UNIDAD 9

UNIDAD 9
Características dieléctricas y
aislantes de los materiales
9.1 CUESTIONES DE AUTOEVALUACIÓN
1. ¿Cuales de los siguientes parámetros característicos de un dieléctrico no disminuye al
aumentar la temperatura?:
a) Rigidez dieléctrica.
b) Constante dieléctrica.
c) Resistividad.
d) b y c.
2. En un dieléctrico sometido a campos alternos de muy alta frecuencia, el valor de ε se debe a
la polarización de dipolos por mecanismo:
a) Electrónico.
b) Molecular y electrónico.
c) Iónico, molecular y electrónico.
d) De carga espacial.
3. ¿Qué le ocurre al factor de perdidas con el aumento de la frecuencia?
a) Tendencia a disminuir con zonas de ligero aumento
b) Tendencia a aumentar con zonas de ligera disminución
c) Tiende a mantenerse constante con zonas de ligero aumento
d) Presenta altibajos sin ningún orden especial
4. ¿Que le ocurre a la constante dieléctrica con el aumento de la frecuencia?
a) Tiende asintóticamente a uno
b) Aumenta
c) Disminuye
d) Disminuye linealmente
5. La utilización de un puente de impedancias, y particularmente uno del tipo LCR, suministra
datos básicos para el :
a) Cálculo de la constante dieléctrica
b) Cálculo de la resistencia mecánica.
c) Cálculo de la rigidez dieléctrica.
d) Cálculo de la resistividad eléctrica
6. El diseño con materiales dieléctricos debe contemplar principalmente los siguientes
parámetros:
165
Cuestiones y ejercicios de Fundamentos de Ciencia de Materiales
a)
b)
c)
d)
ε y factor Q
Rigidez dieléctrica y resistividad.
Solamente la ε
Ninguna es correcta.
7. Un material dieléctrico sometido a la misma tensión de trabajo se va calentando y:
a) Aumenta su probabilidad de fallo por perforación pues la rigidez dieléctrica disminuye.
b) Disminuye la posibilidad de fallo, pues aumenta la rigidez con la temperatura.
c) No ocurre nada, pues el fallo por perforación es independiente de la temperatura.
d) No ocurre nada, pues el fallo por perforación es independiente del tiempo.
8. La resistividad eléctrica de los materiales aislantes varía con la temperatura de forma:
a) Creciente.
b) Decreciente.
c) Asintótica.
d) No varía con la temperatura.
9. El fallo por perforación de un dieléctrico se establece mediante:
a) Mecanismos térmicos y mecánicos.
b) Mecanismos térmicos y electrónicos.
c) Mecanismos electrónicos y mecánicos.
d) Ninguna es correcta.
10. El factor de disipación indica que los dieléctricos:
a) Muestran pérdidas constantes, independientes de la frecuencia de operación.
b) No registra pérdidas por debajo de 1 kHz.
c) Muestran pérdidas por la inercia del material a polarizarse.
d) No suministra información.
11. La estructura electrónica en los aislantes se caracteriza por:
a) Una banda de valencia llena, separada de la de conducción por un intervalo prohibido
de energía pequeño.
b) Bandas de estados de energía parcialmente ocupados.
c) Una banda de valencia llena, separada de la de conducción por un gran intervalo
energético prohibido.
d) Una banda de valencia y conducción parcialmente llenas.
12. El campo eléctrico actúa sobre los aislantes:
a) Acelerando sus electrones de conducción.
b) Induciendo dipolos en el material, de orientación contraria al campo.
c) Polarizando las moléculas y átomos en el sentido del campo.
d) Disminuyendo el intervalo energético prohibido.
13. La correlación entre constante dieléctrica y temperatura en un polímero polar, por ejemplo
PVC, nos indica que ε:
a) Disminuye progresivamente.
b) Aumenta continuamente.
c) Aumenta hasta que a determinada Tª, el desorden térmico es importante y se opone al
campo, comenzando una disminución.
d) Disminuye, si falla el mecanismo de carga espacial.
166
Unidad 9 – Características dieléctricas y aislantes de los materiales
14. La constante dieléctrica en un borosilicato de plomo es:
a) Independiente de la frecuencia.
b) Mayor cuanto mayor es la frecuencia del campo eléctrico aplicado.
c) Mayor a bajas frecuencias y constante a elevadas frecuencias.
d) Menor conforme aumenta la frecuencia.
15. Un material ferroeléctrico es aquel que:
a) Manifiesta una variación del momento dipolar total lineal con el campo aplicado.
b) Una vez desaparecido el campo aplicado, lo deja permanentemente polarizado.
c) La constante dieléctrica es independiente del campo eléctrico externo.
d) Disminuye su constante dieléctrica al aumentar el campo externo.
16. Los materiales piezoeléctricos relacionan:
a) Tensiones mecánicas elástica y tensiones eléctricas.
b) Esfuerzos y deformaciones.
c) Tensiones eléctricas y esfuerzos.
d) Deformaciones y polarización.
9.2 CUESTIONES DE HETEROEVALUACIÓN
1. Diferencia el comportamiento de un material dieléctrico con un material aislante.
2. En las gráficas factor de disipación-frecuencia de materiales dieléctricos: ¿ Qué indican los
máximos relativos observados?.
3. Relación entre el factor de calidad y factor de disipación de un dieléctrico.
4. Define los indicadores característicos de la calidad de un material dieléctrico y justifica sus
correlaciones.
5. Indica la influencia de la frecuencia en la constante dieléctrica.
6. Analiza la estabilidad en servicio de un aislante (mecanismo de perforación térmico).
7. Describe los indicadores que suministra el LCR.
8. ¿Qué indica el parámetro de rigidez dieléctrica de un material?
9. ¿Cómo influye la resistividad eléctrica en la calidad de un material aislante?
10. ¿Qué expresa el factor de calidad de un material dieléctrico?
11.Indica los parámetros que definen el comportamiento de un material para dieléctrico y el de
un material para aislamiento eléctrico.
12.Explica que mecanismos operan en la perforación de un aislante.
13.¿Que criterios se aplican para utilizar un material como aislante o como dieléctrico?
14.Justifica como se comporta la constante dieléctrica con la frecuencia.
15.¿Por que existe un máximo de pérdidas a determinada frecuencia?
16.¿Que factores microestructurales inciden en la operatividad de un ferroeléctrico con la
temperatura?
167
Cuestiones y ejercicios de Fundamentos de Ciencia de Materiales
9.3 PROBLEMAS Y EJERCICIOS PRACTICOS PROPUESTOS
Problema 9.1 Calcular la pérdida de energía en una lámina de policarbonato, cuyas
dimensiones son 10 x 25 x 0.1 mm, sabiendo que la resistividad eléctrica del policarbonato es de
3.8 1016 Ω cm, su constante dieléctrica relativa es 3.09 y el factor de pérdidas D = 0.008,
cuando trabaja a una tensión de 100 V y una frecuencia de 1 kHz. Considerar la constante
dieléctrica en vacío = 8.85 10-12 F/m.
Problema 9.2 En un laboratorio se obtienen,
para una frecuencia de trabajo de 1 MHz,
utilizando una lámina de dieléctrico del tipo
epoxi de dimensiones 50 x 50 x 1 mm, con un
electrodo de 10 mm de diámetro, los siguientes
datos: Resistencia en serie del polímero, Rs,
3.86 MΩ, capacidad en serie, Cs, 3.4045 pF, y,
capacidad en paralelo, Cp, 3.404 pF. En la
figura, aparece la respuesta del material a la
perforación. Calcular:
V
9500 V
a) La rigidez dieléctrica del material.
b) La resistencia al arco.
c) La constante dieléctrica del mismo.
123 s
t
d) El factor de disipación y factor de calidad.
e) La resistividad eléctrica.
Problema 9.3 Un material piezoeléctrico tiene un módulo elástico de 385 GPa. Determinar:
a) La ecuación de dependencia deformación unitaria - tensión.
b) La presión cuando la deformación es de 1 ppm.
c) El valor de los parámetros d y g, si para una deformación ε = 1 ppm el campo eléctrico
existente es de 196 µV/mm.
Problema 9.4 Un condensador de placas paralelas tiene un área total de 6,45 · 10-4 m2 y una
separación entre placas de 2 mm a través de las cuales se aplica un potencial de 12 V. Si se
interpone dentro de la región entre las placas un material con una constante dieléctrica εr de
6.0, calcular:
a) La capacidad del condensador.
b) La magnitud de la carga almacenada en cada placa.
c) El desplazamiento dieléctrico D.
d) La polarización.
Problema 9.5 Un condensador de placas paralelas con dimensiones 38,1 por 63,5 mm y una
separación entre placas de 1,3 mm debe tener una capacidad mínima de 70 pF cuando se aplica
un potencial de 1000 V a una frecuencia de 1 MHz. ¿Cuál de los materiales tabulados a
continuación son posibles candidatos? ¿ Por qué?
168
Unidad 9 – Características dieléctricas y aislantes de los materiales
Material
Cerámicas
Titanato de bario
Mica
Esteatita (MgO-SiO2)
Vidrio de sosa
Porcelana
Sílice vítrea
Polímeros
Fenol-formaldehído
Nilón 66
Poliestireno
Polietileno
Politetrafluoretileno
Constante dieléctrica
60 Hz
1 MHz
Rigidez dieléctrica
(106 V m-1)
6,9
6,0
4,0
3000
7,0
5,5-7,5
6,9
6,0
3,8
12
40
8-14
10
1,5-15
10
5,3
4,0
2,6
2,3
2,1
4,8
3,6
2,6
2,3
2,1
12-15
15
20-30
18-20
15-20
Problema 9.6 La polarización P de un material dieléctrico entre las placas de un condensador
tiene que ser igual a 4,0 · 10-6 C/m2.
a) ¿Cuánto debe valer la constante dieléctrica si se aplica un campo eléctrico de 105 V/m?
b) ¿Cuánto vale el desplazamiento dieléctrico D?
Problema 9.7 Para el CaO, los radios iónicos del Ca2+ y O2- son 0,100 y 0,140 nm,
respectivamente. Si un campo eléctrico externo aplicado produce una dilatación de la red del
5%, calcular el momento dipolar de cada par Ca2+ - O2-. Suponer que este material está
completamente no polarizado en ausencia de un campo eléctrico.
Problema 9.8 Suponiendo que la conductividad eléctrica de MgO viene determinada en primer
lugar por la difusión de los iones Mg2+, estimar la movilidad de los iones Mg2+ y calcular la
conductividad eléctrica de MgO a 1800°C.
NOTA: El coeficiente de difusión de los iones Mg2+ en MgO a 1800°C puede estimarse en 10-14 m2 · s-1.
La estructura cristalina del MgO es similar a la del NaCl con cuatro átomos de Mg por celda, y su parámetro
reticular es 3,96 x 10-10 m.
Problema 9.9 Deseamos fabricar un condensador formado por dos placas paralelas que
almacene 4 · 10-5 C a un potencial de 10 kV. La separación entre placas es de 0,2 mm. Calcular
el área de las placas necesaria si el dieléctrico utilizado es: a) vacío, b) polietileno, c) agua, y d)
titanato de bario.
NOTA: La constante dieléctrica del agua es de 78.3.
Problema 9.10 Un dielectrico de mica de 250 mm2 y 2,5 µm de espesor se utiliza para fabricar
un condensador de 0,0252 µF.
a) ¿Cuántas placas serán necesarias?
b) ¿Cuál es el mayor voltaje que podrá soportar?
169
Cuestiones y ejercicios de Fundamentos de Ciencia de Materiales
Problema 9.11 Aplicamos una fuerza de 200 N a una placa de titanato de bario de 2,5 mm x 2.5
mm, que tiene un espesor de 0,25 mm. Calcular la deformación producida por la fuerza, y el
voltaje creado. El módulo de elasticidad del titanato de bario es de 69 Gpa.
NOTA: La constante piezoeléctrica d del titanato de bario es 100 x 10-12 C/Pa · m2 = 100 x 10-12 m/V.
Problema 9.12
Deseamos fabricar un condensador formado por dos placas paralelas que almacenen 5 ·
10 C a un potencial de 8 kV. La distancia de separación entre las placas va a ser de 0.30 mm.
-6
a) Calcular el área que deben tener las placas del condensador para la capacidad de
almacenamiento indicada, para cada uno de los siguientes materiales.
Material dieléctrico
ε (pF/m)
S (10-3 m2)
V (10-6 m3)
Coste
Vacío
8.85
21.2
6.36
-
Al2O3
79.65
2.4
0.72
1.73
Polietileno
20.36
9.2
2.76
4.14
Agua (H2O)
692.96
0.27
0.081
8.1 · 10-6
BaTiO3
26550
7.1 · 10-3
2.13 · 10-3
0.19
b) Justificar qué material de los anteriores debemos emplear como el dieléctrico más adecuado.
ε0 = 8.85 · 10-12 F/m
Problema 9.13 Calcula la constante dieléctrica absoluta y relativa de una película de
dimensiones: a = 10 mm, b = 4 mm, d = 20 µm, elaboradas en:
(a)
PTFE (C = 35'4 pF),
(b)
PAM (C = 79'7 pF),
(c)
Cerámica calidad eléctrica (C = 108'0 pF) y
(d)
Alúmina (C = 157'6 pF).
Problema 9.14 Se desea diseñar un condensador con capacidad 950 pF en derivado de celulosa
(acetato) de constante dieléctrica relativa 6'35. La rigidez dieléctrica es de 16'9 MV/m, y debe
operar a una tensión de 270 V. ¿Que dimensiones tendrá cada lámina de dieléctrico?
Problema 9.15 En el diseño de un condensador se selecciona como material dieléctrico
poliamida 66, que presenta una constante dieléctrica relativa de 4,0. El material debe soportar
sin perforación 900 V, con una rigidez dieléctrica de 15 MV/m. ¿Qué capacidad final tendrá el
condensador si la lámina de poliamida es de 265 · 10-6 m2.
NOTA: La capacidad del condensador es directamente proporcional a la superficie del
dieléctrico, e inversamente proporcional con el espesor del mismo.
Considerar ε0 = 8,85 · 10-12 F/m.
170
Unidad 9 – Características dieléctricas y aislantes de los materiales
Problema 9.16 Un condensador de placas paralelas con dimensiones de 2 cm de anchura, 75
mm de longitud, y una separación entre placas de 0,25 mm, debe tener una capacidad mínima
de 120 pF, cuando se aplica un potencial de 380 V a una frecuencia de 60 Hz.
Material
Fenol-formaldehído
Nilón 66
Poliestireno
Polietileno
Politetrafluoretileno
Constante dieléctrica
60 Hz
1 MHz
4,8
5,3
3,6
4,0
2,6
2,6
2,3
2,3
2,1
2,1
Rigidez dieléctrica
(106 V m-1)
12-15
15
20-30
18-20
15-20
a) ¿Cuál de los materiales tabulados son posibles candidatos? ¿Por qué?
b) ¿Qué longitud debería tener el condensador si se realizara éste con poliestireno?
Considerar ε0 = 8,85 · 10-12 F/m
Problema 9.17 En el diseño de un condensador de 145 pF, se selecciona como material
dieléctrico poliestireno que presenta una constante dieléctrica relativa de 2,6 y una rigidez
dieléctrica de 26 MV/m. Las dimensiones de la lámina de poliestireno es de 1 cm de anchura y 5
cm de longitud. Calcular:
a) El potencial eléctrico que podrá soportar sin perforación.
b) ¿Qué dimensiones debería tener el dieléctrico si utilizáramos, para las mismas
características del condensador, una lámina de politetrafluoretileno de 45 µm de espesor, cuya
constante dieléctrica relativa es 2,1?
NOTA: La capacidad del condensador es directamente proporcional a la superficie del
dieléctrico, e inversamente proporcional con el espesor del mismo.
Considerar ε0 = 8,85 · 10-12 F/m.
SOLUCION A LAS CUESTIONES DE AUTOEVALUACION:
1 - c, 2 - a, 3 - c, 4 - c, 5 - a, 6 - a, 7 - a, 8 - a, 9 - b, 10 – c, 11 – c, 12 – b, 13 – c, 14 – d, 15 – b,
16 – a.
171
Cuestiones y ejercicios de Fundamentos de Ciencia de Materiales
9.4 PROBLEMAS Y EJERCICIOS PRACTICOS RESUELTOS
Solución al problema 9.1
La pérdida de energía vendrá dada por la expresión:
W = σ E 2 + ε 0 ε r ν tgδ E 2
siendo:
E =
V
100
=
= 106 V / m
espesor
0.1 10-3
la conductividad, será:
σ =
1
1
-1
-16
=
(Ω m )
14 = 26.3 10
ρ
3.8 10
con lo que las pérdidas serán:
2
2
W = 26.3 10-16 ( 106 ) + 8.85 10-12 3.09 103 0.008 ( 106 )
W = 26.3 10 -4 + 218.4 ≈ 218.4 J / m3
y las pérdidas por el volumen de la lámina serán, finalmente:
∆E = W ⋅ Volumen = 218.4 ⋅ 10 ⋅ 25 ⋅ 0.1 ⋅ 10 -9 = 5.46 10 -6 J
Solución al problema 9.2
a) La rigidez dieléctrica, viene expresada según:
ER =
9.5 10 3
VR
= 9.5 10 6 V / m = 95 kV / cm
=
−3
d
1 ⋅ 10
b) La resistencia al arco, se expresará como el tiempo hasta la perforación, que según el gráfico
puede estimarse en 123 segundos.
c) La constante dieléctrica se obtendrá mediante su relación con la capacidad en paralelo, de
forma:
Cp = ε0 εr
S0
d
de donde:
εr =
Cp d
ε0 S0
=
3.404 ⋅ 10 -12 ⋅ 10 -3
8.85 ⋅ 10 -12 7.85 ⋅ 10 -6
d) El factor de disipación se obtendrá a partir de la expresión:
C s = C p ( D2 + 1)
de donde,
172
= 4.9
Unidad 9 – Características dieléctricas y aislantes de los materiales
D =
Cs
- 1 = 0.012
Cp
El factor de calidad es la inversa del factor de disipación, y por lo tanto:
Q =
1
1
=
= 82.5
D
0.012
e) La resistividad eléctrica se calculará a partir de la resistencia en paralelo, según la expresión:
0.0122 + 1
D2 + 1
= 2.68 ⋅ 1010
= 2.68 ⋅ 1010 Ω
2
2
0.
D
012
R p = Rs
con lo que la resistividad será:
ρ = Rp
78.5 ⋅ 10 -2
S
= 2.68 ⋅ 1010
= 2.1 ⋅ 1011 Ω cm, en
-1
l
1 ⋅ 10
AC
Solución al problema 9.3
a) El comportamiento piezoeléctrico viene cuantificado por las expresiones:
ξ = gP
y
λ = dξ
donde, ξ es la intensidad del campo (V/m), P la presión (Pa), λ el alargamiento unitario, y, d y g
dos constantes de proporcionalidad características del material, ligadas por la relación:
E =
1
gd
Con ello, sustituyendo ξ en la ecuación correspondiente, obtenemos:
λ = dgP =
P
= 2.6 ⋅ 10 -12 P, expresando P en Pa
E
b) Para una deformación de 1 ppm, es decir λ = 10-6, la presión aplicada tendrá un valor, según la
expresión anterior, de:
P =
λ
10 -6
=
= 3.85 ⋅ 10 5 Pa = 385 kPa
2.6 ⋅ 10 -12
2.6 ⋅ 10 -12
La presión equivaldría a 385 N por cada mm2.
c) El parámetro g se obtendrá de su ecuación correspondiente al considerar los valores de P y ξ,
de manera que:
g =
196 ⋅ 10 -6 ⋅ 10 3
ξ
V
=
.85 ⋅ 10 5 = 5.1 ⋅ 10 -7
P
3
m ⋅ Pa
El parámetro d, conocida la deformación unitaria, λ, y el campo aplicado, ξ, se obtendrá:
173
Cuestiones y ejercicios de Fundamentos de Ciencia de Materiales
d =
λ
10 -6
=
= 5.1 ⋅ 10 -6 m / V
ξ
0.196
Solución al problema 9.4
a) La capacidad la obtenemos mediante la expresión:
C
S
= ε0 εr
e
=
(8,85 ⋅ 10
−12
)
F / m ⋅ 6,0 ⋅
6,45 ⋅ 10 −4 m 2
2 ⋅ 10
−3
m
= 1,71 ⋅ 10 −11 F
b) Puesto que hemos determinado la capacidad, la carga almacenada de calculará mediante la
expresión:
Q = C · V = (1,71 x 10-11 F) · (10 V) = 1,71 x 10-10 C
c) El desplazamiento dieléctrico se calculará mediante la ecuación:
D = ε ⋅ ξ = ε0 εr ⋅
(
)
10 V
V
= 8,85 ⋅ 10 −12 F / m ⋅ 6,0 ⋅
= 2 ,66 x 10 − 7 C / m 2
−
3
e
2 ⋅ 10 m
d) La polarización puede determinarse considerando la ecuación:
= ε0 ξ
D
+
P
de donde,
V
P = D − ε 0 ξ = D − ε 0 ⋅ = 2,66 ⋅ 10 −7 C / m 2
e
(8,85 ⋅ 10 −12 F / m) ⋅ (10 V ) =
2 ⋅ 10 −3 m
= 2,22 x 10-7 C/m2
Solución al problema 9.5
La capacidad del condensador, vendrá dada por la expresión:
S
= ε0 εr
e
C
entonces, la constante dieléctrica deberá ser:
εr =
C ⋅e
ε0 ⋅ S
=
(70 ⋅ 10 −12 F )(1,3 ⋅ 10 −3 m)
(8,85 ⋅ 10 −12 F / m) (2419,4 ⋅ 10 −6 m 2 )
=
4,25
por lo tanto la constante dieléctrica del material deberá ser mayor que la obtenida, es decir,
εr ≥ 4,25
y analizando la tabla obtenemos como posibles candidatos el fenol-formaldehído dentro de los
polímeros y casi todos los cerámicos: Titanato de Bario, mica, esteatita, vidrio de sosa y
porcelana.
Además deben poder soportar el campo eléctrico ξ, que en nuestro caso será:
174
Unidad 9 – Características dieléctricas y aislantes de los materiales
ξ
=
V
e
1000 V
=
1,3 ⋅ 10
−3
=
m
0,77 ⋅ 10 6 V / m
y tal como se observa en la tabla, todos los materiales seleccionados anteriormente pueden
soportar el campo eléctrico.
Solución al problema 9.6
a) Considerando la ecuación de la polarización,
P
= ε 0 ( ε r − 1) ⋅ ξ
obtendremos la constante dieléctrica según la expresión:
εr = 1 +
P
ε0 ⋅ ξ
= 1+
4 ,0 ⋅ 10 −6 C / m 2
(8,85 ⋅ 10
−12
)(
)
5
= 5,5
F / m 10 V / m
b) El desplazamiento vendrá definido por:
D
= ε0 ξ
+
P
con lo cual, operando, tendremos el resultado:
D
=
(8,85 ⋅ 10 −12 F / m)(10 5 V / m)
4 ⋅ 10 −6 C / m 2
+
=
4 ,89 ⋅ 10 −6 C / m 2
Solución al problema 9.7
Considerando el modelo de las esferas duras, la distancia interatómica vendrá dada por la
suma de los radios atómicos de los dos elementos,
di = 0,1 x 10-9 + 0,14 x 10-9 = 2,4 x 10-10 m
El momento dipolar, p, vendrá expresado mediante:
p = q · di
siendo q la magnitud de cada carga del dipolo y di la distancia interatómica. El momento dipolar
lo obtenemos cuando hay deformación que en nuestro caso de un 5%, por lo que:
p = q · ∆di = (1.6 · 10-19) · 0,05 · (2.4 · 10-10) = 1,92 · 10-30 C · m
Solución al problema 9.8
La movilidad de cargas, viene dada por la expresión:
µ
=
ZqD
kT
donde: Z = número de electrones = 2/ión
q = carga del electrón = 1,6 · 10-19 C
k = constante de Boltzman = 1,38 · 10-23 J/K
y sustituyendo, tendremos:
175
Cuestiones y ejercicios de Fundamentos de Ciencia de Materiales
µ=
(2) (1,6 ⋅ 10 −19 )(10 −14 )
(1,38 ⋅ 10 ) (1800 + 273)
− 23
= 1,12 x 10 −13 C ⋅ m 2 ⋅ J −1 ⋅ s −1
Considerando C = A · s y J = A · V · s, y sustituyendo,
µ
=
112
, x 10 −13 m 2 ⋅ V −1 ⋅ s −1
Para calcular la conductividad eléctrica tenemos que considerar el número de iones por
unidad de volumen, n, de manera que considerando los cuatro iones de Mg2+ por celda y las
dimensiones d ella misma, tendremos:
n=
4 iones / celda de Mg 2+
( 3,96 ⋅ 10−10 m)
= 6,4 ⋅ 10 28 iones / m 3
3
con lo cual, la conductividad eléctrica vendrá dada por:
σ =nZqµ
por lo que,
(
) (
)(
)
σ = 6,4 ⋅ 10 28 (2) 1,6 ⋅ 10 −19 1,12 ⋅ 10 −13 = 22,94 ⋅ 10 −4 C ⋅ m −1 ⋅ V −1 ⋅ s −1
Considerando, de la misma forma que anteriormente, C = A · s y V = A · Ω, tendremos,
σ = 2.298 · 10-3 Ω-1 · m-1
Solución al problema 9.9
La carga almacenada Q = 4 x 10-5 C, viene relacionada con el Voltaje mediante la
capacitancia, que a su vez se relaciona con la constante dieléctrica del material, de la forma:
Q
V
C =
= ε0 ε r
S
e
=
4 ⋅ 10 −5
10000
=
4 ⋅ 10 − 9 F
Por tanto, conocida la separación entre placas, las dimensiones de éstas serán:
S
=
C⋅e
ε0 ⋅ ε r
=
4 ⋅ 10 −9 F ⋅ 2 ⋅ 10 −4 m
8.85 ⋅ 10
−12
F / m ⋅ εr
=
0,0904 2
m
εr
a) Para el vacío, εr = 1, y por tanto S = 0.0904 m2
b) Para el polietileno, εr = 2.3, y por tanto S = 0.04 m2
c) Para el agua, εr = 78.3, y por tanto S = 1,15 · 10-3 m2
d) Para el titanato de bario, εr = 3000, y por tanto S = 3 · 10-5 m2
Tal como se observa en los resultados, elevadas constantes dieléctricas, permiten minimizar el
tamaño de los condensadores.
Solución al problema 9.10
a) La capacidad vendrá expresada por:
176
Unidad 9 – Características dieléctricas y aislantes de los materiales
S
= ε 0 ε r ( n − 1)
e
C
25,2 ⋅ 10 − 9 F
=
por tanto, el número de placas de dieléctrico necesarias será:
( n − 1) =
C⋅e
25,2 ⋅ 10 −9 F ⋅ 2 ,5 ⋅ 10 −6 m
=
=4
ε 0 ε r ⋅ S 8,85 ⋅ 10 −12 F / m ⋅ 7 ⋅ 2 ,5 ⋅ 10 − 4 m 2
y el número de placas n, será se 5.
Solución al problema 9.11
La tensión aplicada a la lámina de titanato de bario será:
σ=
200 N
F
=
= 32 MPa
S ( 0,0025) 2 m 2
y por tanto, teniendo en cuenta el módulo de elasticidad del material, la deformación será:
σ 32 ⋅ 10 6
ε= =
= 4 ,6 ⋅ 10 − 4 m / m
E 69 ⋅ 10 9
El voltaje creado vendrá en función de la intensidad de campo ξ, función de la deformación
aplicada mediante la constante piezoeléctrica d, es decir:
ξ
=
ε
d
=
4 ,6 ⋅ 10 −4
100 ⋅ 10
−12
=
4 ,6 ⋅ 10 6 V / m
y considerando el espesor, tendremos:
V
= ξ⋅e =
( 4,6 ⋅ 106 V / m) ⋅ ( 2,5 ⋅ 10−4 m)
= 1150 V = 1,15 kV
Solución al problema 9.12
a) La capacidad del condensador vendrá expresada por la relación entre la carga y el potencial,
es decir:
C =
5 ⋅ 10 −6 C
8000 V
= 0.625 ⋅ 10 −9 F
con el que, considerando la expresión de la constante dieléctrica, obtenemos los resultados
recogidos en la tabla siguiente.
Material dieléctrico
ε (pF/m)
S (10-3 m2)
V (10-6 m3)
Coste
Vacío
8.85
21.2
6.36
-
Al2O3
79.65
2.4
0.72
1.73
Polietileno
20.36
9.2
2.76
4.14
Agua (H2O)
692.96
0.27
0.081
8.1 · 10-6
BaTiO3
26550
7.1 · 10-3
2.13 · 10-3
0.19
177
Cuestiones y ejercicios de Fundamentos de Ciencia de Materiales
b) El vacío se descarta por la enorme superficie necesaria para obtener el condensador. El agua
se descarta igualmente por ser, además de dieléctrico, conductora.
De los otros tres materiales, el de menor superficie necesaria, así como un menor coste,
resulta ser el titanato de bario.
Solución al problema 9.13
La constante dieléctrica viene expresada por:
ε
C⋅d
S
=
= εr ⋅ ε0
y calculando para cada uno de los materiales obtenemos los resultados recogidos en la tabla
siguiente.
MATERIAL
Capacidad (pF)
ε (10-12 C2/N·m2)
εr
PTFE
35.4
17.7
2.00
PAM
79.7
39.9
4.50
Cerámica eléctrica
108.0
54.0
6.10
Alúmina
157.6
78.8
8.90
Solución al problema 9.14
El espesor mínimo vendrá determinado por la rigidez dieléctrica del material, por tanto,
d
=
VR
ER
=
270 V
16.9 ⋅ 10 6 V / m
= 16 ⋅ 10 − 6 m
= 16 µm
Con este espesor mínimo y considerando las condiciones de la constante dieléctrica,
podemos calcular la superficie requerida para obtener el condensador.
S
C = εr ε0
d
⇒
S =
C⋅d
εr ε0
950 ⋅ 10 −12 ⋅ 16 ⋅ 10 −6
6.35 ⋅ 8.854 ⋅ 10 −12
=
= 2.7 ⋅ 10 − 4 m 2 = 2.7 cm 2
Solución al problema 9.15
La capacidad final vendrá expresada por:
C = εr ε0
S
d
siendo el espesor del dieléctrico función de su rigidez, por tanto:
d =
VR
ER
=
900 V
15 ⋅ 10 6 V / m
= 60 ⋅ 10 − 6 m = 60 µm
de donde la capacidad será:
C = 4,0 ⋅ 8,854 ⋅ 10
178
−12
265 ⋅ 10 −6 m 2
60 ⋅ 10 − 6 m
= 156,42 pF
Unidad 9 – Características dieléctricas y aislantes de los materiales
Solución al problema 9.16
a) Para las condiciones solicitadas, los posibles materiales deberían tener una constante
dieléctrica relativa mayor que:
εr
=
C⋅d
ε0 ⋅ S
=
120 ⋅ 10 −12 F ⋅ 0,25 ⋅ 10 −3 m
8,854 ⋅ 10 −12 F / m ⋅ (2 ⋅ 10 − 2 ⋅ 75 ⋅ 10 − 3 ) m 2
= 2,26
por lo que observando la tabla sólo pueden ser los 4 primeros materiales.
Comprobando ahora la rigidez dieléctrica, esta debería ser mayor o igual que:
=
ER
VR
d
=
380 V
0,25 ⋅ 10 − 3 m
= 1,52 ⋅ 10 6 V / m
que lo cumplen todos.
Por tanto, de la tabla, serviría cualquier material menos el politetrafluoretileno.
b) La longitud del dieléctrico, para el poliestireno, vendrá expresada por la sección necesaria
para obtener la capacidad del condensador, es decir:
C⋅d
εr ε0
S =
=
120 ⋅ 10 −12 ⋅ 0,25 ⋅ 10 − 3
2,6 ⋅ 8.854 ⋅ 10 −12
= 1,30 ⋅ 10 − 3 m 2
y siendo la anchura de 2 cm, la longitud necesaria será:
S
a
l =
=
1,30 ⋅ 10 −3 m 2
0,02 m
= 0,065 m = 65 mm
Solución al problema 9.17
a) El potencial vendrá expresado en función de la rigidez dieléctrica por:
V = ER d
siendo d el espesor del dieléctrico, relacionado con la capacidad del mismo por:
= 8.85 ⋅ 10 −12 ⋅ 2.6
C
0.01 x 0.05
d
= 145 ⋅ 10 −12 F
por lo que el espesor será:
d
= 8.85 ⋅ 10 −12 ⋅ 2.6
0.01 x 0.05
145 ⋅ 10 −12
= 7.934 ⋅ 10 − 5 m
y el potencial que soportará sin perforar, será:
V = 26 · 106 V/m · 7.934 · 10-5 m = 2063 V
b) Si consideramos el dieléctrico con la misma anchura que en caso a), la longitud del mismo
vendrá expresada por:
l
=
C⋅d
ε0 ⋅εr ⋅ a
=
145 ⋅ 10 −12 F ⋅ 45 ⋅ 10 −6 m
8.85 ⋅ 10 −12 F / m ⋅ 2.1 ⋅ 0.01 m
= 0.0351 m = 3.51 cm
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