problemas_ondas2 - Las cosas que me interesan

Problemas de fenómenos ondulatorios
1.- Se tienen dos superficies planas y reflectante que forman un ángulo de 90º. Si llega un
rayo de luz a una de ellas con un ángulo de 25º, calcula el ángulo cuando se haya reflejado
en la segunda.
Este ejercicio se puede resolver geométricamente y aplicando la
ley de Snell de la reflexión:
El ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión son iguales.
î = r̂
El ángulo del rayo reflejado por la 2ª superficie será de 65º.
2.- Una onda que se propaga por una cuerda viene descrita por la ecuación, en unidades del
SI: y = 0'05 · sen (10·t - 2·x)
Si la cuerda está fija por un extremo a la pared, escriba la ecuación de la onda reflejada.
Sabemos que la onda reflejada está desfasada π radianes (180º) y que se propaga en sentido
contrario a la onda incidente.
y = 0'05 · sen (10t + 2x + π)
Como sen (α + π ) = - sen α, la ecuación de la onda reflejada quedará: y = - 0'05 · sen (10t + 2x)
3.- a) Un rayo de luz que se propaga por el aire llega a la superficie de separación con el
agua formando un ángulo de 30º. Calcula el ángulo de refracción y la velocidad en el agua.
b) Si la frecuencia de la luz es 4'45·1014 Hz, calcula la longitud de onda en el aire y en el
agua. Datos: nagua = 1'3, c = 3·108 ms-1
a) Según la expresión de Snell: nincidente · sen ˆi = nrefractado · sen r̂
n
1
sen r̂ = incidente · sen î =
sen 30º = 0'385 ⇒ r̂ = 22'64º
n refractado
1'3
La velocidad en el agua se puede calcular con: n =
c
υ
⇒ υagua =
c
n agua
3 ⋅108
=
= 2'3·108 m/s
1'3
b) La frecuencia de la onda luminosa, f, permanece constante (ya que depende de la frecuencia
de vibración del foco emisor de ondas, que no cambia), pero como υ = λ ⋅ f , si la velocidad
cambia, también cambiará la longitud de la onda.
3 ⋅108
υ
La longitud de onda en el aire: λ = =
= 6'74·10-7 m = 674 nm
f 4'45 ⋅1014
υ 2'3 ⋅108
= 5'1 ·10-7 m = 510 nm
La longitud de onda en el agua: λ = =
14
4
'
45
⋅
10
f
4.- Calcula el ángulo límite para un rayo de luz que pasa del vidrio al aire y explica qué
ocurrirá cuando el ángulo de incidencia sea de 45º y 40º. Dato: nvidrio = 1'5
El ángulo límite es aquel ángulo de incidencia, L̂ , para el cual el ángulo de refracción es de 90º.
n
1
L̂ = arcosen refractado = arcosen = arcosen 0'6667 = 41'8º
n incidente
1'5
Si el ángulo de incidencia es de 45º, se producirá reflexión, porque es mayor que el ángulo
límite. Si el ángulo es 40º, el rayo se refractará porque su valor es menor que el ángulo límite.
5.- Una onda electromagnética que en el vacío tiene una longitud de onda de 550 nm
penetra en un medio de índice de refracción 1'5. Calcula en este medio: a) Su velocidad. b)
Su longitud de onda.
a) υ =
3 ⋅108
c
=
= 2·108 m/s
1'5
n
3 ⋅108
b) f = =
= 5'45 ·1014 Hz
−7
λ 5'5 ⋅10
c
λ=
υ
f
=
2 ⋅108
= 3'67 ·10-7 m = 367 nm
14
5'45 ⋅10
6.- La velocidad de una onda en un determinado medio es 1'0 m/s y su longitud de onda, 50
cm. Alcanza otro medio con un ángulo de incidencia de 30º, siendo la longitud de onda
ahora de 12'5 cm. Calcula: a) La frecuencia de la onda. b) El ángulo de refracción. c) el
índice de refracción del segundo medio respecto del primero.
Datos: ν = 1 m/s, λ1 = 50 cm = 0'5 m, î = 30º, λ2 = 12'5 cm = 0'125 m
a) La frecuencia solo depende del foco emisor por lo que será la misma n los dos medios:
υ 1
f= =
= 2 Hz
λ 0'5
b) La velocidad de la onda en el segundo medio: ν2 = λ2 · f = 0'125 · 2 = 0'25 m/s
Aplicando la ley de Snell para la refracción:
υ
0'25
sen î υ1
⇒ sen r̂ = 2 · sen î =
· sen 30º = 0'125 ⇒ r̂ = 7'2º
=
υ1
sen r̂ υ 2
1
υ
1
=4
c) n2,1 = 1 =
υ2 0'25
7.- Una onda de naturaleza eléctrica viene descrita por la ecuación, en unidades del SI:
E = 0'5 · sen (3·1010 t – 175 x). Calcula: a) Su longitud de onda y su frecuencia temporal. b)
El índice de refracción del medio en el que se propaga la onda respecto del vacío donde se
desplaza a 3·108 ms-1.
Datos: E = 0'5 · sen (3·1010 t – 175 x)
a) Comparando la ecuación de la onda con la ecuación general: k = 175 rad/m, ω = 3·1010 rad/s
2π
2π
=
= 0'036 m
λ
k
175
2π
ω 3 ⋅1010
=
= 4'77·109 Hz
como: ω =
=2πf ⇒ f=
2π
T
2π
b) La velocidad e propagación en el medio: υ = λ ⋅ f = 0'036 · 4'77·109 =1'72·108 m/s
como: k =
2π
⇒ λ=
Por lo que el índice de refracción respecto al vacío será: n =
Unidad 7: Fenómenos ondulatorios.
c
υ
=
3 ⋅188
=1'74
1'72 ⋅108
pag. 1
8.- Un rayo luminoso incide sobre una superficie plana de separación aire-líquido.
Cuando el ángulo de incidencia es de 45º, el de refracción vale 30º. ¿Qué ángulo de
refracción se produciría si el haz incidiera con un ángulo de 60º?
Según la expresión de Snell: naire · sen î = nlíquido · sen r̂
n aire ⋅ sen î 1⋅ sen 45º
=
= 1'41
sen r̂
sen30º
nlíquido =
Para un ángulo incidente de 60º: sen r̂ =
n incidente
1⋅ sen 60º
· sen î =
= 0'6142 ⇒ r̂ = 37'89º
n refractado
1'41
9.- Una partícula de tierra está incrustada bajo la superficie de una plancha de hielo (n =
1'309). Su profundidad aparente ¿es mayor o menor que la profundidad real? Justifica la
respuesta.
De acuerdo con la ley de Snell, al pasar el rayo de luz del hielo al aire el
aire, que tiene menor índice de refracción, el ángulo de refracción será
mayor que el de incidencia. Como al ojo llegan los rayos refractados, el
cerebro interpreta que proceden rectilíneamente no de la posición real, sino
de la aparente que está menor profundidad.
10.- Sobre una lámina transparente de índice de refracción 1'5 y de 1 cm de espesor,
situada en el vacío, incide un rayo luminoso formando un ángulo de 30º con la normal a la
cara. Calcule:
a) El ángulo que forma con la normal el rayo que emerge de la lámina Efectúe la
construcción geométrica correspondiente.
b) La distancia recorrida por el rayo dentro de la lámina.
Dato: nvacío = 1
a) Se aplica primero la ley de Snell al paso del vacío al vidrio: nincidente · sen î = nrefractado · sen r̂
sen r̂ 1=
n incidente
1⋅ sen 30º
· sen î 1=
= 0'3333 ⇒ r̂ = 19'5º
n refractado
1'5
En la figura se puede observar que los ángulos r̂ 1 e î 2 son iguales,
por tanto: î 2 = 19'5º
sen r̂ 2=
n incidente
1'5 ⋅ sen 19'5º
= 0'4999 ⇒ r̂ = 29'99º =30º
· sen î 2=
n refractado
1
El rayo que emerge de la lámina tiene el mismo ángulo que el ángulo de incidencia inicial, pero
está desplazado una distancia d.
b) La distancia que recorre el rayo en la lámina es AB, el espesor de la lámina; BC = 0'01 m
cos î 2 =
BC
0'01
BC
⇒ AB =
=
= 0'0106 m
cos19'5º
AB
cos î2
Unidad 7: Fenómenos ondulatorios.
pag. 2
11.- Explica por qué se puede oír a una persona hablando detrás de una esquina pero no se
la puede ver.
La razón es que el sonido tiene una longitud de onda mucho mayor que la de la luz. Cuando las
ondas sonoras llegan a la esquina se difractan, de forma que los puntos del frente de onda que no
están tapados por el obstáculo se comportan como centros emisores de nuevas ondas que se
propagan en todas direcciones (no solo en línea recta), por eso podemos oír a la persona.
La luz es una onda electromagnética y su longitud de onda, que es del orden de 10-7 m, es
demasiado pequeña para difractarse en la esquina. Para que se dé el fenómeno de difracción el
tamaño del obstáculo tiene que ser comparable al de la longitud de onda de la onda considerada.
Por tanto, al no difractarse, la luz sigue propagándose en línea recta, por eso no podemos ver a la
persona que está detrás de la esquina.
12.- Un camión de bomberos se desplaza por la carretera a una velocidad de 144 km/h,
mientras hace sonar su sirena con una frecuencia de 1000 Hz. Calcula la frecuencia con
que un peatón situado al lado de la carretera recibirá el sonido, en el caso de que: a) el
camión se aleja del peatón. b) el camión se aproxima el peatón. Dato: νsonido = 340 m/s
Dato: vfoco sonoro = 144 km/h = 40 m/s, f = 1000 Hz, νsonido = 340 m/s
a) La sirena está acercándose al peatón que está fijo, la frecuencia que aprecia el peatón:
f ⋅υ
340
= 1133'3 Hz
= 1000
fA =
υ − vF
340 − 40
b) La sirena está alejándose del peatón que está fijo, la frecuencia que aprecia el peatón:
f ⋅υ
340
fB =
= 894'74 Hz
= 1000
υ + vF
340 + 40
13.- La bocina de un automóvil estacionado emite un sonido cuya frecuencia es de 420 Hz.
Calcula la frecuencia que percibe un ciclista que se mueve hacia el coche a una velocidad
de 30 km/h. Dato : νsonido = 340 m/s
Datos: vciclista = 30 km/h = 8'3 m/s, f = 420 Hz, νsonido = 340 m/s
f' =
f (υ + v 0 )
υ
=
420 ⋅ (340 + 8'3)
= 430'25 Hz
340
14.- Una ambulancia que se desplaza por una carretera a 72 km/h lleva encendida la sirena,
que emite un sonido de 420 Hz de frecuencia. Calcula la frecuencia que percibirá el
conductor de un automóvil que transita por la misma carretera con una velocidad de 50
km/h según se acerque a la ambulancia o se aleje de ella. Dato: νsonido = 340 m/s
Datos: vF = 72 km/h = 20 m/s, f = 420 Hz, vR = 50 km/h = 14 m/s, νsonido = 340 m/s
Al acercarse el automóvil y la ambulancia, se toma el signo positivo en el numerador y negativo,
en el denominador.
f (υ + v R )
420 ⋅ (340 + 14)
fR =
= fR =
= 465 Hz
υ − vF
340 − 20
La frecuencia aumenta y el sonido se hace más agudo.
Al alejarse el automóvil y la ambulancia, se toma el signo negativo en el numerador y positivo
en el denominador.
f (υ − v R )
420 ⋅ (340 − 14)
fR =
= fR =
= 380 Hz
υ + vF
340 + 20
La frecuencia disminuye y el sonido se hace más grave.
Unidad 7: Fenómenos ondulatorios.
pag. 3
15.- Dos ondas y1 = 0'3 cos (200t - 0'05x1) e y2 = 0'3 cos (200t - 0'05x2) se propagan por el
mismo medio. Si las ondas se anulan en un punto distante 10 m del centro emisor de la
primera onda, calcula el valor más pequeño de la distancia a la que se puede encontrar el
segundo foco. Datos: y1 =0'3 cos (200t - 0'05x1), y2 = 0'3 cos (200t - 0'05x2), x1 = 10 m
La condición de interferencia destructiva (ondas que se anulan) es: x2 – x1 = (2n + 1) ·
λ
2
2π
⇒λ=
k = 0'05 =
= 126 m
λ
0'05
Utilizando este valor en la condición de interferencia destructiva, y sustituimos n por 0 con
objeto de encontrar el punto más cercano, se puede averiguar la posición del segundo foco:
126
⇒ x2 = 63 + 10 = 73 m
x2 – 10 = (2·0 + 1) ·
2
16.- Se produce la interferencia de las siguientes ondas armónicas coherentes:
y1 = 0'5 · sen (100 · t -2 · x1) ; y2 = 0'5 · sen (100 · t – 2 · x2) (en unidades del SI). Determina:
a) La función de onda resultante. b) El valor de la amplitud resultante en un punto que
dista 5 m y 7 m de los dos focos emisores.
a) La función de onda resultante se obtiene sumando:
2π
y = y1 + y2 = 0'5 · sen (100 · t - 2 · x1) + 0'5 · sen (100 · t – 2 · x2)
a+b
a−b
⋅ cos
2
2
(100 t − 2 x1 ) + (100 t − 2 x 2 )
(100 t − 2x1 ) − (100 t − 2x 2 )
⋅ cos
y = 0'5 · 2 · sen
2
2
Como: sen a + sen b = 2 ⋅ sen
y = 1 · sen
200 t − 2( x 2 + x1 )
2( x 2 − x1 )
⋅ cos
2
2
La función de onda resultante: y = cos( x 2 − x1 ) ⋅ sen (100 t − ( x 2 − x1 ))
Donde la amplitud resultante: Ar = cos (x2 – x1)
b) Ar = cos (x2 – x1) ⇒ Ar = cos (7 – 5) = -0'42 m
17.- Por una cuerda tensa, se transmiten simultáneamente dos ondas transversales de
ecuaciones en el SI: y1 = 0'04 · sen (10·x – 600·t) y y2 = 0'04 · sen (10·x + 600·t)
Escribe la ecuación de la perturbación que aparece en la cuerda.
Cuando dos ondas concurren en un punto la perturbación resultante es suma de las dos
perturbaciones: y = y1 + y2 = 0'04 · sen (10·x – 600·t) + 0'04 · sen (10·x + 600·t)
a+b
a−b
⋅ cos
2
2
(10x − 600 t ) + (10x + 600t )
(10 x − 600t ) − (10x + 600t )
⋅ cos
y = 0'04 · 2 · sen
2
2
− 1200t
20x
⋅ cos
y = 0'08 · sen
= 0'08 · sen 10 x · cos (-600t)
2
2
Como cos (-a) = cos a, la función de onda resultante: y = 0'08 · sen 10 x · cos 600t
Como: sen a + sen b = 2 ⋅ sen
Donde la amplitud resultante: Ar = 0'08 · sen 10·x
Unidad 7: Fenómenos ondulatorios.
pag. 4
18.- En una cuerda tensa se ha generado una onda estacionaria cuya ecuación en unidades
del SI, es: y = 0'02 · cos (10 · π · x) · sen (40 · π · t). Determina la amplitud, la frecuencia y la
longitud de onda de las ondas que por superposición originaron esa onda estacionaria.
Comparando con la ecuación general de una estacionaria:
y = 2 · A · cos (ωt) · sen (kx) ó y = 2 · A · sen (ωt) · cos (kx)
⇒ A = 0'01 m
2 · A = 0'02
k = 10 · π =
2π
λ
⇒
λ=
ω = 40 · π = 2 π f ⇒ f =
2π
= 0'2 m
10 ⋅ π
40 ⋅ π
= 20 Hz
2π
19.- a) Se hace vibrar una cuerda de guitarra de 0'4 m de longitud, sujeta por los dos
extremos. Calcule la frecuencia fundamental de vibración, suponiendo que la velocidad de
propagación de la onda en la cuerda es de 352 m s- 1. b) Explique por qué, si se acorta la
longitud de una cuerda en una guitarra, el sonido resulta más agudo.
Datos: L = 0'4 m, v = 352 m·s-1
a) Cuando una cuerda se sujeta por los dos extremos, dichos extremos son nodos. Si la amplitud
resultante de las ondas estacionarias generadas en la misma tiene la forma: Ar = 2·A·sen (kx)
La condición de nodo es: x = n ·
λ
2
⇒ λ=
2x
n
Aplicando la condición de nodo a uno de los extremos, hacemos x = L = 0'4 m
λ=
2 ⋅ 0'4 0'8
=
n
n
El modo fundamental de vibración tiene lugar cuando n = 1 ⇒ λ = 0'8 m.
Conocida la longitud de onda del modo fundamental, la frecuencia se puede determinar:
f=
υ 352
=
= 440 Hz
λ 0'8
b) La frecuencia en función de la longitud de la cuerda viene dada por: f =
Para n = 1 ⇒ f =
υ
2L
υ n ⋅υ
=
λ 2L
(frecuencia fundamental)
La longitud de la cuerda está en el denominador, por lo que, si la longitud disminuye, la
frecuencia aumenta. En el caso del sonido, el tono es la cualidad que está relacionada con la
frecuencia, los tonos agudos corresponden a frecuencias más altas, que es lo que ocurre cuando
la cuerda se acorta.
Unidad 7: Fenómenos ondulatorios.
pag. 5
20.- En una cuerda tensa, sujeta por sus extremos, se tiene una onda de ecuación:
y = 0'02 sen (4πx) cos(200πt) (S.I.)
Indicar el tipo de onda de que se trata y calcular razonadamente la longitud mínima de la
cuerda que puede contener esa onda. ¿Podría existir esa onda en una cuerda más larga?
Datos: y = 0'02 sen (4πx) cos(200πt)
Se trata de una onda estacionaria unidimensional, transversal y armónica, resultado de la
superposición de dos ondas iguales en amplitud, frecuencia y longitud de onda pero que se
propagan en sentidos opuestos, una en sentido positivo del eje OX y la otra en sentido negativo.
Según se indica esta onda está “confinada” entre dos extremos, es decir, como mínimo puede
vibrar formando dos nodos (los extremos) y un vientre. Este modo de vibración es el
fundamental y en él los nodos se encuentran, según se ha dicho, en x = 0 y x = L, donde L es la
longitud de la cuerda.
2π
2π
Comparando con la ecuación general: k =
= 0'5 m
= 4π ⇒ λ =
λ
4π
2π
Los nodos de esta onda cumplen la siguiente condición: sen (kx) = 0 ⇒
x=nπ
λ
(donde n = 0,1,2,3,... )
Si se hace x = L y se despeja: 4 L = n ⇒ L =
nλ
2
El valor mínimo de L será cuando n = 1 ⇒ L =
λ
= 0'25 m, que es
2
precisamente el doble de la longitud mínima de la cuerda.
nλ
, indica que la
2
longitud de la cuerda es directamente proporcional a la longitud de la onda estacionaria
generada.
Si la cuerda fuera más larga, la expresión obtenida para su longitud: L =
En el modo fundamental de vibración (n =1), si la longitud de la cuerda cambia entonces la
longitud de la onda estacionaria cambia y, por tanto, no se trata de la misma onda.
21.- Por una cuerda tensa fija por sus dos extremos y longitud 50 m, se propaga
transversalmente una vibración de 100 Hz de frecuencia. Si se forma una onda
estacionaria con tres vientres, determina: a) La velocidad de propagación de las ondas en la
cuerda. b) El valor de otra frecuencia inferior que también origine una onda estacionaria
en la cuerda. Datos: L = 50 m, f = 100 Hz
En una cuerda con los extremos fijos, una onda estacionaria de tres vientres corresponde a la
vibración del tercer armónico, para el que se cumple que:
3⋅ λ
nλ
L=
=
= 50 m ⇒ λ = 33'33 m
2
2
Como la onda se propaga con velocidad constante será: ν = λ · f = 33’33 · 100 = 3333 m/s
b) Una frecuencia menor corresponde, por ejemplo, al segundo armónico, para el cual:
nλ 2λ
=
= 50 m.
L=
2
2
υ
3333
Puesto que la onda se propaga con la misma velocidad: f = ⇒ f =
= 66'7 Hz
λ
50
Unidad 7: Fenómenos ondulatorios.
pag. 6
22.- La cuerda Mi de un violín vibra a 659'26 Hz en el modo fundamental. La cuerda tiene
una longitud de 32 cm: a) Obtén el período de la nota Mi y a velocidad de las ondas en la
cuerda. b) ¿En qué posición (refiérela a cualquiera de los dos extremos) se debe presionar
la cuerda para producir la nota Fa, de 698'46 Hz de frecuencia? c) Si se produce con el
violín un sonido de 10-4 W de potencia, calcula la distancia a la que habría que situase para
escucharlo con una intensidad de 50 dB. Dato: I0 = 10-12 W/m2
2L 2 ⋅ 0'32
nλ
⇒ λ=
a) L =
=
= 0'64 m
2
n
1
1
1
T= =
= 1’52·10-3 s
f 659'26
υ = λ1 ⋅ f1 = 0'64 · 659'26 = 421'93 m/s
b) f =
n ⋅υ
nυ 1 ⋅ 421'93
⇒ L=
=
= 0'302 m = 30'2 cm
2f
2L
2 ⋅ 698'46
La posición en que se debe presionar es: L – L’ = 0'32 - 0'302 = ‘018 m = 1'8 cm de la clavija y a
30'2 cm del puente.
I
c) La intensidad sonora o sonoridad: β = 10 ⋅ log
Io
I
50 = 10 log −12 ⇒ 5 = log I – log 10-12 = log I +12 ⇒ 5 -12 = log I = -7 = log I
10
I = 10-7 W/m
I=
P
P
⇒ r=
=
S 4π r 2
P
4π I
10−4
= 8'92 m
4π 10−7
=
23.- Un tubo de longitud L = 34 cm tiene sus dos extremos abiertos a la atmósfera, donde el
sonido se propaga con una velocidad v = 340 m/s. Calcula la menor frecuencia de
excitación sonora para la que se formará una onda estacionaria en el interior del tubo.
Representa esta onda estacionaria, indicando la posición de nodos y vientres.
b) Contesta las mismas cuestiones del apartado anterior, suponiendo ahora que el tubo
tiene un extremo abierto y otro cerrado.
a) Para que se produzca una onda estacionaria en un tubo con los dos extremos abiertos se tiene
λ
2L
⇒ λ=
que cumplir: L = n
, siendo n = 1, 2, 3,…
2
n
La frecuencia será: f = n
υ
2L
La menor frecuencia se da para n = 1: f = 1 ·
340
=500 Hz
2 ⋅ 0'34
b) Para que se produzca una onda estacionaria en un tubo con un extremo abierto y otro cerrado
λ
4L
se tiene que cumplir: L = (2n + 1) ⇒ λ =
, siendo n = 0, 1, 2, 3,…
4
2n + 1
La frecuencia será: f = (2n+1)
υ
4L
La menor frecuencia se da para n = 0: f = 3·
Unidad 7: Fenómenos ondulatorios.
340
= 250 Hz
4 ⋅ 0'34
pag. 7
Problemas de Selectividad
1.- (Junio 2005). La ecuación de una onda en una cuerda es: y(x,t) = 0'4sen12πxcos40πt
(S.I.). a) Explique las características de la onda y calcule su periodo, longitud de onda y
velocidad de propagación. b) Determine la distancia entre dos puntos consecutivos con
amplitud cero.
a) La ecuación y (x,t) = 0'4 sen 12 πx cos 40 πt es la ecuación de una onda estacionaria, donde
0'4 sen 12πx es la amplitud resultante, que es diferente para cada punto del medio (para cada
valor de x). Hay puntos que vibran con la máxima amplitud posible (0'4 m) y otros que no vibran
nada (aquellos para los que el sen 12πx vale 0). Esto es característico de una onda estacionaria.
Comparando con la expresión general de una onda estacionaria: y (x,t) = 2·A sen kx · cos (ωt)
0'4
2 · A = 0'4 m ⇒ A =
= 0'2 m
k = 12π m-1
ω = 40π rad/s,
2
2π
2π
1
=
A partir de estos valores se pueden obtener los valores pedidos: T =
s
=
ω
40π 20
λ 1 20
1
2π 2π
1
= m
f = = 20 Hz
λ=
=
ν = = 16 =
= 3'33 m/s
T
k 12π 6
T 20
6
b) Si la amplitud es cero, esos dos puntos no vibran. Dos puntos que no vibran son dos nodos.
La distancia entre dos nodos, como puede apreciarse en la figura, es media longitud de onda.
λ 1 1
Por tanto: dn-n = = 6 = = 0'083 m
2 2 12
2.- (Junio 2006) a) Explique los fenómenos de reflexión y refracción de la luz con ayuda de
un esquema. b) Un haz de luz pasa del aire al agua. Razone cómo cambian su frecuencia,
longitud de onda y velocidad de propagación.
a) Ver teoría.
b) Cuando un rayo de luz incide sobre un nuevo medio, parte de la energía incidente se refleja y
el resto pasa al nuevo medio en el que cambia su dirección según la
expresión de Snell:
nincidente · sen î = nrefractado · sen rˆ
Índice de refracción, n: es el cociente entre la velocidad de la luz en el
vacío, c, y la velocidad de la luz en cualquier otro medio, ν.
c
n=
•
•
υ
Cada medio tiene un índice de refracción (n) específico, lo que supone que la velocidad de
propagación de la luz es distinta en cada medio. Dado que el agua es más refringente que el
aire (tiene mayor índice de refracción), la velocidad de la luz en el agua será menor que en
aire. Y como: nrefractado > nincidente ⇒ sen î > sen r ⇒ î > r ⇒ El rayo refractado se acercará
a la normal.
La frecuencia de la onda luminosa, f, permanece constante (ya que depende de la frecuencia
de vibración del foco emisor de ondas, que no cambia), pero como υ = λ ⋅ f , si la velocidad
cambia, también cambiará la longitud de la onda: λ =
υ
f
La ecuación nos indica que λ y ν son directamente proporcionales. En medios más
refringentes la velocidad de propagación de la luz será menor y, por tanto, λ será menor. En
el aire tanto λ como v serán mayores que en el agua, manteniéndose constante la frecuencia.
Unidad 7: Fenómenos ondulatorios.
pag. 8
3.- (Junio 2007) Un haz de luz de 5·1014 Hz viaja por el interior de un diamante.
a) Determine la velocidad de propagación y la longitud de onda de esa luz en el diamante.
b) Si la luz emerge del diamante al aire con un ángulo de refracción de 10º dibuje la
trayectoria del haz y determine el ángulo de incidencia.
Datos: c = 3·108 ms-1, ndiamante =2'42
a) El índice de refracción, n, es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío, c, y la
velocidad de la luz en cualquier otro medio, ν.
3 ⋅108
c
c
n= ⇒ υ= =
= 1'24·108 m/s
2'42
υ
n
La frecuencia de la onda luminosa, f, permanece constante (ya que depende de la frecuencia de
vibración del foco emisor de ondas, que no cambia), pero como υ = λ ⋅ f , si la velocidad cambia,
también cambiará la longitud de la onda.
υ 1'24 ⋅108
λ= =
= 2'48· 10-7 m = 248 nm
14
5 ⋅10
f
b) Cuando un rayo de luz pasa a un medio menos refringente, como el
aire, se aleja de la normal de acuerdo con la ley de Snell:
nincidente · sen î = nrefractado · sen r̂
n refractado
1
· sen r̂ =
· sen 10º = 0'072 ⇒ ˆi = 4'11º
n incidente
2'42
4.- (Junio 2009) a) Razone que características tienen que tener dos ondas que se propaguen
por una cuerda tensa con sus dos extremos fijos, para que su superposición origine una
onda estacionaria. b) Explique qué valores de la longitud de onda pueden darse, si la
longitud de la cuerda es L.
a) Las ondas estacionarias se producen como el resultado de la interferencia de dos ondas
viajeras de las mismas características (frecuencia y amplitud) que viajan por el mismo medio en
la misma dirección y sentido opuesto. El resultado es una interferencia a la se denomina “onda”
estacionaria, pero que no puede considerarse una onda en el sentido estricto ya que la energía no
fluye a lo largo del medio, en nuestro caso, la cuerda. A cada punto de la cuerda le corresponde
una amplitud que puede ser hasta el doble de las ondas generatrices
(vientre) o no vibrar nada en absoluto (nodo). La amplitud resultante
para cada punto del medio depende solo de su posición, siendo la
distancia entre nodos, media longitud de onda.
sen î =
Al estar fija por los dos extremos, se producirá propagación y reflexión de cualquier perturbación
que se origine en ella. Por tanto, simplemente habría que pulsar con la frecuencia correcta en
cualquier punto de la cuerda y podría obtenerse una onda estacionaria.
b) Si la cuerda tiene ambos extremos fijos, significa que en cada extremo hay
un nodo. Las tres primeras posibilidades para una cuerda con extremos fijos de
longitud L:
• El primer caso, para λ = 2L, se obtiene el primer armónico
• En el segundo caso, segundo armónico: λ = L
• En el tercero, tercer armónico: λ = 2/3 L
2L
Por tanto, la ecuación general: λ =
, siendo n =1,2,3…Dependiendo de la velocidad con que
n
se propague la onda por la cuerda, (depende de su densidad lineal y la tensión que se imprima a
la misma), ésta podrá emitir unos sonidos propios para cada caso que se conocen como
armónicos.
Unidad 7: Fenómenos ondulatorios.
pag. 9
5.- (Junio 2009) Una antena emite una onda de radio de 6·107 Hz.
a) Explique las diferencias entre esa onda y una onda sonora de la misma longitud de onda
y determine la frecuencia de esta última.
b) La onda de radio penetra en un medio y su velocidad se reduce a 0’75 c. Determine su
frecuencia y su longitud de onda en ese medio.
Datos: c = 3 · 108 ms-1, vs = 340 ms-1.
a) Las ondas de radio son ondas electromagnéticas, se propagan por medios materiales y también
por el vacío, es decir, no precisan de un medio material para su propagación. Las ondas sonoras,
en cambio, son ondas mecánicas y sí necesitan de un medio para su propagación.
Además las ondas electromagnéticas son todas transversales, por lo que la dirección de
propagación de la onda es perpendicular a la dirección de vibración de las partículas del medio.
En cambio, las ondas sonoras son ondas longitudinales, por lo que la dirección de propagación
del movimiento ondulatorio coincide con la dirección de vibración de las partículas.
υ c 3 ⋅108
La longitud de onda de la onda electromagnética se puede obtener con: λ = = =
=5
f
f 6 ⋅107
m
Se utiliza la misma fórmula para determinar la frecuencia del sonido: f =
υ 340
= 68 Hz
=
λ 5
b) La frecuencia de la onda, f, permanece constante = 6·107 Hz (ya que solo depende de la
frecuencia de vibración del foco emisor de ondas, que no cambia), pero como υ = λ ⋅ f , si la
velocidad cambia, también cambiará la longitud de la onda.
υ 0'75 ⋅ 3 ⋅108
λ= =
= 375 m
6 ⋅107
f
6.- (2010) Explique los fenómenos de reflexión y refracción de la luz.
b) ¿Tienen igual frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación la luz incidente,
reflejada y refractada? Razone las respuestas.
a) Ver teoría.
b) En la reflexión, la onda incidente y la reflejada se propagan por el mismo medio, por tanto ni
la frecuencia, ni la velocidad de propagación ni la longitud de onda variarán.
En la refracción la onda incidente y la refractada viajan en distintos medios con índices de
refracción distintos. Por tanto la velocidad de propagación variará de acuerdo con la ecuación:
c
υ=
n
Donde c es la velocidad de la luz y n el índice de refracción del medio en que se propaga la onda.
La frecuencia de la onda luminosa, f, permanece constante (ya que depende de la frecuencia de
vibración del foco emisor de ondas, que no cambia), pero como υ = λ ⋅ f , si la velocidad cambia,
también cambiará la longitud de la onda. Además, al variar el índice de refracción, se producirá
un cambio de dirección en la onda refracta de acuerdo con la ley de Snell:
nincidente · sen î = nrefractado · sen r̂
Hay que apuntar que, siempre que se da una refracción se produce simultáneamente una
reflexión y absorción de energía (disipación) por el nuevo medio. Por tanto, la intensidad de la
onda incidente (y por tanto la amplitud) se repartirá entre los tres procesos, por lo que la
amplitud de la onda refractada siempre será inferior a la de la onda incidente.
Unidad 7: Fenómenos ondulatorios.
pag. 10
7.- (Junio 2011) Una onda electromagnética tiene en el vacío una longitud de onda de 5·10-7
m. a) Explique qué es una onda electromagnética y determine la frecuencia y el número de
onda de la onda indicada. b) Al entrar la onda en un medio material su velocidad se reduce
a a 3c/4. Determine el índice de refracción del medio y la frecuencia y la longitud de onda
en ese medio. Datos: c = 3 · 108 ms-1
a) Son ondas que se propagan por medios materiales y también por el vacío, es decir, no precisan
de un medio material para su propagación. La energía que propaga es electromagnética,
producida por oscilaciones de cargas eléctricas aceleradas. Y consisten en la propagación, sin
necesidad de soporte material alguno, de campos eléctricos y magnéticos periódicos, autosostenidos. Dichos campos son perpendiculares entre sí y perpendiculares a la dirección de
propagación. Se podría decir que son dos ondas en
una. Una de las dos ondas consiste en la propagación
de un campo eléctrico variable que genera, por tanto,
un campo magnético, también variable, que se
propaga perpendicularmente al campo eléctrico. A su
vez, el campo magnético variable genera un campo
eléctrico variable perpendicular. Las ecuaciones de
onda serán:
r
r
r
r
E (x,t) = E 0 · sen (ωt - kx) y B (x,t) = B0 · sen (ωt - kx)
r
r
Donde E 0 y B0 son las amplitudes de los campos eléctricos y eléctricos.
Como en el vacío la onda electromagnética tiene una longitud de onda, λ = 5·10-7 m, su
frecuencia en el vacío será:
3 ⋅108
c
f= =
= 6·1014 Hz
λ 5⋅10−7
Número de ondas, k: es el número de longitudes de onda completas contenidas en una distancia
igual a 2π.
2 ⋅ 3'14
2π
k=
=1'26 · 107 rad/m
=
λ
5⋅10−7
b) Al cambiar de medio, la onda se refracta, es decir la velocidad y la dirección de propagación
varían, y esta variación depende del índice de refracción del medio en que se propague la onda.
El índice de refracción, n, es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío, c, y la velocidad
de la luz en cualquier otro medio, ν.
c
c 4
n = = = = 1'333
υ 3c 3
4
La frecuencia de la onda luminosa, f, permanece constante = 6·1014 Hz (ya que depende de la
frecuencia de vibración del foco emisor de ondas, que no cambia), pero como υ = λ ⋅ f , si la
velocidad cambia, también cambiará la longitud de la onda.
3
⋅ 3 ⋅108
λ= = 4
= 3'75 · 10-7 m = 375 nm
f
6 ⋅1014
υ
Unidad 7: Fenómenos ondulatorios.
pag. 11
8.- (Junio 2012) Una onda en una cuerda viene descrita por: y (x,t) = 0'5 cos x · sen (30 t)
(S. I.)
a) Explique qué tipo de movimiento describen los puntos de la cuerda y calcule la máxima
velocidad del punto situado en x = 3'5 m.
b) Determine la velocidad de propagación y la amplitud de las ondas cuya superposición
darían origen a la onda indicada.
a) La expresión que nos da el problema corresponde a una onda estacionaria, ya que las partes
espacial (k·x) y temporal (ω·t) aparecen en dos funciones trigonométricas separadas. En este
caso, se trata de una onda estacionaria de extremo libre (punto de amplitud máxima en x = 0).
Una onda estacionaria se produce por la superposición (interferencia) de dos ondas viajeras de
iguales características (amplitud, periodo, frecuencia, velocidad de propagación…) que se
propagan por el mismo medio, en la misma dirección pero en sentidos contrarios. Como
consecuencia de esta interferencia obtenemos:
•
Cada punto de la cuerda describe un movimiento armónico simple, una vibración cuya
amplitud no es única, sino que depende del punto del medio (del desfase entre las ondas que
interfieren). Tendremos así puntos con interferencia constructiva y amplitud máxima (2A) o
vientres, puntos con interferencia destructiva y amplitud cero (nodos), y puntos con amplitud
intermedia. La expresión para la amplitud en este caso es A (x) = 0'5 cos x (m)
Para x = 0 m, cosx = 1, con lo que la amplitud es máxima = 0'5 m (extremo libre).
•
La expresión general sería y (x, t) = 2A cos kx · sen (ωt) (S. I.)
donde A = 0'25 m, k = 1 rad/m y ω = 30 rad/s, son la amplitud, número de onda y frecuencia
angular de las ondas superpuestas.
La propagación neta de energía es nula, ya que tenemos dos ondas transmitiendo la misma
cantidad de energía por segundo en sentidos puestos. La velocidad de propagación de la O.E.
es, por tanto, cero.
•
La velocidad de un punto de la cuerda (velocidad de vibración), depende del punto x y del
instante t, y viene dada por la expresión:
v (x,t) = dy(x,t)/dt = 0'5 cos x·30 cos(30t) = 15 · cos x · cos (30t) (m / s )
La velocidad es máxima (en valor absoluto) cuando cos (30t) = ±1 , es decir: vymax= |15 · cos x|
(m/s)
Sustituyendo x = 3,5 m (y poniendo la calculadora en radianes) obtenemos vymax = 14'06 m/s
b) Como se ha explicado arriba, la onda estacionaria se origina por la superposición de dos ondas
viajeras de iguales características. En este caso, la expresión general sería y (x, t) = 2A cos kx ·
sen (ωt) (S. I.), donde A = 0,25 m, k = 1 rad/m y ω = 30 rad/s, son la amplitud, número de onda y
frecuencia angular de las ondas superpuestas.
La velocidad de propagación de las ondas viajeras puede calcularse con la expresión
ω 30
v= =
= 30 m/s
k
1
Solución: Amplitud de las ondas viajeras: A = 0'25 m.
Velocidad de propagación de las ondas viajeras: 30 m/s.
Unidad 7: Fenómenos ondulatorios.
pag. 12
9.- Junio (2013) Un haz compuesto por luces de colores rojo y azul incide desde el aire
sobre una de las caras de un prima de vidrio con un ángulo de incidencia de 40º.
a) Dibuje la trayectoria de los rayos en el aire y tras penetrar en el prisma y calcule el
ángulo que forman entre si los rayos en el interior del prima si los índice de refracción son
nrojo = 1'612 para el rojo y nazul = 1'671 para el azul, respectivamente.
b) Si la frecuencia de la luz roja es de 4'2 · 1014 Hz, calcule su longitud de onda dentro del
prisma. Datos: c = 3·108 ms-1, naire =1
a) Como la luz roja y la luz azul tienen distinto índice de refracción, sus respectivos rayos se
dispersarán en la superficie de separación. Al tener la luz azul mayor índice de refracción, sus
rayos quedarán más cerca de la normal, tal y como se indica en el dibujo:
Aplicando la ley de Snell de la refracción a cada rayo podremos averiguar el ángulo que formará
cada uno de ellos con la normal.
nincidente · sen î = nrefractado · sen r̂
Para el rojo: 1 · sen 40º = 1'612 · sen r̂ ⇒ sen r̂ =
0'643
= 0'399 ⇒ r̂ = 23'5º
1'612
Para el azul: 1 · sen 40º = 1'671 · sen r̂ ⇒ sen r̂ =
0'643
= 0'385 ⇒ r̂ = 22'6º
1'671
Por tanto el ángulo que formarán entre sí los rayos será: 23'5 - 22'6 = 0'9º
b) En la refracción la onda incidente y la refractada viajan en distintos medios con índices de
refracción distintos. Por tanto la velocidad de propagación variará de acuerdo con la ecuación:
υ=
c 3 ⋅108
=
= 1'86 · 108 m/s
n 1'612
Donde c es la velocidad de la luz y n el índice de refracción del medio en que se propaga la onda.
La frecuencia de la onda luminosa, f, permanece constante (ya que depende de la frecuencia de
vibración del foco emisor de ondas, que no cambia), pero como υ = λ ⋅ f , si la velocidad cambia,
también cambiará la longitud de la onda.
υ
1'86 ⋅108
λ= =
= 4'43 · 10-7 m = 443 nm
14
f 4'2 ⋅10
Unidad 7: Fenómenos ondulatorios.
pag. 13