INTERACCIÓN GRAVITATORIA PROBLEMAS Dos masas de 5000

INTERACCIÓN GRAVITATORIA
PROBLEMAS
Dos masas de 5000 y 3000 toneladas están distanciadas 10 metros.
1. ¿En qué punto P entre los centros de gravedad de las masas se hace cero la intensidad del
campo gravitatorio?
2. ¿Cuánto vale el potencial gravitatorio en dicho punto P?
3. ¿Cuál es el potencial en el punto medio, M, entre ambas masas?
4. ¿Qué trabajo hará la fuerza gravitatoria para llevar una masa de 2 kg. desde el punto P hasta M?.
G=6,672 10-11 m3 /kg. s2
En el punto (3,2,0) se encuentra una masa de 104 kg. y en el (-4,5,1) otra de 2 104 kg..
1. ¿Cuál es la intensidad del campo gravitatorio en el origen de coordenadas?
2. ¿Qué fuerza ejercerá el campo sobre una masa de 3 kg. situada en el punto (8,4,-6)?.
3. ¿Cuál será el trabajo que realizará la fuerza para llevar la masa de 3kg desde el punto (8,4,-6) al
origen de coordenadas?.
4. Explica cuál es el trabajo que realiza el campo de fuerzas conservativas.
El valor medio de la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre es de 9,81 m/s2 y la
circunferencia terrestre es de unos 40.000 km. El periodo de rotación de la Luna en torno a la
Tierra es de unos 27,5 días. Con esa información obtén:
1. Masa de la Tierra.
2. Masa de La Luna.
3. Distancia Tierra Luna.
4. Fuerza de interacción Tierra Luna.
Disponemos de una distribución puntual de masas, m1 = 1 Kg., m2 = 2 Kg., y m3 = 3 Kg., situadas,
respectivamente, en los puntos (0,0), (0,3) y (4,0); expresadas en U.I. Determinar:
1.
2.
3.
La fuerza gravitatoria a la que se encuentra sometida m1.
El Potencial gravitatorio que la distribución origina en el punto (4,3).
El trabajo que deberían desarrollar las fuerzas del campo gravitatorio generado por la
distribución, para alejar definitivamente una masa m4 = 4 Kg., situada en dicho punto (4,3).
El primer satélite español “Minisat”, lanzado el pasado abril-97 desde las Islas Canarias, tiene un
período de revolución alrededor de la Tierra de 1,5 horas.
1.
2.
3.
Dibuja las fuerzas que actúan sobre dicho satélite una vez colocado en su órbita.
Calcula el radio de su órbita.
¿Cuál es su velocidad lineal en torno a la Tierra?.
En tres de los cuatro lados de un cuadrado de 2 metros de masa se encuentran tres masas idénticas
de 1000 kg. Obtener:
1. Vector intensidad del campo gravitatoria en la cuarta esquina.
2. Potencial gravitatorio en la cuarta esquina.
3. Trabajo que realiza el campo gravitatorio para llevar una masa de 3 kg. desde la cuarta esquina
hasta el infinito.
4. Justifica, teóricamente, el procedimiento para obtener el trabajo realizado por el campo
gravitatorio entre dos puntos.
Determinar la masa del planeta Júpiter, cuyo satélite Europa tiene un periodo de traslación 3,55
días terrestres y se encuentra a 6,71·105 Km del centro del planeta.
A una altura de 1,5·104 Km sobre la superficie terrestre, se mueve un satélite artificial de 500 Kg de
masa, siguiendo una órbita circular. Calcular:
1. La velocidad y la energía total que debe llevar dicho satélite para no caer sobre la superficie
terrestre.
2. La velocidad con que fue lanzado desde la superficie de la Tierra.
3. ¿Qué energía cinética mínima sería necesario comunicarle al satélite para alejarlo
definitivamente desde su órbita terrestre?.
Datos: MT= 5,98·1024 Kg, y RT= 6370 km.
El satélite de telecomunicaciones Astra tiene una masa de 4000 kg y está situado en una órbita
geoestacionaria.
1. ¿A qué altura sobre la superficie del planeta se encuentra?.
2. ¿Cuál es su energía?.
3. ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre él y con qué intensidad?.
4. Justifica teóricamente la expresión de la velocidad del satélite en torno a un planeta de masa M.
La aceleración de la gravedad sobre la superficie de un determinado planeta vale g= 6 m/s2. La
densidad media de este planeta es 3500 kg/m3 . Obtén:
1. Masa y radio del planeta.
2. Velocidad de escape del planeta.
3. Intensidad del campo gravitatorio en un punto situado a 1000 km. sobre su superficie.
4. Justifica, a partir del principio de conservación de la energía, la velocidad de escape.
Nos encontramos sobre la superficie de Marte y nos va la vida en escapar. Para ello debemos
conocer:
1. La intensidad del campo gravitatorio en su superficie.
2. La energía potencial gravitatoria de nuestra nave de 1500 Kg, posada sobre su superficie.
3. La velocidad de escape.
Datos: MMarte= 6,42·1023 Kg; RMarte= 3,32·106 m
Se pretende situar en órbita un satélite artificial de 500 kg. que de diariamente 12 vueltas a la
Tierra.
1. ¿A qué altura sobre la superficie terrestre se situará?
2. ¿Cuál será la energía del satélite?
3. ¿Cuál será el peso del satélite en órbita?
4. Justifica teóricamente el procedimiento para obtener la velocidad de un satélite en órbita.
La Luna describe una órbita casi circular en torno a la Tierra en 27,3 días. Calcula:
1. La distancia media entre los centros de la Tierra y la Luna.
2.
3.
1
El valor de la fuerza mutua con que ambas se atraen, sabiendo que la masa de la Luna es 81
veces la de la Tierra.
Si en la Luna se deja caer, sin velocidad inicial, un objeto desde una altura de 10 m, ¿con qué
velocidad llegará al suelo?.
Datos: G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2; MT = 6,0·1024 kg; RL= 1,6·106 m.
SOLUCIONES
1. 1. En dicho punto se debe verificar que los módulos del campo gravitatorio creado
por cada masa deben ser iguales. Si suponemos que el punto donde se anulan está a una
distancia x de una de las masas, estará a 10-x de la otra.
m
m2
G 21 = G
r
r
g1 = g 2 ;
x
(10 − x) 2 ; y resolviendo queda x = 5,63 m de la masa m1 que
es la de 5000 toneladas.
2. El potencial será la suma de los creados por las dos masas:
m 
m2 
−5
V p = V1 + V2 = −G 1 +  − G
 = −10,49·10 J Kg
x 
10 − x 
3. El punto medio está a 5 metros de cada masa:
m 
m 
VM = V1 + V2 = −G 1 +  − G 2  = −10,672·10 −5 J Kg
5 
5 
4. W = − ∆E p = − m·∆V = − m·(VM − V P ) = 0,364 J trabajo positivo porque se hace a
favor del campo.
4. 1. La fuerza que siente m1 será la suma vectorial delas fuerzas debidas a las otras dos
masas.
r
m ·m r 2G r
j
F21 = G 1 2 2 j =
9
r
r
r r
r
m ·m r 3G r
3G r 2G r
i
F31 = G 1 2 3 i =
F = F21 + F31 =
i+
jN
16
16
9
r
2. El potencial será la suma de los potenciales creados por cada una de las masas, según
el principio de superposición:

m 
m  
m  
17
V = V1 + V2 + V3 =  − G 1  +  − G 2  +  − G 3  = − G J Kg
r1  
r2  
10
r3 

4. Alejar definitivamente una masa significa trasladarla al infinito, donde la energía
potencial gravitatoria se anula:
34
W = − ∆E P = −( E ∞ − E ( 4,3) ) = E ( 4,3) = m·V = − GJ
5
signo negativo porque vamos en
contra del campo gravitatorio.
5. 1. La única fuerza que actúa sobre el satélite en órbita es la de la gravedad, que es la
que le obliga a moverse en esa órbita circular. En otro caso el satélite saldría en línea
recta, según el principio de inercia. Nota: es importante no pintar la fuerza centrífuga, pues es ésta
una fuerza no inercial, que a veces se coloca para convertir al satélite en un sistema de referencia “bueno”.
2. Para el cálculo del radio, me basta tomar la 3ª ley de Kepler y despejarlo:
T 2 4π 2
GMT 2
3
=
⇒
R
=
= 6,654·10 6 m
R 3 GM
4π 2
habiendo tomado el período en segundos.
3. La velocidad orbital:
vo = G
M
= 7742,3 m s
R
7. Basta con hacer uso de la 3ª ley de Kepler cuidando las unidades:
T 2 4π 2
4π 2 R 3
M
=
⇒
=
= 1,9·10 27 Kg
3
2
GM
R
GT
8. 1. La velocidad que debe llevar el satélite es las velocidad orbital:
M
5,98·10 24
= 6,67·10 −11
= 7903,7 m s
R
6,385·10 6
La energía que tiene el satélite es la suma de la cinética más la potencial, que tiene una
expresión:
Mm
Mm 

= −1,56·1010 J
E = EC + E P = 12 mv o2 +  − G
 = − 12 G
R
R 

que será negativa como
corresponde a una órbita cerrada.
2. La velocidad de salida se calcula con un balance de energías: como el campo
gravitatorio es un campo conservativo, se verifica el principio de conservación de la
energía mecánica. La energía mecánica en la superficie terrestre es igual a la que tiene
el satélite en esa órbita, que ya calculamos en el punto anterior.

Mm 
1
 = −1,56·1010 ⇒ v = 7926,7 m s
mv 2 +  − G
2
RT 

3. La energía cinética mínima será la correspondiente a la de la velocidad de escape. Su
expresión será:
Mm
EC = G
= 3,13·1010 J
RT
vo = G
9. 1. Una órbita geoestacionaria es la que tiene un período igual al de rotación terrestre,
es decir 24 horas o 86400 segundos. En la expresión de la 3ª ley de Kepler:
T 2 4π 2
GMT 2
3
=
⇒
R
=
= 42,25·10 6 m
R 3 GM
4π 2
desde el centro de la Tierra. Si le restamos
el radio terrestre, nos quedará una altura de 35,88·106 m = 35880 km.
2. La energía será:
Mm 
Mm

E = EC + E P = 12 mv o2 +  − G
= −1,88·1010 J
 = − 12 G
R 
R

3. La fuerza será la dada por la Ley de Gravitación de Newton:
Mm
F = G 2 = 893,7 N
R
donde R es la distancia desde el centro de la Tierra hasta la
órbita.
10. 1. Hay que recordar la expresión de la densidad, así como el volumen de una esfera.
M
g =G 2
R y la de la densidad para una
Escribimos la expresión del campo gravitatorio
M
M
= 4 3
d=
V
3 πR . Si combinamos ambas expresiones, despejando M de la primera
esfera
R2
g
g
d = 4 G3 ⇒ R = 4
= 6,135·10 6 m
G 3 π ·d
3 πR
y sustituyendo en la segunda
y sustituyendo en
24
la masa M = 3,38·10 Kg.
v e = 2G
M
= 8572,9 m s
Rp
2.
donde Rp es el radio del planeta antes calculado.
3. Al radio del planeta le sumamos los 1000 km sobre la superficie.
M
g = G 2 = 4,42 m s 2
R
11. 1. Simplemente sustituimos los datos en la expresión del módulo del campo
M
g = G 2 = 3,88 m s 2
R
gravitatorio:
que es un 40% del campo gravitatorio terrestre.
M ·m
= −1,93·1010 J
E P = −G
R
2. De la expresión de la energía potencial
3.
ve = 2G
M
= 5078,9 m s
R
12. 1. Del enunciado se deduce que el período del satélite será de 1/12 de un día. Es
decir: T = 1/12 · 24 · 3600 = 7200 s. Que es el tiempo que tarda en orbitar la Tierra. para
calcular el radio de la órbita, de nuevo uso la expresión de la 3ª ley de Kepler:
T 2 4π 2
GMT 2
3
=
⇒R=
= 8,06·10 6 m
3
2
GM
R
4π
es decir, 1690 km sobre la superficie.
Mm 
Mm

E = EC + E P = 12 mv o2 +  − G
= −1,23·1010 J
 = − 12 G
R 
R

2.
3. El peso del satélite será su masa multiplicada por la gravedad a esa altura.
M
P = m· g = m·G 2 = 3070 N
R
13. 1. Dado ese período lunar, hay que pasarlo a segundos T = 2358720 s. e igual que
antes obtener el radio por la 3ª Ley de Kepler, pues consideramos a la Luna como un
satélite orbitando la Tierra.
GM T T 2
T2
4π 2
3
=
⇒
R
=
= 383,065·10 6 m
2
3
GM T
R
4π
MT M L
= 2·10 20 N
2
R
2. De la Ley de Gravitación de Newton
3. Primero calculamos la gravedad en la Luna y después resolvemos como un problema
normal de cinemática.
1 M
M
g L = G 2L = G 81 2 T = 1,92 m s 2
RL
RL
F =G
v 2 = v 02 + 2· g L ·s ⇒ v = 6,2 m s