Sistemas de partículas

SISTEMA DE PARTÍCULAS
FísicaGuay
SISTEMA DE PARTÍCULAS
CINEMATICA DEL SISTEMA DE PARTICULAS:
Un sistema de partículas es un conjunto de partículas con alguna relación entre ellas,
pero cada una de ellas poseen un vector de posición, una velocidad, posiblemente una
aceleración y pos supuesto una masa. A cada una de ellas la nombraremos con un
subíndice que lo único que nos indica es una forma de diferenciar unas de otras.
Otro concepto importante que nos va a aparecer es el de Centro de Masa C.M.: es un
lugar geométrico en el espacio, que no tiene porque coincidir con alguna partícula, sin
embargo es un punto que representa a todo el sistema y es como si toda la masa del
sistema estuviera contenida en él. Por tanto nos va a aparecer la velocidad representativa
de todo el sistema (velocidad del C.M.), la aceleración representativa de todo el sistema
(aceleración del C.M.); aunque cada una de las partículas posee su vector de posición,
su velocidad, y su aceleración. Por supuesto cada una de las magnitudes del C.M. está
referidas a cada una de las magnitudes de todas las partículas.
Supongamos un sistema donde todas las partículas que lo componen tienen la misma
masa, en este caso el vector de posición del C.M. sería la suma vectorial de los vectores
de posición de todas las partículas del sistema, dividido por el número de partículas:
r
r
∑i
n
r rr1 + rr2 + rr3 + ... + rrn i =1
=
R=
n
n
Siendo n el número de partículas.
Pero en general, los sistemas que vamos a estudiar no poseen la misma masa, entonces
para estos casos más generales para encontrar el vector de posición del C.M. es
necesario hacer una media ponderada (dependiendo de cada masa de cada partícula) de
los vectores de posición de cada partícula. En este caso el vector de posición del C.M.:
r
m
r
∑ ii
N
r
rCM =
i =1
M
r
m
r
∑ ii
N
=
i =1
m1 + m2 + ... + mi
Si queremos prescindir del carácter vectorial y escribir el vector del C.M. según las
coordenadas cartesianas, se puede hacer de la siguiente forma:
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∑
x CM =
i
M
∑ m i yi
y CM =
i
∑
z CM =
-
m i xi
M
m i zi
i
M
La suma se realiza para cada uno de los subíndices.
El subíndice i, nos indica que la magnitud física que acompaña corresponde a la
partícula i –ésima (partícula una, partícula 2, etc.).
M es la masa total del sistema.
ü Cuando nos aparezca en algún problema la necesidad de construir el vector de
posición o la velocidad del centro de masas, primero calcularemos el vector de
posición de cada una de las partículas, y cuando tengamos este dato y la masa de
cada una de ellas, podremos calcular el vector de posición del C.M. con las
ecuaciones anteriores.
Para calcular la velocidad del C.M., tenemos que derivar, como es lógico, el vector de
posición del C.M. del siguiente modo:
r
M r CM
=
∑
r
m ri
d 

dt 
d
dt
(M
r
r CM
M
d
dt
(rrCM ) = ∑
r
M v CM
=
)=
∑
i
r
m iv i
r 
m
r
∑i
i 

d r
m
(ri )
dt
i
Despejando la última expresión, encontramos la expresión de la velocidad del C.M.:
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r
m
v
∑ ii
N
r
v CM =
i =1
M
De aquí, si pasamos la suma de las masas al primer miembro, encontramos que la
cantidad de movimiento del C.M coincide con la suma de las cantidades de movimiento
de todas las partículas que forman el sistema:
r
M v CM =
r
p CM =
∑
∑
i
r
m ivi
r
pi
i
Si derivamos, de nuevo, la expresión de la velocidad del C.M., encontraremos la
aceleración del C.M., que como es análogo a lo que hemos hecho no lo vamos a
realizar, el resultado final:
r
m
a
∑ i i
N
r
aCM =
i =1
M
FUERZAS EXTERIORES E INTERIORES:
Ahora vamos a demostrar que la aceleración del centro de masa sólo depende de las
fuerzas ejercidas por agentes externos al sistema. Para ello debemos distinguir entre
fuerzas externas e internas. Las fuerzas internas son fuerzas ejercidas sobre partículas
del sistema por otras partículas del sistema, mientras que las fuerzas externas son
fuerzas ejercidas sobre partículas del sistema por agentes externos al sistema. Para dejar
más clara esta distinción, denotaremos por Fij la fuerza ejercida por la partícula i sobre
la j, donde i y j son del sistema, y por Fext j la fuerza ejercida sobre la partícula j por
objetos externos al sistema.
La aceleración del centro de masa se define por la ecuación que está escrita en el
apartado anterior. Para determinar su valor para un sistema dado, primero debemos
encontrar la aceleración individual de cada partícula del sistema usando la segunda ley
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de Newton, y después debemos sumar estas aceleraciones. Consideremos el sistema de
tres partículas mostrado en la figura. La aceleración del centro de masa está dada por:
F23
r
r
r
r
MaCM = m1a1 + m2 a 2 + m3 a3
F13
M3
F31
M1
Fext3
La aceleración de cada una de las
partículas están dada por la segunda ley de
Newton:
F21
Fext1
M2
F12
Fext2
r r
r
r
r
m1a1 = ∑ F1 = F21 + F31 + Fext1
r r
r
r
r
m2 a2 = ∑ F2 = F12 + F32 + Fext2
r r
r
r
r
m3 a3 = ∑ F3 = F13 + F23 + Fext3
F32
Por tanto, introduciendo cada una de las aceleraciones en la expresión de la aceleración
del centro de masas:
(
) (
) (
r r r
r r r
r r r
r
MaCM = F21 + F31 + Fext1 + F12 + F32 + Fext2 + F13 + F23 + Fext3
Según la tercera ley de Newton sabemos que:
Por tanto la suma de todas la fuerzas que actúan
sobre la partícula es igual únicamente a la suma
de las fuerzas exteriores:
)
r
r
F12 = − F21 
r
r
r 
 r
Fij = − Fji ⇒ F13 = − F31 
r 
r
F23 = − F32 
r
r
r
r
r
MaCM = Fext1 + Fext 2 + Fext 3 = ∑ Fext
Así encontramos que aceleración del centro de masa sólo está determinada por la acción
de las fuerzas externas.
El resultado que hemos obtenido es válido para cualquier número de partículas. El
producto de la masa del sistema por la aceleración del centro de masa está determinado
por la suma de los productos de las aceleraciones de las partículas individuales por sus
masas respectivas:
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r
M a CM =
r
m
a
∑ i i
Cuando las aceleraciones de las partículas se expresan en función de las fuerzas que
actúan sobre ellas (de acuerdo con la segunda ley de newton), las fuerzas internas que
aparecen en el sumatorio se cancelan por parejas (de acuerdo con la tercera ley de
Newton), y por tanto la aceleración del centro de masa tan sólo depende de las fuerzas
externas, es decir el movimiento del centro de masa se debe a las fuerzas externas:
r
r
r
r


MaCM = ∑ Fext,i + ∑Fij  = ∑Fext,i
i 
j
 i
Dado que el resultado depende de la fuerza resultante ejercida sobre el sistema, no
importa conocer sobre qué partícula actúa cada fuerza, por tanto, podemos eliminar el
subíndice i y escribir:
r
r
∑Fext = MaCM
Esta última ecuación es la Segunda ley de Newton aplicada al movimiento del centro de
masa de un sistema.
Aunque las fuerzas internas no afectan al centro de masa, las fuerzas internas pueden
realizar trabajo. Por tanto, no existe un teorema de la energía cinética que relacione de
forma general la suma de los trabajos realizados por las fuerzas externas con la energía
cinética del sistema. Aunque la energía se sigue conservando, el cambio en la energía
cinética del sistema no puede relacionarse directamente con el trabajo realizado por las
fuerzas externas.
Otra forma de escribir la segunda ley de Newton más general de un sistema de
partículas es sabiendo que la definición de la cantidad de movimiento del C.M. es la
suma de las cantidades de movimiento de cada partícula por tanto:
r
r
dP
=
F
∑ ext dt
r
r
donde P = MvCM =
r
m
v
∑ i
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COLISIONES:
Según la segunda ley de Newton en un sistema de partículas, la suma de todas las
fuerzas exteriores es igual a la masa total del sistema por aceleración del centro de
masa. Si la suma de todas las fuerzas exteriores es nula, entonces la derivada de la
cantidad de movimiento del sistema con respecto el tiempo es cero, esto quiere decir
que la cantidad de movimiento P no cambia con el tiempo. A este resultado se le conoce
con el nombre de la ley de la conservación de la cantidad de movimiento: cuando la
fuerza externa resultante que actúa sobre un sistema es cero, la cantidad de movimiento
total del sistema se conserva. O dicho de otro modo, la cantidad de movimiento de un
sistema aislado no cambia con el tiempo.
r
r
Pi = P f
Observar las similitudes y diferencias entre esta ley y la ley de la conservación de la
energía mecánica. En ambos casos existe una condición sobre la naturaleza de la fuerza,
pero en el caso de la conservación de la energía todas las fuerzas que realizan trabajo
deben ser conservativas, mientras que para la conservación de la cantidad de
movimiento la fuerza resultante ejercida por objetos externos al sistema debe ser cero.
Una diferencia adicional es que como la cantidad de movimiento P es un vector, la
conservación de P implica su conservación tanto en módulo como en dirección,
mientras que al ser la energía un escalar, sólo se conserva su valor. De aquí se deduce
que la conservación de la cantidad de movimiento es más general que la conservación
de la energía mecánica. Se puede dar la situación en el que en un sistema con un
proceso dado, se conserve la cantidad de movimiento mientras no se conserva la energía
mecánica, por ejemplo: la explosión de una bomba. En este caso se conserva la cantidad
de movimiento, es decir, la suma de las cantidades de movimiento de cada uno de los
trozos después de la explosión tiene que ser la misma que la cantidad de movimiento de
la bomba antes de ella. Sin embargo la energía mecánica no se conserva (entre otras
cosas porque no es una suma vectorial), aunque si se conserva la energía total del
sistema.
ü La energía de un sistema ni se crea ni se destruye sino que se transforma.
En nuestra bomba la energía química se ha transforma en energía mecánica, por tanto la
energía total del sistema se conserva, aunque no ocurre así con la energía mecánica.
Por otro lado, la cantidad de movimiento de las partículas individuales puede
cambiar aun cuando la cantidad de movimiento del sistema completo se conserve. Las
fuerzas internas al sistema pueden producir cambios en la cantidad de movimiento de
las partículas individuales, pero la cantidad de movimiento total del sistema no puede
ser modificada por las fuerzas internas.
ü La ley de la conservación de la cantidad de movimiento es particularmente útil para
relacionar los estados inicial y final de un sistema aislado. Aunque el sistema puede
cambiar su estructura interna, la cantidad de movimiento del sistema permanece
constante.
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Ahora ya estamos preparados para abordar el problema de las colisiones, donde vamos a
utilizar la conservación de la cantidad de movimiento. Una colisión es una interacción
entre dos o más objetos que tiene lugar en un intervalo corto de tiempo y en una región
delimitada del espacio. Uno o varios objetos penetran en una región del espacio e
interaccionan rápidamente dentro de ella, posteriormente uno o más objetos abandonan
esta región. Puede que las fuerzas de interacción entre los objetos sean grandes, pero no
vamos a examinarlas en detalle. Sólo vamos a considerar los objetos antes y después de
la colisión y supondremos que durante el tiempo de la colisión, las cosas que pueden
ocurrir son despreciables y por tanto no contribuyen a la cantidad de movimiento del
sistema. Como el efecto de las fuerzas externas es despreciable, la cantidad de
movimiento del sistema se conserva, y por tanto la cantidad de movimiento del sistema
es igual antes y después de la colisión.
Uno de los objetivos al considerar las colisiones es ser capaces de relacionar las
velocidades de los objetos antes y después de la colisión. Por ejemplo, en las colisiones
atómicas se usan las velocidades de las partículas resultantes de la colisión para estudiar
la interacción entre las partículas incidentes. Imaginemos una colisión en la que entran y
salen dos partículas. Si conocemos las velocidades de las partículas de la misma, la
conservación de la cantidad de movimiento nos proporciona una ecuación vectorial que
relaciona las velocidades antes y después de la colisión. La conservación de la cantidad
de movimiento, escrita para cada una de las componentes, proporciona tres ecuaciones,
pero tenemos seis incógnitas (deseamos conocer las tres componentes de las
velocidades de las dos partículas después de la colisión). En estas condiciones el
problema no tiene solución, ya que tenemos más incógnitas que ecuaciones. Este
problema matemático subsistiría aunque la colisión fuese en una dimensión, ya que la
conservación de la cantidad de movimiento nos da una ecuación y necesitamos conocer
las velocidades de las dos partículas después de la colisión.
Por tanto, para resolver el problema se necesita más información. La energía
siempre se conserva, pero como la energía puede adoptar muchas formas, en general su
consideración no es de gran ayuda. En algunas colisiones se conserva la energía
cinética, y estas colisiones se llaman elásticas. Por el contrario, las colisiones en las que
no se conserva la energía cinética se llaman inelástica. A escala atómica es frecuente
que las colisiones sean elásticas, pero a escala macroscópica las colisiones siempre
poseen cierto grado de inelasticidad, sin embargo, muchas de estas colisiones
transforman tan poca energía cinética en otras formas de energía que, dentro de la
precisión con que se realizan las medidas, son consideradas elásticas. Este es el caso,
por ejemplo, de la colisión entre dos bolas de acero que chocan a velocidades pequeñas.
Consideremos la colisión elástica en una dimensión, en la cual un objeto de
masa m1 y velocidad v1i en la dirección x colisiona con otro objeto de masa m2 y
velocidad inicial v2i sobre el eje x. Después de la colisión, las componentes x de las
velocidades son v1f y v2f. La conservación de la cantidad de movimiento nos da:
m1v1i + m2v2i = m1v1 f + m2v2 f
La conservación de la energía cinética nos da:
1
2
m1v1i + 12 m2v2i = 12 m1v1 f + 12 m2v2 f
2
2
2
2
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Las componentes de las velocidades finales pueden obtenerse si se conocen la masas y
la componentes de las velocidades iniciales.
Ahora vamos a hacer una pequeña incursión matemática que más tarde nos será útil. A
la dos ecuaciones anteriores le reordenamos los términos, de tal manera que podamos
sacar factor común a las masas:
m a (v1i − v1 f ) = m 2 (v2 f − v2 i )
(
m a v1i − v1 f
2
2
) = m (v
2
2
2f
− v2 i
2
)
Dividimos estas dos últimas ecuaciones:
v1i + v1 f = v 2 f + v 2 i
Organizamos la ecuación colocando las velocidades iniciales en el primer miembro, y
las finales en el segundo:
v1i − v2i = −(v1 f − v2 f )
Esta relación muestra que después de la colisión se invierte la velocidad relativa entre
los objetos pero se conserva su módulo.
En las colisiones inelásticas, normalmente no es fácil calcular las velocidades
finales en función de las iniciales. La cantidad de energía perdida depende del grado de
inelasticidad de la colisión. Un caso especial de colisión inelástica es aquel en que los
objetos permanecen unidos tras la colisión, este tipo de colisión se llama
completamente inelástica. En este caso sólo existe una velocidad final vf, que puede
ser calculada a partir de la conservación de la cantidad de movimiento:
m1v1i + m2v2i = (m1 + m2 )v f
m1v1i + m2v2i
vf =
m1 + m2
Observa que aunque en todas las colisiones se conserva la cantidad de movimiento (ya
que despreciamos las fuerzas externas), sin embargo, la energía cinética no se conserva
en las colisiones inelásticas.
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COLISIONES EN DOS Y TRES DIMENSIONES:
ANTES
m1
r
v2 f
DESPUÉS
r
v 1i
m2
m2
ϑ
m1
2
ϑ1
r
v1 f
Consideramos una colisión entre dos partículas que tiene lugar en dos dimensiones.
Aunque sepamos que la colisión es elástica, la conservación de la cantidad de
movimiento y la conservación de la energía cinética nos proporciona únicamente tres
ecuaciones, una para cada una de las componentes de la cantidad de movimiento y otra
para la conservación de la energía cinética. Sin embargo, cada velocidad final tras la
colisión tiene dos componentes y por tanto hay cuatro incógnitas. En la figura antes de
la colisión, la partícula 1 va en la dirección x con velocidad indicada y la partícula 2 está
en reposo. La conservación de la cantidad de movimiento da dos ecuaciones, una para
cada dirección.
En la dirección
x:
m1 v1i = m 1v1 f cos ϑ 1 + m 2 v 2 f cos ϑ 2
En la dirección
y:
0 = m 1v1 f sen ϑ 1 − m 2 v 2 f sen ϑ 2
Si además la colisión es elástica, la conservación de la energía nos da otra ecuación:
1
2
m1v1i = 12 m1v1 f + 12 m2 v2 f
2
2
2
Si conociésemos el estado inicial del sistema necesitaríamos cuatro ecuaciones para
determinar el estado final. A menos que tengamos información adicional, no se puede
encontrar el estado final. Esto es un ejemplo de cómo en dos o tres dimensiones el
estado final de una colisión elástica no queda determinado únicamente por las leyes de
conservación.
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MOMENTO ANGULAR Y DE FUERZAS, EN UN SISTEMA DE
PARTÍCULAS:
Para una partícula, ya hemos estudiado, sabemos que la segunda ley de Newton para
una partícula en su analogía rotacional es la ecuación:
∑
r
dl
M =
dt
Que como ocurre en su versión lineal el vector momento angular debe medirse respecto
de un sistema de referencia inercial.
En el caso que nos ocupa, cuando tengamos un sistema de partículas, tenemos que
definir una nueva magnitud física, que se llamará momento angular total L, respecto
de un punto. Que es la suma de los momentos angulares individuales de todas las
partículas respecto al mismo punto:
r
r
r r r
L = l1 + l2 + ... + ln = ∑li
i
Donde li es el momento angular de la partícula i –ésima. Según la regla de la derivación
d una suma, la derivada temporal del momento angular total es:
r
dL
=
dt
∑
i
r
d li
dt
Ahora podemos utilizar la expresión anterior que nos relaciona el momento de fuerzas
total que actúa sobre una partícula con la variación con respecto el tiempo del momento
angular. Para evitar confusiones, puesto que tenemos dos sumatorias, notaremos como
Mi el momento de fuerzas total que actúa sobre la partícula i. Por tanto obtenemos:
r
r
dL
= ∑ Mi
dt
La suma de los momentos de fuerzas, es la sumai de los momentos de fuerzas que actúa
en cada una de las partículas. Esta suma, como en el caso lineal, puede dividirse en dos
partes:
1. La suma de los momentos de fuerzas producidos sobre las partículas del sistema por
las mismas partículas del sistema, fuerzas interiores.
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2. La suma de los momentos de fuerzas producidas sobre las partículas del sistema por
las fuerzas que ejercen sobre ellas objetos externos al sistema, fuerzas exteriores.
Según la tercera ley de Newton el momento de fuerzas interno total debe ser cero,
porque cuando las partículas i y j interaccionan, la tercera ley de Newton dice que
r
r
Fij = − F ji
y que ambas fuerzas están dirigidas a lo largo de la recta que une a
las partículas, es decir, que las dos fuerzas son iguales y opuestas, y
tienen la misma línea de acción. Como tienen la misma línea de acción, ambas tendrán
el mismo brazo de momento, rp respecto al punto O, y los módulos de sus momentos de
fuerzas serán iguales. Usando la regla de la mano derecha para determinar la dirección
de los momentos de las fuerzas encontramos que llevan direcciones opuestas, es decir
r
r
Mij = −M ji
y si se suman ambos momentos el resultado es cero. Esto se
cumple cualquiera que sea el punto de referencia O usado para
calcular los momentos de fuerza, y para todos los pares de fuerzas de interacción entre
las partículas del sistema. Por tanto, la ecuación anterior, sólo contiene los momentos de
fuerzas debidos a las fuerzas exteriores al sistema:
r
r
dL
∑ M ext = dt
Donde hemos omitido el subíndice i por brevedad, y por lo mismo en muchas ocasiones
se omite el subíndice ext. Sin embargo debemos tener presente que únicamente los
momentos de fuerzas externos pueden cambiar el momento angular de un sistema.
En esta última ecuación, tanto los momentos de fuerzas como el momento angular
puede ser medidos respecto a cualquier punto, siempre que se utilice el mismo punto
para medir todos ellos, y siempre que el punto se encuentre fijo a algún sistema de
referencia inercial. Aunque no vamos a probarlo aquí, esta ecuación es más general,
pues la ecuación es válida cuando el punto de referencia está en el centro de masa del
sistema, incluso cuando el centro de masa esté acelerado respecto a un sistema de
referencia inercial. Esto hace que a menudo sea conveniente separar el movimiento del
sistema en dos partes, el movimiento de traslación del centro de masa, para el cual se
utiliza la expresión siguiente:
r
r
dP
F
=
∑ ext dt
Y el movimiento de rotación respecto al centro de masa, para el que se utiliza la
expresión siguiente:
∑
r
r
dL
M ext =
dt
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