado incompleto a nuestros días. En su
honor, las ecuaciones para las cuales se buscan
soluciones racionales y en enteros se llaman
ecuaciones diofantinas (Ore, 1988), (Rouse, 1960)
y (Struik, 1967). De ellas las lineales son las más
fáciles de resolver. Una ecuación lineal con
coeficientes fraccionarios con más de una vari able
para la cual se busca una solución racional se
resuelve trivialmente dándole valores racionales
arbitrarios a todas las variables menos una y
despejando la vari able res tante en términos de las
demás. Más interesantes son las ecuaciones
lineales con coeficientes enteros con más de una
vari able, para la cual se buscan soluciones enteras,
en muchas ocasiones no negativas. Frecuentemente existe más de una solución entera, no
negativa, y para forzar una solución única se imponen condiciones adicionales, frecuentemente
encontrar la solución más pequeña. Este problema es un caso muy sim ple de los que en investigación de operaciones se conocen como un
problema de programación lineal en enteros. El
problema descrito ya es lo suficientemente complicado para que se le haya utilizado como acertijo
desde tiempos remotos, antes de la invención del
álgebra y menos todavía de la investigación de
operaciones.
Podríamos tratar el problema utilizando una
notación abstracta y un vocabulario especializado;
sin em bargo, el espíritu del artículo es tratarlo de
manera in for mal, por lo que se presenta por medio
de varios acertijos de complejidad creciente (Ore,
1988).
1. En un manuscrito del siglo X (se cree
que es copia de una colección de acertijos
preparados para Carlomagno) aparece el siguiente
problema: Cuando se distribuyen entre 100 per so nas 100 costales de granos en forma tal que cada
hombre recibe 3 costales, cada mujer recibe 2 y
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
49
Introducción suave a ideas fundamentales para resolver problemas de programación lineal ...
cada niño recibe ½ costal, ¿Cuántos hombres,
mujeres y niños hay?
2. Tomado del Álgebra de Euler:
Escribir el número 25 como la suma de dos
enteros positivos, uno di vis i ble entre 2 y otro divisible entre 3.
recibió 2,000 cartas y el autor continuó recibiendo
cartas durante 20 años pidiendo la respuesta o
proponiendo soluciones.
3. Tomado del Álgebra de Euler:
Un hombre compra caballos y vacas pagando
un total de $1 770. Cada caballo cuesta $ 31 y
cada vaca $ 21 ¿Cuántos caballos y cuántas vacas
compró?
Los problemas exhibidos en la sección an te rior se
podrían resolver por ensayo y error, sin plantear
ecuaciones y sin utilizar técnicas algebraicas
formales. Los primeros dos, particularmente el
segundo, los puede re solver fácilmente el hom bre
de la calle. El tercero ya resulta laborioso para
encontrar una solución y el cuarto resulta francamente muy laborioso resolverlo sin álgebra debido
a la presencia de números grandes. En este artículo exhibiremos una técnica segura y eficaz para re solver este tipo de problemas que aparecen con
frecuencia en la literatura de acertijos matemáticos (Ore, 1988) y (Perelman, 1983). La técnica
siempre lleva a una solución cuando existe y
detecta cuando no hay solución.
El primer paso para resolver los acertijos
mostrados es plantear una ecuación matemática,
lo cual hacemos para cada uno de los problemas:
4. En la revista Saturday Evening Post del
9 de octubre de 1926, apareció una leve variante
del siguiente problema:
Cinco hom bres y un mono naufragaron en una
isla desierta y se pasaron el primer día juntando
cocos para comer. Los pusieron en un gran
montón y se fueron a dormir. Cuando todos
estaban dormidos, uno de los hom bres despertó y
pensando que podría haber pleito en la repartición
de los cocos a la mañana siguiente, decidió tomar
su parte. Dividió los cocos en 5 montones iguales y
le sobró un coco que se lo dio al mono. Enterró
uno de los montones, juntó los demás montones
en un gran montón y se fue a dormir. Cada uno de
los demás hom bres se fueron despertando a horas
diferentes e hicieron lo mismo, cada uno
encontrando que al dividir los cocos en 5 partes
iguales sobraba un coco que se lo dieron al mono y
cada uno enterrando la quinta parte de los cocos
(excepción hecha del coco del mono) y juntando
los restantes en un gran montón. En la mañana
siguiente, los hombres divi- dieron los cocos
restantes en 5 par tes iguales y sobró un coco que
se lo dieron al mono. Seguramente todos los hombres se dieron cuenta en la mañana que faltaban
cocos; sin embargo, sabiendo que ellos habían
hecho trampa no dijeron nada. ¿Cuántos cocos
había orig i nal- mente? (Gardner, 1961).
Este problema causó tanto interés que la semana
siguiente a la fecha en que apareció, la revista
50
INGENIERIA Investigación y Tecnología
La formulación de problemas
diofantinos lineales
1. Si llamamos con las letras h, m, y n al
número (todavía desconocido) de hombres,
mujeres y niños, respectivamente, en vista de que
el total de personas es 100 podemos escribir la
ecuación
h + m + n =100
Por otra parte, el número de costales que
recibieron los hom bres es 3h, el que recibieron las
mujeres es 2m y el que recibieron los niños es ½ n,
y como el total de costales es 100 se puede
escribir la ecuación
3 h + 2m +½ n=100
Tenemos dos ecuaciones con 3 incógnitas. Las
incógnitas deben ser números enteros no negativos. Ya podríamos concluir de las ecuaciones y
FI-UNAM
M.A. Murray-Lasso
4N 0 = 5N 1 + 4 
4N 1 = 5N 2 + 4 

4N 2 = 5N 3 + 4

4N 3 = 5N 4 + 4
4N 4 = 5N 5 + 4

N 5 = 5F + 1 
las características de las incógnitas que ninguna de
las incógnitas debe exceder 100 y que el número
de niños debe ser par (para que no aparezcan
fracciones).
2. Para que uno de los sumandos sea divisible entre 3 y el otro entre 2, podemos escribirlos
3x y 2y, donde x e y son números enteros. Los dos
sumandos suman 25, entonces:
3 x + 2 y = 25
En este caso tenemos una ecuación con dos
incógnitas x e y enteras y no negativas.
3. Si representamos con c el número de
caballos y con v el número de vacas, la cantidad a
pagar será 31c + 21v la cual debe ser igual al total
pagado, 1 770. Por lo tanto, la ecuación es:
31c +21v = 1770
4. Si llamamos N0 al número original de
cocos, N1 los que quedaron en el montón general
después de que el primer hom bre enterró su parte,
N2 los que quedaron en el montón general
después de que el segundo hombre enterró su
parte, N3, N4, N5 los que quedaron en el montón
gen eral después de que el tercer, cuarto y quinto
hom bre enterraron su parte, respectivamente, y F
a la cantidad que le tocó a cada hombre en la
repartición de la mañana, se tiene
N1 = 4(N 0 – 1) / 5
N2 = 4(N 1 – 1) / 5
N3 = 4(N 2 – 1) / 5
N4 = 4(N 3 – 1) / 5
N 5= 4(N 4 – 1) / 5
F = (N 5 – 1) / 5
Las ecuaciones anteriores se pueden escribir
(1)
Tenemos 6 ecuaciones con 7 incógnitas ente- ras,
no negativas y deseamos encontrar el número más
chico N0 com pat i ble con las ecuaciones.
Conversión a una ecuación lineal
diofantina con 2 vari ables
Los cuatro problemas planteados se pueden
reducir a la solución en enteros no negativos de
una ecuación con 2 incógnitas como se muestra a
continuación:
1. En este problema tenemos 2 ecuaciones con 3 incógnitas. Una de las incógnitas se
puede eliminar con una de las ecuaciones. Despejando h de la primera ecuación y reemplazando
su valor en la segunda se tiene
h = 100 − m − n
3100
(
− m − n) + 2m +1 2n =100, simplificando
2m +5n = 400
2. Ya se tiene la ecuación en la forma
deseada.
3.
Ya se tiene la ecuación en la forma deseada.
4.
Se pueden eliminar las incógnitas N1,
N2 , N 3, N4, N5 usando las últimas 5 ecuaciones para
que la primera ecuación sólo tenga N 0 y F como
variables.
a) Multiplíquese la última ecuación del
grupo (1) por 5 y reemplace el N 5 de la
penúltima ecuación con su valor para
obtener
4 N 4 = 25F + 9
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
(5’)
51
Introducción suave a ideas fundamentales para resolver problemas de programación lineal ...
Con esto queda eliminada N5 .
b) Multiplique por 5 la ecuación (5’) y
por 4 la cuarta ecuación del grupo (1) y
elimínese N4 en esta última por sustitución
obteniendo
16N3 = 125F + 61
ecuaciones correspondientes a los 4 acertijos
presentados en vez de hablar en abstracto e
introducir una notación complicada. Comenzamos
con el acertijo 2 que es el caso más sencillo.
En la ecuación 3x + 2y = 25 comenzamos por
despejar la vari able y que es la que tiene
coeficiente con menor valor absoluto,
(4’)
y=(25–3x)/2=12–x+(1–x)/ 2
c) Multiplique
por
16
la
tercera
ecuación de grupo (1) y por 5 la ecuación (4’)
y elimine N3 p or sustitución obteniendo
64 N2 = 625 F + 369
(3’)
d) Multiplique por 64 la segunda ecuación del grupo (1) y por 5 la ecuación (3’) y
elimínese N2 por sustitución obteniendo
256 N1 = 3125 F + 2101
(2’)
e) Multiplique por 256 la primera ecuación del grupo (1) y por 5 la ecuación (2’)
obteniendo
1024 N0 = 15625F + 11529
(6)
Nótese que para no introducir fracciones se
evitó en todo momento la operación de división en
el proceso de eliminación. (Alternativamente se
podría haber introducido la división y manejado
fracciones para el final, calculando el mínimo
común di vi sor de todas las fracciones, multiplicar
por dicha cantidad todas las fracciones para
convertirlas en enteros.
Método simple para la solución de
una ecuación lineal diofantina con
dos vari ables
Aunque existen métodos que utilizan fracciones
continuadas para resolver ecuaciones lineales
diofantinas, presentamos un método conceptualmente más sim ple para resolverlas. Para facilitar la
comprensión del método, resolveremos las
52
INGENIERIA Investigación y Tecnología
(7)
Hemos separado la parte entera de la expresión
en x de la parte fraccionaria. Como x debe ser
entera, el último término también debe ser entero.
Llamemos a dicho entero x1, el cual debe satisfacer
x = 1 – 2x 1
(8)
Deseamos expresar y en términos de x1, por lo
que reemplazamos el valor de x en (7) por el valor
dado por (8) y obtenemos
y = 12 – (1 – 2x1 ) + x 1 = 11 + 3x 1
La solución está dada por la ecuación (8) y la
última ecuación que expresan x e y en términos del
parámetro entero x1. Si no se obliga a x e y a ser
positivas, la solución obtenida genera una infinidad
de pares x, y que satisfacen la ecuación inicial. Por
ejemplo, si tomamos x1 = 1, se obtiene y = 14, x =
–1 y los dos sumando serán 3(–1) = –3 y 2(14) = 28.
Se cumple que –3 + 28 = 25. Con x 1 = 2, 3, 4,.... se
obtiene una infinidad de soluciones diferentes en
que uno de los sumandos es nega- tivo. Si queremos
obligar a los sumandos a ser positivos, imponemos
y = 11 + 3x1 > 0, x = 1 – 2x1 > 0
de donde x1 > –11/3 y x1 < ½, o sea, que los
posibles valores de x1 para que tanto x como y
sean positivos son 0, –1, –2, –3, los cuales dan los
siguientes sumandos s1 y s2
FI-UNAM
M.A. Murray-Lasso
x y s1 = 2y s2 =2y
1 11
3
22
3 8
9
16
5 5
15
10
7 2
21
4
x1
0
−1
−2
−3
Para el primer acertijo cuya ecuación en dos vari ables es 2m + 5n = 400, se despeja m, que es la vari able con
coeficiente de menor valor absoluto, obteniendo
m = (400 – 5n) / 2 = 200 – 2n – n / 2
Llamamos x1 = n / 2 o lo que es lo mismo n = 2x1. Eliminando n se tiene
m = 200 – 4x1 – x 1 = 200 – 5x1
donde x1 es cualquier entero. Para terminar con hom bres, mujeres o niños no negativos imponemos
m = 200 – 5x1 ≥ 0, n = 2x1 ≥ 0, h = 100 – m – n ≥ 0
de donde x1 ≥ 0, x 1 ≤ 40, x1 ≥ 33 1/3. Los posibles valores de x1 son: 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40.
Las soluciones están dadas por:
x1
h
m
n
3h
2m
n/2
h+m+n
3h+2n+(1/2)n
34
2
30
68
6
60
34
100
100
35
5
25
70
15
50
35
100
100
36
8
20
72
24
40
36
100
100
37
11
15
74
33
30
37
100
100
38
14
10
76
42
20
38
100
100
39
17
5
78
51
10
39
100
100
40
20
0
80
60
0
40
100
100
Para reducir el número de soluciones se podrían
agregar condiciones al problema. Por ejemplo, que
el número de hombres sea di vis i ble entre 7 (daría
una solución única.) Que el número de mujeres
sea primo (también da solución única.) Que haya
menos mujeres que hom bres (reduciría el número
de soluciones a tres.)
Para re solver el tercer acertijo, cuya ecuación es
31c + 21v = 1770 comenzamos despejando v
v= (1770 – 31c) / 21 = 84 – c + (6 – 10c) / 21
Llamamos x 1 al último término, o lo que es lo mismo
21x1 + 10c = 6. Esta ecuación es sim i lar a la orig i nal
pero con coeficientes de menor valor absoluto
(siempre es así). Le aplicamos a la nueva ecuación la
misma técnica. Despejamos la variable con coeficiente de menor valor absoluto obteniendo
c = (6 – 21x1 ) / 10 = –2x 1 + (6 – x 1 ) / 10
Llamamos x2 al último término, lo que equivale
a escribir
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
53
Introducción suave a ideas fundamentales para resolver problemas de programación lineal ...
x 1 = 6 – 10x 2
Notamos que ya podemos expresar todas las
variables en términos de x2 sin meter fracciones,
por lo que eliminamos las x1 y escribimos
Por la definición de x 3 se cumple 229x3 = 36x 2.
Por ser la vari able con coeficiente de mínimo valor
absoluto despejamos x 2 para obtener
x2 = 6x3 + 13x3 / 36 = 6x 3 + x4
c = –2(6 – 10 x 2 ) + x 2 = –12 + 21x 2 , v = 84
+ 12 – 21x 2 + 6 – 10x 2 = 102 – 31x 2
Por definición x4 satisface 36x 4=13x3 . Despejamos x3 y obtenemos
Para asegurar que c y v son positivas
imponemos
c = –12 + 21x 2 > 0, v = 102 – 31x 2 > 0,
de donde x2 > 4 / 7, x2 < 3 9/31. Por lo tanto, los
valores enteros de x2 posibles son x2 = 1, 2, 3 que
generan los valores c = 9, 30, 51 y v = 71, 40, 9. De
las tres soluciones se podría obligar una solución
única si se agrega la condición que son más caballos
que vacas, en cuyo caso la solución es: Número de
Caballos = 51, Número de Vacas = 9.
Finalmente, pasamos al acertijo de los hom bres, los cocos y el mono. (Este problema ha
aparecido varias veces en la literatura matemática
Gardner (1961), Moritz (1928), Piele y Wood
(1980)). La ecuación inicial es 1024N0 = 15625F +
11529. Despejamos N0 que es la variable con
coeficiente con menor valor absoluto y obtenemos
N0 = 15F + 11 + (265F + 265) / 1024 = 15F +
11 + x1
x 3 = 2x4 + 10x4 / 13 = 2x 4 + x5
x4 = x5 + 3x5 / 10 = x5 + x6
x5 = 3x6 + x6 / 3 = 3x6 + x 7
3x7 = x6
(16)
Hemos logrado eliminar todas las fracciones y
estamos en condiciones de expresar todas las
variables intermedias y las originales en términos
de la última variable definida, x7. Por (16) la
ecuación (15) queda
x 5 = 9x 7 + x 7 = 10 x 7
por lo que (14) queda
x4 = 10x 7 + 3x7 = 13x
7
x 3 = 26x 7 + 10x 7 = 36x 7
x1 = x2 + 36x2 / 229 = x 2 + x3
54
y (12) entonces queda
(11)
INGENIERIA Investigación y Tecnología
(15)
Por definición x7 satisface
(10)
Por la definición de x2 se cumple que 265x2 =
229x1 , de donde podemos despejar x1 y obtener
(14)
x 6 satisface por definición 10x6 = 3x5. De aquí
despejamos x5 y obtenemos
y entonces (13) queda
F= –1+3x 1+229x 1 / 265=–1+3x 1+x2
(13)
donde por definición x5 satisface 13x 5=10x 4.
Despejamos x4 y obtenemos
(9)
Donde llamamos x 1 al último término. Se
cumple que 1024x1 = 265F + 265. Dado que F
tiene el coeficiente con mínimo valor absoluto, lo
despejamos y obtenemos
(12)
x 2 = 216x 7 + 13x 7 = 229x 7
FI-UNAM
M.A. Murray-Lasso
lo que nos permite escribir (11) como sigue:
x 1 = 229x 7 + 36 x7 = 265x7
Ahora podemos escribir (10) como sigue:
F = –1 + 795x7 +229x7 = –1 + 1024x7
(17)
Y finalmente (9) la podemos expresar
N0 = –15 + 15(1024)x7 + 11 + 265x7 = –4 +
15625x7
(18)
Tenemos en (17) y (18) las dos incógnitas de la
ecuación orig i nal
1024 N 0 = 15625F + 11529
(19)
despejadas y expresadas en términos de una variable entera arbitraria. Si nos interesaran todas las
soluciones enteras podríamos darle valores arbitrarios enteros a x7 y obtener diferentes soluciones
para F y N0 que satisfarían (19). Por ejemplo, si
tomamos x7 = 0 se obtiene N 0 = –4, F = –1 y la
ecuación (19) expresa la identidad –4096 =
–4096. Como en realidad el problema pide
solución positiva, imponemos las desigualdades
F = –4 + 15625x7 > 0, N0 = –1 + 1024x7 > 0
De donde x7 > 4 / 15625 x7 > 1 / 1024, es
decir, los valores permitidos para x7 son: x7 = 1, 2,
3, . . . Se ve claramente que, dado que los
coeficientes de x 7 en las expresiones para N 0 y F
son positivos, los valores más pequeños para N0 y
F corresponden a x7 = 1. La respuesta final es
entonces:
N0 = –1 + 1024 = 1023, F = –4 + 15625 = 15621
El número más pequeño de cocos para que
pueda suceder lo relatado es 15621. En la mañana
siguiente los hom bres se repartieron 1023 cocos.
Aquí se detalla la solución completa del
problema:
El primer hombre encontró N 0 = 15621 cocos; le
dio un coco al mono y le quedaron 15620 cocos
los cuales dividió en cinco montones de 15620 / 5
=3124 cocos. Enterró esta cantidad de cocos y
dejó fuera en un gran montón 4(3124)=12496
cocos. El segundo hom bre le dio un coco al mono
y dividió los restantes 12495 cocos en 5 montones
iguales de 12494 / 5=2499 cocos. Enterró uno de
los montones y dejó en un gran montón 4(2499)=
9996 cocos. El tercer hombre le dio un coco al
mono y dividió los 9995 cocos restantes en 5
montones de 9995/5=1999 cocos cada uno,
enterrando uno de los montones y dejando fuera
en un gran montón de 4(1999)=7996 cocos. El
cuarto hom bre le dio un coco al mono y dividió los
restantes 7995 cocos en 5 montones iguales de
7995/5=1599 cocos cada uno, habiendo enterrado uno de los montones, dejó fuera 4(1599)=
6396 cocos en un gran montón. El quinto hom bre
le dio un coco al mono y de los 6395 cocos
restantes formó 5 montones de 6395/5=1279
cocos cada uno, enterró uno de los montones y
dejó en un gran montón 4(1279)=5116 cocos. En
la mañana, al repartir los cocos entre los 5 hom bres, se le dio un coco al mono y de los 5115
cocos restantes le tocó a cada hombre
F = 5115/5=1023 cocos. En la tabla se
muestran las cantidades de cocos que cada quien
logró subrepticiamente o no:
Enterrados
Repartidos
en la
mañana
Total
Hombre 1
3124
1023
4147
Hombre 2
2499
1023
3522
Hombre 3
1999
1023
3022
Hombre 4
1599
1023
2622
Hombre 5
1279
1023
2302
Mono
6
Cocos iniciales
15621
Conclusiones
El problema de los náufragos, el mono y los cocos
es un problema de programación lin eal en enteros
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
55
Introducción suave a ideas fundamentales para resolver problemas de programación lineal ...
(Hu, 1969) que se podría plantear matemáticamente como sigue:
Min N0
Sujeto a:
4N0 – 5N1 = 4
4N1 – 5N2 = 4
4N2 – 5N3 = 4
4N3 – 5N4 = 4
4N4 – 5N5 = 4
N5 – 5F = 1
N0, N1, N2 , N3, N4, N5, F ≥ 0 y enteros.
Este problema lo resolvimos en el artículo por el
siguiente método:
Por medio de transformaciones lineales elementales se usaron todas las ecuaciones menos
una para reducir el sistema de ecuaciones a una
sola ecuación con 2 incógnitas (N0 y F). Para
asegurar que la solución sería entera se separaron
las partes enteras y fraccionarias de la expresión
donde quedaba despejada la variable cuyo
coeficiente tuviera mínimo valor absoluto. La parte
fraccionaria se igualaba con una nueva variable
entera y se escribía una ecuación lineal con coeficientes enteros que deberían satisfacer las variables originales y la nueva variable. Esta nueva
ecuación tenía coeficientes más pequeños que la
ecuación de la cual provenía. Si todas las vari ables
se podían expresar en términos de las nuevas
variables definidas (variables parámetro) ya se
contaba con una respuesta factible entera; en caso contrario, se volvía a aplicar la técnica reduciendo en cada caso el valor absoluto de los coeficientes hasta llegar a la unidad. Para asegurar que los
valores de las variables son positivos se imponen
desigualdades que limitan los posibles valores
permitidos para las vari ables parámetro. Para los
casos en que hay sólo una variable parámetro y
que hay varios valores posibles, es sencillo
determinar cuál valor minimiza la función objetivo
examinando los signos de los coeficientes de la
vari able parámetro.
56
INGENIERIA Investigación y Tecnología
En realidad, el énfasis del artículo se concentró en
dos ideas simples cuya presentación se hizo a
través de ejemplos con complejidad creciente: a)
eliminar variables con ecuaciones sin introducir
fracciones e introducir variables adicionales para
las partes fraccionarias de las expresiones, variables cuya definición lleva a ecuaciones lineales
con coeficientes, enteros de la misma naturaleza y
más pequeños en valor absoluto que el problema
original, por lo tanto, atacables recursivamente
con la misma técnica. Al ir disminuyendo los
valores absolutos de los coeficientes eventualmente aparece la unidad como coeficiente de la
última vari able definida, lo cual permite despejarla
en términos de vari ables enteras multiplicadas por
coeficientes enteros. Esto establece que en un
número finito de pasos se puede obtener la
solución en términos de vari ables a las cuales se
les pueden dar valores arbitrarios enteros y
producen soluciones también enteras. Los demás
pasos de los algoritmos de corte de Gomory llevan
el propósito de optimizar la función objetivo y no
permitir que las variables se vuelvan negativos,
para lo cual se usan los mismos trucos que el
algoritmo sim plex.
Aunque existe una teoría formal para la
solución del tipo de ecuaciones lineales diofantinas como las que se trataron en el artículo, teoría
que forma parte de la teoría de congruencias,
máximo común divisor, y fracciones continuadas
de la teoría de los números (Ore, 1988), (Kinchin,
1964), (Demidovich y Maron, 1976), el autor considera mucho más didáctico resolver los problemas como se describió en el artículo y recomienda
que dicha teoría se utilice después de que los
alumnos adquieran suficiente práctica con los
métodos más simples. Una encuesta personal
reveló que las ideas presentadas en este artículo
no parecen ser ampliamente conocidas por per so nas ajenas a la Teoría de los Números.
Martin Gardner, famoso autor de libros de
acertijos y ex jefe de la sección de juegos matemáticos de la revista Sci en tific Amer i can, dedica un
capítulo al problema de los hom bres, el mono y los
cocos y le da al lector la impresión de que el
FI-UNAM
M.A. Murray-Lasso
problema requiere conocimientos complejos y
cálculos laboriosos (Gardner, 1961). Hace pasar
por las manos de un Premio Nobel en Física, P. A.
M. Dirac, y de otros famosos profesores de las
mejores universidades de la Gran Bretaña la
solución que presenta de este problema, la cual se
encuentra por ensayo y error con base en la feliz
idea de introducir cocos negativos (recordar que
una de nuestras soluciones en números negativos
fue –4 cocos iniciales). En este artículo hemos
mostrado que la solución del problema se puede
lograr con certeza y eficiencia con ideas muy
simples y pocos cálculos. El haber planteado varias ecuaciones simultáneas se hizo con el
propósito de ilustrar la técnica de eliminación de
variables sin introducir fracciones. Es fácil llegar a
la ecuación diofantina lin eal con las vari ables N0 y
F de un solo golpe pues la ecuación:
F = 15
[45 [45 [ 45 [45 [45 [N0 − 1] −1]− 1] −1]− 1] −1]
expresa la cantidad repartida la mañana siguiente
en términos de la cantidad inicial de cocos. Al
eliminar los corchetes y los denominadores se
obtiene la ecuación (19) del artículo.
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Math e matics Teacher, Vol. 54, No. 8, pp.
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Capítulo 2: Some Facts from the Theory of
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Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
57
Introducción suave a ideas fundamentales para resolver problemas de programación lineal ...
Semblanza del autor
Marco Antonio Murray-Lasso . Realizó la licenciatura en ingeniería mecánica-eléctrica en la Facultad de Ingeniería de la UNAM. El
Instituto de Tecnología de Massachussetts (MIT) le otorgó los grados de maestro en ciencias en ingeniería eléctrica y doctor
en ciencias cibernéticas. En México, ha laborado como investigador en el Instituto de Ingeniería y como profesor en la
Facultad de Ingeniería (UNAM) durante 43 años; en el extranjero, ha sido asesor de la NASA en diseño de circuitos por
computadora para aplicaciones espaciales, investigador en los Laboratorios Bell, así como profesor de la Universidad Case
Western Reserve y Newark College of Engi neering, en los Estados Unidos. Fue el pres i dente fundador de la Academia
Nacional de Ingeniería de México; vicepresidente y pres i dente del Consejo de Academias de Ingeniería y Ciencias
Tecnológicas (organización mundial con sede en Washington que agrupa las Academias Nacionales de Ingeniería) y
secretario de la Academia Mexicana de Ciencias. Actualmente es jefe de la Unidad de Enseñanza Auxiliada por
Computadora de la División de Estudios de Posgrado de la Facultad de Ingeniería de la UNAM, investigador nacional en
ingeniería, consejero educativo del MIT y consultor de la UNESCO.
58
INGENIERIA Investigación y Tecnología
FI-UNAM
INGENIERÍA Investigación y Tecnología VI. 1. 59-88, 2005
(artículo arbitrado)
Acceleration in the Building Floors Using the
Seismo-Geodynamic Theory
L. Zeevaert-Wiechers
División de Estudios de Posgrado
Faculatd de Ingeniería, UNAM
(Recibido:mayo de 2002; aceptado: octubre de 2003)
Abstract
The ex pe ri ence has in di cated the im por tance in the seis mic be hav ior of build ings and in the struc tural
prob lems tak ing place in the up per floors of tall build ings, dur ing de struc tive earth quakes. The in ter est
has aroused in the ap pli ca tion of the “Seismo geodynamics The ory” to solve the seis mic prob lems of the
sub soil and foun da tions, and the method to cal cu late the ac cel er a tion in the floors of build ings be cause
of the seis mic ef fect of the ver ti cal and hor i zon tal ro ta tions of the foun da tion, and to ver ify if the structure of the build ing can take safe the seis mic forces. An im por tant seis mic ob ser va tion was made by the
au thor in 1962, from the re corded seudo-acceleration re sponse spec trums, ob tained at the ground surface of the Cen tral Park and those ob tained at the base of the rigid foun da tion of the Tower Latino
Americana in Mex ico City. The au thor found that the ra tio of the ac cel er a tions for 10.0% critical
damp ing be tween these two places, less than one hun dred me ters appart, showed that the rigid box type
foun da tion of the “Tower La tino” suf fered only on the or der of 50% to 60% of the ac cel er a t ion with
respect to the spec tral ac cel er a tion at the ground sur face in the Cen tral Park. The above ob ser va tion was
ver i fied the o ret i cally by the au thor.
Keywords: Seismo-geodynamics, ap pli ca tion, sub soil, foun da tion, build ing floors.
Resumen
La experiencia ha indicado la importancia que tiene el comportamiento sísmico de los
edificios y los problemas estructurales que se ocasionan en los pisos altos durante
sismos destructivos. Se ha despertado interés en la aplicación de la “Teoría de la
sismo-geodinámica” para resolver problemas sísmicos del subsuelo y cimentaciones,
además del método para calcular la aceleración en los pisos de los edificios, debido a la
acción sísmica que produce la rotación vertical y horizontal de la cimentación, y así
verificar si la estructura del edificio puede tomar con seguridad las fuerzas sísmicas. Una
observación importante fue hecha por el autor en el año de 1962, en registros de los
espectros de respuesta de seudo-aceleración, obtenidos en la superficie del suelo en la
“Alameda Central” y los obtenidos en la base de la cimentación rígida de la Torre Latino
Americana en la Ciudad de México. El autor encontró que la relación de las aceleraciones para el 10.0% de amortiguamiento crítico entre estos dos lugares distanciados
menos de 100 metros, mostraron que la cimentación rígida de tipo cajón de la “Torre
Latino” sufrió solo del orden de 50% a 60%, con respecto a la aceleración correspondiente a la superficie de la “Alameda Central”. La observación descrita fue verificada
teóricamente por el autor.
Descriptores: Sismo-geodinámica, aplicación, subsuelo, cimentación, pisos de los
edificios.
Acceleration in the Building Floors Using the Seismo-Geodynamic Theory
I. Intro duc tion
Be cause of the in ter est that has aroused in the ap plication of the Seismo-Geodynamics theory to solve
seis mic prob lems in the sub soil and foun da tions, the
au thor has re vised and en larged the orig i nal ver sion
of this work “Sgedfalt” pub lished in de cem ber 1999,
now the au thor pres ents here again the method to
cal cu late the ac cel er a tion in the floors of build ings by
means of the seismo-dynamic the ory.
It is very im por tant to foresse the dy namic force
to which the ob jects on the floors of build ings may
be subjected and to verify if the struc ture of the
build ing can take the seis mic forces.
The ex pe ri ence has in di cated the im por tance in
the seismic behavior of buildings, and the struc tural prob lems in the upper floors of tall build ings,
durung de struc tive earth quakes. The ac cel er a tion
in the top floors is much higher than the ac cel er ation assigned at the ground surface, “Be cause of
the ef fect of the ver ti cal and hor i zon tal seis mic rota tions of the foun da tion”.
Knowing the acceleration to each floor of the
building and the individual mass of the objects.
The seis mic force in each one of them may be calculated by means of the following dy namic law
Force=Mass x Ac cel er a tion, (New ton), thus being
able to fix on the floor the objects with sufficient
strength to avoid displacement or overturning. In
the same way knowing the acceleration and the
floor mass, the dynamic force act ing in each floor
level can be calculated and the structural re sistance and lat eral dis place ments ver i fied.
Fur ther more, the knowl edge of the rel a tive displacement between the floors are requiered to
fore see the gap to be given in the con struc tion to
the float ing walls, win dows and stair ways be tween
floors, and to take into account the dynamic dis tortion in duced in them as well as in other
arhitectonic el e ments.
An im por tant seis mic observation was made
by the au thor in 1962, from the re corded seudoac cel er a tion re sponse spec trums, ob tained at the
ground sur face at the Alameda Cen tral and those
ob tained at the base of the rigid foun da tion of the
Tower La tino Americana in Mex ico City (Fig ure 1).
60
INGENIERIA Investigación y Tecnología
Notice in fig ure 1, that the ratio of the accel er a tions for 5.0% crit i cal damp ing be tween these two
places, one hundred me ters appart, show at the
rigid box type foundation of the L.A. Tower to a
total depth of 16 me ters of the “Sheet Piles”, that
the L.A. Tower shows only on the order of 50%
seudo-acceleration with respect to the spectral
acceleration at the ground sur face in the Alameda
Park (Fig ure 1).
The above ob ser va tion was ver i fied the o ret i cally
by the author, by means of an analysis he developed and named “The Seismo-Geodynamic
Theory”, using the soil dynamics phys i cal in for ma tion of the site. The result of the calculation is
shown in fig ure 2. Where the stra tig ra phy of the sub soil is reported, also the quantitative dynamic pa rameters corresponding to the site in ques tion.
The analysis in numerical and graphical form
shows that the acceleration at the depth of the
foundation grade el e va tion is on the order of 59%
of the value given by the response ac celeration
spectrum at the ground surface, hence, the the oret i cal cal cu la tion is co in ci dent with the re sponse
of the ac cel er a tion spec trums, shown in figure1.
The phe nom e non herein re ported has been observed in other places. There fore, the con clu sion is
that the ac cel er a tion im posed to the build ings cor respond to that one the seismic wave induces at
the foundation grade elevation. There fore this
value is a func tion of the foun da tion depth.
On acount of this unexpected important seis mic phenom e non, the author was motivated to
continue investigating the seismic effects in
buildings and other seismic prob lems of ground
displacements, dis tortions. Stresses and accelerations, that is to improve as much as possible
the practical use of “The Seismo-Geodynamic
Theory”.
FI-UNAM
L. Zeevaert-Wiechers
Figure 1. Response Pseudo-Acceleration Spec trums (9) (Zeevaert, 1972-1982)
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
61
Acceleration in the Building Floors Using the Seismo-Geodynamic Theory
Figure 2. Diagram showing the seismic behavior of the subsoil for the action of the surface seismic wave, at the corner of
Madero 1 and San Juan de Letran in Mexico City where the Latino Americana Tower located (continue...)
62
INGENIERIA Investigación y Tecnología
FI-UNAM
L. Zeevaert-Wiechers
II. Infor ma tion on the Problem
An ilustrative analysis is pre sented a head, for a
build ing acted by the hor i zon tal com po nent of the
seis mic sur face wave, ap ply ing the con cepts in troduced here by the au thor.
The building is lo cated in the area of Mex ico City
and will be analyzed by means of the seismogeodynamic the ory. The build ing has 6 floors in clud ing
the roof level, and will be supported on a monolithic
con crete box type “Lez” foun da tion at a depth of 6 meters con tain ing a base ment (11) (Zeevaert, 1998b).
The build ing foun da tion has a width of 12 me ters
and a length of 24 meters. The structure will be
formed of two rows of col umns in the longwise di rection and separated in the transversal direction 12.0
me ters, formimg struc tural bents every 4 me ters. The
analysis of the factors pertaining the computation
will be analized with a sur face unit or bital ac cel er ation of 100 GAL, (1 meter/sec2), corresponding to
the hor i zon tal com po nent of the sur face wave.
The ge om e try of the build ing, the weight on the
floors and the foundation as well as the mass of
the building and the floors elevation are given in
cal cu la tion sheet num ber 1.
The stra tig ra phy of the site is as fol lows
Stratum
(z)
(d)
Description
0
O
Ground Surface
A1
1.0
2.0
Silty-Clayey Sand
S.W.T
3.0
A2
6.0
3.0
Silty-Clay Sand
B1
8.50
2.5
Soft Silty Clay
B2
11.0
3.0
Soft Silty Clay
C
15.0
3.0
Soft Silty Clay
D
18.0
3.0
Semi Rigid Silty Clay
E
21.0
3.0
Semi Rigid Silty Clay
F
24.0
3.0
Rigid Silty Clay
G
26.0
2.0
Rigid Silty-Clayey Sand
H
31.0
5.0
Rigid Silty-Clayey Sand
I
35.0
4.0
Rigid Silty-Clay
Surface Water Level
Rigid Stratum
63
INGENIERIA Investigación y Tecnología
(z) Depth of Stra ta, (d) Thickness of Strata in
meters.
III. Seismo-Geodynamic
Compu ta tions
The o retically, the celerity of the surface wave is for
clayey soils 94% from the celerity of the shear wave.
The period takes the approximate value of 6.4%
greater than the period of the shear wave (6)
(Zeevaert, 1988c). There fore, the anal y sis of the shear
wave will be made first, to obtain the period cor respond ing to the sur face wave of 1.064 (Ts). The cal cu la tion is pre sented in cal cu la tion sheet num ber 2.
The phys i cal char ac ter is tics of the soils, as well
as the representative dynamic parameters are
registed in calculation sheets 2 and 3. They were
care fully de ter mined in the lab o ra tory from spec i mens of undisturbed soil samples. The dynamic
soil ri gid ity (µ) was determined with “The Torsion
free Vi bra tion Pen du lum” (1)(Zeevaert).
The values of the dynamic strain moduli, Mez
and Mcx, were investigated with undisturbed soil
samples in “The Hollandish Modified Chamber”,
designed by the author for this purpose.
The soil sam ple is con fined in the triaxial cham ber
at a vol u met ric stress rep re sen ta tive of the oc ta he dral field stress, there after a tor sional vi- bration is
applied to the speci men and the vibration re corded. The above men tioned val ues corres- pond
to the vertical expansion re sponse (Mez), and
(Mcx) for the di rect hor i zon tal com pres sion. From
them the Re sponse Fac tor is de fined as fol lows
β ex=Mex/Mxz
(1)
The value of the seismic soil rigidity (µ) and the
response fac tor ß ex are found in cal cu la tion sheet
2 and 3 re spec tively (4)(Zeevaert, 1988). In cal cu la tion sheet number 2, the maximum res onant pe riod of the ground is presented on the order of
1.850 sec onds cor re spond ing to the fundamental
period of the subsoil de posit and equiva lent to
that of the shear wave, hence the period for the
FI-UNAM
Acceleration in the Building Floors Using the Seismo-Geodynamic Theory
horizontal surface wave is 1.064x1.1.850= 1.968
Seg. (5)(Zeevaert, 1996).
The com pu ta tion for the hor i zon tal com po nent
of the sur face wave (6)(Zeevaert, 1988c) is given in
sheet num ber 3, from which the fol low ing in for mation was obtained with depth: the soil pressures,
the seis mic pore water pres sure, (SPWP), the ef fective stresses, the hor i zon tal soil dis place ments and
ac cel er a tions (7)(Zeevaert, 1998a).
The soil pore water pressure is of vital im portance to analyze the soil shear stregth in stability
problems of sandy soils, as the load capacity in
foundations, slope stability, retention walls, seis mic sta bil ity of the ground sur face and other en gineering prob lems induced by destructive earth quakes (4,7)(Zeevaert, 1988b y 1998a) (Photo 1).
For the pres ent case it was found in calculation
sheet num ber 3, that the ac cel er a tion at the foun dation grade el e va tion of the build ing at 6 meter depth,
shows on the order of 77 Gal (77cm/sec2) with a displace ment of 7.54 cm, cor re spond ing to a sur face orbital acceleration of 100 Gal. See calculation sheet
num ber 3, (9)(Zeevaert, 1973-1982, pp. 508).
With the data obtained in calculation sheet
number 3, the soil struc ture in ter ac tion was per formed for seis mic ver ti cal ro ta tion of the building
foundation structure (8)(Zeevaert, 1980), this in
shown in cal cu la tion sheet num ber 4.
From the men tioned anal y sis the follow in results are ob tained:
1. Accel er a tion at the center of mass of
the building 1.694 m/seg2, and the seismic
surface wave period of 1.968 seg.
2. Over turning moment, the building
consid ered rigid 258.48 Tonxm/ml.
3. Coupled Foundation-Rigid structure
period found of 1.059 seg.
4. Total shear at the foun dation base
1.694*12.11=20.51 Ton/ml.
5. Rigid vertical
(?v)= 0.00382 Rad.
64
foun dation
6. Soil-Foundation
contact
because of the vertical rota tion.
With the information obtained in calculation
sheets 1,2,3 and 4, the anal y sis to find the seis mic
acceleration in each floor of the building is
achieved, as well as the shear forces act ing on the
structure.
IV. Calcu la tion Sheets 5a y 5b
In calculation sheet 5a, column 4, the horizontal
displacements have been computed bacause of
the ver ti cal ro ta tion ( θv) of the foun da tion and assum ing the build ing rigid. Hence ob tain ing a lin eal
dis tri bu tion of the dis place ments in the floors with
the height of the building. Fur ther more, the dis placements because of the flex i bil ity of the floors
acted by the shear forces. Have been added.
To ob tain the total dis place ments of the floors
it is necessary to add those displacements be cause of the free pe riod of vi bra tion of the build ing and obtain finally the accelerations and
shears in the floors of the building. See cal cu lation sheet 7b.
Knowing the structure flexibility for each floor
(1/k) per lineal meter the total displacements are
calculated (S?) . This calculation is found in com putation sheets number 5a-b. To calculate the
acceleration, the cou pled pe riod of vi bra tion was
used, ob tained from the in di vid ual pe ri ods of the
“Struc ture and foun da tion rock ing”, re spec tively.
The cal cu la tion is as fol lows
T o ^2 = T e^2 + Ts^2
(2)
Here
To Equiv a lent pe riod of the sys tem.
Ts Rocking period of the building, considered rigid.
Te Free pe riod of the build ing.
rotation
INGENIERIA Investigación y Tecnología
stresses
See com pu ta tion sheet num ber 4.
FI-UNAM
L. Zeevaert-Wiechers
Compu ta tion Sequence
1. From the computation sheet number
5a, the displacements for each floor of the building, in duced by the ver ti cal ro ta tion of the foundation are shown in col umn 4. To ob tain this action the foundation rotation is multiplied by the
height of the floors, and the ac cel er a tion is ob tained mul ti ply ing the dis place ments by the square
of the cou pling cir cu lar frecuency (Col umn 9).
shear forces col umn 12, the sum of the floor shear
forces per meter is found in col umn 13.
The final values for the floor shears and over turning mo ments correspond to the action of the
surface wave, the values obtained are the following; for the base shear 20.64 Ton/m and for the
adventurning moment 315.66 Tonxm/ml. The soil
foundation reaction stresses reported in cal culation sheet 4 shall be inceased by a factor
315.7/258.48=1.22.
Cou pling cir cu lar fre quency ?=(2p/To)
2. In column 10 , the acceleration cor rection is performed with the help of (DAES)
(9)(Zeevaert, 1973-1982) computation sheet num ber 4, to make it com pat i ble with the am pli fi ca tion
of the ac cel er a tion of 1.694 M/s2, ob tained at the
cen ter of mass of the build ing be cause of the ver tical rotation of the foundation corresponding to
“The design acceleration envelope spectrum”,
(Figure 3) (9)(Zeevaert, 1973-1982, pp. 510).
3. In computation sheet 5a, column 11,
the act ing shear forces are cal cu lated for the floors
of the building. They are obtained multipling the
mass by the acceleration corrected with “DAES”
for all floors (Col umn 10). The grad ual sum gives
the shear force along the height of the bulding.
Col umns 12 and 14 in di cate the in cre ments of the
seismic over turning moment and the sum the
corresponding over turn ing mo ment to which the
dif fer ent floors of the struc ture are sub jected only
because of the vertical ro ta tion (?v) of the
foundation.
4. In computation sheet 5b the accelerations
of the floors may be high be cause the flex i bil ity of the
struc ture. The ac cel er a tions of the floors are ob tained
multiplying the total dis place ments (S?) by the
square of the circular frecuency ? o2 =(6.2832/To) 2,
column 10 and the ac cel er a tion is ad justed in pro portion to “DAES” as shown in col umn 11.
This value so ob tained is mul ti plied by the mass
of the floors per lineal meter, to obtain the floor
5. In order to verify the total dis placements ( S ? ) and the correct final values for each
floor, the cal cu la tion is respeated, thus ob tain ing
the new floor shears column 12, the sum of the
shear floors is shown in col umn 13, and the cal cu la tion fol lows in the next col umns.
V. The Hori zontal Rota tion on the
Floors
Another important phenomenon is originated in
the rigid structure of the foundation, because of
the horizontal rotation (?h) induced by the
equivolumetric shear wave. This action generates
important torsion in the building floors, the phe nomenon is known as “Torsional Whip ping Ac tion”, and is pres ent when the struc tural flex i bil ity
is high mainly in the upper floors, as compared
with the lower floors.
On account on the for mer dis cus sion, the higher
floorsaccelerate mo ti vat ing dam age to the struc ture
and col lapse in oc ca sions, caus ing dam age to ar chi tec tonic de tails in the build ing and the dis place ment
of ob jects on the floors (Photo 2, 3 and 4).
This phenomenon has been obvious during
earth quakes and has been fre quently ob served in
the upper floors of the build ings, and fail ure of the
building “Head Frames”. The upper frames are
usually designed with minor rigidity, hence with
major flex i bil ity, as the interior and lower frames.
The head frames are ex posed to a stron ger seis mic
torsion. Such phenomenon has been very im por tant in long build ings (Photos 5 and 6).
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
65
Acceleration in the Building Floors Using the Seismo-Geodynamic Theory
The torsion is originated by the twist induced in
the foundation at the supporting soil stratum by
the shear wave (Appendix “B”). The increment in
the acceleration in the structural head frames of
the build ing is in creased to a value (a%)n, with re spect to the sym met ri cal con di tion, as an ex am ple,
this concept will be ap plied to the build ing here
analize.
The seismic response of the elements is pro por tional to the ac cel er a tion, this is shown in compu ta tion sheet 3a.
There fore, the in cre ment (a%) of the ac tions in
the floors can be cal cu lated to de ter mine the shear
forces, the ac cel er a tions and dis place ments along
the length of the build ing, at the head-frames and
in ter me di ate frames of the build ing.
With re spect to the val ues of the hor i zon tal rotation (?h) of the rigid building floors, a lineal dis tribution of the value (a%) is obtained along the
length of the build ing, per mit ting the cal cu la tion of
the build ing frames. The in cre ment in the dis placements, shear forces and tor sion mo ments from the
symmetrical values are shown in computation
sheet 6.
The the o ret i cal anal y sis to find in each case the
order of magnitud of the value (a%), is obtained
an a lyz ing the ro ta tion orig i nated at the ground surface by the shear wave. The the o ret i cal anal y sis is
presented in appendix B, in wich the following is
obtained
Average dis placement of foundation
from the sur face wave cal cu la tion sheet 3
8.93 cm.
L/2 One half the length of the foundation
1 200 cm
d
TANG a= 0.00338
Dis place ment for ro ta tion in head-frame
do= 4.06 cm
Sym met ri cal dis place ment in the head-frame
d = 8.93 cm
Total at the head-frame
(do+ d) = 13.0 cm
Displacement ratio
R= 1.45
Increment of ac tions at the head-frame
(a %)=45%
Call ? (Shear n)=(Shear n) x a % the in cre ment of
the sherar forces per lineal meter, based on the
symmetrical case (Shear n), obtained for frames
dis tant (x) from the cen ter of ro ta tion of the floor.
Hence, the fol low ing value for the shear along the
build ing is
(Shear n)x=(Shear n)(1+ a*(x)/L)
(3)
The tor sion mo ment of each rigid floor in its plane is
Tn=2(Shear n)x a L2 /3
(4)
TANG a = Az*T/(6.28* Cs)
The in cre ment for the “Tor sional Whip ping Action” in shears, accelerations, and displacements
in the building head-frames in the present
problems is as fol lows:
(a) Ro ta tion of the rigid floor of the build ing.
Az Orbital ac cel er a tion at the supporting stratum for the shear wave, cal cu la tion sheet 2
0.99cm/segˆ2.
Ts Pe riod of the shear wave 1.85 seg
Cs Celerity of the supporting stra tum
87 cm/seg
66
INGENIERIA Investigación y Tecnología
Here (L) is one half the length of the building.
The result of the calculation of the “Torsional
Whipping Action”, is presented in computation
sheet num ber 6.
VI. Struc tural Period of Vibra tion of
the Building
Compu ta tion Sheets 7a and b
The free pe riod of vi bra tion of the build ing is cal cu lated with the well known method of “Holzer”, used
for the present problem in com pu ta tion sheet 7b
where the value is Te=0.50 seg.
FI-UNAM
L. Zeevaert-Wiechers
Nev er the less, the au thor gives a method based on
seismo-geodynamics, to find the period. This
method is the same as the one applied to obtain
the period of vibration of the soil mass. Here the
Average Ce lerity of the shear wave is used, traveling across the build ing struc ture.
In order to achieve the mentioned method it is
necessary to stablish the correlation be tween the
av er age of the dy namic rigidity shear modu lus (µ)
with the average rigidity (K) of the building struc ture, also the correlation between the unit soil
mass (?) with the unit mass corresponding to the
floors weight of the build ing (Ap pen dix A).
The fol low ing is ob tained per floor
For (µ) , the structural equivalence is (K)d/B,
Ton/m 2
For (?), the equiv a lence is M/Bd, Ton* Seg 2/m4
The wave celerity of the building struc ture per
floor is (C z), and the average ce lerity of the wave
(Cm ),
Czˆ2=(K)*d2/m
(5)
Here
(K) Structural ri gidity per floor and per lineal meter, Ton/m.
M Mass per floor and per lineal meter,
Ton*Seg2 /m/ml.
B Width coresponding to the base of the
building.
d Height be tween floors.
Knowing the av er age ce ler ity C m and the height
of the build ing (H) from the sup port at the foun dation base, the pe riod cal cu lated
Te=4*(H)/C m, Seg
(6)
The period of vibaration obtained with this
method for the pro posed build ing is Te=0.498 seg,
and used in com pu ta tion sheets 4, 5a and 5b.
VII. Compu ta tion Sheet 8
Shows a table to fa cil i tate the verification in the
selection of column di mensions, to stablish the
proper ri gid i ties to take the seis mic mo ments, axial
and shear forces to which the building struc ture is
subjected, taking in consideration the important
“Torsional Whipping Ac tion” in the structural
frames of the build ing, (Cal cu la tion sheet 6).
VIII. Conclu sions
Here is given a method of com pu ta tion with the
help of the “The Seismo-Geodynamic Theory” to
an a lyze the ac cel er a tions in the floors of build ings,
and be able to forsee the forces act ing on all and
each one of the floors, and cal cu late the nec es sary
force to fix the ob jects to the floor, and an a lyze the
build ing struc ture in order to with stand the seis mic
forces for the as signed sur face ac cel er a tion.
No tice, that the soil ac cel er a tion at the foun dation grade el e va tion is on the order of 77 cm/seg2
for 100 cm/seg 2 at the ground surface, and in the
case of normal “Wipping Action” without tor sion
including the flexibility of the pro posed build ing
struc ture. The ac cel er a tion at the foun da tion grade
elevation is 169.4 cm/seg2 , and at the roof floor of
the build ing is on the order of 251.5 cm/seg 2 (Com pu ta tion sheet 5b).
When the tor sional whip ping is con sid ered then
this value in creases to 1.45*251.5=364.66 m/seg2
at the Head-Frame the above phenomenon in dicates the im por tance to learn on the seis mic sta bil ity of the build ing.
Therefore, when the phenomenon here in de scribed is not prop erly con sid ered in de sign, to re sist
adequately the destructive seismic forces, and be cause of ex ces sive struc tural flex i bil ity (1/K), and the
displacements in the floors are not restricted, then
damage may be expected and even structural collapse. During destructive earthquakes (9)(Zeevaert,
1973-1982) these actions have been frequently ob served in Mexico City and other cit ies (Photos 1-6).
“The Tor sional Whip ping Ac tion” takes place in
all the floor levels of the build ing in duced by the
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
67
Acceleration in the Building Floors Using the Seismo-Geodynamic Theory
combined vertical (?v) and hor i zon tal (?h) rota tions on the foundation. Hence, when the struc ture shows very flex i ble it is nec es sary to re duce its
flexibility.
“Torsional Whipping Ac tion” is frequently present in buildings durung de struc tive earth quakes,
the head-frames take the worst of the tor sional rota tion of the build ing with larger forces in all in termediate frames, than for the symmetrical case.
Hence, it is necessary to re in force them, accordingly with the results of the calculation as here
described.
Computation sheet 8 gives a pro ce dure to facilitate the elec tion of the size of col umns and the rigid ity of the frames for the build ing struc ture.
The au thor calls to the im por tance on the study
and knowl edge of the seis mic phys i cal con di tions
of the sub soil at the site, as the stratigraphy and
the quan ti ta tive dy nam i cal soil prop er ties in all the
strata form ing the sub soil de posit for the requiered
depth. The seismo-geodynamic behavior of the
sub soil has an im por tant and basic bear ing in the
calculation results on the seis mic forces act ing in
the struc ture of the build ing and its foun da tion, as
well as in any other seis mic prob lem per tain ing the
soil de posit.
Grat i tude
Finally, the au thor whiches to ac knowl edge the assistance of his sec re tary Zita del Carmen Vázquez
for her interest in helping to obtain a better and
cleaner edi tion of the sub ject, and not less, to her
for mer sec re tary and now teacher Diana Alpizar de
Balseca for the orthographycal manuscript
revision.
IX. Appendix A
Analysis to find the Structural Celerity of the
Buildings, Related to the Soil Celerity in
Seismo- Geodynamics, the soil celerity in
Seismo-Geodynamics is given as fol lows:
C2s=µ/?, (m/s)2
The dynamic soil rigidity for the shear stress
dis tor tion is
µ=? t / ? ? Ton/m 2, and the unit mass ? =W/g,
Ton*Seg 2/m 4, and W is the unit weight Ton/m3 .
The distortion in a vertical selection “d” is
? ?= ?d/d, here ? d is the relative hor i zon tal displace ment of the ver ti cal sec tion “d” hence
µ=?t*d/ ?d
µ=K*d/B , Ton/m2
(3)
In the structure the mass per floor and lineal
meter M=w*d*B/g, in Ton*Seg 2/m 2, and the equivalent unit mass is
? =M/B*d, Ton*Seg2/m 4
(4)
From the for mer anal y sis, the struc tural ce ler ity
for the struc ture is gov ern by the fol low ing for mula
C2 s=K*d2/M, (m/s)2
X. Appendix B
Le o nardo Zeevaert W. (1984).
INGENIERIA Investigación y Tecnología
(2)
For the struc ture the ri gid ity per floor and lin eal
meters is K=? F/ ? d or K= ? t* B/ ? d in Ton/m2,
from which ac cord ing to (2)(Zeevaert) the fol low ing
is obtained
Un der stand ing na ture´s phe nom ena is a time dif ficult task, for the sci en tist en gi neer, to dis cover without dispair”
68
(1)
FI-UNAM
(5)
L. Zeevaert-Wiechers
Foundation Maximum Angle of Torsion because
of the Seismic Equivolumetric or Shear Wave.
Horizontal Ro ta tion of the Box Type Foun da tion
The equa tion gov ern ing the shear wave, for z=0
Yxy=Y o COS(2πz/H)SIN(2x3.14/T(t–x/Cs)
(1)
Here for z=0
Yxy Hor i zon tal shear dis place ment
Yo Maximum horizontal sur face shear
displacement
T Wave pe riod and length L=TxCs
t
Any time
X Po si tion co or di nate
Cs Wave ce ler ity
The de riv a tive of the equa tion (1) for z=0, repres ents the sur face ro ta tion of the shear wave, is
maximum when t=T/2 y x=L/2, therefore:
dYxy/dx=Y o((2x3.14/T)/Cs) COS p(t–x/Cs
(2)
sub sti tut ing val ues to ob tain the max i mum for z=0
dYxy / dx=TAG. α=Yo(2x3.14/T)/Cs
(3)
Here Yo =Az/pˆ2, for x=L/2, Yo=Az/(2x3.14/T)ˆ2,
sub sti tut ing t=T/2 the max i mum ro ta tion value is
? xy= Az*T/6.28 Cs
(4)
Here Az is the ac cel er a tion of the stra tum holding the foundation structure, which rotates an
angle ? xy
TANG ? xy=Az*T/6.28*Cs, TAG ? xy=a
(5)
Computation sheet 10.
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
69
Acceleration in the Building Floors Using the Seismo-Geodynamic Theory
Apendix C
Defi ni tions of the subsoil phys ical formulas for the anal ysis for the
seismo-geodynamic theory used in calcu la tion in figure 2
Column
1.
2.
3.
4.
5.
Soil stra tum clasification
Depth
Thick ness of each stratum
Effective stress, (weight of soil γz)
Water con tent ω, soil de gree of sat u ra tion
z
d
σεo
s%
m
m
Ton/m2
6.
7.
8.
9.
Soil dy namic ri gid ity ref.6 chap ter V
Unit mass
Pois son´s ratio
Shear wave ce ler ity in each stra tum
µz
ρz
ν
Cz
Ton/m 2
Ton*sec2 /m 4
10.
Depth ex po nent fac tor
a(ν)= 1 − α2 ((1 − 2 ν) / 2 (1 − ν) ref. 6 page 48
a(ν)
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
Re sponse fac tor ref. 6 page 98-100
Seis mic com pres sion modu lus ref. 6 page 48
Cir cu lar fre quency
At ten u a tion, depth fac tor
Depht fac tor for each stra tum
Sum of fac tors with depth
Sur face unit strain
Or bital ve loc ity, fc=cir cu lar fre quency
Unit strain with depth
Sourface wave soil pres sure
Seis mic pore water pres sure in the soil
βcx=Mez/Mcx
1/Md = 2 ρ∗ Cz^2/(1-ν)
fc
(r)z =(p z/ cz)*a( ν)
(r)d
∑(r)d
εo =Vo/Co
Vz=Az/fc
ε z=Vo*e–rz /Cz
Pz=(2ρ/(1–ν))*Cz*(Vo*e–rz )
(SPWP) ref. 6 chap ter 5
22.
23.
24.
25.
Seis mic wave ef fec tive stress
Ac cel er a tion with depth
Sur face ac cel er a tion
Hor i zon tal dis place ment with depth
σz=Pz–(SPWP)Ton/m 2
Az m/sec 2=As*εz/eo
Ao m/sec2
δz m=Az/fc^2
70
INGENIERIA Investigación y Tecnología
FI-UNAM
m/sec= (µ / ρ)z
L. Zeevaert-Wiechers
XI. Refer ences
1. Zeevaert-Wiechers L. Teoría y práctica del
péndulo de torsión. División de Estudios de
Posgrado de la Facultad de Ingeniería,
UNAM. D-49.
2. Zeevaert-Wiechers L. El uso de la cámara
holandesa modificada para la investigación de los
parámetros dinámicos del suelo . División de
Estudios de Posgrado de la Facultad de
Ingeniería, UNAM.
3. Zeevaert-Wiechers L. (1988a). Equipos para
la investigación de los parámetros
dinámicos del suelo. Boletín de Vías, No.90,
Sede Manizales, Universidad EAFIT,
Medellín, Colombia y SMMS, DEPFI, UNAM.
4. Zeevaert-Wiechers L. (1988b). Seis micGeodynamics of the Ground Surface and Building
Foun da tions.
SMMS
e
impresora
internacional, Cap.V, VI, pp.60, Apéndice II.
5. Zeevaert-Wiechers L. (1996). The Seis mic-Geodynamics in the design of foun da tions in diffi cult subsoil condi tions. Guest
lecture 3 rd . Inter na tional Sympo sium on
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19-69, San Diego, Cali fornia. Junio 10-12,
Spon sored by Lehigh and Massa chu setts-Lowel Univer sities.
6. Zeevaert-Wiechers L. (1988c). Seis mic-Geodynamics of the Ground Surface and Building
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7. Zeevaert-Wiechers L. (1998a). Análisis físico
sobre licuación en mecánica y dinámica de suelos .
SMMS, México.
8. Zeevaert-Wiechers L. (1980 ). Interacción
suelo-estructura de cimentaciones superficiales y
profundas sujetas a cargas estáticas y sísmicas .
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9. Zeevaert-Wiechers L. (1972-1982). Foun dation Engi neering for Diffi cult Subsoil Condi tions.
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New York, USA.
10. Zeevaert-Wiechers L. (1964). Struc tural
Steell Building Frames in Earth quake Engineering. Proceed ings Steel Utili za tion
Congress, Luxemburgo, octubre.
11. Zeevaert-Wiechers L. (1998b). Análisis de la
cimentación Tipo “Lez”. Universidad Nacional
Autónoma de México, México.
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
71
Acceleration in the Building Floors Using the Seismo-Geodynamic Theory
Ilustrative Seismic Anal ysis of Foudantion and Building Behavior using
“The Seismo-Dynamic Theory”
PROBLEM
D-19
BUILDING FOUNDATION
WIDTH
12.00 Mtrs.
BUILDING FOUNDATION
LENGHT
24.00 Mtrs.
COMPENSATED FOUNDATION
Ton/m2
TOTAL COMPENSATION AT 6.0 m MTRS. DEPTH
10.00
Weight of foundation and walls
–2.00
Weight of ground floor
–1.30
SUM
FLOOR LEVELS
6
Height between floors
1.10
3.2 MTRS.
Ton/m
6.70
6.60
2
5
16.00
Ground floor
3.50
Basement and foundation
6.00
Height of building from foundation grade elev. total
25.50
T/m2
Mtrs
Ton × m
WEIGHT
HIGHT
MOMENT
2.0
1.00
2
1.30
6.00
7.8
1°
1.10
9.50
10.45
2°
1.10
12.70
13.97
3°
1.10
15.90
17.49
4°
1.10
19.10
21.01
5°
1.10
22.30
24.53
6°
1.10
25.50
28.05
CENTER OF MASS
Foundation structure
Basement floor
Floor levels
ROOF
TOTAL
9.90
125.3
HEIGHT OF MASS CENTER
12.66
Mtrs.
MASS PER LINEAL METER 9.90 × 12/9.81
12.11
Ton*seg^2/m
FREE HEIGHT FOR WIND ACTION
19.50
Mtrs.
CALCULATION SHEET 1
72
INGENIERIA Investigación y Tecnología
FI-UNAM
L. Zeevaert-Wiechers
SHEAR WAVE IN LAYERED SUBSOIL
SHWLS298
D-20
List of symbols:
d
Stratum thickness
Az=
Orbital acceleration
µ
Dynamic soil modulus
Vz
Orbital velocity
ρ
Soil unit density
(tau)yz Shear Sress yz
δ
Displacement in YZ
(tau)yx Shear Sress yx
12.00 Mtrs. Semi–Largo Cimentation
1
2
3
4
SURFACE ORBITAL VALUES
AVE. CELERITY
SOIL
z
Cz
75.69
d
µ
Distortion
foundation rotation
Depth of Stratum
z
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Ao=
1.00
m/s 2
Vo
0.294
M/sec
T=
1.850
seg
0.0867
m
Fs
3.397
Rad
Ai
Bi
δ
(tau)yz
Az
M
T/m
2
m/sec
m/sec
SURF. DISPLACEMENT
ρ
Cz
m
Ton/m
mass
m/sec
0.00
0.00
1030
0.136
87.0
2
γ
Czxd
Ni
14
(tau)yx
T/m
15
16
δ
γ
Cm
Rad.
87.03
0.00
1.000
0.000
0.0867
0.00
1.000
3.48
8.667
0.0034
2
2
A1
1.00
1.00
1030
0.136
87.0
87.03
0.000
0.999
0.001
0.0867
0.00
1.000
3.48
8.667
0.0034
SWT
3.00
2.00
1030
0.136
87.0
174.05
0.002
0.997
0.002
0.0866
0.14
0.999
3.48
8.660
0.0034
A2
6.00
3.00
380
0.136
52.9
158.58
0.009
0.982
0.008
0.0861
0.41
0.993
2.10
8.608
0.0055
B1
8.50
2.50
230
0.144
40.0
99.91
0.011
0.978
0.011
0.0813
0.80
0.938
1.59
8.131
0.0072
B2
11.50
3.00
230
0.141
40.4
121.16
0.016
0.969
0.013
0.0709
1.12
0.818
1.37
7.089
0.0071
C
15.00
3.50
397
0.131
55.1
192.68
0.012
0.977
0.009
0.0543
1.42
0.627
1.33
5.432
0.0052
D
18.00
3.00
600
0.116
71.9
215.76
0.005
0.990
0.005
0.0407
1.67
0.469
1.15
4.068
0.0041
E
21.00
3.00
850
0.114
86.3
259.05
0.003
0.993
0.004
0.0319
1.82
0.369
1.07
3.194
0.0034
F
24.00
3.00
1500
0.180
91.3
273.86
0.003
0.994
0.002
0.0253
1.93
0.292
1.41
2.532
0.0032
G
26.00
2.00
1047
0.110
97.6
195.12
0.001
0.998
0.002
0.0213
2.08
0.246
0.78
2.131
0.0030
H
31.00
5.00
1740
0.200
93.3
466.37
0.008
0.984
0.003
0.0173
2.13
0.200
1.10
1.729
0.0031
I
35.00
4.00
1130
0.110
101.4
405.42
0.004
0.991
0.004
1.095
0.0029
35.00
AVE. ACELERITY
75.69
0.0109
2.29
0.126
0.41
0.0028
2.32
0.032
0.00
CALCULATION SHEET 2
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
73
Acceleration in the Building Floors Using the Seismo-Geodynamic Theory
SURFACE WAVE IN LAYERED SUBSOIL
SWLS198 D-20
List of symbols:
(d)
Stratum thickness
I/(M)
Stress modulus
2(rho)*Cz^ 2/(1–v)
(mu)
Dynamic shear modulus
(M)
Starin modulus
( ε)
Strain at depth Z
Sand
α
0.92
rho
Unit mass
(M)e
Traction modulus
(P)z
Aver. Pressure
SILTY
α
0.94
(v)
Poisson ratio
(M)c
Compression
(S)z
Aver. Stress
(C)z
Celerity at centre stratum
(r)z
Atenuation
(Az)
Orbital Acceleration Az=Ao(εζ/εo)
a(v)
Paremeter
SUM
Summation of (rd)
(pc)
Circular frequency
T
Period =
(z)
Depht
(Vz)
Orbital velocity
spwp
SEISMIC PORE WATER PRESSURE
Ts/0.94
SURFACE ORBITAL L ACL
Ao=
1.00 M/s 2
SURFACE CELERITY
(C)o=
81.80 M/s
T=1.968 sec
Fc=3.192 rad
(Vo)= 0.313 M/sec
(ε)
0.00383 ORBITAL STRAIN
× 10
SOIL
z
d
σεo
ω
µ
ρ
ν
c
a(v)
Bcx
1/M
r
rd
SUM
STRAIN
Pz
spwp
(S)z
Acc
DEPL.
m
T/m 2
%
T/m2
mass
nu
m/sec
–
–
Ton/m2
1/m
–
–
–
T / m2
T/m2
T/m2
m/s 2
cm
0.00
0.00
0.00
0.00
1030.00
0.136
0.25
81.80
0.85
0.80
2426.95
0.0332
0.0000
0.0000
0.003829
9.294
9.294
10.00
9.81
A1
1.00
1.00
1.80
50.00
1030.00
0.136
0.25
81.80
0.85
0.80
2426.95
0.0332
0.0332
0.0332
0.003705
8.991
8.991
9.67
9.49
SWT
3.00
2.00
5.40
50.00
1030.00
0.136
0.25
81.80
0.85
0.80
2426.95
0.0332
0.0663
0.0995
0.003467
8.414
8.414
9.05
8.88
A2
6.00
3.00
6.00
125.00
380.00
0.136
0.25
49.69
0.85
0.80
895.38
0.0546
0.1638
0.2634
0.002943
2.635
1.464
1.171
7.68
7.54
B1
8.50
2.50
7.50
300.00
230.00
0.144
0.35
37.57
0.90
0.90
625.32
0.0765
0.1912
0.4545
0.002431
1.520
0.800
0.720
6.35
6.23
B2
11.50
3.00
9.00
300.00
230.00
0.141
0.35
37.96
0.90
0.90
625.32
0.0757
0.2270
0.6815
0.001937
1.211
0.638
0.574
5.06
4.95
C
15.00
3.50
13.70
225.00
397.00
0.131
0.35
51.75
0.90
0.90
1079.35
0.0555
0.1943
0.8759
0.001595
1.722
0.906
0.816
4.17
4.09
D
18.00
3.00
18.00
100.00
600.00
0.116
0.35
67.60
0.90
0.90
1631.26
0.0425
0.1275
1.0033
0.001404
2.291
1.206
1.085
3.67
3.60
E
21.00
3.00
21.50
225.00
850.00
0.114
0.35
81.17
0.90
0.90
2310.95
0.0354
0.1062
1.1095
0.001263
2.918
1.536
1.382
3.30
3.24
F
24.00
3.00
25.00
50.00
1500.00
0.180
0.25
85.81
0.85
0.80
3534.40
0.0316
0.0949
1.2044
0.001148
4.059
2.255
1.804
3.00
2.94
G
26.00
2.00
27.75
250.00
1047.00
0.110
0.35
91.71
0.90
0.90
2846.55
0.0313
0.0627
1.2670
0.001079
3.071
1.616
1.454
2.82
2.76
H
31.00
5.00
29.00
45.00
1740.00
0.200
0.25
87.68
0.85
0.80
4099.90
0.0309
0.1547
1.4218
0.000924
3.789
2.105
1.684
2.41
2.37
I
35.00
4.00
31.00
120.00
1130.00
0.110
0.35
95.27
0.90
0.90
3072.21
0.0302
0.1206
1.5424
0.000819
2.516
1.324
1.192
2.14
2.10
35.00
CALCULATION SHEET 3
74
INGENIERIA Investigación y Tecnología
FI-UNAM
L. Zeevaert-Wiechers
SURFACE WAVE IN LAYERED SUBSOIL
SWLS198 D-20
List of symbols:
(d)
Stratum thickness
I/(M)
Stress modulus
2(rho)*Cz^ 2/(1–v)
(mu)
Dynamic shear modulus
(M)
Strain modulus
( ε)
Strain at depth Z
Sand
α
0.92
rho
Unit mass
(M)e
Traction modulus
(P)z
Aver. Pressure
SILTY
α
0.94
(v)
Poisson ratio
(M)c
Compression
(S)z
Aver. Stress
(C)z
Celerity at centre stratum
(r)z
Atenuation
(Az)
Orbital Acceleration Az=Ao(εζ/εo)
a(v)
Paremeter
SUM
Summation of (rd)
(pc)
Circular frequency
T
Period =
(z)
Depht
(Vz)
Orbital velocity
spwp
SEISMIC PORE WATER PRESSURE
Ts/0.94
SURFACE ORBITAL L ACL
Ao=
1.50 M/s 2
SURFACE CELERITY
(C)o=
81.80 M/s
SOIL
z
T=1.968 sec
Fc=3.192 rad
(Vo)= 0.470 M/sec
(ε)
0.00574 ORBITAL STRAIN
d
σεo
ω
µ
ρ
ν
c
a(v)
Bcx
1/M
r
rd
SUM
STRAIN
Pz
spwp
(S)z
Acc
DEPL.
m
T/m 2
%
T/m2
mass
nu
m/sec
–
–
Ton/m2
1/m
–
–
–
T / m2
T/m2
T/m2
m/s 2
cm
0.00
0.00
0.00
0.00
1030.00
0.136
0.25
81.80
0.85
0.80
2426.95
0.0332
0.0000
0.0000
0.005744
13.941
13.941
15.00
14.72
A1
1.00
1.00
1.80
50.00
1030.00
0.136
0.25
81.80
0.85
0.80
2426.95
0.0332
0.0332
0.0332
0.005557
13.486
13.486
14.51
14.24
SWT
3.00
2.00
5.40
50.00
1030.00
0.136
0.25
81.80
0.85
0.80
2426.95
0.0332
0.0663
0.0995
0.005200
12.621
12.621
13.58
13.33
A2
6.00
3.00
6.00
125.00
380.00
0.136
0.25
49.69
0.85
0.80
895.38
0.0546
0.1638
0.2634
0.004414
3.953
2.196
1.757
11.53
11.31
B1
8.50
2.50
7.50
300.00
230.00
0.144
0.35
37.57
0.90
0.90
625.32
0.0765
0.1912
0.4545
0.003646
2.280
1.200
1.080
9.52
9.34
B2
11.50
3.00
9.00
300.00
230.00
0.141
0.35
37.96
0.90
0.90
625.32
0.0757
0.2270
0.6815
0.002906
1.817
0.956
0.861
7.59
7.45
C
15.00
3.50
13.70
225.00
397.00
0.131
0.35
51.75
0.90
0.90
1079.35
0.0555
0.1943
0.8759
0.002393
2.582
1.359
1.223
6.25
6.13
D
18.00
3.00
18.00
100.00
600.00
0.116
0.35
67.60
0.90
0.90
1631.26
0.0425
0.1275
1.0033
0.002105
3.436
1.808
1.627
5.50
5.40
E
21.00
3.00
21.50
225.00
850.00
0.114
0.35
81.17
0.90
0.90
2310.95
0.0354
0.1062
1.1095
0.001894
4.377
2.304
2.073
4.95
4.85
F
24.00
3.00
25.00
50.00
1500.00
0.180
0.25
85.81
0.85
0.80
3534.40
0.0316
0.0949
1.2044
0.001723
6.088
3.382
2.706
4.50
4.41
G
26.00
2.00
27.75
250.00
1047.00
0.110
0.35
91.71
0.90
0.90
2846.55
0.0313
0.0627
1.2670
0.001618
4.606
2.424
2.182
4.23
4.15
H
31.00
5.00
29.00
45.00
1740.00
0.200
0.25
87.68
0.85
0.80
4099.90
0.0309
0.1547
1.4218
0.001386
5.683
3.157
2.526
3.62
3.55
I
35.00
4.00
31.00
120.00
1130.00
0.110
0.35
95.27
0.90
0.90
3072.21
0.0302
0.1206
1.5424
0.001229
3.774
1.987
1.788
3.21
3.15
35.00
CALCULATION SHEET 3a
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
75
Acceleration in the Building Floors Using the Seismo-Geodynamic Theory
COMPESATED FOUNDATION. “ISES5IN” SEISMIC ROCKING
FLEXIBILITY OF THE STRATIFY SOIL MASS IN
THE FOUNDATION SYMMETRY AXIS
STRIPE 2B/2=
1200
LAMBDA=
D-20
CHI=2
200 cm
COORDENATE X IN CM.
(I)i
µ
kg/c2
kg/cm 2
–0.785
0.707
23.00
–0.278
0.272
23.00
0.153
–0.153
0.145
0.901
0.105
–0.105
300
0.745
0.077
1650
300
0.629
G
1900
200
H
2250
I
2700
ESTR
α
DEPTH
ESTR
MTRS
H-cm
(PSI)1
B1
100
200
1.488
0.785
B2
350
300
1.287
0.278
C
650
350
1.074
D
950
300
E
1300
F
(PSI)2
ν
(Alpha)
Displ..
c3/kG
corregido
0.350
3.221
2.278
0.350
4.831
1.315
39.70
0.350
3.265
0.472
0.093
60.00
0.350
1.852
0.171
–0.077
0.061
85.00
0.350
1.307
0.079
0.061
–0.061
0.043
150.00
0.250
0.800
0.034
0.563
0.053
–0.053
0.034
104.70
0.350
0.707
0.024
500
0.490
0.044
–0.044
0.026
174.00
0.250
1.149
0.029
400
0.418
0.037
–0.037
0.019
113.00
0.350
1.311
0.024
SUM
4.428
FLEXIBILITY c 3/kg
POINT
(x)i
0
200
400
600
800
1000
C1
C-2
C-3
C-4
C-5
C-6
C1
C-2
C-3
C1
4.428
2.042
1.038
0.618
0.399
0.273
C-1
4.155
1.643
0.420
C-2
2.042
4.428
2.042
1.038
0.618
0.399
C-2
1.643
3.810
1.004
C-3
1.038
2.042
4.428
2.042
1.038
0.618
C-3
0.420
1.004
2.386
C-4
0.618
1.038
2.042
4.428
2.042
1.038
C-5
0.399
0.618
1.038
2.042
4.428
2.042
C-6
0.273
0.399
0.618
1.038
2.042
Tonxm
Kg/c 3
INVERTED MATRIX
‘ANTI-SYMETRIC REDUCED MATRIX
4.428
TRANSVERSAL CONFIGURATION
Cm
Kg/c2 rd
Ton/m2/rd
m
C1
C-2
C-3
di
q/0
Xi/10
x
Kb
C1
0.290
–0.126
0.002
500
107.58
1075.78
5.00
5378.91
C-2
–0.126
0.350
–0.125
300
29.57
295.74
3.00
887.22
C-3
0.002
–0.125
0.471
100
10.53
105.30
1.00
105.30
6371.43
SPRING CONSTANT FOR BASE ROTATION
Kb=
25486
SPRING CONSTANT FOR WALL ROTATION
Kw=
42185
Kb+Kw=
67671
TOTAL CONSTANT
Kw=(1+ν ) d^2*(1)*µ
Ovt=((Kb+Kw) θ
Ton/m2
µ=
868.00
MASS CENTER
hc
12.600
Mtrs
L=
1.00
MASS PER LINEAL METER
M
12.110
Ton*seg2 /m
d=
6.00
m
FOUNDATION PERIOD OF ROTATION
Ts
1.059
seg
ν=
0.35
POISSON
OVERTURNING M.
BUILDING PERIOD FROM CALCULATION SHEET 7
Te
0.500
seg
SOIL DYNAMIC ANALYSIS
COUPLED PERIOD OF THE BUILDING STRUCTURE
To
1.171
seg
SOIL PERIOD
CRITICAL DAMPING OF THE SOIL DEPOSIT
Ds
0.120
SOIL FREQUENCY
CRITICAL DAMPING OF THE STRUCTURE
De
0.050
RATIO OF PERIODS
EQUIVALENT CRITICAL DAMPING, REF 8
Do
0.132
FROM SPECTRUM (DAES)
ACCELERATION FACTOR AT THE CENTER MASS
Fo
2.200
ACCELERATION ASIGNED AT THE GROUND SURFACE
As
ACCELERATION AT 6.0 METROS DEPTH
Acc. CENTER OF MASS
1.694
OVERTURNING MOMENT Ost
MASA*Acc.*hc
OVERTURNING MOMENT Ost
258.481
1.000
M/seg2
0.770
M/seg2
Ts=
ROTATION
θ=0.00382
rad
REACTIONS OF SEISMIC OVERTURNING
MOMENT
Ovt
DOV
q/0
q
q
Txm/m
Mtrs
T/m/m 2/rd
Ton/m2
Kg/cm2
VERFIC
Osb
FOUNDATION
Osb
97.348
5.000
1075.78
4.109
0.411
41.092
FOUNDATION WALLL
Ows
161.133
3.000
295.74
1.130
0.113
6.778
Ost
258.481
1.000
105.30
0.402
0.040
0.804
–1.000
–105.30
–0.402
–0.040
97.348
–3.000
–295.74
–1.130
–0.113
–5.000
–1075.78
–4.109
–0.411
SUMA
HORIZONTAL UNIFORM STRESS
IN FOUNDATION WALL
p
8.952
Ton/m 2
CALCULATION SHEET 4
76
INGENIERIA Investigación y Tecnología
FI-UNAM
1.960
3.204
To/Ts
Mtrs/s2
Ton/m/m
m
OK
0.597
2.200
L. Zeevaert-Wiechers
CALCOR31
D-22
CALCULATION OF THE SHEAR FORCES IN THE BUILDING FLOORS
BUILDING WITH SIX FLOORS
BASEMENT AND RIGID BOX TYPE FOUNDATION
CALCULATION OF THE SURFACE SEISMIC WAVE AND ROCKING ANALISIS
FROM CALCULATION SHEET 3 IS OBTAINED
Acceleration at the base of the foundation, SHEET 3
77.00
GAL
Acceleration at the center of mass, SHEET 4
1.694
m / s e c2
Displacement at the foundation grade elevation, SHEET 3
0.0754
M
Rotation of the foundation, SHEET 4
0.00382
RAD
Foundation rocking period, SHEET 4
1.059
Seg
Subsoil period, SHEET 3
1.964
Seg
Periodo acoplado estructura –cimentacion– subsuelo
2.231
Seg
System circular frequency
2.816
1/sec
Base shear, SHEET 4
20.51
Ton
Acceleration in the foor levels
(Ac)
FROM CALCULATION SHEET 1, IS OBTAINED
Mass per frame and floor
1.346
T*s^2/m
Mass per frame and ground floor
1.590
T*s^2/m
Mass of the foundation
2.446
T*s^2/m
Mass of the foundation and added the ground floor
4.037
T*s^2/m
Total mass total eand foundation / ML
12.11
T*s^2/m
Height of center of mass
12.66
Mtrs
Structural flexibility per floor and frame for all the floor levels
1K
m/Ton
δ
Displacement because or foundation vertical rotation
column 4
∆2
Displacement because of flexure induced by the foundation rotation
column 7
∑∆=δ+∆2
1
2
FLOOR
h
3
MASS DESPL.
PIS/ml
FLOOR
Mtrs
4
δ
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1/K
DISPL.
DISPL.
DISPL.
(Ac)
(Ac)
SHEAR
SUM
SECTION
∆
SUM
FLOOR
∆1
∆2
∑∆
FLOOR
DAES
FLOOR
CORT.
d
MOM.
MOM.
m/Ton
Mtrs
Mtrs
4+7
M/s2
M/s2
Ton/m
Ton/m
Mtrs
Ton x m
Ton x m
3.097
3.20
9.910
9.91
T*s 2/m
MTRS
4.00E-04 0.00124
0.00494
1.1778
1.409
2.301
3.097
6
25.50
1.346
0.173
5
22.30
1.346
0.161
4.00E-04 0.00115
0.00370
0.1643
1.302
2.128
2.864
5.961
3.20
19.075
28.98
4
19.10
1.346
0.148
2.86E-04 0.00075
0.00256
0.1509
1.197
1.955
2.631
8.592
3.20
27.494
56.48
3
15.90
1.346
0.136
2.86E-04 0.00069
0.00181
0.1379
1.094
1.787
2.405
10.997
3.20
35.189
91.67
2
12.70
1.346
0.124
1.82E-04 0.00040
0.00112
0.1250
0.991
1.620
2.180
13.177
3.20
42.165
133.83
1
9.50
1.346
0.112
1.82E-04 0.00036
0.00072
0.1124
0.891
1.456
1.960
15.136
3.50
52.977
186.81
PB
6.00
1.590
0.098
1.82E-04 0.00037
0.00037
0.0987
0.783
1.279
2.033
17.170
4.00
68.678
255.49
CIM
1.00
2.446
0.079
0.00000
0.00000
0.0792
0.628
1.027
2.511
19.680
2.00
39.361
294.85
BASE
0.00
0.0754
0.598
0.977
0.000
19.680
1.037
1.694
19.680
SUM
SUM
294.85
TOTAL MASS
0.075
12.11
294.85
CALCULATION SHEET 5a
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
77
Acceleration in the Building Floors Using the Seismo-Geodynamic Theory
CALCOR3E
D-22
CALCULATION OF THE SHEAR FORCES IN THE BUILDING FLOORS
BUILDING WITH SIX FLOORS
BASEMENT AND RIGID BOX TYPE FOUNDATION
CALCULATION OF THE SURFACE SEISMIC WAVE AND ROCKING ANALISIS
FROM CALCULATION SHEET 3 IS OBTAINED
Acceleration at the base of the foundation, SHEET 3
77.00
GAL
Acceleration at the center of mass, SHEET 4
1.694
m / s e c2
Displacement at the foundation grade elevation SHEET 3
0.0764
M
Rotation of the foundation, SHEET 4
0.00382
RAD
Foundation structure period, SHEET 4
1.059
Seg
Subsoil period, SHEET 3
1.964
Seg
Couppled period structure subsoil foundation
2.231
Seg
System circular frequency
2.816
1/sec
Base shear, SHEET 4
20.51
Ton
Acceleration in the floor levels
(Ac)
FROM CALCULATION SHEET 1, IS OBTAINED
Mass per frame and floor
1.346
T*s^2/m
Mass per frame and ground floor
1.590
T*s^2/m
Mass of the foundation
2.446
T*s^2/m
Mass of the foundation and added the ground floor
4.037
T*s^2/m
Total mass total eand foundation / ML
12.11
T*s^2/m
Height of center of mass
12.66
Mtrs
Structural flexibility per floor and frame for all the floor levels
1K
m/Ton
δ
Displacement because or foundation vertical rotation
Column 4
∆2
Displacement because of flexure induced by the foundation rotation
Column 7
∆3
Displacement because 1rst vibration mode of the structure
Column 8
∑∆=δ+∆2+∆3
1
2
FLOOR
h
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1/K
DISPL.
DISPL.
DISPL.
DISPL.
(Ac)
(Ac)
SHEAR
SUM
SECTION
∆
SUM
δ
FLOOR
∆1
∆2
∆3
∑∆
FLOOR
DAES
FLOOR
CORT.
d
MOM.
MOM.
MTRS
m/Ton
Mtrs
Mtrs
Mtrs
4+7+8
M/s 2
M/s 2
Ton/m
Ton/m
Mtrs
Ton x m
Ton x m
MASS DEPL.
PIS/ml
FLOOR Mtrs T*s 2/m
6
25.50
1.346
0.174
4.00E-04 0.00135
0.00529
0.02230
0.2014
1.597
2.515
3.384
3.384
3.20
10.830
10.83
5
22.30
1.346
0.162
4.00E-04 0.00125
0.00393
0.02040
0.1859
1.474
2.322
3.124
6.509
3.20
20.828
31.66
4
19.10
1.346
0.149
2.86E-04 0.00081
0.00269
0.01680
0.1688
1.339
2.109
2.837
9.346
3.20
29.908
61.57
3
15.90
1.346
0.137
2.86E-04 0.00073
0.00187
0.01320
0.1522
1.207
1.901
2.558
11.904
3.20
38.093
99.66
2
12.70
1.346
0.125
1.82E-04 0.00041
0.00114
0.00880
0.1349
1.069
1.684
2.266
14.170
3.20
45.345
145.00
1
9.50
1.346
0.113
1.82E-04 0.00036
0.00073
0.00560
0.1190
0.944
1.486
2.000
16.170
3.50
56.596
201.60
PB
6.00
1.590
0.099
1.82E-04 0.00037
0.00037
0.00220
0.1019
0.808
1.272
2.023
18.194
4.00
72.774
274.37
CIM
1.00
2.446
0.080
0.00000
0.00000
0.00000
0.0802
0.636
1.002
2.451
20.644
2.00
41.288
315.66
BASE
0.00
SUM
315.66
TOTAL MASS
0.076
12.11
Relative displacement at the roof
Added with the torsional whipping at the head - frame
0.0764
0.606
0.954
0.000
20.644
MEDIA
1.076
1.694
20.644
SUM
2.759 cm
4.00 cm
CALCULATION SHEET 5b
78
INGENIERIA Investigación y Tecnología
FI-UNAM
315.66
L. Zeevaert-Wiechers
TOREDIFE
D-22
TORSIONAL WHIPPING IN THE UPPER FLOORS
(Shear n)
((SHEARn))X
Shear per floor and meter symmetrical case
(x)
TORSIONAL ‘SHEAR / METER AT A DISTANCE (x) FROM THE ROTATION CENTER
((Shear n)) X (shear n)*(1=0.45x/L)
Coordenate from the torsion center
Tn
Torsion per floor level
Tn=2*(Shear n)*(0.45)LxL/3
12 Mtrs. One half lenght of building
Factor (1+0.45*x/L)
SHEET 5b
HEAD-FRAME
MOMENT
SUM
FOR TOR.
TORSION
(SHEARn)
PER FLOOR
PER FLOOR
TON / ML
TON / ML
TON × M
6
3.384
4.907
133.19
5
6.509
9.438
256.19
4
9.346
13.552
367.86
3
11.904
17.261
468.54
2
14.170
20.547
557.73
1
16.170
23.447
636.45
PB
18.194
26.381
716.12
FLOOR
CIM.
SHEAR FORCES PER METER OF THE TORSIONAL WHIPPING ACTION
IN THE SECTIONS AT THE INDICATED DISTANCES FROM THE ROTATION CENTER
SECTIONS
CENTRO
m
m
m
HEAD FRAME
DISTANCE
0.00
2
6
10
12m
FACTOR
1.000
1.075
1.225
1.375
1.450
((CORTn)) X
((CORTn)) X ((CORTn)) X ((CORTn)) X
((CORTn)) X
EN PISO
TON/ML
TON/ML
TON/ML
TON/ML
TON/ML
6
3.384
3.64
4.15
4.65
4.91
5
6.509
7.00
7.97
8.95
9.44
4
9.346
10.05
11.45
12.85
13.55
3
11.904
12.80
14.58
16.37
17.26
2
14.170
15.23
17.36
19.48
20.55
1
16.170
17.38
19.81
22.23
23.45
PB
18.194
19.56
22.29
25.02
26.38
CIM.
CALCULATION SHEET 6
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
79
Acceleration in the Building Floors Using the Seismo-Geodynamic Theory
PERIDIFE
D-22
CALCULATION OF THE AVERAGE CELERITY AND
FUNDAMENTAL PERIOD OF THE BUILDING STRUCTURE
List of symbols:
d
B
L
Z
τ
Height between floors
Width
12.00 M
Lenght
24.00 M
Altura de piso
M
Period seg by the celerity method
K
Rigidez del piso
Cs
Celerity per floor
Cs=RCUAD(K*d^2)/M)
Average celerity
Cm
188.93
M/Seg
Period
Te=
0.4975
Seg
Circular frequency
Fc=
12.629
1/seg
0.4975
OK with holzer
1
2
3
4
5
6
FLOOR
z
d
K
MASS/
CELERITY
M
Ton/m
FLOOR
Cs
6
23.50
3.20
2500.00
1.347
137.86
5
20.30
3.20
2500.00
1.347
137.86
4
17.10
3.20
3500.00
1.347
163.12
3
3.20
3.20
3500.00
5500.00
1.347
1.347
163.12
2
13.90
10.70
1
7.50
3.50
5500.00
1.347
223.65
PB
4.00
4.00
8500.00
1.590
292.44
CIM
0.00
23.50
AVERAGE CELERITY
SEE REF. 9, CAP. XII.3, PAG. 519
INGENIERIA Investigación y Tecnología
188.932
OK WITH HOLZER
CALCULATION SHEET 7a
80
204.48
FI-UNAM
L. Zeevaert-Wiechers
HOLZERE
D-23
D-30
HOLZER MODAL METHOD
δ
∆δ
f
V
K
M
T
p
P^2
Floor displacement
Decrement displacement
Floor horizontal force
Sum of floor shear forces
Floor rigidity
Floor mass
Building period
Circular frequency
(p^2)*M(δ–∆δ )
0.5002
12.561
157.79
31.987
Average celerity
seg
1/seg
1/seg^2
m/seg
REAL VALUES FROM
CALCULATION SHEET 6
FLOOR
K
m
f
V
∆δ
δ–∆δ
REAL
Ac
REAL
Ton/m
Tsec2/ m
Ton
Ton
m
m
δ
m/sec2
V
d
6
3.20
2500
1.347
212.54
212.5
0.085
1.000
0.0223
3.521
4.742
5
3.20
2500
1.347
194.47
407
0.163
0.915
0.0204
3.221
4.339
4
3.20
3500
1.347
159.87
566.9
0.162
0.752
0.0168
2.648
3.567
3
3.20
3500
1.347
125.44
692.3
0.198
0.590
0.0132
2.078
2.799
2
3.20
5500
1.347
83.40
775.7
0.141
0.392
0.0088
1.381
1.861
1
3.50
5500
1.347
53.43
829.2
0.151
0.251
0.0056
0.885
1.192
PB
4.00
8500
1.590
25.24
854.4
0.101
0.101
0.0022
0.354
0.563
829.2
BASE SHEAR FROM CALCULATION SHEET 5b
18.500 Ton
CORRECTION FACTOR
0.0223
18.5 / 829.2
18.500
CALCULATION SHEET 7b
Vol.VI No.1 -enero-marzo- 2005
81
Acceleration in the Building Floors Using the Seismo-Geodynamic Theory
RIGIBC31 D-23
COLUMN RIGIDITY GROUND FLOOR – FOUNDATION
SYMMETRICAL ROCKING
σ = M/(D^3/6)
LENGHT 24.00 Mtrs
1.45
IN ACCORDANCE WITH
f/d = 12 (EI/h^3)
FOUNDATION WIDTH
12 Mtrs
FOR WHIPPING EFFECT MULTIPLY BY
GROUND FLOOR – FOUNDATION PB–FOUND
Ov
Seismic overturning moment, SHEET 5b
PB-FOUND
274.00
18.20
PB-FOUND
2
14 Colms
7
Ton xm/m
F
Nt
No
NL
L
f
h
D
σ
δ
E
Seismic sheer, SHEET 5b
Number of columns in transversal frames
Total numbers of columns
Number of transversal frames
Distance between frames
Shaear in one column
Height between floors
Side of a square column
Column stress because moment
Displacement
Modulus of dynamic elasticity of concrete
Ton/m
(K)
K
Rigidity of one column
Rigidity per meter
Kt
Km
F
Total rigidity
Rigidity per frame
Shear force per frame
f
M
Pv
Atri
Pest
fa
Shear force per column
31.200 Ton
Moment per column
49.92 T × m
Axial load in outside column p.b., overturning
45.67 Ton
Tributary area at corner column
12 m 2
Static reaction corner column pb.
7.90 Ton/m2
94.80 Ton
1.35*(0.45*300)= 182.3 Kg/cm 2
FLEXION STRESSES, AXIAL SEISMIC AND STATIC
4 Mtrs
31.20 Ton
3.20 Mtrs
18.2*24/14
Ton/m 2
Mtrs
2,165,064 Ton/m 2
11000.00 Ton/m
5500.00 Ton/m
5500
Kt=24*K
Kt/7
132000.00 Ton/m
18857.14 Ton/m
62.400 Ton
AXIAL
AXIAL
s
σ
σ
OVERTUR.
σε
Ton ×m
m^3
Ton/m^2
Kg/cm^2
Kg/cm^2
Kg/cm^2
49.92
0.0107
4680.00
468.00
28.54
59.25
555.79
0.44
49.92
0.0142
3516.15
351.62
23.59
48.97
424.17
1754
0.48
49.92
0.0184
2708.33
270.83
19.82
41.15
331.80
4831
2415
0.52
49.92
0.0234
2130.18
213.02
16.89
35.06
264.97
6498
3249
0.56
49.92
0.0293
1705.54
170.55
14.56
30.23
215.35
3.20
8563
4281
0.60
49.92
0.0360
1386.67
138.67
12.69
26.33
177.69
0.64
3.20
11085
5543
0.64
49.92
0.0437
1142.58
114.26
11.15
23.14
148.55
PB-FOUNDATION
0.68
3.20
14127
7064
0.68
49.92
0.0524
952.57
95.26
9.88
20.50
125.64
OK
0.72
3.20
17756
8878
0.72
49.92
0.0622
802.47
80.25
8.81
18.29
107.34
0.76
3.20
22043
11022
0.76
49.92
0.0732
682.32
68.23
7.91
16.41
92.55
0.80
3.20
27063
13532
0.80
49.92
0.0853
585.00
58.50
7.14
14.81
80.45
0.84
3.20
32896
16448
0.84
49.92
0.0988
505.34
50.53
6.47
13.44
70.44
0.88
3.20
39623
19812
0.88
49.92
0.1136
439.52
43.95
5.90
12.24
62.09
0.92
3.20
47334
23667
0.92
49.92
0.1298
384.65
38.46
5.40
11.20
55.06
0.96
3.20
56118
28059
0.96
49.92
0.1475
338.54
33.85
4.96
10.29
49.10
1.00
3.20
66072
33036
1.00
49.92
0.1667
299.52
29.95
4.57
9.48
44.00
D
h
(K)
K
D
Mc
Mtrs
Mtrs
Ton/m^2
Ton/M
Mtrs
0.40
3.20
1691
845.7
0.40
0.44
3.20
2476
1238
0.48
3.20
3507
0.52
3.20
0.56
3.20
0.60
CORRECTION OF RIDIDITIES ACCORDING TO ACCEPTABLE DISPLACEMENTS AND
ALLOWABLE STRESSES
FOR TORTIONAL ROTATION THE HEAD-FRAME VALUES SHALL BE ADDED WITH
∑σ
α%
CALCULATION SHEET 8
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L. Zeevaert-Wiechers
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Photo 1. Reduc tion of the foun da tion bearing capacity and extru sion because of the seismic pore water pressure
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Photo 2. “Whip ping effect” in the upper floors because of seismic action
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Acceleration in the Building Floors Using the Seismo-Geodynamic Theory
Photo 3. “Whip ping effect” in the upper floors because of seismic action
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L. Zeevaert-Wiechers
Photo 4. “Whip ping effect” in the upper floors because of seismic action
Photo 5. Failure of head-frame (corner) in upper floors because of seismic action
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Acceleration in the Building Floors Using the Seismo-Geodynamic Theory
Photo 6. Failure og head-frames in the upper floors because of seismic “torsional whip ping action”
Semblanza del autor
Leonardo Zeevaert-Wiechers. Obtuvo el título como ingeniero civil en 1939 en la Escuela Nacional de Ingenieros de la UNAM.
Estudió el posgrado en el Instituto Tecnológico de Massachussets donde recibió el grado de maestro en ingeniería en 1940.
En 1943, inició una estrecha colaboración con el Dr. Karl Terzaghi en una investigación acerca de la estabilidad de las
cortinas de corazón hidráulico, construidas en México. A partir de 1940, cuando terminó su maestría en el Instituto
Tecnológico de Massachussets, se dedicó a trabajar en problemas específicos de mecánica de suelos y en 1947, ingresó a
la Universidad de Illi nois donde terminó en 1949, obteniendo el grado de doctor en filosofía de ingeniería (Ph.D) en ese
mismo año. Ha recibido numerosos reconocimientos, entre ellos, la Medalla de Oro Profesional, otorgada por el Instituto
Americano de Arquitectos, Diploma a la Innovación Tecnológica, la designación como Profesor Emérito en la UNAM y
miembro de la Academia Nacional de Ingeniería de EUA, entre otros. El buen comportamiento de la cimentación y
estructura de las obras de ingeniería que ha diseñado, entre ellas la Torre Latinoamericana, en donde introdujo el concepto
de flexibilidad controlada en edificios altos y el desarrollo de la “Teoría de la Sismo-Geodinámica”, le han valido para su
reconocimiento a nivel internacional. Ha escrito más de 195 artículos, una gran cantidad de libros y ha presentado
ponencias relacionadas con la mecánica de suelos e ingeniería sísmica para el diseño de las cimenta ciones y estructuras de
los edificios en las zonas sísmicas.
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