Tema 9 Objetivos Inducción electromagnética Fenómenos de
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Tema 9 Objetivos Describir fenómenos de inducción electromagnética. Enunciar la ley de Faraday y la ley de Lenz y aplicarlas al cálculo de f.e.m. inducidas por flujos magnéticos variables. Conocer aplicaciones basadas en los fenómenos de inducción. Definir los conceptos de autoinducción, inducción mutua. Inducción electromagnética Analizar circuitos con bobinas y resistencias. Definir energía magnética y densidad de energía. Michael Faraday 1791-1867 Inducción electromagnética Fenómenos de inducción electromagnética 1. Fenómenos de inducción electromagnética. 2. Ley de Faraday. Ley de Lenz. 3. Inducción mutua. Autoinducción. 4. Circuito RL. v v 5. Energía almacenada en una autoinducción. Densidad de energía del campo magnético. S I N 6. Aplicaciones de los fenómenos de inducción. I Fenómenos de inducción electromagnética Fenómenos de inducción electromagnética S B S 5 B 10 15 0 N v I 1C Fenómenos de inducción electromagnética Varía el ángulo entre la superficie y el campo magnético Varía el campo magnético en la bobina 1C Ley de Faraday Las corrientes que aparecen por inducción en una espira son debidas a la aparición de fuerzas electromotrices (ε), cuyo valor depende de la rapidez con que varía el flujo magnético que atraviesa la espira: ● S=∫ B dS cos α Φ=∫ B⋅d S S ε=− B v dΦ dt S= ∫ BdS cosα Φ=∫ B⋅d Ley de Lenz I Varía la superficie de la espira Ley de Faraday E E Φt Φ varía con t B E q F W ℓ ε= =∮ ⋅d ℓ=∮ E⋅d q q ℓ=− dΦ ε=∮ E⋅d dt E E E E Ley de Lenz ● ● La polaridad de la f.e.m. es tal que ésta tiende a producir una corriente que crea un flujo magnético que se opone al cambio en el flujo magnético a través del circuito. La corriente inducida tiende a mantener el flujo original a través del circuito. B v I E No es conservativo d S ∮ E⋅d ℓ=− dt ∫ B⋅d Ley de Lenz B N B S 0 N S 0 I aumenta S aumenta Φ=∫ B⋅d S Ley de Lenz I S Ley de Lenz B aumenta Interruptor + Ley de Lenz B 0 B Interruptor I I B=0 constante + - 0 I - Ley de Lenz B disminuye Interruptor Ejercicio 1a 0 B I + - i(t) aumenta con t 1C Ejercicio 1a B Ejercicio 1b Bi F =0 i v I i(t) aumenta con t B F I v i 1C 1C Ejercicio 1c B B v R Ejercicio 1d F R i ω B I Problema 7 a) A S=∫ B dS=B∫ dS=B S Φ=∫ B⋅d S S= C O L B Φ=B C’ b) ∣ε∣= c) Coeficientes de inducción: Inductancia mutua I1 ① Φ21 2 L α 2 S α=ω t L2 α B L2 ωt = Wb 2 2 B dΦ B ω L2 = V dt 2 ∣ε∣ B ω L 2 = A R 2R Coeficientes de inducción: Inductancia mutua 1C I1 ① ε Φ21 ε B 1 ● S ω i= 1C R R v Problema 7 7. Un aro metálico de radio L y resistencia despreciable, abierto entre C y C', está situado en el interior de un campo magnético B, uniforme, normal al plano del aro y sentido el que se indica en la figura, una barra de cobre, en el dibujo OA, gira alrededor de su extremo O, coincidente con el centro del aro, con velocidad angular w constante, permaneciendo su extremo A en permanente contacto con el aro. Entre O y C hay un hilo conductor de resistencia R. Calcula: a) Flujo magnético, expresado en función del tiempo, a través del circuito OACO. b) Fuerza electromotriz inducida en dicho circuito. c) Intensidad de corriente que circula por la resistencia R. F ω B Coeficiente de inducción mutua M21 del circuito 2 con respecto al 1: B 1 ● Φ21=M21 I1 Coeficiente de inducción mutua M21 del circuito 2 con respecto al 1: Φ21=M21 I1 Coeficientes de inducción: Inductancia mutua Coeficientes de inducción: Inductancia mutua B 2 B 2 ① I1 ① Φ12 I2 Coeficiente de inducción mutua M12 del circuito 1 con respecto al 2: I2 Φ12 ① ε M21=M12=M Φ12=M12 I2 Coeficientes de inducción: Inductancia mutua Coeficientes de inducción: Inductancia mutua B 2 I1 ① Φ21 B 2 I2 Φ12 ① ε B 1 I1 ① dt =−M M21=M12=M . dI1 dt S.I. M : henrio (H) . M Vs H= A Problema 6 6. Sea un conductor rectilíneo infinito por el que circula una corriente de intensidad I = Kt donde K es una constante positiva. Una espira rectangular de lados a y b se sitúa en el plano del conductor tal como se muestra en la figura. Calcula: a) f.e.m. inducida εi. b) Si la espira tiene una resistencia R, cuánto vale la i inducida, indicando su sentido. c) Fuerza magnética sobre el lado AB (módulo, dirección y sentido). d) Coeficiente de inducción mutua entre el hilo y la espira (M). I2 Φ12 ① Problema 6 I A B c a b a) B=μ 0 I 2πx c+ b µ Ia dx µ0 Ia c + b Φ = ∫ B ⋅ dS = ∫ BdS= ∫ 0 = ln (Wb) 2π x 2π c S S c ∣ε i∣= μ0 a dΦ d μ 0 Ia cb cb d Kt μ 0 aK cb = ln = ln = ln dt dt 2π c 2π c dt 2π c V b) Ii= ε B 1 M21=M12=M • Si I1= I1(t); ε2=− Φ21 ε ε dΦ21 ε B 1 ε Φ21 ∣ε i∣ μ0 aK cb = ln R 2π R c A antihorario Problema 6 Problema 11 ∫ d ℓ× B F=i c) 11. Dos espiras circulares, de radios a=1 cm y b= 50 cm, concéntricas, están situadas en el mismo plano. (Se considera a<<b). Calcula: a) Coeficiente de inducción mutua de ambas espiras. b) Flujo magnético que atraviesa la espira de radio b cuando por la de radio a circula una intensidad I = 5 A. c) ¿En qué se traduce que la relación de radios de ambas espiras sea a<<b? Considera la posibilidad de que la diferencia entre a y b no fuese grande y analiza la complejidad del problema resultante. Compara la resolución del ejercicio con el ejemplo resuelto 15-5 buscando analogías y diferencias. C cb F=i∫ B dx=i C d) ∫ c M= μ0 I dx 2π x = 2 μ0 K 2π ln cb c Φ μ0 a cb = ln I 2π c at N R H Problema 11 a) B= Problema 11 μ0 I b c) a<<b 2b b µ I π a2 Φ = ∫ B⋅ dS = BS= 0 b 2b S M= Φa Ib = b a B≠ a μ 0 π a2 b μ0 I b a 2b S≠BS Φ=∫ B⋅d 2b S Φ μ π a2 4π 10−7 π 10−4 M= a = 0 = =4⋅10−11 π 2=3,95⋅10−10 H Ib 2b 2⋅50⋅10−2 b) Φb=MIa=4⋅10−11 π 2⋅5=2π 2⋅10−10=1,97⋅10−9 Wb Coeficientes de inducción: autoinducción Coeficientes de inducción: autoinducción Φ = LI ε=− I ε I S.I. ε B dΦ dΙ =−L dt dt B L L : henrio (H) Autoinducción I Ii a L + I aumenta I Ii a V b−V a=−L −b εL dI 0 dt Determina la expresión del coeficiente de autoinducción del solenoide de la figura, suponiendo que es muy largo comparado con su radio, que el número de espiras N es grande, y conociendo que al circular por él una corriente I la expresión del campo magnético en su interior es: B = µ0NI/x. Aplícalo al caso concreto de un solenoide de 500 espiras de 5 cm de radio, y una longitud de 50 cm. N S L V b−V a=−L + b εL - Ejemplo 13-5 I disminuye dI 0 dt x Ejemplo 13-5 Solenoide N S I x Φ L= I B Φ=N ∫ B⋅d S S 2 Φ=N ∫ BdS=NB∫ dS=NBS=N S L= μ0 N 2 S x L= S = μ0 n2 x μ0 N I μ0 N S = I x x n número de espiras por unidad de longitud N espiras Circuito RL Energía almacenada por una autoinducción di dt L i R ε di ε−L −iR=0 dt ℓ ℓ μ0 N 2 S 4π⋅10−7⋅5002 π⋅0,052 = =4,93 mH x 0,5 −L L= μ0 S N 2 −L ie =ε/R L iR τ t − i t =ie 1−e t L/R R i ie =ε/R di −iR=0 dt ie iR τ t − i t =ie 1−e −L Constante de tiempo τ = L/R i ε di dt t L/R 1 W = Li 2e 2 τ t i t =ie e − t L/R 1 W = Li 2e 2 Constante de tiempo τ = L/R Energía del campo magnético 1 W = L i 2e 2 ie L= B l W= Aplicaciones Sistemas de lectura magnéticos: μ0 S N 2 l I 1 2 B V ol 2μ0 I 1 2 B 2μ0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 Aplicaciones Aplicaciones ω B= N espiras Corrientes de Foucault: Corrientes de Foucault: i ω S N N B =B0 sen ωt Aplicaciones Aplicaciones Transformador: Transformador corrientes de Foucault: N1 N2 V1 ~ V2 ~ ε1=V 1 =N 1 dΦ ; dt ε2=V 2=N2 dΦ dt V1 V2 = N 1 N2 i B ⇒ V 2= N2 N1 V1 B Generador de corriente alterna Inducción mutua ℓ1 Generador de corriente alterna: N2 S2 S1 S B1 S N B2 = ω Sω t dΦ ε=− =BNS ω senωt dt M= B ℓ dS I F Φ12 = N1B2S1 Φ12 i1 = μ 0 N 1 N2 π r 21 ℓ1 m R I ℓ v dS x ε=− v0 F R dΦ t ε=− =Bℓv dt Barra lanzada con velocidad inicial ε Bℓv i= = R R B 2 2 i ℓ× B− B ℓ v =m d v F= R dt − v mR 2 B ℓ 2∫ v0 dv =t v v=v 0 e − B2 ℓ2 t mR Inducción en una barra con movimiento circular ε= ω dΦ dS πL2 =B =B dt dt T A L B m =1 g B = 0,05T R = 3 Ω L = 0,1m v0 = 2 m/s T (½) = 83,18 s dΦ t =Bℓv dt ε Bℓv i= = R R B2 ℓ 2 F=− v R r1 Barra lanzada con velocidad inicial B v N1 ℓ2 Fuerza sobre una barra móvil μ0 N2 i 2 ℓ2 O C C’ ε=B πL2 1 = BL2 ω 2π 2 ω ε BL2 ω Ι= = R 2R Flujos sobre una espira móvil z a A S=Cybdy dΦ= B⋅d vt b F1 I dS 2 2 avCb avC b F 1=Ι b× B 1= bCvt j= vt j R R V A’ F2 dy y x B = Cyi 2 2 =− avCb bC vt a j =− avC b vta j F 2=Ι b× B 2 R R
