Ecuación diferencial de variables separables

96
LECCIÓN 5: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER
ORDEN DE VARIABLES SEPARABLES
JUSTIFICACIÓN:
En esta Lección se centrará la atención en el estudio de aquellas ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden las cuales pueden transformarse en
ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de variables separadas, mediante
la aplicación de operaciones elementales entre sus términos o por medio de algún
cambio de variable. En estos casos se dirá que las ecuaciones dadas son ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden de variables separables.
Estudiaremos tres casos:
Caso1: La ecuación diferencial tiene la forma
P (x) dx + Q (y) dy = 0
Caso 2: La ecuación diferencial tiene la forma
P1(x) Q1(y) dx + P2(x) Q2(y) dy = 0
Caso 3: La ecuación diferencial tiene la forma
y F (x.y) dx + x G (x.y) dy = 0
OBJETIVOS:
El estudiante podrá:
1-
Identificar si la ecuación diferencial dada es una ecuación diferencial
ordinaria de primer orden de variables separables.
97
2-
Transformar la ecuación diferencial dada en una ecuación diferencial de
variables separadas.
3- Obtener la solución general de una ecuación diferencial ordinaria de primer
orden de variables separables.
PROCEDIMIENTO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE
En la Lección 4 ¿qué estudiamos?

Estudiamos las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de
variables separadas.
¿Cuál es la característica esencial de este tipo de ecuación diferencial?
 Se caracterizan por tener la forma P (x) dx + Q (y) dy = 0
Muy bien. ¿Podrían darme algún ejemplo de ecuación diferencial ordinaria de
primer orden de variable separada?
 Por ejemplo:
1- 2x dx + y dy = 0
2- x3 dx +
y dy = 0
Correcto. ¿Qué pasos seguimos para obtener la solución general?
98

Integramos cada término de la ecuación diferencial. Sumamos solo una
constante arbitraria y en los casos en los cuales fue posible despejamos la variable
dependiente, para dar la solución en forma explícita.
Exactamente. Si yo les pidiera la solución general de la ecuación diferencial
del ejemplo 2 que acabamos de anotar ¿qué obtenemos?
 Si tomamos la ecuación diferencial
x3 dx +
y dy = 0
integrando se obtiene

x 3 dx 

y dy  C
Al resolver las integrales, las cuales son inmediatas resulta
3
x4 2 y

C
4
3
Ya que de aquí se puede despejar "y" se tendrá entonces que
general de la ecuación diferencial x3 dx +
la
solución

3x 4 
y dy = 0 es y = 3  k 

8 

2
Correcto. En esta Lección se estudiarán tres casos de ecuaciones diferenciales,
las cuales mediante la aplicación de ciertas operaciones fundamentales o ciertos
cambios de variable se pueden transformar en ecuaciones diferenciales de variables
separadas. A este nuevo tipo de ecuación diferencial se les denomina ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden de variables separables.
99
Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de variables separables:
Caso 1: Ecuaciones diferenciales de la forma Q (y) dx + P (x) dy = 0
Consideremos la ecuación diferencial y dx + x dy = 0 ¿es esta una
ecuación diferencial de variables separadas?
 No.
¿Podrían decirme por qué?
 Porque la diferencial dx está multiplicada por una función que depende de la
variable "y", y la diferencial dy está multiplicada por una función que depende de la
variable "x".
Exactamente. Observen la ecuación diferencial. ¿Qué operación
o qué
operaciones sugieren se efectúen en la ecuación diferencial a fin de transformarla en
una ecuación diferencial de variables separadas?

Se debe multiplicar la ecuación diferencial dada por el factor 1
ecuación se transforma en la ecuación diferencial
xy
; así la
1
1
dx  dy  0 en la cual las
x
y
variables están separadas.
Correcto. Ya que las variables están separadas ¿qué se debe hacer ahora?
 Ahora se debe integrar

1
dx 
x

1
dy  k
y
100
Muy bien ¿Qué tipo de integrales son estas?
 Son integrales inmediatas. Resolviéndolas se obtiene

1
dx  ln x
x

,
1
dy  ln y
y
Exacto. ¿Cómo queda la solución general?
 La solución general queda
ln x
+ ln y = K , o equivalentemente ln xy = K
¿Será posible despejar "y"?
 Sí. Despejando "y" resulta y = C
x
Muy bien. Veamos otro ejemplo. Consideremos la ecuación diferencial (y + 1)
dx - x3 dy = 0
¿Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de variables
separadas?
 No.
¿Por qué?
 Porque la función que multiplica a la diferencial dx depende de la variable y
mientras que la función que multiplica a la diferencial dy depende de la variable x.
101
Exactamente.
¿Qué sugieren entonces que hagamos para separar las
variables?
 Debemos multiplicar la ecuación por el factor
1
x 3 ( y  1)
Correcto. ¿Qué obtenemos al multiplicar la ecuación diferencial dada por ese
factor?
 Obtenemos
1
x
3
1
dy  0
y 1
dx 
Exacto. Observen que ahora las variables si están separadas. ¿Cuál es el
siguiente paso?
 El siguiente paso consiste en integrar cada término de la ecuación diferencial
1
x3
dx 
1
dy  0 de lo cual se obtiene:
y 1

1
x3

dx 
1
dy  K
y 1
¿Cómo resuelven estas integrales?
 Estas integrales son inmediatas

1
x
3
dx  
1
x
2
;

¿Cómo queda la solución general?
1
dy  ln y  1
y 1
102
 La solución general queda
1
x2
 ln y  1  K
¿Se puede despejar la variable "y" de este resultado?
 Sí. Al despejar la variable "y" resulta que la solución general es
2
y  C e1 x  1
Muy bien. Observemos nuevamente las dos ecuaciones diferenciales que
acabamos de resolver
y dx + x dy = 0
(y + 1) dx + (- x3) dy = 0
¿Qué característica común tienen estas dos ecuaciones, en cuanto a su forma?
 Ambas están escritas como una función que depende de la variable "y" por la
diferencial dx más una función que depende de la variable "x" por la diferencial dy.
Correcto. Eso podríamos escribirlo en forma general diciendo que esas
ecuaciones diferenciales tienen la forma Q (y) dx + P (x) dx = 0
¿Por qué factor multiplicamos cada función a fin de separar las variables?

Multiplicamos cada ecuación diferencial por un factor igual al inverso del
producto entre la función que multiplica la diferencial dx con la función que
multiplica la diferencial dy
103
Exactamente. Podemos entonces escribir que el factor por el cual
multiplicamos las ecuaciones diferenciales para separar las variables tiene la forma
1
P ( x ) Q ( y)
Abran sus guías en la página 20 y leamos la información que allí aparece.
CASO 1: ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA FORMA
Q (y) dx + P (x) dy = 0
Una ecuación diferencial de la forma
Q (y) dx + P (x) dy = 0
se dice que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de variables
separables.
Para transformar dicha ecuación diferencial en una de variables separadas
basta con multiplicar la ecuación dada por el factor
1
, obteniendo
P ( x ) Q( y )
1
1
dx 
dy  0
P( x )
Q( y )
Resuelvan el Problema 1 que aparece en la página 20 de sus guías. Tienen
tres minutos. Trabajen en forma individual.
PROBLEMA 1:
Obtenga la solución general de la ecuación diferencial
(y2 - 2) dx + (2x2 - x - 3) dy = 0
Revisemos como resolvieron el Problema 1.
104
¿Cuál es el factor por el cual debemos multiplicar la ecuación diferencial dada
para transformarla en una ecuación diferencial de variables separadas?
 El factor por el cual debemos multiplicar la ecuación diferencial dada es
1
2
( y  2) (2 x 2  x  3)
Muy bien. ¿Cómo queda entonces la ecuación diferencial al multiplicarla por
ese factor?
 La ecuación diferencial queda
1
2
2x  x  3
dx 
1
2
y 2
dy  0
Correcto. Ya están separadas las variables. ¿Qué deben hacer ahora?
 Ahora lo que tenemos que hacer es integrar

1
2
2x  x  3
dx


1
2
y 2
¿Por cual método de integración se resuelve

dy  K
1
2
2x  x  3
dx ?
 Para resolver esa integral hay que aplicar fracciones simples
Exacto. Si se factoriza el polinómio 2x2 - x - 3 ¿cómo queda?
 Al factorizar el polinómio 2x2 - x - 3 queda (2x - 3) (x + 1)
105
¿Qué deben hacer ahora?
 Lo que se debe hacer es escribir la fracción
1
2x 2  x  3

A ( x  1)  B ( 2 x  3) ( A  2 B) x  ( A  3B)
A
B



2x  3 x  1
( 2 x  3) ( x  1)
( 2 x  3) ( x  1)
Muy bien. Si comparas los polinomios que aparecen en los numeradores de
las dos fracciones a los extremos de esta cadena de igualdades ¿qué resulta?
A  2 B  0
 Resulta el sistema de ecuaciones 
A  3B  1
Exactamente.
Al resolver el sistema de ecuaciones ¿qué valores tienen las
constantes A y B?
 Los valores de las constantes son A = 
2
5
y B=
1
5
¿Qué hacen con estos valores que obtuvieron de las constantes A y B?

Estos valores los sustituimos en
entonces que

1
2
2x  x  3
dx  
2
5

1
2x 2  x  3
1
1
dx 
2x  3
5


A
B

y resulta
2x  3 x  1
1
dx
x 1
Ambas integrales son inmediatas, por lo cual

 x 1 
2
1
dx   ln 2 x  3  ln x  1  ln 

2
5
5
2x 2  x  3
 2x  3 
1
15
106
Correcto.
Ahora debe resolverse la otra integral.
integración resolvemos la integral

1
y2  2
¿Por cuál método de
dy ?
 Esta integral se resuelve por sustitución trigonométrica.
Exacto. ¿Cuál es el cambio trigonométrico que se aplica en este caso?
 En este caso el cambio trigonométrico que corresponde es
y =
2 sec dy =
2 sec tg d
¿Qué resulta al hacer el cambio trigonométrico?
 Al hacer el cambio trigonométrico resulta que

1
y2  2
=
dy =
2
2

 2 sec   2
1
2
2
sec 
d 
2
tg 
=
2
ln
2

2 sec  tg  d 
2
2

sec  tg 
tg 2 
d
2
1
ln cos ec  cot g
d 
2
sen 
2y
y2  2
=
2
y 2
ln
4
y 2
Ahora que ya están resueltas las dos integrales ¿Cuál es entonces la solución
general de la ecuación diferencial (y2 - 2) dx + (2x2 - x - 3) dy = 0?
 La solución general de la ecuación diferencial planteada es
107
 x 1 
ln 
2 
 2x  3 
15

y 2
2
ln
4
y 2

K
Si se aplican las propiedades del logaritmo ¿Cómo queda simplificada la
solución?
 La solución queda
ln
( x  1)1 5 ( y  2 )
( 2 x  3) 2 5 ( y  2 )
2 4
2 4
 K
o equivalentemente
( x  1)1 5 ( y  2 )
2 4
 K ( 2 x  3) 2 5 ( y  2 )
2 4
¿Es posible despejar la variable y?

No. En este ejercicio no es posible. La función solución queda en forma
implícita.
Muy bien. El Problema 2 les queda como asignación a fin de que consoliden
los aspectos tratados hasta este momento.
PROBLEMA 2:
Obtenga la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden de variables separables de la forma Q (y)
dx + P (x) dy = 0
1- (1 - 2y) dx + (4 - x2) dy = 0
2- y2 dx - x2 dy = 0
108
3- cotg d +  d = 0
4- tg y dx + (1 - x2) dy = 0
5- cotg y dx + (1 + e-x) dy = 0
6- (1 + y2) dx - (x + x2) dy = 0
7- sec2x dy + cosecy dx = 0
8- (ey + 1)2 e-y dx + (ex + 1)3 e-x dy = 0
9- (y +
y ) dx - (x +
x ) dy = 0
10- dx - 4 (x2 + 1) dy = 0
11-
1
2
x  5x  6
dx  e y  5 dy
 0
Caso 2: Ecuaciones diferenciales de la forma
P1(x) Q1(y) dx + P2(x) Q2(y) dy = 0
Consideremos ahora la siguiente ecuación diferencial
x y4 dx + ( y2 + 2) e-3x dy = 0
¿Es esta una ecuación diferencial de variables separadas, es decir tiene la
forma P (x) dx + Q (y) dy = 0?
 No.
¿Por qué?
Porque la función que multiplica a la diferencial dx no depende solo de la
variable "x"; de igual forma la función que multiplica a la diferencial dy no depende
solo de la variable "y".
109
¿Es
esta
una
ecuación
diferencial
de variables
separables de la
forma Q (y) dx + P (x) dy = 0?
 No.
¿Por qué?

Porque la función que multiplica a la diferencial dx no depende solo de la
variables "y"; de igual forma la función que multiplica a la diferencial dy no depende
solo de la variable "x".
¿Podrían ustedes determinar algún factor por el cual multiplicar la ecuación y
de esta forma separar las variables?

Sí. Multiplicando la ecuación diferencial por el factor
1
e 3x
las

y 4 e  3x
y4
variables quedan separadas.
Muy bien. ¿Cómo queda entonces transformada la ecuación diferencial?
 La ecuación diferencial se transforma en
 y2  2 
 dy = 0
x e3x dx + 
 y4 


Ahora que ya están separadas las variables ¿qué debe hacerse a continuación?
 Lo que debe hacerse es integrar cada término
110
 y2  2 
3x
x
e
dx


  y 4  dy  K
¿Por qué método de integración se resuelve la integral  x e 3 x dx ?
 Esta integral se resuelve por el método de integración por partes
Muy bien. ¿Cómo hacen para aplicar el método?

 u x


3x
dv  e dx 

 Hacemos
du  dx
v
e 3x
3
de donde se tiene que

x e 3x dx 
1
1
x e 3x 
3
3

e 3x dx 
1
1
e 3x
x e 3x  e 3x 
(3x  1)
3
9
9
 y2  2 
 dy ?
Muy bien. Ahora ¿cómo se resuelve la integral 
 y4 



 Se separa en dos integrales que son inmediatas

 y2  2 

 dy =
 y4 


y
1
2
dy 
y
2
4
dy  
1
2
 3
y 3y
¿Quién es entonces la solución general de la ecuación diferencial dada?
 La solución general es:
111
e 3x
1
2
(3x  1)   3  C
9
y 3y
Correcto. Analicemos otro ejemplo.
ey sen2x dx + (e2y - y) cosx dy = 0
¿Es esta una ecuación diferencial de variables separadas?

No, ya que las funciones que multiplican a las diferenciales dx
y
dy
dependen tanto de la variable "x" como de la variable "y".
Exacto. ¿Podemos conseguir algún factor por el cual multiplicar la ecuación
diferencial de tal forma que las variables queden separadas?
 Si multiplicamos la ecuación diferencial por el factor
1
las variables
e cos x
y
quedarán separadas.
Muy bien. ¿Cómo se transforma entonces la ecuación diferencial al
multiplicarla por
1
e y cos x
?
 La ecuación diferencial queda
sen 2x
dx 
cos x
e 2y  y
dy  0
ey
Ahora que ya están separadas las variables ¿qué deben hacer?
112
 Se debe integrar cada término de la ecuación diferencial
e2y  y
 e y dy  K
sen 2x
 cos x dx 
¿Qué método de integración deben utilizar para resolver

 cos x
sen 2x
dx ?
Usamos la integración de funciones trigonométricas aplicando la identidad
trigonométrica sen2x = 2 cosx senx. Así, la integral se transforma en una integral
inmediata.



sen 2x
sen x cos x
dx  2
dx  2 sen x dx   2 cos x
cos x
cos x
Muy bien. ¿Qué método usamos para resolver

e 2y  y
dy ?
ey
 Separamos en diferencia de cocientes e integramos cada cociente

e2y  y
dy 
ey

Es para todos claro que
e2y
dy 
ey

y
dy 
ey
 e dy es inmediata
y
 e dy = e
y
¿Cómo resuelven
ye
y
dy ?
y
 e dy   y e
y
y
dy
113
 Se resuelve usando el método de integración por partes
Exacto. Resolvámosla.
 u  y
 dv  e  y dy

du  dy  v  e  y
ye
y

dy   ye  y   e  y dy   ye  y  e  y  e  y ( y  1)
¿Cuál es entonces la solución general de la ecuación diferencial planteada?
 La solución general de la ecuación diferencial
ey sen2x dx + (e2y - y) cosx dy = 0
es
-2 cosx + ey + e-y (y+1) = C
¿Se puede despejar la variable "y"de esta solución?

No
¿Por qué?
 Porque la variable "y" aparece en un polinomio, pero también aparece como
argumento de la función exponencial.
Correcto. Observemos nuevamente las dos ecuaciones que acabamos de
resolver:
x y4 dx + ( y2 + 2) e-3x dy = 0
ey sen2x dx + (e2y - y) cosx dy = 0
114
¿Qué característica común, en cuanto a la forma en que están escritas, puede
observarse en ambas ecuaciones diferenciales?
 Tanto la diferencial dx como la diferencial "dy" están multiplicadas por el
producto de dos funciones, una que depende sólo de la variable "x" y otra que
depende sólo de la variable "y".
Exacto. Podríamos decir entonces que en general ambas ecuaciones
diferenciales tienen la forma
P1(x) Q1(y) dx + P2(x) Q2(y) dy = 0
¿Qué fue lo que hicieron en ambos casos para separar las variables?

Multiplicamos la ecuación diferencial por un factor igual al inverso del
producto entre la función Q1(y) y la función P2(x), es decir, se multiplica la ecuación
diferencial por el factor
1
Q1 ( y) P2 ( x )
Correcto. Abran ahora sus guías en la página 21 y leamos la información que
allí aparece acerca del Caso 2
CASO 2: ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA FORMA
P1(x) Q1(y) dx + P2(x) Q2(y) dy = 0
Una ecuación diferencial de la forma
P1(x) Q1(y) dx + P2(x) Q2(y) dy = 0
es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de variables
separables.
Para transformar dicha ecuación diferencial en una de variables separadas
115
basta con multiplicar por el factor
1
obteniendo
P2 ( x) Q 1 ( y )
P1 ( x )
Q (y)
dx  2
dy  0
P2 ( x )
Q1 ( y )
Resuelvan el Problema 3 que aparece en la página 21 de sus guías. Trabajen
en forma individual. Disponen de 5 minutos para ello.
PROBLEMA 3:
Obtenga la solución general de la ecuación diferencial
(4y + yx2) dx - (2x + xy2) dy = 0
Revisemos que procedimiento siguieron para resolver el Problema 3
¿Cómo hacen para escribir la ecuación diferencial de la forma
P1(x) Q1(y) dx + P2(x) Q2(y) dy = 0?
 Debemos sacar "y" factor común en la función que multiplica a dx y sacar
"x" factor común en la función que multiplica a dy
Correcto. ¿Cómo queda entonces escrita la ecuación diferencial?
 La ecuación diferencial queda de la forma y(4 + x2)dx - x(2 + y2)dy = 0
¿Qué deben hacer ahora para separar las variables?
116
 Debemos multiplicar la ecuación diferencial por el factor
1
xy
Exactamente. Escribamos como queda la ecuación diferencial al efectuar el
producto
4 x 2
dx
x

2  y2
dy  0
y
Ahora que ya están separadas las variables ¿qué deben hacer?
 Se debe integrar
4 x 2
 x dx

2  y2
 y dy  C
¿Cómo hacen para resolver las integrales?
 Cada una de ellas se separa en dos integrales, las cuales resultan ser integrales
inmediatas.
Muy bien, resolvamos las integrales
4  x2
1
 x dx  4 x dx 
 x dx  4 ln x 
x2
2
2  y2
1
 y dy  2 y dy 
 y dy  2 ln y 
y2
2
¿Cuál es entonces la solución general de la ecuación diferencial?
 La solución general de la ecuación diferencial (4y+yx2)dx - (2x+xy2)dy = 0
es
117
4 lnx+
x2
y2
- 2 lny =C
2
2
Se puede despejar "y"
 No
Se podrá simplificar la solución
 Sí. Si se aplican las propiedades del logaritmo se tendrá
 x 4  x 2  y2
ln  2  
C
2
y 
Si ahora aplican "e" a ambos lados de la última igualdad, ¿Qué obtienen?
 Se obtiene
 x 2  y2
2
x 4 
e
y2




K
El Problema 4 les queda como asignación, a fin de que consoliden lo tratado
hasta ahora
PROBLEMA 4:
Obtenga la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden de variables separables de la forma
P1(x) Q1(y) dx + P2(x) Q2(y) dy = 0
118
1- (2y + x2y) dy + (3x + xy2) dx = 0
2- y dx + (x3 y2 + x3) dy = 0
3- dx - (8xy + 3y) dy = 0
4- er (3 + cos2) dr - sen (1 + e2r) d = 0
5- x2 (y+1) dx + y2 (x-1) dy = 0
6- xy dx + (1 + x2) dy = 0
7- (2xy4 + 2xy2) dx + (x2y3 + x2y) dy = 0
8- (1 + x2 + y2 + x2y2) dy - y2 dx = 0
9- (xy + 3x - y - 3) dx - (xy - 2x + 4y - 8) dy = 0
10- (xy + 2y - x - 2) dx - (xy - 3y + x - 3) dy = 0
11- (x - y + xy - 1) dx + xy dy = 0
12- (2xy2 + 2xy) dx - (2x2y + x2) dy = 0
13- y2 sec2x tg2x dx + y (sec2x + 2) dy = 0
Caso 3: Ecuaciones diferenciales de la forma y P(x.y) dx + x Q(x.y) dy = 0
Observen las siguientes funciones:
A) F(x,y) = 1 - xy
B) G(x,y) = 1 + xy
C) H(x,y) = 1 - xy + x2y2
D) I(x,y) = x2y2 - xy
E) J(x,y) = 1 + 2xy
F) K(x,y) = 1 -
xy
¿Qué característica común observan en las seis funciones escritas anteriormente?
 En todas aparece el producto x.y
119
Muy bién. Si para cada una de esas funciones, hacen el cambio de
variable v = x.y ¿Cómo se transforman cada una de ellas?
Se transforman en:
A) F(x,y) = 1 - v
B) G(x,y) = 1 + v
C) H(x,y) = 1- v - v2
D) I(x,y) = v2 - v
E) J(x,y) = 1 + 2v
F) K(x,y) = 1 -
v
¿De quién quedaron dependiendo ahora cada una de esas funciones?
 Quedaron dependiendo sólo de la variable v
Exacto. Abran sus guías en la página 22 y leamos la definición que allí
aparece.
DEFINICIÓN: Se dice que la función F(x,y) depende de x.y, si el cambio de
variable x.y = v transforma la función F(x,y) en una función que sólo depende
de v.
Resuelvan el Problema 5 que aparece en sus guías en la página 22. Tienen 3
minutos para ello.
PROBLEMA 5:
Verifique cual de las funciones dadas a continuación depende de x.y
120
1- F(x,y) = 2xy + e x
2y2
2- G(x,y) = 2x3y2 + xy
Revisemos los pasos que siguieron en la resolución del Problema 5.
Tomemos la primera función F(x,y) = 2xy + e x
2y2
¿Qué deben hacer para
verificar si F depende de x.y?
 Se debe sustituir x.y = v en la función
¿Qué se obtiene?
 Se obtiene F(x,y) = 2v + e v
2
¿Quedó F dependiendo solo de v?
 Sí.
¿Qué se puede entonces concluir?
 Se puede concluir que F depende de x.y
Muy bien. Tomemos ahora la función G(x,y) = 2x3y2 + xy
¿Qué deben hacer para verificar si G depende de x.y?
 Se debe sustituir x.y = v en la función.
121
¿Qué se obtiene?
 Se obtiene G(x,y) = 2xv2 + v
¿Quedó G dependiendo solo de v?
 No, también aparece x
¿Que se puede entonces concluir?
 Se puede concluir que la función G no depende de x.y
Muy bien. Observen ahora las siguientes ecuaciones diferenciales
a) y (1 - xy) dx - x (1 + xy) dy = 0
b) y (1 - xy + x2y2) dx + x (x3y3 - 2x2y2 + 3xy - 1) dy = 0
c) y (xy + 1) dx + x (xy - 1) dy = 0
d) y (1 + 2xy) dx + x (1 - xy) dy = 0
¿Qué característica común pueden observar en la función que multiplica a la
diferencial dx en los cuatro ejemplos?

En todos los ejemplos la función que multiplica a la diferencial dx tiene la
forma "y F(x,y)"
122
Correcto. ¿Qué característica
común pueden observar en la función que
multiplica a la diferencial dy en los cuatro ejemplos?

En todos los ejemplos la función que multiplica a la diferencial dy tiene la
forma "x G(x,y)"
Exactamente. ¿Qué característica esencial tienen tanto la función F(x,y) como
la función G(x,y) en cada uno de los cuatro ejemplos?
 Tanto F(x,y) como G(x,y) en cada uno de esos ejemplos dependen de "x.y"
Muy bien. ¿Cómo podríamos entonces generalizar, en cuanto a la forma en
que están escritas, las ecuaciones diferenciales de los cuatro ejemplos?
 Podemos decir que en general las ecuaciones de los cuatro ejemplos tienen la
forma:
y F(x.y) dx + x G(x.y) dy = 0
Excelente. Para resolver este tipo de ecuación diferencial se sugiere realizar el
cambio de variable v = x.y, para así transformar la ecuación diferencial dada en otra
que dependa de las variables x , v
Al hacer el cambio de variable v = x.y deberá despejarse una de las dos
variables (x o y) y buscar su diferencial correspondiente
 Al despejar queda
123
v

v  xy  y  x

dy  x dv  v dx

x2

v


 v  xy  x  y 




 o también 
dx  y dv  v dy 




y2


Muy bien. ¿Cómo se transforma entonces la ecuación diferencial de la
forma y F(x.y) dx + x G(x.y) dy = 0?
 Se transforma en:
v
 x dv  v dx 
F( v ) dx  x G ( v ) 
0
x
x2


Si multiplica por x toda la ecuación ¿Cómo queda?
 Queda
v F(v) dx + G(v) (x dv - v dx) = 0
o equivalentemente
v [F(v) - G(v)] dx + x G(v) dv = 0
¿Qué deben hacer para separar las variables?
 Se debe multiplicar por el factor
1
x v F( v )  G( v )
¿Cómo queda la ecuación diferencial?
 La ecuación diferencial queda
124
1
G( v )
dx 
dv  0
x
vF( v )  G( v )
Está última ecuación diferencial es de variables separadas, la cual ya sabemos
que se resuelve integrando cada término.
Abran sus guías en la página 23 y leamos la información que allí aparece.
CASO 3: La ecuación diferencial de la forma
y F (x.y) dx + x G(x.y) dy = 0
es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de variables
separables.
Para transformar dicha ecuación diferencial en una de variables separadas
basta con efectuar el cambio de variable
v

 v  x.y  y  x

dy  x dv  v dx

x2
Resuelvan ahora el Problema 6 que aparece en sus guías en la página 23
Disponen de 5 minutos para ello. Trabajen en forma individual.
PROBLEMA 6:
Obtenga la solución general de la ecuación diferencial
y (1 - xy + x2 y2) dx + x (x2 y2 - xy) dy = 0
Pasemos ahora a revisar cómo resolvieron el Problema 6.
125
v

v  x.y  y  x
Si hacen el cambio de variable 
dy  x dv  v dx
x2

¿Cómo se transforma la ecuación diferencial dada?
 La ecuación diferencial dada queda:
v
 x dv  v dx 
(1  v) dx  x (1  v) 
0
x
x2


Al multiplicar la ecuación por x ¿Cómo queda?
 Queda:
v (1 - v) dx - (1 + v) (x dv - v dx) = 0
Exacto. Si ahora agrupan los términos en la diferencial dx ¿Qué obtienen?
 Se obtiene
(v - v2 + v + v2) dx - x (1 + v) dv = 0
o equivalentemente
2v dx - x (1 + v) dv = 0
¿Cómo hacen para separar las variables?
 Para separar las variables multiplicamos por el factor
1
x. v
126
Al multiplicar por ese factor, ¿Cómo queda la ecuación diferencial?
 La ecuación diferencial queda:
2
1 v
dx 
dv  0
x
v
¿Que deben hacer ahora que ya están separadas las variables?
 Debemos integrar
2

1
1 v
dx 
dv  C
x
v

¿Cómo resuelven las integrales?
 La primera es una integral inmediata y la segunda se separa en dos integrales
que también son inmediatas.
Muy bien ¿Cuál es entonces en resultado, luego de integrar?
 Al integrar resulta
2 ln x - ln v - v = C
o equivalentemente
ln
x2
Cv
v
¿Es esta la solución de la ecuación diferencial planteada?
 No.
127
¿Por qué?
 Por que falta que se devuelva el cambio de variable.
¿Qué obtienen el devolver el cambio de variable?
 Se obtiene
ln
x2
 C  xy
xy
o equivalentemente, al aplicar "e" a ambos lados
x
 K e xy
y
Como pueden observar no se puede despejar "y" ¿cuál es entonces la solución
de la ecuación diferencial planteada?
 La solución general de la ecuación diferencial
y (1 - xy + x2 y2) dx + x (x2 y2 - xy) dy = 0
es
x = Kyexy
El Problema 7 les queda como asignación a fin de que consoliden los aspectos
aquí estudiados
PROBLEMA 7:
Obtenga la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden de variables separables de la forma
128
y F(x.y) dx + x G(x.y) dy = 0
1- y (1 + 2xy) dx + x (1 - xy) dy = 0
2- y sen(xy) dx + x sen (xy) dy = 0
3- (3y2 x + y) dx + 2x dy = 0
4- (7x2 y + 14x) dy - (2x y2 + 10y) dx = 0
5- y dx - x
xy dy = 0
6- y ln(xy) dx - x dy = 0
7- x3 y4 dx + (x4 y3 - x2 y) dy = 0
8- x (1 + x2 y2) dy + y (x2 y2 - 1) dx = 0
9- (x2 y3 - x y2 - 2y) dx + (2x2 y - 3x - x3 y2) dy = 0
10- (3x2 y3 + 2y) dx + (2 x3 y2 + x ) dy = 0
11- (x2 y3 + 2 x y2 + 2 y) dx + (2 x2 y + x) dy = 0
CIERRE:
¿Qué hemos estudiado en esta lección?
 Hemos estudiado las ecuaciones diferenciales de variables separables.
¿Cuántos casos de ecuaciones diferenciales de variables separables
estudiamos?
 Estudiamos tres casos.
¿Cómo identificamos el Caso 1?
 Lo identificamos porque la ecuación diferencial tiene la forma
129
Q(y) dx + P(x) dy = 0
¿Qué debe hacerse para separar las variables?
 Se debe multiplicar toda la ecuación diferencial por el factor
1
P( x ) Q( y )
¿Cómo identificamos el Caso 2?
 Lo identificamos porque la ecuación diferencial tiene la forma
P1(x) Q1(y) dx + P2(x) Q2(y) dy = 0
¿Qué debe hacerse para separar las variables?
 Se debe multiplicar toda la ecuación diferencial por el factor
1
P2 ( x ) Q1 ( y)
¿Cómo identificamos el Caso 3?
 Lo identificamos porque la ecuación diferencial tiene la forma
y P(x.y) dx + x Q(x.y) dy = 0
¿Qué debe hacerse para separar las variables?
130
 Se debe hacer el cambio de variable
v

 v  xy  y  x

dy  x dv  v dx

x2
¿Qué tipo de ecuación diferencial resulta luego de realizar el cambio de
variable?
 Resulta una ecuación diferencial de variable separable del Caso 2.