Estadística General
Anuncio
III Ciclo
ESATADISTICA
GENERAL
CUADERNO DE TRABAJO
Ing. José Saldarriaga M.
Eco. Juan Morón A.
Estadística
General para
Exportadores
ASOCIACIÒN DE EXPORTADORES DEL PERU
www.adexperu.org.pe
CENTROS ACADEMICOS DE ADEX
www.adexperu.edu.pe
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
MÓDULO PROFESIONAL
MÉTODOS CUANTITATIVOS Y TECNOLOGÍAS DE LA
INFORMACIÓN APLICADOS A LOS NEGOCIOS
INTERNACIONALES
ASIGNATURA
ESTADÍSTICA GENERAL
MATERIAL DE TRABAJO PARA EL ESTUDIANTE
Elaborado por:
Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
2
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
ÍNDICE
ÍNDICE............................................................................................................................................... 3
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................ 4
DEFINICIONES Y CONCEPTOS FUNDAMENTALES ............................................................................. 5
DESCRIPCIÓN DE DATOS ................................................................................................................ 12
REPRESENTACIÓN DE DATOS – GRÁFICAS ..................................................................................... 24
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL................................................................................................ 26
MEDIDAS DE DISPERSIÓN............................................................................................................... 38
TÉCNICAS DE MUESTREO ............................................................................................................... 48
NÚMEROS ÍNDICES ......................................................................................................................... 48
ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LÍNEAL ......................................................................... 57
ANÁLISIS DE SERIES DE TIEMPO ..................................................................................................... 67
GLOSARIO DE VARIABLES Y FÓRMULAS ..................................................................................... 79
REFERENCIAS BIBLOGRÁFICAS ....................................................................................................... 82
3
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
INTRODUCCIÓN
Este material ha sido desarrollado pensando en el proceso de aprendizaje que requieren
realizar los alumnos que se enfrentan a la carrera de Comercio Exterior. Pero también,
pensando en una inserción más competitiva en el mundo laboral que más adelante
deberán afrontar.
Este Cuadernillo de Trabajo consta de un conjunto de problemas y ejercicios (186) que
han sido preparados para ir midiendo el nivel de aprendizaje de los alumnos. Pero en
éste no debemos olvidar la parte conceptual. Por ello, se han considerado preguntas que
apuntan a consolidar el conocimiento teórico básico.
Por último, queremos hacer hincapié en recordar que la Estadística debe servirnos,
fundamentalmente, como una herramienta para la toma de decisiones. Ella no se limita a
realizar procesos de cálculos operativos. Estos son inevitables, pero deben ser vistos
como insumos en un proceso mucho más importante. Reducir los niveles de
incertidumbre que rodean el mundo empresarial cuando deben tomarse decisiones. Aquí
radica la verdadera importancia de la Estadística.
4
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
DEFINICIONES Y CONCEPTOS FUNDAMENTALES
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nivel de Dificultad I
Ejemplo 1 :
Explique por qué el siguiente enunciado hace referencia a un ejemplo de lo que trata
la Estadística Descriptiva :
“Según el Ministerio de Trabajo, el salario promedio tuvo un aumento, en términos reales, de 25
% en los últimos dos años. Sin embargo, en el último trimestre tuvo una disminución de 2,85 %.
Antes de los ajustes, el salario era de S/500.00 pero alcanzó un nivel de S/ 728 al cerrar el último
año” .
Solución :
Este un caso de estadística descriptiva, por cuanto toda la información se está refiriendo a los
datos con los que se han desarrollado esas observaciones. Es decir, se ha descrito. No se ha hecho
ninguna inferencia a partir de una muestra. Decir o mencionar un valor porcentual de un conjunto
de datos no es hacer una inferencia, mucho menos es un muestreo.
Ejemplo 2:
Una empresa educativa cuenta con un total de 3750 empleados de los cuales 660 son
profesores. Los directivos saben que el 25% de los profesores usan herramientas
tecnológicas en poca escala. Uno de sus objetivos es mejorar la calidad de la enseñanza,
por lo que se ha tomado una muestra aleatoria de 145 profesores y se ha tomado
en cuenta, entre otras, las siguientes características:
·
·
·
·
Marca de computadora personal que utiliza.
Tiempo que usa la computadora personal por semana.
Número de personas de la casa que usan la computadora personal.
Programa principal usado.
Al procesar la información muestral se obtuvo un promedio de 18 horas de uso semanal
de la computadora personal y, además, se pudo conocer que sólo un 8,7% usan como
programa principal un procesador de texto.
a) Identifique claramente la población y muestra.
b) Identifique las variables del estudio, su tipo y escala de medición.
c) Identifique los estadísticos mencionados en el problema.
Solución:
a. La Población son los 660 profesores y su muestra los 145 profesores encuestados
b. La variable en estudio es “Tiempo de uso de computadora”
5
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
c. Los Estadísticos son “Tiempo promedio de uso de computadora” ( 18 horas). Esto es lo
que en promedio emplean de tiempo los profesores frente a una computadora. En
segundo lugar, “Promedio de profesores que usan un Programa de procesador de texto”
Ejercicios y Problemas Propuestos
1. Cuál de las siguiente alternativas podría ser una razón para estudiar la Estadística:
a. Nos permite obtener datos numéricos
b. Nos permite obtener variables
c. Nos permite tomar decisiones más racionales
d. Nos permite obtener una muestra
e. Nos permite obtener una población
2. Explique la diferencia entre la Estadística Descriptiva y la Estadística Inferencial
a. La cantidad de datos
b. El tamaño de la Muestra
c. El tamaño de la Población
d. La Muestra como tal
e. La Población como tal
3. El Número de estrellas que tenemos en el firmamento, debe ser considerado
como un ejemplo de . .
a. Población Finita. Explique su respuesta
b. Población Infinita. Explique su respuesta
4. Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas:
a. Comida Favorita.
b. Profesión que te gusta.
c. Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada.
d. Número de alumnos de tu Instituto.
e. El color de los ojos de tus compañeros de clase.
f. Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.
5. De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuáles continuas.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.
Temperaturas registradas cada hora en un observatorio.
Período de duración de un automóvil.
El diámetro de las ruedas de varios coches.
Número de hijos de 50 familias.
Censo anual de los españoles.
6. Clasificar las siguientes variables en cualitativas ( Nominal u Ordinal) y
cuantitativas (Discretas o Continuas).
a. La nacionalidad de una persona.
b. Número de litros de agua contenidos en un depósito.
c. Número de libro en un estante de librería.
d. Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados.
e. La profesión de una persona.
f. El área de las distintas baldosas de un edificio.
6
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
7. Clasifique las siguientes variables en: cualitativa nominal (CN), cualitativa ordinal
(CO), cuantitativa discreta (CD) ó cuantitativa continua (CC):
- Tipo de Vivienda
- Mortalidad Infantil
- Número de pasaporte
- Total de hogares
- Peso
- Talla
- Lugar de nacimiento
- Analfabetismo
(
(
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
)
)
- Asistencia escolar
- Año de nacimiento
- Disposición de DNI
- Relación de parentesco
- Combustible para cocinar
- Gasto S/ l en alimentos
- Gasto en compra de pan
- Raza
(
(
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
)
)
8. De la siguiente relación indique cuál es un “Parámetro”:
a.
b.
c.
d.
El promedio de ahorro de las familias peruanas es de S/ 250 mensuales
El promedio ponderado de notas de los alumnos de Adex es de 14.5
El promedio de jubilación de los trabajadores de la pesca es de 68 años
Las importaciones maquinaria para minería de nuestro país alcanzaron los 10 mil
millones de dólares en el 2010
e. Las Exportaciones tradicionales de nuestro país alcanzaron los 15 mil millones de
dólares en 2011
9.
De la siguiente relación indique cuál es un “Estadístico”:
a. Los estudiantes de 3° y 4° de Lima tienen una tralla promedio de 120 cm
b. Los estudiantes del Perú tienen una talla promedio de 145 cm
c. Los empleados de los bancos que tienen sus oficinas en Lima tienen un
promedio de 15 minutos de retraso
d. Los profesionales de la administración pasan en promedio entre 3 ó 4 años sin
empleo antes de ingresar a una empresa como adecuadamente empleados
10. De los siguientes caso cuál o cuáles corresponden a una medición ( Escala ) Nominal
a.
b.
c.
d.
e.
Clasificación según el género sexual
Clasificación por colores
Clasificación por estado civil
Clasificación por talla
Clasificación por rendimiento académico
Nivel de Dificultad II
Ejercicios y Problemas Propuestos
11. Una empresa está por enviar al mercado un nuevo producto comestible, elaborado
en base a kiwicha, Quinua y Maíz amarillo gigante del Cuzco. Este producto se puso
a disposición de un grupo de personas a quienes, posteriormente se les aplicó una
encuesta. Como resultado de ésta, se determinó que el 73% estarían dispuestos a
comprar el producto; el 15 % que lo pensaría y, por último, el 12 % restante no lo
compraría definitivamente.
a.
Se trata de un ejemplo de Estadística Descriptiva ? Explique su respuesta
7
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
b.
Se trata de un caso de Estadística Inferencial ? Explique su respuesta
12. Una empresa educativa cuenta con un total de 3750 empleados de los cuales 660 son
profesores. Los directivos saben que el 25% de los profesores usan
herramientas tecnológicas en poca escala. Uno de sus objetivos es mejorar la
calidad de la enseñanza, por lo que se ha tomado una muestra aleatoria de 145
profesores y se ha tomado en cuenta, entre otras, las siguientes
características:
·
·
·
·
Marca de computadora personal que utiliza.
Tiempo que usa la computadora personal por semana.
Número de personas de la casa que usan la computad ora personal.
Programa principal usado.
Al procesar la información muestral se obtuvo un promedio de 18 horas de uso
semanal de la computadora personal, 8,7% usan como programa principal
un procesador de texto.
a) Identifique claramente la población y muestra.
b) Identifique las variables del estudio, su tipo y escala de medición.
c) Identifique los estadísticos mencionados en el problema.
13. Identifique cada una de las variables siguientes de acuerdo a la clasificación
por su naturaleza y por su escala o nivel de medición.
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Número de niños nacidos en diferentes horas del día.
Edad de los reclusos.
Grado de instrucción de los drogadictos.
Número de menores abandonados en los hospitales.
Candidatos a la Alcaldía de Lima, según votos obtenidos.
Categoría docente (Principal, Asociado, Auxiliar)
Número de hogares según servicio de alcantarillado.
Lugar de nacimiento de las personas.
Grado de desnutrición.
Estado marital de las personas.
Sueldos de las enfermeras.
Clasificación de la población económicamente activa.
Raciones por tipo de dieta.
14. En el Perú las madres trabajadoras al término del período post natal tienen
derecho a una hora diaria por lactancia materna hasta que su hijo tenga un año de
edad. Una empresa de supermercados quiere estimar el número de horas al mes
que sus trabajadoras toman para esta actividad. La empresa tiene 1800
empleados, de los cuales el 80% son mujeres. De las trabajadoras el 90%
tienen entre 18 y 49 años. Se considera que una mujer está en edad fértil si
está en dicho rango de edad. Si para el estudio se va a entrevistar a una
muestra aleatoria de mujeres igual al 20% de la población, defina la población y la
muestra.
8
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
a.
b.
c.
d.
e.
La población son 1440 mujeres y su muestra son 288 mujeres
L La población son 1800 mujeres y su muestra son 238mujeres
La población son 1620 mujeres y su muestra son 388 mujeres
La población son 2440 mujeres y su muestra son 188 mujeres
La población son 3680 mujeres y su muestra son 298 mujeres
15. Sabemos que las mediciones en muchos campos de la actividad humana son
importantes, sin embargo, cuando hacemos estadística esa importancia se
multiplica. Ponga un ejemplo de cada tipo de Escala de tal forma que, a su vez nos
permitan diferenciar cada una de las variables con las que trabaja la Estadística.
16. Cuando se mide la Temperatura ( Máxima y Mínima) ambiental estamos
considerando una Escala de medición estadística conocida como :
a.
b.
c.
d.
Ordinal
Nominal
De Razón
De Intervalo
17. La tabla adjunta muestra la distribución de frecuencias de los turistas que
visitaron la Costa del Sol en 2008 según nacionalidad. ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es correcta?
Nacionalidad
Española
Extranjera
Turistas que visitaron la Costa del Sol
(Miles)
3.269
5.022
a) La población son las nacionalidades y la variable es el número de
turistas que visitaron la Costa del Sol.
b) La población son los turistas extranjeros que visitaron la Costa del Sol en
2001 y la variable es la nacionalidad.
c) La población son los turistas que visitaron la Costa del Sol en 2001 y la
variable es la nacionalidad.
18. En la tabla se muestran los gastos en turismo internacional de los cinco países del
mundo con mayor gasto en este ámbito, correspondientes a 2008.¿Cuál es la
variable y de qué tipo es?
País
USA
Alemania
Reino Unid
Japón
Francia
a.
b.
Gasto en Turismo Internacional
(miles de millones de dólares)
65,0
47,6
36,6
31,5
17,2
La variable es el país y es cuantitativa.
La variable es el país y es cualitativa.
9
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
c.
La variable es el gasto y es cuantitativa.
19. En los próximos meses se hará un estudio en el área metropolitana de San
José con el objetivo de determinar la relación entre el nivel de escolaridad y
el problema de la drogadicción. Suponiendo que Ud. es el investigador,
complete lo siguiente:
a. La población de estudio.
b. La unidad estadística elemental.
c. El método de recolección de la información.
20. De los 12889 estudiantes registrados en la Universidad San Carlos asistieron al
centro de Salud de la misma en 1999 únicamente 3800, de las cuales 39% eran
mujeres. La administración del departamento de Salud desea hacer una
investigación sobre los hábitos sexuales y el conocimiento que tengan sobre la
prevención de enfermedades contagiosas, en especial el SIDA. Interesa también
desagregar esta información según edad, escolaridad, carrera que sigue, nivel
socioeconómico, edad de la primera relación sexual, uso o no de preservativos. La
investigación se realizará aleatoriamente en 100 estudiantes mujeres, en noviembre
próximo.
a. ¿Cuál es la unidad de estadística?
b. ¿Cuál es el tamaño de la población a investigar?
c. Cite tres características pertinentes al estudio, diga de qué tipo son y dé un
ejemplo de observación.
Nivel de Dificultad III
21. Señale y explique cuál es la alternativa que se refiere a una Escala de medición
Nominal :
a.
b.
c.
d.
e.
Son Ordenados
Mutuamente Excluyentes y exhaustivos, pero además no deben tener un orden
Deben tener un orden lógico
Deben estar clasificados por intervalos
Deben ser por cociente
22. Los datos que aparecen a continuación hacen referencia a una Escala de
medición determinada. Explique a cuál, en particular, se están refiriendo los
datos en cuestión:
Nombre de la Familia
Márquez
Estagnaro
Romualdo
Watson
Ingresos de Padres
40,000
45,000
30,000
37,500
Ingresos de Hijos
20,000
15,000
60,000
50,000
10
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
23. Explique por qué la Muestra seleccionada de una Población debe ser absolutamente
representativa. Qué implicancias tendría si no lo fuera.
24. El Gerente General de la empresa Telma SAC, que produce ropa de Invierno,
sostiene que la estación de Verano se extenderá más de lo debido. Por lo tanto,
ordena al departamento de producción duplicar la cantidad de prendas propias de
esta estación.
a. Sustente qué podría estar mal en la toma de decisión del Gerente General
b. Qué haría usted si fuera el Gerente General de la empresa en mención
c. Cuál es la diferencia entre lo planteado en la alternativa “a” y en la
alternativa “b”
25. El Gerente General necesita tener “datos” para la toma de decisiones. Sin embargo,
para la ésta sea un proceso eficiente, aquéllos deben ser relevantes. Según la
proposición, el Gerente está usando, en estricto sentido . . .
a.
b.
c.
d.
e.
Datos
Información
Información procesada
Conclusiones personales
Opiniones personales.
11
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
DESCRIPCIÓN DE DATOS
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nivel de Dificultad I
Ejemplo 1:
El número promedio de hijos de 15 hogares de un asentamiento humano son:
5
4
6
3
2
1
4
4
3
1
4
2
3
2
7
a. Las frecuencias absolutas y relativas
b. Las frecuencias Acumuladas
c. Una interpretación por cada una de las frecuencias
Solución :
Tal como se puede leer, todas las alternativas están referidas a las frecuencias que normalmente
están presentes en una Tabla se Distribución de Frecuencias (TDF). Por lo tanto, debemos
construir una TDF. Para esto debemos seguir los siguientes pasos:
-
Básicamente una tabla con 5 columnas
-
El número de filas estará determinado por el número de “clases”
-
En la Primera columna, definir la variable con el número de “clases” necesarias o
que se haya encontrado en el cuadro de datos. En este caso, hemos encontrado
hogares que tienen desde 1 hijo hasta aquellos que tiene 7. Ver primera columna
de la TDF
-
Una vez definidas las “clases” procedemos a tabular. Esto no es otra cosa que
determinar el número de elementos que contiene cada una de las “clases” que
hayamos definido en la primera columna. Todos esto por cada “clase” conforman
la primera columna de frecuencias, denominada “Frecuencia Absoluta” = fi
-
No olvidar que la Σ fi = n (número de datos)
-
La segunda frecuencia es la “Frecuencia Relativa” = hi . Cada valor de hi se
obtiene al dividir la frecuencia correspondiente(fi) entre número de datos (n) :
hi = fi / n . Por ejemplo, h2 = f2 / n.
-
La Σ hi = 1,00 ó un valor muy cercano a la unidad
-
La tercera frecuencia es resultado de la primera frecuencia, por ello se la conoce
como la “Frecuencia Absoluta Acumulada” = Fi . No es más que el resultado de
la suma de las frecuencias absolutas parciales. De tal modo que el último dato de
Fi debe coincidir con el total de datos.
12
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
-
Por último, la “Frecuencia Relativa Acumulada” = Hi . No es más que resultado
de la suma de las frecuencias relativas parciales. En consecuencia, el último dato
de Hi debe ser 1,00 ó el valor que haya resultado de sumar hi.
Veamos la TDF:
Hijos por Hogares
1
2
3
4
5
6
7
Total
fi
2
3
3
4
1
1
1
15
hi
2/15 = 0.13
3/15 = 0.20
3/15 = 0.20
4/15 = 0.27
1/15 = 0.07
1/15 = 0.07
1/15 = 0.07
1.01
Fi
2
2+3=5
5+3=8
8 + 4 = 12
13
14
15
---
Hi
0.13
0.13 + 0.20=0.33
0.33 + 0.20=0.53
0.53 + 0.27=0.80
0.87
0.94
1.01
----
Interpretaciones :
-
La frecuencia f2 : 3, significa que 3 hogares tienen 3 hijos
La frecuencia h4 : 0,27 ó 27 % de los hogares tienen 4 hijos
La frecuencia F3 : 8; 8 hogares tienen no menos de 1 ni más de 3 hijos
La frecuencia H5 : 0,87 ó 87% de los hogares tienen entre 1 y 5 hijos
Ejemplo 2:
A continuación se presentan los datos de tiempo (Minutos) de demora en atención a
los clientes de una oficina bancaria. Construir una TDF
20
5
10
30
8
20
15
10
12
10
15
30
20
15
35
25
20
15
15
10
Solución.
-
Reconocer cuál es el tipo de variable. En este caso es Cuantitativa continua
Determinar el número de intervalos. Para ello, aplicamos Regla de Sturges:
m = 1 + 3,32 log n , donde “n” es el número de datos.
Aplicando Sturges, tenemos : m = 1+3,32 log20 = 1+3,32(1,30)
m = 1+ 4.32 = 5.32 ≈ 6. Esto quiere decir que la TDF tendrá 6 intervalos
Necesitamos conocer el R = Valos Máximo – Valor mínimo de los datos
R = 35 – 5 = 30
Ahora la amplitud : C = R / K:
C = 30 / 6 = 5
Con estos datos pasamos a construir los intervalos: El límite inferior del primer
intervalo es el mínimo valor encontrado en los datos. En este caso es : 5
[ 5 -
[
13
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
-
Para hallar el límite máximo del primer intervalos, a “ 5 ” le suma la amplitud (
C ) encontrada en el procedimiento anterior. Por lo tanto, tendríamos :
→ 5 + 5 = 10
-
Entonces Primer intervalos de su TDF es :
[ 5 - 10 [
-
Para el segundo intervalo se repite el procedimiento. Considerando que el límite
inferior del segundo intervalos es el límite máximo del primer o anterior intervalo.
Así sucesivamente :
[ 10 - 15 [
Construcción de la TDF :
Tiempo de Demora
[ 5 - 10 [
[ 10 - 15 [
[ 15 - 20 [
[ 20 - 25 [
[ 25 - 30 [
[ 30 - 35 ]
Fi
2
5
5
4
1
3
Hi
0.10
0.25
0.25
0.20
0.05
0.15
Fi
2
7
12
16
17
20
Hi
0.10
0.35
0.60
0.80
0.85
1.00
-
Cuando se trabaja con una variable cuantitativa continua, la diferencia respecto
del resto de TDF está en la primera columna. Lo demás es prácticamente igual
que cuando se trabaja una variable cualitativa, por ejemplo.
-
Como se trata de una variable cuantitativa continua, entonces los límites inferior y
superior de todos los intervalos deben ser cerrados. Por lo tanto, el resto es
considerado abierto.
Preguntas :
-
Cuál es el número de personas que tienen un tiempo de demora que no es
mayor 28 ni menor de 18 minutos
18 ‘
5
10
15
28’
20
25
0
30
35
Tal como se puede observar :
14
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
Tenemos :
(2/5) f3 + f4 + (3/5) f5 = (2/5)5 + 4 + (3/5) 1 = 6.6 ≈ 7
Por lo tanto, hay 7 personas que se demoran entre 18 y 23 minutos en ser
atendidos.
Ejercicios y Problemas Propuestos
1. A continuación se presentan los datos de una encuesta sobre preferencias en el consumo
de gaseosas. Los respuestas se presentan en la siguiente Tabla de Distribución de
Frecuencias (TDF):
Marca de Gaseosas
Marca X
Marca Y
Marca W
Marca Z
Marca S
Fi
30
15
50
10
20
125
hi
0.24
0.12
0.40
0.08
0.16
1.00
Interpretar :
b. Frecuencia absoluta sub 3 (f3 )
c. Frecuencia absoluta sub 5 (f5 )
d. Frecuencia Relativa sub 2 (h2 )
e. Frecuencia Relativa sub 4 (h4 )
2. En la siguiente tabla de frecuencias se han organizado los datos de una encuesta
respecto de la marca de cigarrillos que más preferencias tienen en el mercado de los
jóvenes entre los 20 y 25 años :
Marca Cigarrillos
Marca A
Marca B
Marca C
Marca D
Marca E
Fi
30
10
45
55
25
165
Hi
0.18
0.06
0.27
0.33
0.15
0.99
Fi
30
40
85
140
165
Hi
0.18
0.24
0.51
0.84
0.99
Interpretar:
a. Frecuencia absoluta acumulada sub 2 (F2 )
b. Frecuencia absoluta acumulada sub 4 (F4 )
c. Frecuencia relativa acumulada sub 3 (H3 )
d. Frecuencia relativa acumulada sub 5 (H5 )
3. A continuación se presentan los datos de una encuesta respecto de los países
europeos más visitados en los últimos 10 años.
15
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
Francia
Alemania
Suiza
Italia
España
España
Alemania
Inglaterra
España
Italia
Italia
Suiza
Francia
Francia
Italia
Inglaterra
Italia
Francia
Alemania
Italia
Francia
Alemania
Inglaterra
Italia
Francia
Inglaterra
Suiza
Francia
Suiza
Inglaterra
A partir de los datos :
a. Construir una TDF para una variable cualitativa, considerando las 4
frecuencias
b. Interpretar f2
c. Interpretar F4
d. Interpretar h1
e. Interpretar H3
4. Hacia fines del 2011 se realizó la 5ta selección anual de países con mayores destinos
y atractivos turísticos del mundo. A continuación los lugares con mayor flujo de
turistas internos como externos
Pirámides
Machu Picchu
CI
Pirámides
Amazonas
Machu Picchu
Machu Picchu
Machu Picchu
Amazonas
Petra
GCC
Machu Picchu
Pirámides
Amazonas
GCC
Machu Picchu
Amazonas
CI
Machu Picchu
Petra
GCC
Machu Picchu
Machu Picchu
Pirámides
CI
Amazonas
GCC
Pirámides
Amazonas
Petra
CI = Cataratas de Iguazú; GCC= Gran Cañón del Colorado
Con esta información :
a. Definir la Variable
b. Construir la TDF, considerando todas las frecuencias
c. Interpretar f5
d. Interpretar h2
e. Interpretar F3
f. Interpretar H4
5. El número promedio de hijos de 15 hogares de un asentamiento humano son:
5
4
6
3
2
1
4
4
3
1
4
2
3
2
7
Con esta información obtener :
a. Las frecuencias absolutas y relativas
b. Las frecuencias Acumuladas
c. Una interpretación por cada una de las frecuencias
6. A continuación se presenta la información respecto de las adquisiciones de libros y/o
revistas realizadas en la última edición de la Feria internacional del Libro llevada a
cabo a fines del 2011.
5
6
2
3
10
9
1
3
10
4
4
6
9
6
4
4
2
3
2
1
8
1
5
5
1
7
1
1
3
4
16
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
Con esta información, construir :
a. Una TDF a partir de la naturaleza de la variable correspondiente,
considerando las 4 frecuencias.
b. Interpretar f1
c. Interpretar h2
d. Interpretar F3
e. Interpretar H2
7. Una muestra de 50 alumnos fueron encuestados respecto del número de hermanos.
A continuación las respuestas :
1
2
3
3
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
2
2
3
4
6
2
2
3
4
6
2
3
3
5
6
Construir:
a. Una TDF en función de la Variable correspondiente
b. Interprete f2
c. Interprete h1
d. Interprete F3
e. Interprete H4
8. A continuación se presenta la cantidad de minutos que toma viajar desde el hogar
hasta el trabajo para un grupo de ejecutivos con automóvil. A partir de los
siguientes datos :
28
23
35
25
29
42
48
36
38
37
31
33
41
26
28
19
21
40
32
32
45
26
25
20
16
31
23
43
a. Construir una TDF aplicando el Método de Sturges, considere en su
solución cada uno de los pasos necesarios : hallar número de intervalos (
K), hallar el rango o recorrido ( R ) y la amplitud ( C )
b. Definir el número de intervalos necesarios en este caso
c. Defina el límite inferior del primer intervalo
d. Defina el límite superior del último intervalo
e. Interprete un caso de cada una de las frecuencias
9. De acuerdo de una estudio de mercado se ha determinado que las habitaciones,
una muestra de 40 hoteles, tienen los siguientes precios
( US $ por noche):
60
180
250
210
85
220
70
240
350
90
310
500
1200
280
295
200
180
490
340
410
450
590
280
400
175
650
500
200
490
70
720
140
350
520
60
450
680
190
75
350
90
350
800
120
350
en
100
570
560
750
430
17
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
Con esta información:
a.
Definir la variable correspondiente
b.
Construir una TDF aplicando Sturges: hallar número de intervalos (K),
hallar el rango o recorrido ( R ) y la amplitud ( C )
c.
Definir el número de intervalos necesarios para este caso
d.
El límite superior del último intervalo coincide con el máximo valor de la
tabla de datos ?
e.
Interprete un caso de cada una de las frecuencias
10. En la siguiente tabla se muestran los resultados de una muestra de hogares
respecto de sus gastos quincenales sólo en comestibles. Los datos están en
dólares :
271
205
309
475
280
363
279
246
290
240
159
266
278
170
435
100
199
90
190
120
227
177
80
320
330
337
162
335
430
295
232
120
294
250
303
150
570
279
192
200
342
319
181
240
120
Se pide :
a.
Construir una TDF
b.
Límite superior del tercer intervalo
c.
Límite inferior del último intervalo
d.
Qué diferencia las “clases” de este ejercicio de las que tiene una variable
Cuantitativa Discreta???
e.
Interpretar los casos que usted estime conveniente de cada una de las
Frecuencias
Nivel de Dificultad II
11. Los alumnos del último curso de Bachillerato de un instituto han
elegido una carrera según aparecen en la siguiente tabla:
Carrera Medicina
Alumnos 250
Derecho
176
Ciencias
127
Letras
314
Ingeniería Otras
103
30
a. Construir la tabla de distribución de frecuencias adecuada para la
variable carrera elegida por los alumnos.
b. Realizar los gráficos pertinentes que permitan describir la
información.
12. Cierta empresa exportadora muestreó sus registros de embarque durante cierto día.
A continuación se presentan los tiempos, en días de demora, desde la recepción de
la orden hasta la entrega:
4
11
12
20
8
5
14
19
11
10
6
15
7
24
13
7
13
29
11
6
18
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
Construya una distribución de frecuencias para los datos anteriores. Use intervalos
de 6 días.
a. A partir del cuadro de distribución anterior, ¿qué afirmación puede hacer
sobre la eficacia del procesamiento de pedidos?
b. Si esta empresa quiere asegurarse de que la mitad de sus entregas se
realicen en 10 o menos días, ¿puede usted determinar mediante la
distribución de frecuencias si la compañía ha alcanzado esta meta?
13. Los datos que a continuación se presentan muestran las exportaciones de
harina de pescado (en toneladas) de cierta empresa en los últimos 60 meses:
807
660
881
1056
766
832
811
753
872
1076
787
863
620
1050
869
958
923
852
650
918
841
970
792
788
817
857
847
776
803
980
732
867
833
828
933
889
747
675
829
831
947
1030
823
880
827
781
717
897
844 907
878 890
822 811
1088 1082
817 753
755 891
a. Con los datos anteriores construya una distribución de frecuencias usando
6 intervalos de igual amplitud.
b. ¿Durante cuántos meses las exportaciones fueron menores a 854
toneladas?
c. El Gerente de Ventas recibe un bono siempre que las exportaciones sean
iguales o superen las 776 toneladas como mínimo el 75% de las veces.
¿Recibirá el bono?
d. ¿Cuál fue el intervalo de exportaciones que se dio con más frecuencia?
14. Los datos que a continuación se presentan muestran las edades de 50 miembros de
un programa de servicio social de ESSALUD:
81
66
43
39
92
53
88
54
87
72
67
67
76
76
82
60
65
70
97
80
80
52
97
86
70
64
72
68
45
65
56
74
82
60
50
54
65
75
43
58
91
73
79
65
70
61
69
60
76
56
a. Con los datos anteriores construya una distribución de frecuencias usando 13
intervalos iguales.
b. Las políticas estatales de los programas de servicio social exigen que no menos
del 40% de los participantes del programa tengan 69 o más años. ¿Se ajusta el
programa a esta política?
c. ¿Cuántos participantes tienen menos de 84 años de edad?
d. ¿Qué porcentaje de los participantes tienen 59 o más años pero menos de 94
años?
15. Las ganancias diarias de los establecimientos de un centro comercial se presentan en
una tabla de frecuencias con 6 intervalos de clase, se sabe que la mínima ganancia es
de US$ 6 y la máxima es US$ 42. Además:
19
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
f4 = 304;
a.
b.
c.
d.
e.
h3 = 0.25; F2 = 120; H2 = 0.15; H5 = 0.93;
f2 = 2f1
Reconstruir todas las distribuciones de frecuencias.
Hallar la ganancia más frecuente
¿Cuántos establecimientos tienen ganancias diarias de 24 o más dólares?
¿Qué porcentaje de tiendas tienen ganancias diarias menores a US$ 30?
¿Qué porcentaje de tiendas tienen ganancias diarias mayores o iguales a
US$ 18 pero menores de US$ 36?
16. Los datos que a continuación se presentan muestran las exportaciones anuales (en
cientos de miles de dólares) de 30 empresas del sector agroindustrial:
60
38
46
30
35
29
38
40
38
60
10
80
45
45
40
20
60
28
35
49
15
20
49
82
40
30
72
54
55
105
a. Construir una distribución de frecuencias con 6 clases.
b. Cuál es el intervalo de exportaciones que presenta el mayor número de
empresas.
c. ¿Qué porcentaje de empresas exportan 74 o más cientos de miles de US$
pero menos de 90 cientos de miles de US$?
d. ¿Cuántas empresas exportan menos de 58 cientos de miles de US$?
e. ¿Qué porcentaje de empresas exportan 26 o más cientos de miles de US$
17. Una empresa que exporta manzanas realizó un muestreo para determinar la
calidad de su producto en el mercado internacional. A continuación se muestran las
manzanas encontradas en cada una de las 50 cajas que contienen 48 manzanas cada
una.
3
2
0
2
0
a.
b.
c.
4
3
3
3
0
1
0
2
1
2
2
1
1
1
3
1
0
2
2
1
2
3
2
1
2
2
3
3
3
4
5
2
0
4
5
2
0
2
1
1
1
2
3
2
2
Organizar una TDF
Determine cuántas manzanas en mal estado por caja se encontró
Interprete F3, H3 y f4
18. En una clínica de la capital se muestreó el tiempo (Minutos) de espera de los
pacientes antes de ser atendidos con el propósito de mejorar el servicio.
35
20
45
15
25
18
10
20
40
30
50
15
30
35
40
30
35
25
45
15
50
15
20
38
45
20
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
a.
b.
c.
d.
En función de los datos, determinar la TDF correspondiente
Cuál es el tiempo máximo de espera del 10 % de los pacientes que menos
tiempo esperó
Cuál es el tiempo mínimo de espera del 5 % de los pacientes que más
tiempo esperó
Cuál es el porcentaje que personas que como mínimo podía esperar 35
minutos ?
19. En el siguiente cuadro se muestran los resultados (Puntos) de la licitación en la que
participaron un conjunto de empresas con el propósito de convertirse en las
proveedoras del servicio que vende una empresa de servicios
35
20
45
15
25
a.
b.
c.
18
10
20
40
30
50
15
30
35
40
30
35
25
45
15
50
15
20
38
45
70
40
85
90
50
25
60
55
70
15
75
65
85
30
50
25
40
70
65
55
70
40
50
90
35
Cuántas empresas obtuvieron una calificación que no sobrepasaron los 60
puntos
Cuántas empresas obtuvieron una calificación no menor de 25 puntos
Si se estableció que las empresas que no alcanzaran los 30 puntos no
podrían volverse a presentase a las futuras licitaciones. Podría establecer
cuántas empresas no podrán volverse a presentar en Licitación alguna
20. Una supervisora de mantenimiento de aeronaves debe revisar una nueva entrega de
pernos por parte de su nuevo proveedor. Una parte de la entrega llamó
poderosamente su atención. Por lo tanto, envió 25 pernos a un laboratorio de
pruebas para determinar la fuerza necesaria para romperlos. A continuación
presentamos los resultados en miles de gr de fuerza:
147.8
119.9
142.0
125.0
151.1
a.
b.
c.
137.4
133.3
130.8
128.9
125.7
125.2
142.3
129.8
142.2
126.3
141.1
138.7
141.2
118.6
140.9
145.7
125.7
134.9
133.0
138.2
Qué parte de los pernos soportó al menos 120,000 gr de fuerza?
Que parte de los pernos soportó no más de 150,000 gr de fuerza?
Si la supervisora sabe que estos pernos, cuando se utilicen en un avión, se
verán sometidos a fuerzas de hasta 140,000 gr de fuerza, qué parte de la
muestra se romperá estando en uso
21
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
Nivel de Dificultad III
21. Para conocer en qué estado (calidad) se recibe un cargamento de manzanas, se
seleccionaron al azar 20 cajas de un total de 200 cajas que transportó el
camión. Entre los datos
registrados se tienen
los
correspondientes al
número de manzanas en mal estado por caja: 8 cajas contenían cero
manzanas malas, 5 cajas con una manzana mala, 4 cajas con dos manzanas malas,
2 cajas con tres malas y 1 caja con 4 manzanas malas. Con ésta información
se le pide elaborar la tabla de frecuencias que resuma la información
proporcionada y finalmente haga la representación grafica apropiada, ¿qué puede
decir del grafico?
22. La siguiente tabla corresponde a la distribución de frecuencias de los
salarios del último mes de los empleados de la empresa Jipam.
Intervalos
[450
[
[
[
[
-
[
[
[
[
]
Xi
Fi
750
10
hi
Fi
8
0.3
33
Hi
12
TOTALES
a. Complete la tabla.
b. Determinar cuántos empleados perciben un salario no menor de S/510
c. Determinar cuál es el salario mínimo del 20 % de los trabajadores que
menos salarios perciben.
d. Determinar cuál es el salario máximo del 15 % de los que más salario
ganan.
e. Determinar cuál es el porcentaje de empleados que percibe un salario
inferior o igual a S/720 pero no menor de S/490
23. Se clasificó la inversión de un grupo de compañías mineras en una tabla de
frecuencias. Se sabe que la máxima inversión es de 56 millones de dólares, que la
amplitud es de 8 millones y que las frecuencias absolutas correspondientes a los
intervalos son: 4, 8, 16, 10, 6, 5, 1. Con esta información calcular:
a.
b.
c.
d.
¿Cuántas compañías tienen inversiones menores a 24 millones de dólares?
¿Qué porcentaje invierte 16 o más millones de US$ pero menos de 48?
¿Qué porcentaje invierte menos de 40 millones de US$?
Si el gobierno decide otorgar beneficios tributarios a aquellas compañías
cuyas inversiones asciendan a 32 millones de US$ o más, ¿cuántas
empresas se beneficiarían?
24. La siguiente distribución muestra el peso en gramos de 50 paquetes de un
determinado producto de exportación:
22
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
Peso en grs.
Hi
14 – 18
0.17
10 - 14
K/2
18 – 22
2k
22 – 26
K
26 – 30
0.13
a. ¿Cuántos paquetes hay entre 14 gr. y 22 gr.?
b. ¿Qué porcentaje de paquetes tienen pesos menores a 26 grs.?
25. Completar la tabla adjunta referida a las edades de 32 estudiantes de los
CEADEX:
Edades
Xi
16
18
20
22
24
26
Fi
hi %
12.5
Fi
Hi %
16
75
2
4
Totales
Responder:
a. ¿Cuántos estudiantes tienen edades mayores o iguales a 19 años?
b. ¿Qué porcentaje tiene edades menores a 23 años?
c. ¿Qué porcentaje tiene edades mayores o iguales a 17 años pero menores a
25 años?
d. ¿Cuál es el intervalo de edades más frecuente?
23
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
REPRESENTACIÓN DE DATOS – GRÁFICAS
1. Con los siguientes datos se solicita que se elabore un gráfico de barras
verticales. Además, debe especificar en base al gráfico obtenido, cuál es la
situación de las ventas de la empresa en la segunda mitad del año
VENTAS
Miles de
S/
Julio
40
Agosto
20
MESES
Setiembre Octubre
25
35
Noviembre
40
Diciembre
70
2. De acuerdo al Gráfico :
Determinar :
a. Cuál de los departamentos ha contribuido con mayores ingresos para la empresa
b. Aproximadamente, la diferencia de ventas entre inicio de año y la finalización del
semestre por departamento y en forma global
c. Cuál de los departamentos debería ser sometido a un proceso de análisis para
establecer las probables causas de se estancamiento
d. En conclusión, cuál ha sido el performance de la tienda en el primer semestre
3. A partir de la siguiente gráfica :
24
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
a.
b.
c.
d.
Defina el tipo de variable que se está analizando
Especifique exactamente cuál es la variable en estudio
Explique cómo es que se llega a realizar la distribución de las proporciones
de la gráfica circular
Que diferencias cualitativas encuentra entre una gráfica de barras y una
circular
4. Qué diferencias encuentra entre una Gráfica de Barras y un Histograma. Y
explique si una “variable cuantitativa discreta” puede ser representada a
través del Histograma.
5. De los gráficos que usted conoce, seleccione el más adecuado para representar
esta información en un sólo gráfico. Explique por qué el gráfico seleccionado
es el más adecuado.
Nivel de Colesterol
80 - 120
120 - 160
160 - 200
200 - 240
240 - 280
280 - 320
320 - 360
360 - 400
N° Hombres
25 a 34 años
13
150
442
299
115
34
9
5
N° Hombres
55 a 64 años
5
48
265
458
281
128
35
7
25
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Nivel de Dificultad I
Ejemplo 1:
Una empresa de automóviles tiene 10 vendedores empleados. Los mismos que
obtuvieron las siguientes ventas ( Número de autos) en las fiestas de Navidad:
15
10
23
10
4
8
19
28
18
19
a. Obtener el número de autos vendidos por cada vendedor
Solución :
-
Tal como podemos apreciar, los datos son no agrupados dado que cada uno de
éstos no tienen una frecuencia. En consecuencia, debemos utilizar :
∑ Xi
X = ----------------- , donde i = 1, 2, … n
n
-
Esto quiere decir que sumaremos ( ∑ ) todos los datos, desde X1 = 15, X2 = 23,
. . . hasta X10 = 19. Tal como se puede ver a continuación :
∑ Xi
15 + 23 + . . . + 19
154
X = ------------- = --------------------------------- = -------------
10
n
X
-
=
10
15,4 ≈ 16 autos
Por lo tanto, cada vendedor ha vendido en promedio 16 autos. Ningún vendedor
puede haber vendido 15,4 autos en la medida que se trata de una variable
cuantitativa discreta.
Ejemplo 2 :
Las últimas cien ventas facturadas por un establecimiento se habían agrupado en
cuatro intervalos de clase, recordamos tan sólo la siguiente información:
El primer intervalo tiene seis semanas como extremo superior, una
frecuencia relativa de 0,2 y una amplitud de cuatro semanas.
26
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
La marca de clase del segundo y cuarto intervalo son ocho y 16 semanas
respectivamente.
Hasta el segundo intervalo se acumulan sesenta ventas.
El tercer intervalo presenta una frecuencia de treinta ventas
Con esta información construya la distribución de frecuencias y calcula la media,
mediana, moda
Solución :
-
Primero procedemos a insertar una tabla con las divisiones correspondientes
para construir las frecuencias:
X’i
[
[
[
[
a - 6 [
6 [
[
]
fi
20
40
30
10
100
8
16
----
hi
0.20
0.40
0.30
0.10
1.00
Fi
20
60
90
100
Hi
-
A continuación insertamos la información que nos han dado. Por ejemplo, el extremo
superior del primer intervalo que es “ 6 ”. Sólo debemos tener 4 intervalos. No más.
En consecuencia, no necesitamos aplicar Sturges para conocer el número de intervalos
-
Por otro lado, el primer intervalo tiene una frecuencia relativa de 0.20. La segunda
marca de clase es 8 y la marca de clase del último intervalo es 16
-
Además, hasta el segundo intervalo se acumula ( Fi ) = 60 ventas y el tercer
intervalo presenta una f i = 30 ventas
-
La suma de fi :
-
Como
-
Por lo tanto,
-
En consecuencia, como
∑ f i = n = 100 ventas
h1 = f1 / n
0.20 = f1 / 100
f1 = 0.20 x 100 = 20
F1 = f1 = 20
F2 = F1 + f2
60 = 20 + f2
f2 = 60 – 20 = 40
-
Por lo tanto,
-
Como
-
Por diferencia, hallamos f 4 = 100 – ( 20 + 40 + 30 )
-
∑ f i = f1 + f 2 + f 3 + f 4 = 100
f 4 = 10
27
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
-
Habiendo obtenido todos los datos de todas las frecuencias absolutas, entonces
procedemos a obtener todas las frecuencias relativas :
-
Ya sabemos que :
-
Terminamos de acumular Fi, tal como se hizo para F2
-
El proceso de acumulación de frecuencia relativa acumulada Hi es similar al
caso de la Fi
-
Hallando los intervalos. Tal como podemos
intervalo los límites son :
hi = fi / n
ver en la tabla en el primer
[ a - 6 [
-
Pero también sabemos que para determinar el límite superior del intervalo, al
límite inferior le sumamos el valor de la amplitud (A), tal como veremos a
continuación:
[ a - (a + A) [
-
Para el siguiente intervalo tenderíamos que al valor (a + A) le debemos sumar de
nuevo la amplitud “ A “ :
[ (a + A) - { (a + A) + A } [
-
Pero como en el primer intervalo el límite superior tiene un valor específico ( 6 ),
entonces donde tenemos (a + A) reemplazamos por ese valor específico, de tal
forma que tendríamos lo siguiente :
[ 6 - { (6)+A } [
-
Por otro lado, este intervalo tiene una “marca de clase” X’2 = 8, tal como
podemos ver en la tabla. Además, toda marca de clase se halla son la semi-suma
de los límites de cada intervalo. En este caso como necesitamos conocer la
amplitud “A” para hallar todos los intervalos, entonces podemos igualar lo
siguiente:
( 6 + (6 + A) ) / 2 = 8
-
Como sabemos el denominador “ 2 “ pasará al otro lado multiplicando :
6 + 6 + A = 8x2
A = 16 - 12
28
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
-
Entonces, el valor de la amplitud es A = 4 ventas
-
Por lo tanto, nuestro primer intervalo se inicia con : a = 2
[ 2 - 6 [
-
El segundo intervalo será :
[ 6 - (6+ 4)[
[ 6 - 10 [
-
Finalmente, los 4 intervalos serán :
[ 2 [ 6 [ 10 [ 14 -
-
6
10
14
18
[
[
[
]
La tabla completa es tal como aparece a continuación :
Número Ventas
[ 2 - 6 [
[ 6 - 10 [
[ 10 - 14 [
[ 14 - 18 ]
X’i
4
8
12
16
----
fi
20
40
30
10
100
hi
0.20
0.40
0.30
0.10
1.00
Fi
20
60
90
100
Hi
0.20
0.60
0.90
1.00
Ejercicios y Problemas Propuestos
1. Obtenga la media aritmética de los siguientes valores :
6
3
5
7
6
2. Calcule la media aritmética de los siguientes valores muestrales :
1.3
7.0
3.6
4.1
5.0
3. Determine el salario medio por hora pagado a los carpinteros que obtuvieron
los siguientes ingresos (US $)
15.40
22.76
20.10
30.67
18.75
18.00
4. Una empresa de automóviles tiene 10 vendedores empleados. Los mismos que
obtuvieron las siguientes ventas en la fiestas de Navidad:
5.
29
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
15
10
23
10
4
8
19
28
18
19
b. Obtener el número de autos vendidos por cada vendedor
6. A continuación se presentan el número de cambios de aceite realizados en
una estación de PRIMAX :
41
15
39
54
31
15
33
a. Obtener el valor de la mediana de los cambios de aceite efectuados
b. Obtener el valor Modal de los cambios de aceite efectuados
7. Los siguientes datos representan variaciones porcentuales de los ingresos netos del
año 2009 al 2010 de 12 empresas de construcción con sede en Lima:
5
7
1
8
-10
2
-6
5
5
-1
12
11
a. Obtener la media de las variaciones porcentuales
b. Obtener el valor de la mediana de los cambios de aceite efectuados
c. Obtener el valor Modal de los cambios de aceite efectuados
8. A continuación se presentan varios indicadores de crecimiento económico en
nuestro país para este año 2012 que se ha iniciado:
Indicadore Económico Var %
Inflación
4.5
Exportaciones
4.7
Importaciones
2.3
Ingreso real disponible
2.9
Consumo
2.7
Indicador Económico
PBI real
Inversión
Inversión Extranjera
Productividad Total
Productividad Fabricas
Var %
2.9
3.6
2.1
1.4
5.2
a. Determinar la Mediana de variación porcentual
b. Determinar la Moda de la variación porcentual
9. Una empresa del sector manufacturero registra los siguientes sueldos:
Cargo
Gerente General
Gerente de Área
Supervisor
Profesional
Administrativo
Sueldo
15 000
12 000
7 000
4 500
2 500
PEA
1
3
6
14
8
a. Con esta información, calcula el sueldo promedio ponderado.
30
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
10. El Bufete jurídico Mendoza & Rodriguez se especializa en derecho corporativo.
Cobra $100 por hora por la investigación de un caso; $ 75 por hora por una asesoría
y $200 por hora por la redacción de un informe. La semana pasada uno de los socios
dedicó 10 horas para asesorar a un cliente; 10 horas a la investigación del caso y 20
horas a la redacción del informe final. Cuál fue el promedio ponderado de los
servicios legales por hora?
11. La Clínica San Gabriel emplea 200 personas en su cuerpo de enfermeras. De ese
persona, 50 son ayudantes de enfermería, 50 son enfermeras prácticas y 100 son
enfermeras generales. Las primeras reciben un pago de $8 por hora; las segundas
reciben un pago de $10 por hora y las últimas reciben un pago de $14 por hora.
Cuál es el pago medio ponderado por hora?
Nivel de Dificultad II
12. A continuación se presentan los niveles de producción de bicicletas de los
últimos meses del 2009 de las principales empresas del país. :
Xi
47
48
49
50
51
52
80
Fi
5
3
2
8
3
4
1
Calcular:
a. Mediana
b. Moda
c. Media
Cada resultado deberá ir acompañado de sus respectivas unidades e
interpretaciones
13. Consultados 350 matrimonios sobre la edad de la esposa, se confecciona la
siguiente tabla:
Edad esposa
15-20
20-25
25-30
30-35
35-40
40-50
50-70
Nº Matrimonios
23
28
76
54
60
42
67
31
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
Calcular
a. Media,
b. Mediana
c. Moda
Cada resultado debe ir acompañado de sus unidades e interpretaciones
14. El gasto de servicio Telefónico Fijo mensual en 100 hogares, de una
determinada ciudad, es el siguiente:
Gasto en Soles
0 - 50
50 - 100
100 - 150
150 - 200
200 - 250
250 - 300
a. Calcular media,
b. Mediana
c. Moda.
Cada resultado
interpretaciones
N° de Hogares
15
10
52
17
1
5
deberá ir acompañado de sus respectivas unidades e
15. El siguiente cuadro contiene una muestra de empresas exportadoras
localizadas en Lima con su facturación total del año pasado y el número de
empleados.
Empresa
Export A&1
Export B&2
Export C&3
Export D&4
Export E&5
Export F&6
Export G&7
Export H&8
Export I&9
Export J&10
Export K&11
Facturación (Millones Empleados
US$)
12.4
29
5
31
3.5
10
2.1
3
1.5
8
1.2
15
1
4
1
5
0.4
1
0.3
3
0.2
4
a. Calcular la media, mediana y moda de la facturación.
b. Calcular la media, mediana y moda para el número de empleados.
c. ¿Qué medida de tendencia central debe usar si quiere tener una medida de
tendencia central representativa para la facturación?
32
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
16. Una fábrica tiene dos departamentos: Uno de Producción y otro de Ventas.
La información adjunta muestra los sueldos mensuales percibidos en cada
uno de ellos :
DPTO. DE PRODUCCIÓN
Sueldos Mens
US $
100 – 150
150 – 200
200 – 250
250 – 300
300 – 350
350 – 400
400 – 450
N°
Trabajadores
15
25
30
20
5
5
0
DPTO. DE VENTAS
Sueldos Mens
US $
200 – 600
600 – 800
800 – 1000
1000 – 1200
1200 – 1400
1400 – 1600
1600 - 2000
N°
Trabajadores
0
5
5
15
20
5
10
a. ¿En qué dpto. los trabajadores están mejor pagados? Sustente con cálculos
su respuesta.
b. Calcule el sueldo mediano en el dpto. de producción y el sueldo modal en
el dpto. de ventas.
c. Si se le pidiera en cada departamento usar un indicador representativo.
Cuál usaría ¿?
17. Un encargado de compras ha obtenido muestras de lámparas incandescentes
de dos proveedores. Mediante un sencillo proceso de control de calidad ha
probado ambas muestras con respecto a la duración de su vida útil,
obteniendo los siguientes resultados:
Vida útil ( Horas )
100 - 900
900 - 1100
1100 - 1300
1300 - 1500
Empresa A
10
16
26
8
Empresa B
3
42
12
3
Determinar:
a. ¿Cuál de las empresas proveen mejores lámparas?
b. Calcular la mediana para la empresa A y B. Qué significa la diferencias de
medianas ? Realice la lectura correspondiente
c. Calcular la moda para la empresa A y B
d. Cuál es la diferencia entre el valor mínimo de duración del 10 % de las
lámparas que más duran de la empresa A y el valor mínimo de duración
del 10 % de las lámparas que más duran de la empresa B.
18. Se clasificó la inversión de un grupo de compañías mineras en una tabla de
frecuencias. Se sabe que la máxima inversión es de 56 millones de dólares,
que la amplitud es de 8 millones y que las frecuencias absolutas
correspondientes a los intervalos son: 1, 6, 21, 9, 8, 3, 2. Con esta información
calcular la inversión promedio, la mediana de las inversiones y la inversión
modal. Interprete los resultados.
33
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
19. Un empresario desea repartir unas bonificaciones (US $) entre sus empleados
en base a la categoría y productividad de los mismos. Dicha distribución
quedó de la siguiente forma:
Bonificaciones
[ 10 - 15 [
[ 15 - 20 [
[ 20 - 25 [
[ 25 - 30 [
[ 30 - 35 [
[ 30 - 35 [
[ 35 - 40 ]
N° Empleados
3
8
15
20
10
15
10
Determine:
a. Bonificación media por trabajador
b. Bonificación más frecuente
c. La Bonificación que separa la mitad de ellas del resto
20. Las últimas cien ventas facturadas por un establecimiento se habían agrupado en
cuatro intervalos de clase, recordamos tan sólo la siguiente información:
El primer intervalo tiene seis semanas como extremo superior, una
frecuencia relativa de 0,2 y una amplitud de cuatro semanas.
La marca de clase del segundo y cuarto intervalo son ocho y 16 semanas
respectivamente.
Hasta el segundo intervalo se acumulan sesenta ventas.
El tercer intervalo presenta una frecuencia de treinta ventas
Con esta información construya la distribución de frecuencias y calcula la media,
mediana, moda
21. La distribución del importe de las facturas por reparación de carrocería de una
muestra de 80 vehículos en un taller, viene dada por la tabla siguiente:
Importe ($)
40 - 60
60 - 80
80 - 100
100 - 120
Nº vehículos
10
20
40
10
Se pide:
a. Calcular el importe medio. ¿El valor hallado es representativo de la
34
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
distribución de facturas?
b. Calcular el importe mediano y el importe más frecuente.
Nivel de Dificultad III
22. En la zona industrial ubicada en la parte sur de una ciudad existen 3
grandes plantas de ensamblaje de artefactos eléctricos que llamaremos A, B y
C. La primera emplea a 54 personas y su salario medio es de 1080 soles. En la
segunda trabajan 84 empleados y su ingreso medio es de 860 soles. Finalmente, la
paga media de los 153 trabajadores de C es de 815 soles. ¿Cuál es el salario medio
de los empleados en la industria ensambladora de artefactos de dicha ciudad?
23. La tabla que se presenta a continuación corresponde a los sueldos que
perciben los empleados de dos empresas del mismo sector
Sueldo $
[ 400 - 500 [
[ 500 - 600 [
[ 600 - 700 [
[ 700 - 800 [
[ 800 - 900 ]
Empresa A
Empresa B N°
N° de Empleados de Empleados
20
20
25
10
10
15
18
25
12
20
Calcule:
a. El Sueldo promedio de los empleados de la empresa A que ganan menos de
$700
b. El Sueldo promedio de los empleados de la empresa B que ganan por lo
menos $700
c. El sueldo que podrían percibir los empleados en cada empresa
d. El sueldo máximo que percibe el 13,5 % de los empleados que menos ganan
en la empresa A
e. El sueldo máximo que percibe el 13,5 % de los empleados que menos ganan
en la empresa B
f. El sueldo mínimo que percibe el 21,5 % de los empleados que más ganan en
la empresa A
g. El sueldo mínimo que percibe el 21,5 % de los empleados que más ganan en
la empresa B
24. Uno de los principales factores que repercuten en el costo cuando se adquiere una
casa es el de los pagos mensuales del préstamo. Existen muchos sitios en internet
donde los futuros compradores pueden consultar las tasas de interés y sus pagos
mensuales. Interbank analiza la posibilidad de ofrecer préstamos para la
adquisición de casas a través de Internet. Antes de tomar una decisión, selecciona
35
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
una muestra de préstamos recientes con sus pagos mensuales correspondientes. La
información se organiza en la siguiente distribución de frecuencias:
Pago Mensual de
Préstamos US $
Propietarios
[ 100 - 500 [
[ 500 - 900 [
[ 900 - 1300 [
[ 1300 - 1700 [
[ 1700 - 2100 [
[ 2100 - 2500 [
[ 2500 - 2900 ]
15
10
5
25
5
4
1
65
Determinar :
a.
El Pago medio mensual
b.
La Mediana de los pagos mensuales de la hipoteca. Interpretar resultado
c.
En cuál de los resultados ( Media o Mediana) debería confiar para tomar
la decisión de un préstamo
d.
Cuál es el monto máximo de hipoteca que pagaría el 5% de los
propietarios que menos pagan
e.
Cuál es l monto mínimo de hipoteca que pagaría el 12 % de los
propietarios que más pagan
25. Los costos de Estiba (E) y Desestiba (D) en algunos de los puertos latinoamericanos
aparecen en la siguiente tabla de información :
PUERTOS
Costo E&D (US$)
Cartagena
Quito
Callao
Valaparaiso
Mejillones
Buenos Aires
Sao Paulo
230
240
480
200
220
250
70
Determinar :
a. Cuál es el puerto más eficiente en nuestra región. Sustente su respuesta,
tanto conceptual como en los cálculos correspondientes
b. Se podría sustentar algún costo frecuente en el conjunto de puertos de la
región ?
36
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
26. Se toma una muestra de llegada de aviones a un aeropuerto para estudiar el
problema de retrasos de los vuelos. El tiempo de retrasos se ha tomado en
minutos.
Minutos de Retraso
15-25
25-35
35-45
45-55
55-65
65-75
N° vuelos
28
22
15
12
13
10
Determinar:
1.
La media aritmética y la mediana
2.
Qué porcentaje vuelos tiene menos de 35 minutos de retraso
3.
Qué porcentajes de vuelos tiene por lo menos 20 minutos de retraso
4.
Como máximo cuántos minutos de retraso tienen los vuelos que
constituyen e 15 % de todos los vuelos que menos se retrasan ?
5.
Cómo mínimo cuántos minutos de retraso tienen los vuelos que
constituyen el 20 % de todos los vuelos que más se retrasan?
37
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Nivel de Dificultad I
Ejemplo :
A continuación se presentan los tiempos en minutos de un grupo de estudiantes que han
participado en una competencia :
Tiempos Minutos
[
0 - 10 [
[ 10 - 20 [
[ 20 - 30 [
[ 30 - 40 [
[ 40 - 50 [
[ 50 - 60 ]
a.
b.
c.
Estudiantes
12
18
24
26
14
6
Calcular la Media Aritmética
Calcular la Varianza
Calcular la Desviación Estándar
Solución :
a. Dado que es una variable cuantitativa continua debemos aplicar la ecuación de media
aritmética correspondiente:
Σ X’i fi
X = ----------------, donde X’i es la marca de clase
n
-
Como sabemos la marca de clase es la semi-suma de los límites de cada intervalo,
entonces demos tener una columna donde tengamos los datos de cada marca de clase y
una columna donde estén el producto de éstas con cada “ fi “
[
[
[
[
[
[
-
Minutos
0 - 10
10 - 20
20 - 30
30 - 40
40 - 50
50 - 60
[
[
[
[
[
]
Estudiantes
12
18
24
26
14
6
X’i
X’i . fi
5
15
25
35
45
55
60
270
600
910
630
330
Al hacer la sumatoria de la columna Σ X’i fi = 2800. Por lo tanto :
Σ X’i fi
2800
X = ---------------- = ------------
38
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
n
-
100
La media aritmética :
X = 28 minutos
b. Para poder obtener la varianza teniendo intervalos debemos trabajar con la siguiente
ecuación :
σ 2 (x) = Σ ( Xi’ – X )2 . f i / n
-
De acuerdo a la ecuación planteada, por cada nivel de intervalo, debemos restar de la
“marca de clase” la media aritmética. El resultado de esa diferencia debe ser elevada al
cuadrado. Este resultado, a su vez, debe ser multiplicada por cada “ fi
“. La
sumatoria (
Σ)
de esto datos parciales, finalmente, se deben dividir entre el número
datos. Ver la cuarta columna de la siguiente tabla :
Minutos
Estudiantes : fi
[ 0 - 10 [
[ 10 - 20 [
[
[
[
[
-
20
30
40
50
-
30
40
50
60
12
18
[
[
[
]
24
26
14
6
X’i
5
15
25
35
45
55
( Xi’ – X )2 . f i
( 5 – 28 ) 2. 12
( 15 – 28 ) 2.18
( 25 – 28 ) 2.24
( 35 – 28 ) 2.26
( 45 – 28 ) 2.14
( 55 – 28 ) 2.6
Al realizar la sumatoria de la cuarta columna obtenemos un total de 21028. Este total
debe ser dividido entre el total de datos que en este caso es n = 100. Por lo tanto la
Varianza es :
Σ ( Xi’ – X )2 . f i = 21028 / 100
σ 2 (x) =
210.28 Minutos 2
c. Para obtener la desviación Estándar, como ya sabemos sacamos la raíz cuadrada al
resultado de la varianza. Tal como veremos a continuación
σ (x) = √
210.28 Minutos 2
σ (x) = 14.50 minutos
-
Lo cual significa que en promedio, los estudiantes hacen un tiempo de diferencia
respecto de su media aritmética o de su valor central, 14.50 minutos.
39
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
Ejercicios y Problemas Propuestos
1. Un censo realizado en CEADEX arrojó que las edades de los alumnos de 6to. ciclo eran
las siguientes:
18
30
25
20
27
42
26
21
23
32
d.
e.
f.
Calcular Varianza,
Desviación Estándar
Coeficiente de variación
Interprete todas las respuestas sin olvidar las medidas o unidades
correspondientes
2. De acuerdo a una encuesta, el ingreso promedio mensual de 10 familias de una
determinada zona de Lima Metropolitana fueron:
4500 3600
2900
1800
1000
5200
6000
900
3600
5700
a. Calcular Varianza
b. Desviación Estándar
c. Coeficiente de Variación
Interprete todas las respuestas sin olvidar las medidas o unidades
correspondientes
3. Según el reporte anual de una empresa, se obtuvieron los siguientes
dividendos primarios por cada acción (Título de valor) negociado en Bolsa en
los 5 años previos tal como aparece en la siguiente tabla
2.68
1.03
2.26
4.30
3.58
a. Calcular la media aritmética de los dividendos
b. La varianza correspondiente
c. El coeficiente de variación
Interprete todas las respuestas, sin olvidar las unidades correspondientes
4. A continuación se presentan los niveles de exportación ( US $ ) de los últimos
10 meses. Los datos se encuentran en cientos de millones :
350
400
a.
b.
c.
d.
e.
550
850
900
950
450
380
750
680
Calcular la media aritmética de las exportaciones
Calcular la varianza
Calcular la desviación estándar
Calcular el coeficiente de variación
Calcular el coeficiente de asimetría
40
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
5. En una muestra de 100 familias se han determinado los siguientes gastos
mensuales en medicina :
Gasto en Soles
[
0 - 100 [
[ 100 - 200 [
[ 200 - 300 [
[ 300 - 400 [
[ 400 - 500 [
[ 500 - 600 ]
a.
b.
c.
d.
e.
N° de Hogares
12
18
24
26
14
6
Calcular la Media Aritmética
Calcular la Varianza
Calcular la Desviación Estándar
Calcular el coeficiente de variación
Calcular el coeficiente de asimetría
Interprete todos los resultados
6. A continuación se presentan los tiempos en minutos de un grupo de estudiantes que
han participado en una competencia :
Tiempos Minutos
[
0 - 10 [
[ 10 - 20 [
[ 20 - 30 [
[ 30 - 40 [
[ 40 - 50 [
[ 50 - 60 ]
Estudiantes
12
18
24
26
14
6
a. Calcular la Media Aritmética
b. Calcular la Varianza
c. Calcular la Desviación Estándar
d. Calcular el coeficiente de variación
e. Calcular el coeficiente de asimetría
Interprete todos los resultados
7. En una pequeña empresa de 100 empleados los salarios se distribuyen según se
indica en la siguiente tabla:
Salario Mensual ( S/ )
[ 280 - 320 [
[ 320 - 360 [
[ 360 - 400 [
[ 400 - 440 [
[ 440 - 480 [
a.
Empleados
12
18
24
26
14
Calcular la Media Aritmética
41
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
b.
c.
d.
e.
Calcular la Varianza
Calcular la Desviación Estándar
Calcular el coeficiente de variación
Calcular el coeficiente de asimetría
Interprete todos los resultados
8. En el siguiente ejercicio especifique los niveles de homogeneidad :
110
450
20
Varianza
ΣXi
N° de Datos
80
300
30
64
200
25
144
600
40
256
625
25
144
300
35
115
420
60
400
75
15
125
250
35
9. El Chef en jefe de uno de los restaurantes más importantes de Lima ha recibido dos
docenas de paltas de su proveedor, pero todavía no los acepta. Sabe por la factura
que el peso por unidad es 101.04 gr. Pero, dada las exigencias de sus comensales, ella
quiere que sus paltas tengan un peso uniforme. Aceptará las paltas si su peso por
unidad es 101.04 gr. Y la desviación estándar es menor que 20 gr. Los pesos de las
paltas se presentan a continuación :
70
80
95
98
130
95
85
82
80
100
108
95
105
85
112
102
140
115
128
105
75
125
125
90
a. Cuál es la decisión de la Chef
b. Argumente la razón por la que la Chef defiende su posición
10. En un laboratorio determinado, el técnico Roberto realiza un promedio de 50
análisis diarios con una desviación estándar de 10.En tanto que el técnico Alberto
efectúa un promedio de 180 análisis diarios con una desviación 25. Cuál de los dos
técnicos muestra mayor homogeneidad.
Nivel de Dificultad II
11. Según el estudio del Banco Mundial respecto a la ingesta calórica en la ciudad de
Huamanga (Ayacucho - Perú), el consumo de calorías diarias en una muestra de
personas se han resumido en la siguiente tabla :
Calorías Consumidas
[
0 - 500 [
[ 500 - 1000 [
[ 1000 - 1500 [
[ 1500 - 2000 [
[ 2000 - 2500 ]
N° de Personas
6
10
18
42
28
a. Calcular la Desviación Estándar
b. Supongamos que el consumo de una personal normal es de 2000 calorías
diarias, ¿Existiría desnutrición? ¿En qué porcentaje?
c. Se podría decir que la media aritmética en este caso sería representativa de
42
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
la ingesta calórica de esta zona del Perú
d. Existe un consumo homogéneo de calorías en Ayacucho ¿?
e. Existe una ingesta calórica asimétrica en esta muestra de la población ?
12. Según una investigación de mercado tanto en las empresas dedicadas a la
Exportación como a la Importación, éstas presentan los siguientes niveles de
remuneraciones mensuales entre sus empleados :
Empresas de Exportación
Sueldos US $
N° Trabajadores
[ 100 – 250 [
15
[ 250 – 400 [
25
[ 400 – 550 [
30
[ 550 – 700 [
20
[ 700 – 850 [
10
[ 850 – 1000 [
12
[ 1000 – 1150 ]
5
Empresas de Importación
Sueldos US $
N° Trabajadores
[ 200 – 600 [
10
[ 600 – 800 [
8
[ 800 – 1000 [
12
[ 1000 – 1200 [
20
[ 1200 – 1400 [
15
[ 1400 – 1600 [
5
[ 1600 - 2000 ]
3
a. Calcular en qué tipo de empresa los empleados están mejor pagados
b. En qué tipo de empresa los sueldos son más homogéneos. Explique ese
resultado.
c. A qué se debe que los trabajadores de las empresas de importación tienen
mayores niveles de asimetría. Demuestre si esto es cierto.
13. Los gastos semanales en transporte urbano (nuevos soles) que efectúan los
habitantes de Arequipa y Piura han sido estudiados mediante las muestras
siguientes :
22.0
24.0
Gastos Semanales en Movilidad en la ciudad de Arequipa
22.0
22.1
23.2
23.2
25.5
27.5
24.5
24.5
23.5
23.5
28.5
29.5
28.5
24.5
16.5
22.0
Gastos Semanales en Movilidad en la ciudad de Piura
17.5
17.5
23.5
20.5
20.5
21.5
22.0
23.5
23.5
26.5
25.5
19.0
21.5
18.5
a. Realice un análisis comparativo respecto de la media y mediana de los pasajes
en ambas ciudades
b. Determine en cuál de las ciudades los pasajes son más homogéneos. Explique
su respuesta.
c. Cuáles son los niveles de asimetría que presentan ambas ciudades. Explique
por qué se presentan los sesgos correspondientes
14. Una empresa cuenta con cuatro departamentos: A, B, C y D. Según la
información, las respectivas remuneraciones se encuentran condensadas en
la siguiente tabla:
43
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
ITEMS
A
800
100
200
Media Salarial
Desviación Estándar
Número de Empleados
B
743
112
160
C
600
94
190
D
770
86
150
a. Calcule le remuneración promedio de un trabajador de la empresa
b. En cuál de los departamentos la remuneración es menos homogénea
c. Ordene en forma ascendente los niveles de homogeneidad de los salarios de la
empresa
d. Determine el número exacto de trabajadores de la empresa
e. Ordene los departamentos de le empresa de acuerdo a los niveles de dispersión
que presenten
f. Realice cada una de las interpretaciones de los indicadores estadísticos
obtenidos
15. Un encargado de compras ha obtenido muestras de lámparas incandescentes de dos
proveedores. Mediante un sencillo proceso de control de calidad ha probado ambas
muestras con respecto a la duración de su vida útil, obteniendo los siguientes
resultados:
Vida útil ( Horas )
[ 100 – 900 [
[ 900 – 1100 [
[ 1100 – 1300 [
[ 1300 – 1500 ]
Empresa A
10
16
26
8
Empresa B
3
42
12
3
Determinar:
a. ¿Cuál de las empresas debería ser elegida para ser proveedor de las
lámparas? Explique su respuesta, cuantitativa como conceptualmente
b. ¿En cuál de las empresas la duración de la vida útil de las lámparas es más
homogénea?
c. Cuál es el tiempo mínimo de duración del 10 % de las lámparas que más
tiempo duran en cada una de las empresas
d. Cuál es el tiempo máximo de duración del 10 % de las lámparas que
menos tiempo duran en cada una de las empresas
16. En la siguiente tabla se muestran las
productos agrícolas en millones de dólares:
Año
1995
1996
Exportaciones 18.97 33.46
a.
b.
c.
exportaciones anuales de
1997
1998
1999
2000
2001
2002
82.03
28.89
20.20
44.82
56.07 177.11
Determine si las cifras de exportaciones nos están mostrando algún sesgo en
la distribución de datos
¿Cuál es el valor más representativo para estos niveles de exportación ?
Sustente cuál es el nivel de dispersión que contienen las cifras de exportación
y señale cuál es la razón más importante para esos niveles de dispersión
44
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
d.
¿En qué año se espera que el monto exportado en el año 2002 se duplique?
17. A continuación se presentan las ventas de 5 semanas ( Miles de S/) de dos de
los principales productos (A y B) de una empresa textil.
Ventas del Bien "A"
[
[
[
[
[
Miles S/
10 - 20 [
20 - 30 [
30 - 40 [
40 - 50 [
50 - 60 ]
Fi
3
9
26
10
7
Ventas del Bien "B"
Miles S/
[ 2 - 4 [
[ 4 - 6 [
[ 6 - 8 [
[ 8 - 10 [
[ 10 - 12 [
Fi
6
15
22
8
4
a. Calcule la varianza y la desviación estándar
b. Qué producto tuvo un nivel de ventas más homogéneo y qué implica que
sea más homogéneo
c. Señale cuál de los productos presenta una mayor asimetría. Explique por
qué presenta esa mayor asimetría.
18. El Departamento de control de calidad de la empresa Nova SA que se encarga de
ensamblar hornos para uso doméstico ha realizado la siguiente información. Cada
horno está diseñado para recalentar hasta una temperatura de 240 °C durante
cuatro minutos, y después apagarse. Sin embargo, puede suceder que el horno no
alcance los 240 °C en el tiempo asignado, debido a una instalación inadecuada y por
otras razones. De manera semejante, la temperatura podría sobrepasar los 240 °C
durante el ciclo de precalentamiento de cuatro minutos. Una muestra grande de
cada una de las tres líneas de producción indicó la siguiente información:
Medidas Estadística
Media Artimética
Mediana
Moda
Desviación Estándar
Temperatura °C
Línea 1
Línea 2
Línea 3
238.1
240
242.9
240
240
240
241.5
240
239.1
3
0.4
3.9
a. Qué línea presenta mayor nivel de variación en la temperatura? Cómo se sabe esto???
b. Qué líneas tienen sesgos positivos en la distribución de las temperaturas de los
hornos?? Demuestre.
c. Determine las Varianzas correspondientes
19. El departamento de investigaciones de la oficina de Defensa del Consumidor ha
decidido probar la durabilidad de tres tipos de focos ante la constante demanda de
los usuarios. Los datos aparecen en la tabla siguiente :
Tipos de Foco
Foco 1
Foco 2
Foco 3
Promedio Vida
1470 horas
1400 horas
1350 horas
Varianza
156
81
Desv Estándar
6 horas
45
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
a.
b.
Ordene los focos de acuerdo a sus niveles de homogeneidad
Señale cuál de los focos es el mejor
20. En una prueba de rendimiento y consumo de gasolina se probaron 13 vehículos
durante 300 Km en condiciones de tránsito en ciudad (A) y en el campo (B). De este
proceso se obtuvieron los siguientes resultados en Km por galón.
A
16.2
16.7
15.9
14.4
13.2
15.3
16.8
16.0
20.1
15.3
15.2
15.3
16.2
B
19.4
20.6
18.3
18.6
19.2
17.4
17.2
18.6
19.0
21.1
18.5
19.4
18.7
Cómo podría determinar en qué lugar el rendimiento fue mayor. Entendiendo por mayor
rendimiento el mayor recorrido por kilómetro.
Nivel de Dificultad III
21. Los datos siguientes representan el porcentaje de la meta lograda por 3
vendedores en los últimos 5 años:
Nombre
Jorge
Juan
Pilar
Año 1
Año 2
Año 3
Año 4
Año 5
88
76
104
68
88
88
89
90
118
92
86
88
103
79
123
Si en esta empresa el desempeño de los vendedores se evalúa según la constancia
con que un vendedor cumple con las metas establecidas :
a.
¿Cuál de los 3 vendedores sería el mejor evaluado? Por qué ?Sustente su
respuesta numérica como conceptualmente
b. Defina cuál es el vendedor que presenta el CV menos heterogéneo
22. En una empresa los sueldos de los empleados están organizados en una tabla
de frecuencias. El sueldo menor es $200 y el mayor $1200. El 15 % de los
sueldos son menores de $400; el 45% de lo sueldos son menores que $600; el
60% son menores que $800 y el 75% de los sueldos son menores que $1000.
Se sabe que hay 1000 empleados.
a.
b.
c.
d.
e.
Construir la TDF
Determine la Varianza
Determine al desviación estándar
El Coeficiente de variación
Determine si hay congruencia entre los niveles de dispersión encontrados y el
nivel de heterogeneidad encontrado
f. Según el gerente de recursos humanos de la empresa, en ella los sueldos
extremadamente homogéneos. Demuestra esta apreciación
46
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
23. Una empresa que produce conservas de pescado necesita expandir su planta de
producción. Para ello, recurre al sistema financiero. Una de las informaciones que
le pide el Banco es el Volumen de Producción. La información se presenta a
continuación:
Meses
de
Producción
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Julio
Agosto
Set
Octubre
a.
b.
Número de Latas de
conservas
(Unidades)
10,000
5,000
4,000
9,000
36,000
10,000
8,000
2,000
7,000
8,500
Cuál es el principal problema que podría encontrar el banco al analizar la
información
Cuál debería ser el dato representativo con el que el banco debería trabajar y por
Qué ?
24. El Sr. Carlos García desea adquirir un condominio en Asia ( al Sur de Lima). Su
agente de bienes raíces le ha indicado que el precio promedio es de US $ 110,000.
a.
b.
Condominios
PRECIOS us $
Tipo A
60,000
Tipo B
65,000
Tipo C
70,000
Tipo D
80,000
Penthouse
275,000
El Sr. García podrá adquirir su propiedad ? Sustente su respuesta
Cuál es el concepto de las MTC que está presente en este caso?
47
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
TÉCNICAS DE MUESTREO
1. Qué tan grande debe seleccionarse una muestra para tener un nivel de confianza de
95% con un margen de error de 10? Suponga que la desviación estándar es 40.
2. En un conjunto de datos se estima que el rango es 36.
a. ¿Cuál es el valor planeado para la desviación estándar poblacional?
b. ¿De qué tamaño debería ser la muestra para que el margen de error en un nivel de
confianza de 95% sea 3?
c. ¿De qué tamaño debería ser la muestra para que el margen de error en un nivel de
confianza de 95% sea 2?
3. El costo promedio de la gasolina sin plomo en Grater Cincinnati es $2.41 (The
Cincinnati Enquirer, 3 de febrero de 2006). En una época de cambios en los precios,
un perodico muestrea las gasolineras y presenta informe sobre los precios de la
gasolina. Suponga que en los precios del galón de la gasolina sin plomo la desviación
estándar es $0.15: dé el tamaño de muestra de n que debe usar este periódico para
tener 95% de confianza con cada uno de los márgenes de erros siguientes:
a. Un margen de erros de $0.07
b. Un margen de erros de $0.05
c. Un margen de erros de $0.03
4. Se quiere estimar la edad promedio de 2,500 (N) estudiantes del último año en una
universidad. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra (n) si queremos estimar dicha
variable con un error no mayor a 2 años y con un nivel de confianza de 95% ?
Supongamos que S² = 30.
5. Se quiere estimar el ingreso promedio de 15000 (N) hogares de una ciudad. ¿Cuál
debe ser el tamaño de la muestra (n) si queremos estimar dicha variable con un
error no mayor a 5 soles y con un nivel de confianza de 95% ? Supongamos que S =
50
6. Los salarios anules iniciales de estudiantes que acaban de terminar una carrera en
administración se espera que estén entre $30000 y $45000. Suponga que quiere dar
un nivel de confianza de 95% para estimar la media poblacional de los salarios
iniciales. ¿Cuál es el valor planeado de la desviación estándar poblacional? ¿Cuán
grande deberá será la muestra si quiere que el margen de erros sea:
a.
b.
c.
d.
$500?
$200?
$100?
¿Recomendaría usted tratar de tener $100 como margen de error?
NÚMEROS ÍNDICES
48
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
Nivel de Dificultad I
Ejemplo 1:
Las exportaciones en toneladas de cierto producto en los últimos 4 años se muestran
en la siguiente tabla:
Años
Toneladas
2000
40
2001
36
2002
41
2003
94
a. Calcular los índices de cantidad para cada año, tomando como base el año 2000.
b. Calcular los índices de cantidad para cada año, tomando como base el año 2002
Solución :
a. Para calcular los índices de cantidad ( Iq ) debemos dividir el dato de un período
cualquiera con el dato del año base. :
-
Para esta alternativa nos dicen que el año base es el año 2000, en consecuencia el índice
de ese año es 100. Para determinar el resto de los índices se dividen los datos de los
diferentes períodos entre el dato del mismo año base :
Iq 2001 = ( Qt / Q0 )x 100 , donde
-
t : dato del 2001 ; 0 : dato año base
Por lo tanto, vamos a tener un índice para el 2001
Iq 2001 = ( 36 / 40 ) x 100 = 90,0
-
Este procedimiento se repite para el resto de períodos. Como consecuencia, tendremos los
índices que se ven en la siguiente tabla. Los cambios de índice se van a producir cuando
se produce un cambios de año base, que es lo que se pide en la alternativa “b”
b. Para calcular los índices de cantidad ( Iq ) considerando el año 2002 como año base,
debemos dividir todos los datos entre el dato del año base. Siguiendo el mismo
procedimiento del caso anterior. Ver los índices para ambas alternativas en la siguiente
tabla :
Años
Iq Año base 2000
Iq Año base 2002
2000
100
97.56
2001
90.0
87.80
2002
102.5
100
2003
235.0
229.27
-
De acuerdo a los resultados, cuando el años base fue el 2000, sus índices muestran lo
siguiente. Para 2001, el índice nos indica que hubo una disminución de 10 % en el nivel
de producción respecto del año base. Para el 2002, por el contrario la producción se
incrementó en 2,5% y, finalmente, para el 2003, la producción tuvo un incremento de
135 % respecto del año base.
-
Cuando se cambia la base( año 2002 ), los resultados cambian nítidamente. Según el
nuevo año base, el año 2000 se produjo 2.44% menos de lo que se obtuvo en términos
de producción en el año base.
49
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
Ejemplo 2:
Los índices de producción de un bien de 1989 a 1993 fueron respectivamente 1.00, 1.15,
1.20, 1.24 y 1.30. Si en 1992 se produjeron 12.5 toneladas de dicho bien; calcular la
producción de los demás años.
Solución :
- Vamos a insertar los datos dados en una tabla para poder visualizar los índices con la
producción :
Años
1989
1990
1991
1992
1993
Indices
1.00
1.15
1.20
1.24
1.30
Producción
12.5
-
Por la naturaleza de los índices se puede deducir que el año base es 1989. Por ello, el
índice de ese años es 1.00 ó 100
-
Por otro lado, sabemos que para obtener un índice de cantidad, en este caso de 1992 se
aplica la siguiente expresión :
Iq 1992 = ( Q1992 / Q0 )
-
Reemplazando los datos de 1992, tendríamos :
1.24 = 12.5 / Q0
-
Si queremos conocer la producción del año base (Qo), entonces en la expresión anterior (
Qo) pasa a multiplicar a 1.24 pero este dato pasa a dividir el nivel de producción :
1.24 x Qo = 12.5
Qo = 12.5 / 1.24
-
Por lo tanto, el nivel de producción del años Base es : Qo = 10.08. Ahora, como ya
conocemos la producción del año Base, sólo deben multiplicarse los índices restantes con
la producción del año Base. Para 1990 la producción será :
Q1990 = Iq1990 x Qo = 1.15 x 10.08
Q1990 = 11.59
Años
Indices
Producción
1989
1.00
10.08
1990
1.15
11.59
1991
1.20
12.09
1992
1.24
12.5
1993
1.30
13.10
Ejercicios y Problemas Propuestos
50
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
1. Qué representa un número índice? En qué reside su utilidad?
2. El Índice de Precios al Consumidor (IPC) es uno de los índices más
importantes de una economía. Explique qué es lo que nos muestra este
indicador.
3. A continuación se pueden ver los datos de ventas de determinados productos
para los años 2007 al 2010.
Años
2007
2008
2009
2010
a.
b.
c.
Ventas S/.
4'678,432
4'648,698
4'732,867
4'874,348
Explique cuál es el inconveniente de analizar la tendencia de las ventas
utilizando los datos tal como aparecen en el cuadro.
Determinar los índices correspondientes , considerando el 2007 como año
base.
Determinar los índices correspondientes, considerando el 2009 como año
base.
4. Los precios de un determinado bien en los cuatro años 1999-2003 son,
respectivamente, 11, 14, 20, 23 y 25 euros. Calcular los números índices
simples de dicho precio tomando 1999 como período base y Calcular el
incremento anual de precios del citado bien.
5. Las exportaciones en toneladas de cierto producto en los últimos 4 años se
muestran en la siguiente tabla:
Años
Toneladas
2000
40
2001
36
2002
41
2003
94
c. Calcular los índices de cantidad para cada año, tomando como base el año 2000.
d. Calcular los índices de cantidad para cada año, tomando como base el año 2002
6. Los precios de zinc al por menor (centavos de dólar por libra) en el mercado
internacional durante 1990 – 2006 se han consignado en la siguiente tabla:
Año
1999
2000
2001
2002
2003
2004 2005
Precio promedio del Zinc
al por menor
31
37.3
37.4
44.6
38.5
41.4
48.6
a. Hallar los índices de precios para 2004 y 2005, teniendo como base al año 1999
b. Hallar los índices de precios de los años dados, teniendo como base al año 2001
7. A continuación se presenta la producción de trigo en Toneladas Métricas (TM) en el
mercado norteamericano :
51
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
a.
b.
c.
Año
1999
2000
2001
2002
2003
2004 2006 2008
2010
Producción de Trigo
( TM )
2046
1776
2133
2380
2785
2765 2420 2595
2425
Hallar los índices de cantidad para los años dados, considerando el año base a 2002
Hallas los índices de cantidad para los años 2004 y 2008, considerando 1999 año base
Hallar los índices de cantidad para los años dados , considerando 2008 como año base
8. Dada la información que aparece en la siguiente tabla :
Años
IPC
a.
b.
c.
d.
e.
2001
67.9
2002
100
2003
105.4
2004
107.1
2005
123.8
2006
112.5
Cuál ha sido la variación de precios del año 2004 respecto del 2003
Cuál ha sido la variación de precios del año 2005 respecto del 2004
Cuál ha sido la variación de precios del año 2006 respecto del 2005
Cuál ha sido la variación de precios del año 2003 respecto del 2002
Cuál ha sido la variación de precios del año 2001 respecto del 2002
9. En la tabla siguiente se muestran los precios (Al finalizar el año) de determinadas
“Acciones” que se han comercializado en la Bolsa de Lima en los últimos años.
Años
2006
2007
2008
2009
2010
2011
a.
b.
Precios US $
10.45
25.67
5.79
12.50
16.87
18.90
Determine los índices correspondientes tomando como base el año 2006
Determine los índices correspondientes tomando como base el años 2010
10. Dados los siguientes datos (Precios en Soles y Cantidades en Kg):
Años
2000
2001
2002
2003
Precios “P”
20
18
25
30
Cantidades “Q”
50
70
30
28
a. Determinar los índices de valor, considerando que el año base es el 2000
b. Determinar los índices de valor, considerando que el año base es 2002
Nivel de Dificultad II
En enero de 1990 una fábrica gastó en salarios de 50 obreros la suma de US$
6,000 y en diciembre del mismo año con 75 obreros gastó US$ 9,900.
Tomando como base el mes de enero, calcular:
a. El índice de cantidad de empleados para diciembre.
b. El índice del costo por obrero (índice de precio)
52
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
c. El índice de gastos de salarios (índice de valor)
Los índices de producción de un bien de 1989 a 1993 fueron respectivamente 1.00,
1.15, 1.20, 1.24 y 1.30. Si en 1992 se produjeron 12.5 toneladas de dicho bien;
calcular la producción de los demás años.
En el año 2000 el precio del café aumentó en un 60% por encima del de 1995,
mientras que la producción disminuyó en un 40%.
a)
b)
En qué porcentaje varió el índice de valor del café entre esos dos años.
Si se espera que la producción en el año 2005 aumente en un 50% respecto
de 1997, ¿en qué porcentaje deberán incrementarse los precios, respecto a
este último año, para que el ingreso total aumente en un 20%?.
A continuación se presentan los ingresos anuales por ventas ( Soles S/) de un grupo
de empresas. Con esta información se debe obtener:
Empresas
Topy Top
Wong
Metro
KR
Taca
Ventas
5'678,843
7'897,534
8'345,768
7'768,932
6'345,785
a. Los índices de ventas de las empresas, tomando como año base las ventas
de la tienda Wong.
b. Los índices de ventas de las empresas, tomando como año base las ventas
de la tienda KR
c. Establecer las diferencias porcentuales de los dos casos anteriores
Calcular los índices que correspondan, según naturaleza de datos obtenidos,
tomando en cuenta que los datos del año base son los del 2000. Obtener los índices
parciales como el índice total. Determinar si en general existe una tendencia
creciente o no de los precios.
Articulos
Pan Blanco (Unid)
Huevos (Docena)
Leche (Tarro)
Leche (Caja)
Leche(Bolsa)
Manzanas (Kg)
Fresas (Kg)
Carne pollo(Kg)
TOTAL
Precios 2000 Precios 2005
0.1
0.15
2.8
4
1.8
2.2
2
2.4
1.8
2.3
1.8
2.5
1.5
2.5
3.5
5.5
15.3
21.55
53
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
Asuma que el PNB ( PBI – PNFe) para el año 2004 fue de 6,800 millones de soles y
que el IPC fue de 125 (base de 1995). Calcular el PNB en soles constantes de 1995.
Explique por qué se ha producido esa diferencia de soles.
A continuación presentamos la información respecto del salario promedio mensual
de un conjunto de trabajadores y el respectivo IPC:
Año
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
a.
b.
c.
Salarios US $
350
500
650
800
1100
1300
1900
2500
IPC
89
100
110
115
128
145
175
205
Calcular el salario en unidades monetarias del 2001 para todos los años del
período considerado
Calcular los salarios de toda la serie en unidades monetarias del 2006
Determine si la variación porcentual real de cada año respecto del año base
dado es, en promedio, mayor a la variación porcentual nominal.
Una magnitud económica aumenta entre el año 0 y 1 en un 45%; entre el año 1 y 2,
un 35 % y ha disminuido entre el 2 y 3 año un 30 %. Obtener la serie de Índices
teniendo como base = 100.
A continuación se presenta la información respecto de datos de Exportaciones e
Importaciones en millones de dólares corrientes, así como los respectivos índices:
ITEM
Exportaciones Corrientes
IVUX
2000
2001
2002 2003 2004
2005
2006 2007
2012
100
1935
81.1
1977 2090 2421
78.7 84.3 94.4
2750 2997 3259
96.4 101.5 92.9
2670
100
2769
85.6
2806 3035 3677
85.6 88.6 95.7
4239 5037 6131
105.5 113.5 128.8
Exportaciones Constantes
Importaciones Corrientes
IVUM
Importaciones Constantes
IVUX Indice de valor Unitario de las Exportaciones
IVUM Indice de valor Unitario de las Importaciones
a.
b.
c.
d.
e.
Obtener los datos de exportaciones en dólares constantes
Obtener los datos de importaciones en dólares constantes
Establecer el promedio de variación porcentual de valores reales de las
exportaciones
Establecer el promedio de la variación porcentual de valores reales de las
importaciones
Establecer si el promedio de las variaciones porcentuales reales es mayor, menor
o igual que el promedio de las variaciones porcentuales nominales tanto en las
exportaciones como en las importaciones
54
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
En la siguiente tabla se dan los precios de un conjunto de productos
Productos
Pan blanco, por kg
Huevos, Por Kg
Tarro de leche
Manzanas por Kg
Jugo de naranja Lt
Café 350 gr.
Precio 2005
2.8
3.5
2.1
4.5
4.8
5
Precio 2010
4.5
4.8
2.6
5.6
5.5
7
Indice
a. Desarrollar índices para el 2001 en cada uno de los productos,
considerando los precios del 2005 como base
b. Obtener el promedio de variación porcentual de los productos
Nivel de Dificultad III
21. La siguiente tabla muestra los salarios por hora (en dólares) durante 4 años para
tres tipos de empleos en una pequeña compañía:
Años
2000
2001
2002
2003
Manual
11.8
11.9
12.3
12.5
Oficinista
9.1
9.2
9.6
9.7
Supervisor
17.9
18.8
19
19.3
Tomando el año 2000 como año base y considerando que en dicho año hubo 72
empleados manuales, 23 oficinistas y 10 supervisores, determinar:
a. Los índices no ponderados de los salarios para cada año.
b. El índice de Laspeyres de los salarios para cada año.
22. Cierta empresa exportadora dispone de la siguiente información histórica de las
exportaciones de dos de sus principales productos:
Precio Anual
TM Anual
2001 2002 2003 2004
2001 2002 2003 2004
Promedio Produc
Promedio Exp
A
6.5 7.25 7.5 8.1
A
26
27
31
28
B
3.5 3.85 4.3 4.35
B
71
80
89
90
a. Calcular el índice de precios de cada año por el método de Laspeyres (2001 = 100)
b. Calcular el índice de precios de cada año por el método de Paasche (2002 = 100)
c. Calcular los índices de precios simples del producto A considerando el años 2001
como año base
d. Calcular los índices de cantidad simple del producto B, considerando el año 2001
como año base
23. Cierto exportador recopiló la siguiente información sobre las ventas de 3
55
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
variedades de frutas:
Variedad
A
B
C
Precio Anual $
2002 2003 2004
31
34
35
38
39
40
45
49
53
Cajas Vendidas
2002 2003 2004
32
65
86
45
68
73
462 325 386
a. Calcular el índice de precios de cada año por el método de Laspeyres (2002 = 100)
b.Calcular el índice de precios de cada año por el método de Paasche (2003= 100)
24. En la siguiente tabla se muestra las ventas de una empresa efectuadas entre los años
1995 y 2001. Explique si estas ventas han significado, en términos reales un
verdadero crecimiento de la empresa en estos años
Años
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
Ventas S/
350,000
390,000
480,000
680,000
970,000
1'500,000
2'600,000
3'900,000
IPC
90
100
110
150
190
205
250
650
a. Gráficamente determine la diferencia entre el comportamiento nominal y el
real
b. Determine la diferencia porcentual nominal y la diferencia porcentual de los
valores deflactados
c. Podría señalar hasta qué año efectivamente la empresa estuvo creciendo en
términos reales y por qué
25. Si su salario aumentó en términos absolutos de S/1500 (año 2005) a S/ 2000 (año
2006) y si el índice de precios al consumidor del INEI para el 2005 fue de 107.1,
calcular :
a. El porcentaje de aumento nominal de su salario
b. El valor real en soles de su salario de acuerdo al índice de precios al consumidor
c. El porcentaje de aumento real de su salario de acuerdo al índice de precios al
consumidor
56
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LÍNEAL
Nivel de Dificultad I
Ejemplo 1:
Para la ecuación de estimación: Y = 5 – 2X, ¿cuáles de los siguientes enunciados son
verdaderos?
a.
Cuando X = 0, entonces Y es 5
b.
La pendiente es positiva
c.
La línea representa una relación inversa
d.
Pendiente es 5
e.
Cuando X aumenta, entonces Y varía en dos unidades
Solución :
Dada la ecuación Y = 5 – 2X, si X = 0 entonces Y = 5 – 2 (0). Por lo tanto,
En esta ecuación Y = 5. (V).
Dada la ecuación, la pendiente es negativa por cuanto la variable independiente está
precedida del signo negativo (F)
La ecuación tiene una pendiente negativa lo cual implica una relación inversa.(V)
El valor de la pendiente es 2, no 5(F)
Esto sólo lo puede determinar el Coeficiente de Determinación. (F)
a.
b.
c.
d.
e.
Ejemplo 2:
Según el análisis del gerente de ventas de una empresa de autos, el principal factor que
afecta el número de autos vendidos es la fuerza de ventas (Número de vendedores). De la
información procesada se obtiene la siguiente información: r = 0.95, además se obtiene un
MRLS : Y = 52 + 7X
a.
b.
c.
d.
e.
Identifique la variable dependiente y la independiente
El Gerente tiene razón al afirmar que la fuerza de ventas es el principal
factor que afecta el número de autos vendidos? Explique
Qué porcentaje de la variación total de la variable dependientes se debe a
la variable independiente
La relación de ventas y fuerza de ventas es directa o inversa? Explique
Haga una proyección del número de autos vendidos, considerando una
fuerza de ventas que usted estime conveniente.
Solución :
a. Para determinar cuáles son las variables dependiente e independiente,
debemos ver claramente la ecuación que nos dan : Y = 52 + 7X. Además nos
dicen que la fuerza de ventas es el factor que afecta el número de autos
vendidos, entonces Y: representa el número de autos vendidos y X: la fuerza
de ventas. Por tanto, Y = variable dependiente y X = fuerza de ventas.
57
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
b. Cómo podríamos determinar si el Gerente tiene o no razón cuando hace su
afirmación? Una forma de resolver esta interrogante es planteando el rol del
Coeficiente de Correlación “ r “ :
Cuando “r” está más cerca de 1 se dice que el nivel de relación de
dependencia entre la variable independiente y la variable dependiente es muy
alta o muy fuerte. Entonces como en este caso el valor de r = 0.95 está más
cerca de 1, podríamos decir que efectivamente el Gerente tienen razón al
afirmar que su “fuerza de ventas” ( X ) es el principal factor del número de
autos vendidos ( Y )
c.
El Coeficiente de Determinación ( r 2 ) es el factor clave. Pues él muestra
el impacto que tiene una variable independiente sobre la dependiente.
Veamos:
r 2 = ( 0.95 ) 2 = 0.9025
-
Por lo tanto, la variable dependiente varía o cambia en 90.25 % ante los
cambios que experimenta la variable independiente.
d. La relación que existe entre los autos vendidos y la fuerza de ventas es
directa. Dónde o cómo lo podemos determinar este afirmación? la respuesta
la encontramos en el coeficiente de correlación. Dado que al ser positivo :
r > 0. Entonces podemos concluir que, efectivamente, ésta es una relación
directa.
e. Si queremos obtener una proyección de autos vendidos entonces debemos
reemplazar en X la fuerza de venta ( Número de vendedores). Por ejemplo, si
tuviéramos una fuerza de venta compuesta por 20 vendedores, tendríamos la
siguiente proyección de autos vendidos de :
Y = 52 + 7( 20 ) = 192
Ejercicios y Problemas Propuestos
1. Supóngase que conocemos la altura de un estudiante pero no su peso. Aplicamos el
análisis de regresión para obtener una estimación de su peso basándonos en su talla.
Por tanto podemos suponer que:
a. El peso es la variable independiente
b. La altura es la variable dependiente
c. La relación entre peso y altura es inversa
d. El coeficiente de correlación nos muestra una alta relación de dependencia
e. El coeficiente de determinación no existe
2. Se seleccionaron al azar los siguientes observadores de la muestra
X
Y
4
4
5
6
3
5
6
7
10
7
58
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
a.
b.
c.
Obtenga el Coeficiente de correlación
Obtenga el Coeficiente de determinación
Determine la Modelo de Regresión Lineal Simple (MRLS)
3. Se seleccionaron los siguientes datos al azar :
5
13
X
Y
3
15
6
7
3
12
4
13
4
11
6
9
8
5
a. Obtener del Coeficiente de Correlación
b. Obtener del Coeficiente de Determinación
c. Determine el MRLS
4. Para la ecuación de estimación: Y = 5 – 2X, ¿cuáles de los siguientes enunciados
son verdaderos?
a.
b.
c.
d.
e.
Cuando X = 0, entonces Y es 5
La pendiente es positiva
La línea representa una relación inversa
Pendiente es 5
Cuando X aumenta, entonces Y varía en dos unidades
5. En la siguiente tabla se consideran las alturas en pulgadas de padres( Variable
independiente: X) e hijos (Variable dependiente: Y)
X
Y
a.
b.
c.
65 63 67 64 68 62 70 68 68 67 69 71
68 66 68 65 69 66 68 65 71 67 68 70
Construir el Diagrama de Dispersión
Hallar el coeficiente de correlación
Hallar el coeficiente de determinación
6. El Gerente de una empresa está tratando de analizar la relación entre las ventas
obtenidas y los gastos de publicidad. A continuación se presentan las ventas (millones
de dólares) de los últimos 4 meses:
a.
b.
c.
Meses
Publicidad
Ventas
Enero
Febrero
Marzo
Abril
4
2
6
8
14
6
16
20
Determine la Ecuación de Regresión
Cuál es el tipo de relación entre las variables
Calcule el valor de las ventas cuando la publicidad fue sea de 13
millones de dólares
59
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
7. Un Coeficiente de Correlación cercano a cero implica que . . .
a. La Variable dependiente se acerca a la unidad
b. La variable dependiente tienen una relación de dependencia con la variable
independiente
c. La variable independiente tienen una relación de dependencia con la variable
dependiente
d. La variable independiente no tiene demasiada incidencia en la variable
dependiente
e. No dependen una de otra.
8. Si el Coeficiente de Determinación es 0.96, esto quiere decir que :
a. Las variables en cuestión no están relacionadas
b. Las variables tienen una alta relación de dependencia
c. La variable dependiente experimenta un cambio del 98 % con cada cambio de la
variable independiente
d. Sólo hay un 2 % de incidencia de la variable dependiente sobre la independiente
9. Se realizó un estudio empresarial en una compañía que fabrica zapatillas y se
determinó que las ventas por unidades (pares) está en función de la publicidad en miles
de dólares. El reporte de la información contenía las siguientes conclusiones
principales. El Modelo de Regresión Lineal Simple (MRLS) está determinado por la
siguiente ecuación : Y = 100 + 2X, donde Y = Ventas y X = Publicidad y donde el valor
de r = 0.78
Determinar :
a. Interpretar “ r “ y “ r2 ”
b. Para un gasto en publicidad de $ 20,000, estimar las ventas
10. A continuación se presentan los datos respecto del número de entrevistas con un grupo
de clientes y las ventas que se realizaron como resultado de esas entrevistas.
Número de Entrevistas
(X)
14
12
20
16
46
23
48
50
55
50
Ventas Us $
(Y)
24
14
28
30
80
30
90
85
120
110
a. Determine el MRLS
b. Evalúe las ventas estimadas si hay 40 entrevistas con diferentes clientes.
60
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
Nivel de Dificultad II
11. Una empresa exportadora de tecnología (software) quiere encontrar la relación entre
su nivel de ventas y la inversión en investigación y desarrollo (I & D), teniendo en
cuenta que para los últimos seis años, se cuenta con la siguiente información:
Ventas
Mill.$
22
33
45
50
65
67
Inversión I & D
Mills $
105
120
125
130
140
154
Determinar:
a. La Ecuación de Estimación Lineal
b. Cuál será el volumen de ventas si la Inversión es de 200 millones de $
c. Qué tan confiable es la Ecuación de Estimación
12 Dadas las proposiciones:
I.
II.
III.
Un valor del coeficiente de determinación cercano a 1 indica una buena correlación
entre x e y
Se = 0 en una ecuación de estimación, debe estimar perfectamente la variable
dependiente en los puntos observados.
Si la variable dependiente aumenta en una ecuación de estimación y también lo
hace la variable independiente, el coeficiente de correlación se encontrará en el
intervalo de 0 a –1.
Son verdaderas:
a. Todas
b. I y II
c. Sólo I
d. Sólo II
e. Ninguna
13. Los siguientes datos representan los gastos realizados en publicidad (en miles de soles)
y el nivel de ventas (en cientos de unidades) de una empresa comercializadora de
bebidas revitalizantes.
Gastos de Propaganda
Nivel de Ventas
1
3
3
6
4 2
6 5
5
9
a. Calcule el coeficiente de correlación entre estas dos variables. Interprete
b. Halle la línea de regresión que permita estimar el nivel de ventas en base al
gasto en propaganda.
c. Estimar el nivel de ventas que se espera obtener si se realiza un gasto de
3500 soles propaganda.
61
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
d. Halle el coeficiente de determinación. ¿De acuerdo al valor obtenido que
se puede decir del modelo planeado?
14. En el departamento de producción de una empresa electrónica se desea examinar la
relación entre el número de trabajadores que arman un subcomponente y la cantidad
de subcomponentes producidos en una hora. A continuación se presenta la cantidad de
trabajadores y su producción correspondiente:
Trabajadores
2
4
1
5
3
a.
b.
c.
Producción
Subcomponentes
Unidades
15
25
10
40
30
Trace el Diagrama de Dispersión
En base al Diagrama determine el tipo de relación que podría haber entre la
variable dependiente y la variable independiente. Explique su respuesta.
Calcule el coeficiente de correlación. Interprete su resultado
15. El dueño de una agencia de ventas de autos desea estudiar la relación entre la
antigüedad de un auto y su precio de venta. A continuación se obtiene una muestra
aleatoria de 12 autos vendidos :
a.
b.
c.
d.
Antigüedad
(Años)
Precio
Miles $
9
7
11
12
8
7
8
11
10
12
6
6
8.1
6
3.6
4
5
10
7.6
8
8
6
8.6
8
Determinar la variable independiente y la dependiente
Trace el diagrama de dispersión
Determine el coeficiente de correlación. Sustente su respuesta
Calcule el coeficiente de determinación. Qué explica este resultado
16. La teoría económica sostiene que la función demanda de un producto se estima
mediante la regresión lineal de la cantidad vendida (Unidades) y el precio(dólares). Una
empresa textil está tratando de determinar un modelo lineal para la demanda, de tal
modo que le permita estimar la demanda de una nueva marca de polos. Para este
propósito se ha obtenido la siguiente información.
62
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
20
17
16
14
13
10
8
7
Precio (X)
Damanda (Y) 1250 1560 1830 1900 2120 2380 2500 2760
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Defina el tipo de relación entre las variables
Qué variable está en función de qué variable
Calcule e interprete el coeficiente de correlación
Calcule e interprete el coeficiente de determinación
Determine la ecuación de regresión(MRLS)
Cómo interpreta el valor de la pendiente del MRLS
Estime la demanda de polos cuando el precio es de US$25.00
Estime la demanda de polos cuando el precio es de US $ 15.00
17. Le Empresa EDELNOR está analizando la relación entre el consumo de energía (miles
de KWH) y el número de habitaciones en las residencias privadas. A continuación se
presenta los siguientes datos encontrados en una muestra:
Número de Habitaciones
12
9
14
6
10
8
10
10
5
7
Consumwo
KW/H
9
7
10
5
8
6
8
10
4
7
c.
d.
e.
f.
g.
Obtener el diagrama de dispersión
Obtener el valor de “r” e interpretar
Obtener el Coeficiente de Determinación e interpretar
Desarrollar el MRLS
Realizar una proyección para el consumo de energía si se duplicara el
número de habitaciones considerando el máximo número de habitaciones
h. Hacer una proyección del consumo de energía para 1 habitación.
i. Establecer si el modelo obtenido es confiable
18. El Concejo de la Municipalidad de Lima está considerando aumentar el número de
agentes de policía, en un esfuerzo por reducir la cantidad de delitos. Antes de tomar
una decisión final, el organismo pide al jefe de Policía que realice una encuesta entre
otras ciudades de tamaño similar, a fin de determinar la relación entre el número de
policías y la cantidad de delitos reportados. Se recopiló la siguiente información :
63
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
Distritos
Breña
Independencia
Lima
Callao
La victoria
San Lurigancho
Magdalena del Mar
Comas
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
Policías
15
17
25
27
17
12
11
22
N° de Delitos
17
13
5
7
7
21
19
6
Si se desea evaluar los delitos en base a la cantidad de agentes, Cuál es la variable
dependiente y cuál es la independiente ?
Trace un Diagrama de Dispersión
Determine “ r “, interprete
Determine Coeficiente de Determinación, interprete
Interprete estas medidas estadística : Le sorprende que la relación sea inversa
Elabore el modelo de RLS
Proyecte la Cantidad de Delitos si el número de policías fuese el doble del que
mostraba uno de los distritos que más policías haya tenido
19. La Gerencia de una agencia de autos desea estudiar la relación entre la antigüedad de
un automóvil y su precio de venta. A continuación aparece la lista de una muestra
aleatoria de 12 autos usados vendidos en el establecimiento en el último año.
Auto
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
Antigüedad ( Años )
9
7
11
12
8
7
8
11
10
12
6
6
Precio de Venta ( Mls US $ )
8.1
6.0
3.6
4.0
5.0
10.0
7.6
8.0
8.0
6.0
8.6
8.0
Si se desea calcular el precio de venta con base en la antigüedad del vehículo,
cuál es la variable dependiente y cuál es la variable independiente ¿
Trace un Diagrama de Dispersión
Determine “ r “ e interprete el resultado
Obtener el Coeficiente de Determinación e interprete
Interprete estas medidas estadísticas : Le sorprende que la relación sea inversa ?
Elabore el MRLS
Proyecte las ventas que se podrían alcanzar considerando un valor de variable
independiente que usted estime educado
64
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
20. Si un índice de Determinación es 0.6580, entonces podríamos decir que las
variables :
a.
b.
c.
d.
e.
Las variables están intensamente correlacionadas
Las variables no están intensamente correlacionadas
Las variables definen un modelo de relación directa entre las variables
Las variables definen un modelo de relación inversa entre las variables
La pendiente del modelo es positiva
Cualesquiera que sea su respuesta debe demostrarla
Nivel de Dificultad III
21. El Gerente de ventas de una fábrica automóviles está se encuentra estudiando las
ventas. El cree que el principal factor que afecta el número de autos vendidos es la
fuerza de ventas (número de vendedores). De la información procesada se
obtiene : r = 0.95 e Y = 14X + 104. En base a esta información, determinar :
a.
b.
c.
d.
e.
La variable dependiente y la independiente
El gerente tiene razón al afirmar que la fuerza de ventas es el principal factor que
afecta el número de autos vendidos ? Demuestre
Qué porcentaje de la variación total del número de autos vendidos se debe a la
fuerza de ventas ?
La relación ventas y fuerza de ventas es directa o inversa ? Explique
Estime el número de autos vendidos cuando la fuerza de ventas es de 500
vendedores
22. Dado los siguientes gráficos :
Y
Y
(a)
(b)
X
a.
b.
c.
X
Los dos gráficos representan patrones diferentes. Señale en cual de los gráficos la
variación de la variable independiente tiene un mayor impacto en el
comportamiento de la variable dependiente. Demuestre por qué ocurre ese
comportamiento
Señale en cuál de los gráficos habría un mayor error estándar. Y por qué ?
Si en el gráfico (a) aceptamos que el “ Se “ es mayor que en (b), entonces querría
decir que la ecuación estimada es más consistente en (b) ? Sustente su respuesta
65
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
23. El gerente de una compañía está preocupado por el comportamiento de las ventas de
un modelo de computadora y cree que el precio es el factor que lo determina. Se
recopiló información y se obtuvo la siguiente MRLS : Y = 50000 – 2X. Modelo en el
que “Y” representa a las computadoras vendidas y la variable “X” representa el
precio en dólares. Por otro lado, se encontró que r = - 0.2. Con esta información
deberá responder a las siguientes preguntas:
a.
b.
c.
d.
El gerente tiene razón al afirmar que el precio es el factor que determina
las ventas de las computadoras?? Explique su respuesta.
Qué porcentaje de la variación total corresponde a la ecuación de regresión
¿La relación entre las variables es directa o inversa?
Haga una proyección de ventas cuando el precio es de US$ 3,000
24. Según el análisis del gerente de ventas de una empresa de autos, el principal factor
que afecta el número de autos vendidos es la fuerza de ventas (Número de
vendedores). De la información procesada se obtiene la siguiente información: r =
0.95, además se obtiene un MRLS : Y = 52 + 7X
a. Identifique la variable dependiente y la independiente
b. El Gerente tiene razón al afirmar que la fuerza de ventas es el principal factor
que afecta el número de autos vendidos? Explique
c. Qué porcentaje de la variación total de la variable dependientes se debe a la
variable independiente
d. La relación de ventas y fuerza de ventas es directa o inversa? Explique
e. Haga una proyección del número de autos vendidos, considerando una fuerza
de ventas que usted estime conveniente.
25. ¿Son importantes para ganar un buen sueldo las calificaciones en los estudio
superiores? Un estudiante del tercer ciclo de los CEADEX ha seleccionado una
muestra aleatoria de los sueldos (Miles de $) iniciales y de los promedios de
calificaciones de algunos amigos recién graduados. Los datos son los siguientes:
Sueldo Inical (us$)
Promedio Calificación (sobre 5)
31
4
25 25 19 22 28 16 22
3 3.5 2 3 3.5 2.5 2.5
a. Desarrolle la ecuación de estimación lineal (MRLS)
b. Para un estudiante con una calificación promedio de 4.5, ¿a cuánto
ascendería su sueldo inicial?.
c. Determine el error estándar de la estimación.
d. Calcular el coeficiente de determinación. ¿Es confiable la ecuación de
estimación?
e. Construya un intervalo aproximado de predicción para el sueldo inicial
que le correspondería a un estudiante con una calificación promedio de 4.5
puntos.
66
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
ANÁLISIS DE SERIES DE TIEMPO
Nivel de dificultad I
Ejemplo 1:
En la siguiente tabla tenemos información sobre niveles de ventas realizados en una serie
temporal que va de 2000 al 2005. Los datos están en millones de dólares:
Años
2000
2001
2002
2003
2004
2005
Períodos
Ventas US $
7
10
9
11
13
19
a. Obtener el Modelo de predicción
b. Realizar una proyección de ventas para el 2010
Solución:
a. En este tipo de ejercicios se debe aplicar la Ecuación de Tendencia Lineal : Y = a + bt
de predicciones. Donde se asume que los años (períodos) son códigos correlativos que
empiezan en 1 para el primer período o año y a partir de éste los códigos aumentan
correlativamente. Tal como veremos a continuación :
Años
2000
2001
2002
2003
2004
2005
-
Períodos
1
2
3
4
5
6
Ventas US $
7
10
9
11
13
19
Planteado esto debemos aplicar las siguientes ecuaciones para hallar los valores de
“a” y “b” :
nΣtY - ΣYΣt
b = -------------------------n Σ t2 - ( Σ t ) 2
a = ΣY / n - b ( Σ t / n )
-
Es conveniente por una cuestión de orden introducir columnas en la tabla original en
donde podamos desarrollar las incógnitas que aparecen en cada una de las ecuaciones.
Tal como aparecen a continuación :
67
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
Años
2000
2001
2002
2003
2004
2005
-
Períodos
“t”
1
2
3
4
5
6
Ventas
US $ (Y)
7
10
9
11
13
19
t.Y
t2
7
20
27
44
65
114
1
2
9
16
25
36
Σt=
21
ΣY=
69
ΣtY=
277
Σ t2
89
Reemplazando estos resultados en las ecuaciones planteadas, vamos a tener los siguientes
resultados :
(6) (277) - (69) (21)
1662 - 1449
b = --------------------------------- = -------------------- = 2.29
(6) (89) - (21)2
534 - 441
a = (69) / 6 - (2.29) (21 / 6) = 3.49
-
Por lo tanto, el modelo queda determinado de la siguiente manera:
Y = 3.49 + 2.29 t
-
Respecto a la interpretación : podemos decir que la pendiente (2.29) nos está
indicando que las ventas aumentan a razón de 2.29 millones de dólares anualmente.
En cambio, el valor 3.49 no está indicando el valor de las ventas cuando t = 0. Esto
corresponde a las ventas del año base.
-
Para realizar la proyección para el 2010, se incrementan los códigos de acuerdo al año de
estimación. En este caso, el código aumenta hasta 11 dado que hay 5 años hasta el 2010.
Por lo tanto, la proyección correspondiente será :
Y = 3.49 + 2.29 ( 11) = 28.68
-
De acuerdo a este resultado, para el año 2010, las ventas llegarán a 28.68 millones de
dólares.
Ejercicios y Problemas Propuestos
1. Señale la razón por la que se debe aplicar a una serie temporal el Método del Promedio
Móvil. Y cuál es la ventaja respecto de la gráfica inicial.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
68
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. En función del siguiente gráfico, determine a qué tipo de serie temporal corresponde y
explique por qué.
SERIE TEMPORAL
3. El director de personal de una compañía farmacéutica apuntó trimestralmente
los siguientes índices de ausentismo de su personal durante un periodo de cuatro
años:
Años
2006
2007
2008
2009
Trim I
5.6
5.7
5.3
5.4
Trim II
6.8
6.7
6.6
6.9
Trim III
6.3
6.4
6.1
6.2
Trim IV
5.2
5.4
5.1
5.3
a. Construya un promedio móvil centrado de cuatro trimestres.
b. ¿Qué puede concluir sobre el ausentismo en la parte a)?
4.
El número total de quiebras bancarias para los años 1997 y 2001 se da a
continuación. Determine la ecuación necesaria para estimar las quiebras para el 2008, 2012
y 2017
Años
1997
1998
1999
2001
2002
2003
2004
2005
Código
1
2
3
4
5
6
7
8
Número de
Quiebras
79
120
138
184
200
210
234
225
69
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
5.
Los gastos personales por uso de teléfono e internet ( Millones de dólares) en USA,
entre los años 1996 y 2003 se dan a continuación. Determine la ecuación que le permite
estimar los gastos para los años 2005, 2008 y 2011
Años
1997
1998
1999
2001
2002
2003
2004
2005
Código
1
2
3
4
5
6
7
8
Gastos Millones de $
37.9
39.8
40.4
42.7
44.1
47.1
49.2
50.5
6. A continuación se presentan los datos de la cantidad ( TM ) de basura que ha recogido la
Municipalidad de Lima entre los años 1998 y 2005 :
Años
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
Código
1
2
3
4
5
6
7
8
Basura TM
2.5
4.5
3.8
5.6
6.8
9
10
15
a.
Estime la cantidad de basura que recogería la Municipalidad, si se mantienen la
tendencia, para el año 2015
7. En el siguiente cuadro se muestran los ingresos (Millones de dólares) por ventas de
maquinaria utilizada en la actividad minera entre los años 2001 y 2006
Años
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
Ingresos (Mills $)
17.5
19
21
22.7
24.5
26.8
30.5
33.8
70
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
a. Estimar los ingresos por venta de maquinaria para el 2020
b. Comparar los resultados aplicando Promedios Móviles con los resultados de la
estimación a través del MRLS
c. Mostrar cómo se han comportado los índices de ingresos
8. A continuación se presentan los datos de ventas en millones de dólares para un período
que va de 1980 a 2005.
Años
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
Ventas
2
4
5
3
8
2
4
6
7
15
Años
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
Ventas
3
5
1
7
6
9
10
3
5
7
Años
2000
2001
2002
2003
2004
2005
Ventas
6
8
9
4
6
9
a. Graficar
b. Aplicar un promedio móvil de 3 períodos
c. Aplicar un promedio móvil de 5 períodos
d. Determinar cuál ha sido la verdadera tendencia de las ventas efectuadas en todo el
período considerado.
9. Los datos que han sido graficados nos muestran claramente una tendencia :
a.
b.
c.
d.
Lineal
Cíclica
Secular
Estacional
71
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
e. Irregular
Cualesquiera sea su respuesta sustente por qué
10. De acuerdo al gráfico, cuál es la ventaja de haber aplicado un Pronóstico de Promedio
móvil primero con tres períodos y luego con 5 períodos
Incidencia de malaria por 100 000 habitantes.
Antioquia 1982-1993 Medias móviles
3000
Proporción
2500
2000
Real
1500
Pronóstico M=3
Pronóstico M=5
1000
500
0
1982
1984
1986
1988
1990
1992
Años
Nivel de Dificultad II
11. Ud. es el gerente de ventas de una cía. exportadora de cierto producto agroindustrial.
Ha logrado reunir los siguientes datos referentes a las ventas del producto (expresadas
en números de contenedores) durante los últimos 5 años:
Años
Contenedores
1998 1999 2000 2001 2002
32
46
50
66
68
a. Desarrolle la ecuación lineal de estimación que mejor describa estos datos.
b. Estime el número de contenedores que se espera sean exportados en el 2003
c. ¿Considera usted que la ecuación desarrollada es un buen estimador?, ¿por
qué?
12. Una empresa agroindustrial ha logrado colocar en el mercado internacional
producto, expresado en toneladas métrica durante los 10 meses indicados:
Jul Ago Set Oct Nov Dic Enr
Meses
5
8
8
10 13 15
Toneladas 5
su
Feb Mar Abr
18
20 22
a. Desarrolle la ecuación de estimación lineal que mejor describa estos datos.
b. Estime el número de toneladas que se espera sean exportados en los meses de
noviembre y diciembre.
c. Calcular el error estándar de la estimación
d. ¿Es confiable la ecuación de estimación?, ¿Por qué?
13.
Un equipo de entusiastas egresados de los CEADEX han formado una pequeña
empresa que fabrica y exporta jugo de naranja en botella personal (300 ml.). Desde que la
fundaron, el número de botellas personales que han vendido está representado por la
siguiente serie de tiempo
72
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
Años
Unid Vend
2000
42
2001
50
2002
61
2003
75
2004
92
2005
111
a. Desarrolle la ecuación de estimación lineal
b. Estime las ventas para el 2008 y 2009
c. Determine el error estándar de la estimación
d. ¿Qué tan confiable es la ecuación de estimación?
14. En las gráficas que aparecen a continuación se ha aplicado un método de “suavización”
de la curva original.
a.
b.
c.
d.
Explique cuál es el propósito de la suavización de la curva original
La curva suavizada define claramente la tendencia de la variable analizada en la
gráfica ? Explique por qué??
Coincide el valor de la estimación para 1992 con la tendencia encontrada en la
altenativa “b”
Según los resultados, el método de promedios móviles tiene el mismo propósito
que el método de estimación lineal?
15. En el siguiente cuadro podemos ver el consumo (Y) mensual de energía eléctrica desde
2009 a 2010. Con estos datos :
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Y
84,6
89,9
81,9
95,4
91,2
89,8
89,7
97,9
103,4
107,6
120,4
109,6
t
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Y
110,3
118,1
116,5
134,2
134,7
144,8
144,4
159,2
168,2
175,2
174,5
173,7
73
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
Determinar :
a. Cuál es la tendencia que genera una media móvil de 3 períodos
b. Será suficiente una media móvil, tal como la consignada en la alternativa
anterior, para determinar fehacientemente la tendencia del consumo de
energía para los próximos años. Explique
c. El consumo de energía para el mes 30 y establecer si habría coincidencia con
la tendencia generada por el promedio móvil
16. Cierta persona sin mayor conocimiento en estadística plantea, según el gráfico que
aparece a continuación, que para los meses venideros la temperatura será creciente de
acuerdo a la tendencia.
a. La opinión de la persona es correcta. Demuestre
b. No es correcta la opinión de la persona. Demuestre
c. Usted que ha estudiado estadística qué podría decir respecto de la observación
inicial
d. Qué indicadores usaría para demostrar la diferencia entre usted, que posee
conocimientos y alguien que empíricamente da una opinión?
17. A continuación se presentan los datos de ventas (miles de dólares) por Estaciones
climáticas durante un período de 6 años :
Año
2000
2001
2002
2003
2004
2005
Invierno
6.7
6.5
6.9
7
7.1
8
Primavera
4.6
4.6
5
5.5
5.7
6.2
Verano
10
9.8
10.4
10.8
11.1
11.4
Otoño
12.7
13.6
14.1
15
14.5
14.9
a. Analizar los datos y determinar si existe algún tipo de tendencia : cíclica,
estacional o aleatoria
b. Utilice el promedio móvil para determinar si hay claramente una tendencia
definida respecto del comportamiento de las ventas
74
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
c. Graficar los datos originales como la o las curvas suavizadas que usted estime
conveniente
d. Determinar cuál ha sido el promedio de ventas en todo el período
18. En el siguiente cuadro se muestran las cotizaciones (Unidades de $) de Pepsico SA al
cierre de cada año considerado :
Años
2000
2001
2002
2003
2004
2005
Precio de Acciones
12,91
16,82
20,61
20,30
18,32
27,75
Años
2006
2007
2008
2009
2010
2011
Precio de Acciones
29,06
36,02
40,61
35,02
49,56
20,06
a. Según algunos analistas, estiman que para el 2012 las acciones de Pepsico no subirán.
Demuestre si esto es correcto
b. Según otro grupo de analistas de la Bolsa de Valores, estiman que Pepsico recuperará
las cotizaciones de fines del 2010. Es correcta esta apreciación. Demuestre su respuesta
c. Determine el precio promedio de las acciones
d. Determine la distancia entre los datos y el valor de su tendencia central
19. El propietario de un centro recreacional desea pronosticar el número de visitantes el
año entrante. A continuación se presentan los datos de visitantes en forma trimestral
desde el 2005 al 2010
Años
2005
2006
2007
a.
b.
c.
d.
e.
Trimestres
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
Visitantes
90
66
32
98
110
86
52
118
144
124
86
158
Años
2008
2009
2010
Trimestres
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
Visitantes
166
144
104
178
192
176
132
202
206
158
224
250
Grafique
Cuántos visitantes se esperan en cada trimestre del 2012
Determine la ecuación de tendencia y proyecte el número de visitantes para el
2013
Si le dieran a escoger que dato de tendencia central escogería para este caso?
Podría determinar un índice de visitantes, si se considera que los visitantes del
2005 son considerados como el año base
75
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
20. La Escuela de Negocios de la Pontifica Universidad Católica del Perú ha registrado las
siguientes inscripciones trimestrales en su Programa MBA, desde 2003
Año
2006
2007
2008
2009
2010
2011
Invierno
2033
2174
2370
2625
2803
2950
Trimestre
Primavera
Verano
2871
774
2069
840
2254
927
2478
1136
2668
1150
2318
1200
Otoño
2318
2413
2705
3001
3200
3250
a. Se podría afirmar decir que existe una patrón de comportamiento tendencial en el
número de inscritos en el Programa mencionado
b. Cuál será el número de inscritos en cada uno de los trimestres del año 2013
c. Se podría afirmar que el indicador más representativo del número de inscritos es
su mediana. Explique su respuesta afirmativa o negativa
Nivel de Dificultad III
21. Dado el siguiente gráfico de una serie temporal (Exportaciones
millones US $), determinar . .
a.
b.
c.
“X”
en
Cuál es el principal problema que se encuentra en esta serie temporal
Sugiera cuál es el proceso a seguir para analizar y llegar a una conclusión
respecto de la información sobre el comportamiento de las exportaciones
Cuál es la principal diferencia entre la información inicial y la que resulta
de aplicar un promedio móvil de tres períodos. Los datos de las
exportaciones ( US $ )aparecen en la siguiente tabla:
76
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
Meses
Export
1
2
3
4
5
10
3
18
5
28
Meses Export
6
7
8
9
10
10
40
2
60
9
Meses
11
12
13
14
15
Export Meses Export
35
100
5
60
150
16
17
18
19
20
90
48
200
80
350
22. A continuación se presenta la información sobre la producción ( Millones US $)
de una empresa minera desde al año 1983 hasta 2001. La misma que deberá ser
sometida al siguiente análisis . . .
Año Producción Año Producción Año Producción Año Producción
1983
1988
1993
1998
8
5
10
20
1984
1989
1994
1999
5
12
25
28
1985
1990
1995
2000
9
18
30
35
1986
1991
1996
2001
14
15
35
40
1987
1992
1997
2002
45
7
13
25
a.
b.
c.
Aplicar una media móvil de 3 años y determinar su tendencia
Aplicar una media móvil de 5 años y determinar su tendencia
Explicar por qué una media móvil de más tiempo puede generar mejor
información respeto de una media de menor tiempo
23. La administración de un albergue de verano tiene los siguientes datos acerca de la
ocupación trimestral de sus clientes de los últimos años (2006 – 2010):
Año
2006
2007
2008
2009
2010
Trim I
1861
1921
1834
1837
2073
Trim II
2203
2343
2154
2025
2414
Trim III
2415
2514
2098
2304
2339
Trim IV
1908
1986
1799
1965
1967
a. Establecer cuál es el patrón de demanda de habitaciones para el Trim II del
2013
b. Establecer cuál es el patrón de demanda de habitaciones para el Trim IV del
2015
c. Establecer cuál es el patrón de demanda de habitaciones para el Trim III del
2018
d. Establecer cuál es el patrón de demanda de habitaciones para el Trim II del
2021
e. Graficar los datos originales, los datos que resultan de aplicar un Promedio
Móvil de tres períodos y las demandas que hayan resultado de las
estimaciones correspondientes.
77
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
24. Cada año se realiza en Europa uno de los torneos más importantes de golf femenino. A
continuación se presentan la bolsa total y el premio que se lleva la deportista que llega
al primer lugar. Los datos corresponden a los últimos 15 años :
Años
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
Bolsa
230,000
280,000
280,000
335,000
400,000
500,000
550,000
560,000
Premio
35,000
40,000
40,000
50,000
62,000
70,000
77,000
83,000
Años
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Bolsa
610,000
660,000
710,000
760,000
810,000
860,000
1,100,000
1,100,000
Premio
90,000
98,000
110,000
120,000
120,000
150,000
150,000
160,000
a. Graficar el diagrama de dispersión de la Variable Bolsa y Premio
b. Establecer el nivel e correlación que haya entre las dos variables analizadas
c. Establecer cuál es porcentaje de incidencia de la variable dependiente sobre la
independiente. Sustente
d. Si se aplicar una estimación lineal cuál sería la proyección de la variable
dependiente para el 2015
e. Si se aplicar un promedio móvil habría coincencia entre la estimación lineal y el
promedio móvil ?
78
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
GLOSARIO DE VARIABLES Y FÓRMULAS
I. VARIABLES
N=
Población.
n=
Muestra
X=
Variable en estudio
R=
Rango de los datos muestrales
m=
Número de intervalos de clase en una tabla de frecuencias
A=
Amplitud o longitud del intervalo de clase
Frecuencia absoluta
Frecuencia absoluta acumulada
Frecuencia relativa
Frecuencia relativa acumulada
Límites de los Intervalos de clase
Marca de clase
= Media aritmética
Mediana
Moda
Precio
Cantidad
79
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
II. FÓRMULAS
Sturges
Rango de datos
Amplitud de clase
Media Aritmética
Mediana para datos agrupados
Moda para datos tabulados
Varianza para datos agrupados
Desviación estándar
80
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
Ecuación de la recta de
regresión
Coeficientes de regresión
;
;
Coeficiente de correlación
Números índices.
Índice de Laspeyres
Índice de Paasche
81
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
GUÍA DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
ESTADÍSTICA GENERAL
REFERENCIAS BIBLOGRÁFICAS
ANDERSON, David R.
2008
Estadística para administración y economía / Dennis J. Sweeney;
Thomas A. Williams. -- 10a. ed. -- México, D.F. : Cengage Learning.
1056 p.
JOHNSON, Robert.
2008
Estadística elemental : lo esencial / Patricia Kuby. -- 10a. ed. -México, D.F. : Cengage Learning. 725 p.
RITCHEY, Ferris J.
2008
Estadística para las ciencias sociales / Ferris J. Ritchey. -- 2a. ed. -México, D.F. : McGraw-Hill. 665 p.
WEIERS, Ronald M.
2006
Introducción a la estadística para negocios / Ronald M. Weiers; J.
Brian Gray; Lawrence H. Peters. -- 5a. ed. -- México, D.F. : Thomson.
983 p.
LEVIN, Richard I.
2004
Estadística para administración y economía / Richard I. Levin; David
S. Rubin. -- 7a. ed. -- México, D.F. : Pearson Educación. 826 p.
ANDERSON, David R.
2004
Estadística para administración y economía / David R. Anderson;
Dennis J. Sweeney; Thomas A. Williams. -- 8a. ed. -- México, D.F. :
Thomson. 884 p.
MARTÍN PLIEGO, F. Javier.
2002
Introducción a la estadística económica y empresarial: Teoría y
práctica / F. Javier Martín Pliego. -- 2a. ed. -- Madrid : Thomson / AC.
601 p.
KAZMIER, Leonard J.
1991
Estadística aplicada a administración y economía / Leonard J.
Kazmier. -- 2a. ed. -- México, D.F. : McGraw-Hill. 430 p.
82
Material elaborado por Ing. José Carlos Saldarriaga Moreno
Eco. Juan Morón A.
