C9. CONCLUSIONES

CAPÍTULO 9. Conclusiones y nuevas líneas de trabajo.
CAPÍTULO
TRABAJO
9.
CONCLUSIONES
Y
NUEVAS
LÍNEAS
DE
Una vez se ha concluido el estudio de los distintos casos del péndulo concreto en
el que se centra este proyecto fin de carrera, se puede llegar a algunas conclusiones
interesantes sobre el comportamiento dinámico del péndulo, la metodología resolutiva
aplicada y las herramientas gráficas obtenidas.
En primer lugar, hay que indicar que el análisis del comportamiento dinámico de
un péndulo cuya longitud varía armónicamente con el tiempo es más amplio que el
desarrollado hasta ahora. Por un lado, hay otras regiones de inestabilidad a parte de la
cuña asociada a resonancia 2:1 (como por ejemplo la asociada a la resonancia 1:1), y
por otro, no se ha completado el estudio de la cuña asociada a la resonancia 2:1 para
grandes variaciones de longitud del péndulo (ε no necesariamente mucho menor que
uno). Tampoco se ha considerado el caso de grandes amplitudes de oscilación.
Pero el análisis de los resultados obtenidos en los casos con lo que se ha
trabajado, permiten llegar a algunas conclusiones interesantes que se pretenden resumir
a continuación:
+) Aplicación del método resolutivo a la ecuación de Mathieu:
Tal y como se afirmó con anterioridad, no se han encontrado herramientas
gráficas del tipo del péndulo que se considera aquí, por lo que, como es lógico, hay que
comprobar la validez del sistema resolutivo aplicado. Para ello, se ha recurrido a la
ecuación de Mathieu, cuyo mapa de estabilidad está disponible en muchos libros de
física y mecánica.
La comparación entre el mapa de estabilidad obtenido y el que predice la
literatura permite afirmar que el método de resolución de la ecuación de movimiento y
su representación gráfica es correcto. Por tanto, se garantiza la validez de los resultados
de los siguientes casos.
+) Péndulo cuya longitud varía armónicamente con el tiempo, sometida la ecuación de
movimiento a linealización por hipótesis de pequeñas oscilaciones y simplificaciones
por pequeñas variaciones de longitud:
En este caso, analíticamente se llega a una ecuación de movimiento que es la
ecuación de Mathieu expresada de otra forma. Sin más que realizar un cambio en la
nomenclatura de los parámetros se observa cómo la ecuación de movimiento obtenida
130
CAPÍTULO 9. Conclusiones y nuevas líneas de trabajo.
es la de Mathieu. Esto es totalmente consecuente con el mapa de estabilidad
desarrollado mediante cálculo numérico, pues de nuevo se llega al mismo tipo de mapa
de estabilidad que en el caso anterior.
Este mapa de estabilidad constituye una herramienta gráfica de gran utilidad, ya
que aporta mucha información acerca del comportamiento dinámico del mecanismo
mediante un solo gráfico. A medida que aumenta la variación relativa de alargamiento
del péndulo, aumenta el rango de la razón de frecuencias para el que se obtienen
soluciones inestables; es por esto por lo que la forma de la región de inestabilidad
adquiere forma de cuña, cuyo pico parte de ε=0 y µ=0.5
+) Péndulo cuya longitud varía armónicamente con el tiempo, con un término “K” de
amortiguamiento, sometida la ecuación de movimiento a linealización por pequeñas
oscilaciones y simplificaciones por pequeñas variaciones de longitud.
El objetivo del estudio de este caso concreto era determinar a grosso modo cúal
es el efecto de la presencia de un cierto amortiguamiento sobre la cuña de inestabilidad
asociada a la resonancia 2:1. Para ello, tal y como se ha hecho, se estudiaron dos
situaciones, cada una con un valor de K.
Lo primero que se ha de indicar es que, para que el análisis tuviera sentido, había
que garantizar que el movimiento del péndulo era subamortigado. Como es lógico,
pensar, un movimiento sobreamortiguado implicaría que el péndulo terminaría
parándose siempre. Esto limita el valor del parámetro asociado al amortiguamiento con
el que se juega.
Una vez completado el análisis, se puede afirmar que los resultados obtenidos
son similares (como no podría ser de otra manera) a los que predice la literatura para la
ecuación de Mathieu con amortiguamiento: la cuña de soluciones inestables se desplaza
hacia arriba en el mapa de estabilidad, esto es, comienzan a aparecer soluciones
inestables cuando ya la variación relativa de longitud tiene una cierto valor. Este valor
viene determinado por el amortiguamiento considerado, siendo mayor cuanto mayor sea
éste (la cuña se desplazará hacia arriba tanto más cuanto mayor sea el valor de K )
+) Péndulo cuya longitud varía armónicamente con el tiempo, sometida la ecuación de
movimiento únicamente a simplificaciones por considerar pequeñas variaciones
relativas de longitud (no hay aplicación de linealización).
En principio, el comportamiento del péndulo varía poco si se sigue trabajando
con pequeñas amplitudes de oscilación aunque no se linealice. Lo que ocurre es que,
para cada variación relativa de longitud con la que pueda excitarse al péndulo, existen
un par de valores de la razón de frecuencias (parámetro µ) para los que el sistema
mecánico “recuerda” la solución de tránsito que se daba en el caso lineal.
131
CAPÍTULO 9. Conclusiones y nuevas líneas de trabajo.
Con esta idea han sido obtenidas las dos curvas ángulo*/µ (una partiendo de
cada valor extremo de la razón de frecuencias para la región inestable fijada la variación
relativa de longitud) en el capítulo correspondiente. Como se indicó, ángulo* es el valor
angular asociado a la amplitud de oscilación con la que el péndulo oscila para esta
“solución de tránsito recodada”.
Las curvas ángulo*/µ obtenidas tienen forma parabólica y continúan más allá del
rango de razón de frecuencias para el que según el mapa de estabilidad se obtienen
soluciones inestables. Esto lleva a afirmar que el valor del ángulo* aumenta
rápidamente a poco que se aleje del valor extremo de la razón de frecuencias del que
parte la curva, si bien, este aumento se ralentiza a medida que se toman valores de razón
más lejanos (sobre todo fuera del rango de razones para el que se tiene comportamiento
inestable).
+) Péndulo cuya longitud varía armónicamente con el tiempo, donde la ecuación de
movimiento no está sometida ni a linealización por pequeñas oscilaciones ni a
simplificaciones por pequeñas variaciones de longitud.
En este último caso de la amplia casuística que presenta el péndulo en cuestión,
se ha obtenido analíticamente la ecuación de movimiento sin linealización ni
simplificación.
Para poder apreciar que la simplificación por pequeñas variaciones de longitud
es de correcta aplicación en el caso en el que se ha aplicado y no distorsiona el mapa de
estabilidad, se ha representado el correspondiente a la ecuación de movimiento obtenida
aquí con unas variaciones de longitud relativa muy pequeñas.
Comparando este mapa de estabilidad con el que se obtuvo en el caso de la
ecuación linealizada y simplificada, se puede afirmar que no hay diferencias notables.
Esto quiere decir que la validez de la simplificación es correcta siempre que se cumpla
la hipótesis de pequeñas variaciones relativas de longitud.
En resumen, en vista de las conclusiones acerca de cada uno de los casos
estudiados, el mapa de estabilidad obtenido a partir de la ecuación linealizada y
simplificada se puede aplicar acertadamente para predecir y comprender el
comportamiento del péndulo siempre que las hipótesis de partida sean correctas. Estas
hipótesis son pequeñas oscilaciones y pequeñas variaciones de longitud. Fuera de estas
hipótesis, podría ser arriesgado extrapolar los resultados de la ecuación linealizada y
simplificada, pues otros factores entrarían en juego.
A partir de aquí, una vez vistas las conclusiones de este proyecto fin de carrera,
se pueden establecer cúales serían las líneas de actuación en el caso de que se quisiera
132
CAPÍTULO 9. Conclusiones y nuevas líneas de trabajo.
continuar analizando el comportamiento dinámico de un péndulo no lineal. Estas líneas
de trabajo pueden ser las siguientes:
+) Análisis del comportamiento dinámico de un péndulo cuya longitud varía
armónicamente con el tiempo mediante el empleo de un programa de cálculo numérico
más potente.
Como ya se indicó en el primer capítulo de este proyecto fin de carrera, el
programa de cálculo numérico empleado ha sido el MATLAB, debido principalmente a
su gran versatilidad y a su empleo bastante extendido. Sin embargo, este programa tiene
sus limitaciones.
Actualmente existen otros programas informáticos de cálculo numérico más
modernos y menos limitados, que aportan resultados más exactos así como una mayor
cantidad de información. Programas como el AUTO permiten determinar para qué
valores de los parámetros se producirán cambios en el comportamiento del sistema,
determinar puntos de silla, bifurcaciones de Hopf, etc.
+) Análisis del comportamiento dinámico de un péndulo cuya longitud varía
armónicamente con el tiempo en el entorno de resonancia 2:1 cuando no se consideran
pequeñas variaciones de longitud relativas.
Se repetiría un análisis similar al desarrollado en este proyecto fin de carrera,
pero centrando el estudio en determinar la parte superior de la cuña de inestabilidad
asociada a la resonancia 2:1, así como sobre la validez de los resultados.
+) Análisis del comportamiento dinámico de un péndulo cuya longitud varía
armónicamente con el tiempo centrando el estudio en la cuña de inestabilidad asociada a
la resonancia 1:1.
La cuña de inestabilidad asociada a la resonancia 1:1 es de menor grosor que la
asociada a la resonancia 2:1, pero también puede dar juego el estudio del
comportamiento dinámico en su entorno. Este análisis se puede realizar tanto con
MATLAB como con otros programas más potentes en resolución numérica.
+) Análisis del comportamiento de un péndulo cuya longitud varía periódicamente con
grandes amplitudes de oscilación.
133
CAPÍTULO 9. Conclusiones y nuevas líneas de trabajo.
En este caso se centraría el trabajo en ver cómo responde el péndulo cuando se
parte de la premisa de grandes amplitudes de oscilación.
+) Análisis del comportamiento dinámico de un péndulo cuya longitud varía con el
tiempo.
Se puede plantear el estudio del comportamiento dinámico de un péndulo cuya
longitud es función del tiempo, pero esta variación (aunque periódica) no tiene por qué
responder a una función senoidal. De este modo, se trataría de averiguar cómo el tipo de
función periódica afecta al hecho de que el péndulo se autoexcite con la variación de
longitud.
+) Análisis del comportamiento dinámico de un péndulo cuya masa varía
armónicamente con el tiempo.
También puede ser interesante estudiar qué es lo que ocurre cuando lo que varía
armónicamente no es la longitud sino la masa. Puede ser que esta situación no tenga una
aplicación práctica a primera vista, pero puede ilustrar conceptos y aclarar problemas.
+) Análisis del comportamiento dinámico de un péndulo cuya longitud y cuya masa
varían armónicamente con el tiempo.
Una vez se conoce el comportamiento dinámico del péndulo en el que varía la
longitud armónicamente por un lado, y por otro, el comportamiento dinámico si lo que
varía armónicamente es la masa, se puede analizar qué ocurre cuando ambas variaciones
se presentan conjuntamente desfasadas o no.
En este caso se plantea una situación muy interesante, pues puede que una
excitación amplifique el efecto de la otra o se contrarresten.
Sin duda alguna, el desarrollo de estas nuevas líneas de trabajo dará lugar a
nuevos e interesantes resultados, si bien es muy previsible que de sus conclusiones
surjan nuevas líneas de investigación, pues, como se ha insistido a lo largo de este
proyecto fin de carrera, el comportamiento dinámico de un péndulo cuyos parámetros
varíen con el tiempo es extremadamente rico.
134
CAPÍTULO 9. Conclusiones y nuevas líneas de trabajo.
135